4.3.1 等比数列的概念（第1课时）（教学课件）数学人教A版选择性必修第二册

第四章 数列 4.3.1 等比数列的概念 (第1课时) ·选择性必修第二册· 学习目标 能通过具体实例，归纳出等比数列的概念，并形成符号化定义；能根据定义探索归纳出等比数列的通项公式，能解释公式的含义和限制条件；能根据等比中项的概念写出对应等式. 能通过解析式、图象等，说出等比数列的通项公式与指数函数之间的共性与差异；会用函数的观点解释等比数列，提升数学抽象、逻辑推理素养． 会通过解方程组求等比数列的基本量，并能得出等比数列的一些性质，会利用通项公式解决一些简单问题，着重提升数学运算素养. 目录 CATALOG 01.等比数列的概念 03.应用新知 02.等比数列的通项公式 04.题型强化训练 05.真题感知 06.小结及随堂练习 4.3.1 等比数列的概念（第1课时） 01 等比数列的概念 导入新知1：生活情境——棋盘麦粒的惊人数字 古印度国王为了奖励发明国际象棋的宰相，问他想要什么赏赐。宰相微微一笑，说："陛下，请您在棋盘的第一个格子里放1粒麦子，第二个格子里放2粒，第三个格子里放4粒，第四个格子里放8粒……依此类推，每个格子的麦子数量是前一个格子的2倍，直到填满64个格子。"国王一听，觉得这要求太简单了，欣然答应。可当大臣开始计算时却发现……整个国家的麦子都不够用！ 思考：写出每个格子的麦粒数构成的数列前6项？这个数列的相邻两项之间的关系是什么？ 追问1：这个规律让你联想到了我们之前学习的什么数列？ 追问2：类比等差数列，你会给这个数列起一个什么名称？第64个格子到底需要多少粒麦子？ 导入新知2：生活情境——折纸游戏中的"翻倍" 小丽发现，一张普通的A4纸对折1次后是2层，对折2次后是4层，对折3次后是8层……她把每次对折后纸的层数依次记录下来。 思考：对折次数与纸的层数之间有什么关系？写出前5次对折后纸的层数构成的数列，并观察相邻两项的比。 追问：理论上若小丽坚持对折30次，层数将达到2³⁰层（超过10亿层），这说明了什么？像"翻倍""裂变"这样不断成倍增长的现象在生活中还有哪些例子？ 引入新知 古印度国王为了奖励一位发明国际象棋的宰相，问他想要什么赏赐。宰相微微一笑，说：“陛下，请您在棋盘的第一个格子里放1粒麦子，第二个格子里放2粒，第三个格子里放4粒，第四个格子里放8粒……依此类推，每个格子的麦子数量是前一个格子的2倍，直到填满64个格子。” 国王一听，觉得这要求太简单了，欣然答应。可当大臣开始计算时，却发现……整个国家的麦子都不够用！ 神奇的棋盘与麦粒 思考 为什么整个国家的麦子都不够用，第64个格子里到底需要多少粒麦子？ 这就需要用到本节课即将学习的数列知识 引入新知 追问1 这个规律让你联想到了我们之前学习的什么数列？ 等差数列 追问2 类比等差数列，你会给这个数列起一个什么名称？ 等比数列 这就是我们这节课要学习的内容 ---- 等比数列的概念 思考 写出每个格子的麦粒数构成的数列前6项？这个数列的相邻两项之间的关系是什么？ 1, 2, 4, 8, 16, 32 从第二项起，后一项与前一项的比都为2 引入新知 回顾 回顾前面的整个学习等差数列的历程，我们按照怎样的研究路径实现等差数列内容的研究的？ 实例中数列的共同取值规律 抽象等差定义 根据定义研究 通项公式 利用通项公式， 探究数列与相关 函数的关系 利用通项 公式解决 推导数列前n项 和公式， 并研究其性质 通项公式与前n项和公式解决问题 那么接下来的课程，我们就按照这个研究路径来探究等比数列 新课探究 研究路径1 实例中数列的共同取值规律 两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列： 注：古巴比伦人用 60 进制计数， 这里转化为十进制． 情景1 新课探究 《庄子・天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是: 情景2 新课探究 在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是: 2，4，8，16，32，64，… ⑤ 情景3 新课探究 某人存入银行a元，存期为5年，年利率为r，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是: 情景4 新课探究 我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律． 这表明，数列①有这样的取值规律： 从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于9． 其余几个数列也有这样的取值规律，请你写出相应的规律． 新课探究 这表明数列①②③④⑤⑥具有这样的取值规律： 从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数. 数列② 满足 数列③ 满足 数列④ 满足 数列⑤ 满足 数列⑥ 满足 新课探究 研究路径2 抽象等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列（geometric progression）， 这个常数叫做等比数列的公比（common ratio），公比通常用字母 q 表示(显然)． 练习 求出情景1~情景4中等比数列①~⑥的公比分别是多少？ 新课探究 思考 你能结合等比数列的定义写出其符号表达式吗? 从第2项起 同一个常数 新课探究 等比数列的概念辨析 新课探究 等比中项的概念 思考：这时a，b的符号有什么特点？你能用 a，b表示G 吗？ 存在等比中 项的条件 计算等比中 项的方法 牛刀小试 判断等差数列、由定义判定等比数列 牛刀小试 等比数列的定义、等比数列的其他性质、由定义判定等比数列 牛刀小试 等比数列通项公式的基本量计算 牛刀小试 等比数列通项公式的基本量计算 牛刀小试 等比中项的应用 02 等比数列的通项公式 4.3.1 等比数列的概念（第1课时） 新课探究 探究 你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗? 于是： …… 归纳可得 所以： 逐步迭代法 研究路径3 根据定义研究通项公式 新课探究 将这些等式的两边分别相乘得 整理得 所以： 以上，求等比数列通项公式的 方法叫做累乘法. 新课探究 等比数列通项公式 思考： (3)利用等比数列的通项公式不仅可以求出该数列中的任意指定项，也 可以判断某特定数是否是该数列中的项． 新课探究 思考 在等差数列中，公差d≠0的等差数列可以与相应的一次函数建立联系，通过类比，等比数列可以与那个函数建立联系？ 类比于等差数列与一次函数的关系，由可知，当且时，等比数列的第项是函数()当时的函数值，即(如图所示). 反之，任给函数(为常数，，，且)，则，，，，构成一个等比数列，其首项为，公比为. 研究路径4 利用通项公式，探究数列与相关函数的关系 新课探究 等比数列的通项公式的函数性质 思考   单调递减 单调递增 单调递减 单调递增 不变 指数函数的单调性 等比数列的单调性 等比数列的单调性 单调递减 单调递减 单调递增 单调递增 不变 不变 牛刀小试 等比数列通项公式的基本量计算 牛刀小试 等比数列通项公式的基本量计算 牛刀小试 等比数列通项公式的基本量计算 牛刀小试 等比数列的单调性、既不充分也不必要条件 牛刀小试 判断命题的充分不必要条件、等比数列的通项公式的指数函数特征、等比数列的单调性 03 应用新知 4.3.1 等比数列的概念（第1课时） 应用新知 例1： 分析 解法1： 应用新知 例1： 分析 解法2： 应用新知 例2： 解： 等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示． 应用新知 例3： 分析 解： 应用新知 方法规律 等比数列通项公式的求法 04 题型强化训练 4.3.1 等比数列的概念（第1课时） 重要题型专练 题型一 等比中项的应用 例题 解： 重要题型专练 题型一 等比中项的应用 例题 解： 重要题型专练 方法总结 等比中项的理解 重要题型专练 题型二 等比数列的判定或证明 例题 解： 重要题型专练 题型二 等比数列的判定或证明 例题 解： 重要题型专练 方法总结 判定等比数列常用的方法 重要题型专练 题型三 累乘法求数列通项公式 例题 解： 重要题型专练 题型三 累乘法求数列通项公式 例题 解： 重要题型专练 方法总结 累乘法（叠乘法）（记忆累乘法模型）  重要题型专练 方法总结 累乘法（叠乘法）（记忆累乘法模型）  重要题型专练 题型四 例题 证明： 重要题型专练 题型四 例题 解： 重要题型专练 方法总结 05 真题感知 4.3.1 等比数列的概念（第1课时） 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 06 小结及随堂练习 4.3.1 等比数列的概念（第1课时） 课堂小结 等比数列与指数 型函数关系 等比数列 的概念 等比数列的定义 等比数列的单调性 通项公式 a1 a1＞0 a1＜0 q的范围 0＜q＜1 q=1 q＞1 0＜q＜1 q=1 q＞1 等比数列的单调性 单调 递减 不变 单调 递增 单调 递增 不变 单调递减 作业 巩固作业：教科书第35页练习第1、3、5题. 4.3.1 等比数列的概念（第1课时） 作业答案（教科书第35页练习第1题） 详解 作业答案（教科书第35页练习第1题） 详解 作业答案（教科书第35页练习第3题） 详解 作业答案（教科书第35页练习第5题） 详解 作业答案（教科书第35页练习第5题） 详解 本课结束 感谢您的聆听 ·选择性必修第二册· ⑤强调作比比较的两项必须相邻. 同时，等比数列的符号描述为判定一个数列是否 为等比数列提供了基本依据和方法，也是推导等比数列通项公式的起点，是理解 概念内涵的关键。 ①“从第2项起”是后续条件，因为第1项没有前一项，所以没有办法与前一项作比； ②“从第2项起”表明成立，则，公比可以是任意非零实数； ④确保该数列中任何一项与前一项的比都是同一个常数. ③每一项与它的前一项的比指出作比比较的顺序； 与等差中项类似,如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项（geometric mean）．此时，． 【详解】A选项，，所以不是等差数列，A错误； B选项，，故不是等比数列，B错误； C选项，，不是等差数列，，也不是等比数列，C错误； D选项，为公差为0的等差数列，也是公比是1的等比数列，D正确.故选D. 1.（25-26高二下·上海·期末）下列数列中，既是等差数列也是等比数列的是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：①中，（常数），所以数列是等比数列； ②中，（常数），所以数列是等比数列；③中，不妨设，则数列为，因为，所以数列不一定是等比数列；④中，数列的项可能为0，故不一定是等比数列；⑤中，（常数），所以数列是等比数列．故①②⑤是等比数列． 2．（26-27高二上·全国·课后作业）已知项数相同的等比数列，，公比分别为，给出下列数列：①；②；③；④；⑤．其中一定是等比数列的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】设该等比数列为，，由题意得，,根据等比数列通项公式代入 可得：，将、代入上式：， 整理得，所以．故选A. 3.（26-27高三上·浙江·开学考试）在160和之间插入4个数，使这6个数成等比数列，则公比q的值为（   ） A． B． C． D． 【详解】设等比数列的公比为（）， 因为，，所以，所以， 所以，所以，解得或.故选D. 4.（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）已知等比数列满足，，则的公比为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【详解】若数列，a，b，c，是等比数列， 则，可得，即.故选C. 5.（25-26高二下·江西南昌·期末）若数列，a，b，c，是等比数列，则实数b的值为（    ） A． B． C． D．3 设一个等比数列的首项为，公差为． 根据等比数列的定义，可得，即就是等比数列的递推公式． 所以，，，…． 当时，上式为． 这就是说，上式当时也成立． 由定义得，，， ……，， 当时，上式为． 这就是说，上式当时也成立． 综上，首项为，公比为q的等差数列的通项公式为: (1)通项公式中涉及首项、公比、项数、第项，可知三求一； (2)首项与公比是基本量，由基本量就可以唯一确定一个等比数列.因 此，在解决等比数列问题时，我们要重视用基本量表示数列中其他元素. 类比指数函数的性质，说说公比的等比数列的单调性． 除了要像指数函数那样，分为和两种情况讨论外，还要考虑 时的情况，以及将整个数列分为和两种情况进行讨论. 【详解】设公比为，因为，所以. .故选C. 6.（25-26高二下·北京昌平·期末）在等比数列中，，，则（     ） A． B． C． D． 【详解】依题意，,解得.故选A. 7.（25-26高二下·山东潍坊·期末）已知等比数列中，，，则公比（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【详解】，可得，解得，又因为，所以.故选B. 8.（25-26高二下·甘肃平凉·期末）已知等比数列的公比，若，，则公比（     ） A． B． C． D． 【详解】取，此时均为递增数列，，为常数列； 取，则数列为递增数列，此时可取， 其中为递减数列，为递增数列.综上可得：“与均为递增数列”是“数列为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选D. 9.（25-26高二下·北京·期末）若数列与都是等比数列，则“与均为递增数列”是“数列为递增数列”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】充分性：若无穷等比数列有最大项，设该最大项为，取, 则对任意，都满足，因此充分性成立. 必要性：取无穷等比数列的首项，公比,则通项为, 该数列为递增数列，所有项均满足，因此存在常数，使得对任意，都有; 但该数列各项随增大趋近于，始终无法取到，不存在最大项，因此必要性不成立.故选A. 10.（26-27高三上·北京门头沟·开学考试）若是无穷等比数列，则“有最大项”是“存在常数，使”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 已知等比数列的公比为，试用的第项表示． 由题意，得， ① ． ② ②的两边分别除以①的两边，得． 所以 数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80， 第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132．求这个数列． 先利用已知条件表示出数列的各项，再进一步根据条件列方程组求解． 设前三项的公比为，后三项的公差为， 则数列的各项依次为，，80，，． 于是得 解方程组，得 或 所以这个数列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，． 在已知等比数列的首项和公比的前提下，利用通项公式 可求出等比数列中的任意一项，因此根据已知条件，建立关于的方程 组，求出，后再求出，这是常规方法. 在已知等比数列中任意两项的前提下，利用也可求出等 比数列中的任意一项.故只需充分利用各项之间的关系，直接求出后，再 根据公式求，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算. (1)已知等比数列的前3项依次为 ，求实数 的值； 又因为当 时， 不合题意， 所以实数x的值为 . 因为等比数列的前3项依次为 ， 所以 ，解得 或 . (2)已知数列 为等比数列，若数列 的前三项和为168， ，求 ， 的等比中项. 设等比数列 的公比为 ，因为 ，所以 . 由已知得 ，即 ，解得 ， 若G是 ， 的等比中项，则有 ， 所以 ，所以 ， 的等比中项为 . 是与的等比中项，则与的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比 中项.此时，，即等比中项有两个，且互为相反数. 时，不一定是与的等比中项.例如，但不是等比数列； 在等比数列中，从第2项起，每一项是它相邻两项的等比中项； 与等比数列中的任一项“等距离”的两项之积等于该项的平方，即在等比数列 中， 1. 对数列，若点都在函数的图象上，其中 c，q为常数，且，，，试判断数列是否是等比数 列，并证明你的结论． 由题意知:,因为，，，为定值常数， 且，所以数列为以为首项，为公比的等比数列. 2．数列的前n项和为，且. (1)求证：数列为等比数列;(2)求数列的通项公式； 因为①，所以，当时，②， ①②得：，即(*)， 又当时，，即，所以， 由(*)可得，， 则数列为以2为首项，2为公比的等比数列，故； 定义法：若数列满足(，为常数且不为零)或 (，，为常数且不为零)，则数列是等比数列. 通项公式法：若数列的通项公式为，则数列是等比数列. 等比中项法：若(且)，则数列为等比数列. 已知数列中，，，求数列的通项公式． 因为，所以当时，， 所以，，…，，， 以上个式子左右两边分别相乘， 得， 已知数列中，，，求数列的通项公式． 即， 所以． 当时，，符合上式． 所以数列的通项公式是． 若数列满足，则称数列为“变比数列”， 求变比数列的通项时，利用 求通项公式的方法称为累乘法。 具体步骤： ，，，……， 将上述个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得： 整理得： 再检验即可. 构造等比求通项公式 之 型 1.已知数列中，，证明：数列是等比数列. 因为，所以， 因为，所以，又， 所以， 所以数列是以5为首项，2为公比的等比数列； 构造等比求通项公式 之 型 2．正项数列满足，，求数列的通项公式. 因为，所以， 又因，所以， 所以根据等比数列定义可知是以为首项，为公比的等比数列. 所以，即 构造等比求通项公式 之 型的求法 ①设，并整理得 ②将与对比得， ③当时，解得 ④证明()为等比数列，并根据等比数列求得的通项公式 ⑤根据的通项公式得的通项公式.， 1.（25-26高二下·广东江门·期末）在等比数列中，若，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 由题意得，即， 即.故选C. 2.（25-26高二下·安徽宣城·期末）等比数列的前项和，则（    ） A．1 B． C． D． 设等比数列的公比为，当时，，不符合题意； 当时，， 因为，则，解得.故选D. 3.（25-26高二下·江西南昌·期末）在正项等比数列中，，其中r，，，则公比q=（    ） A． B．2 C． D． 根据等比数列的性质， 因为， 而又因为该等比数列各项均大于零，所以.故选B. 4.（25-26高二下·广西崇左·期末）若等比数列满足，，则公比（   ） A． B． C． D． 因为是等比数列，所以， 即.所以.故选A 1．判断下列数列是否是等比数列．如果是，写出它的公比． （1）3，9，15，21，27，33； （2）1，1.1，1.21，1.331，1.4641； （3），，，，，； （4）4，，16，，64，． （1）3，9，15，21，27，33；因为，故不是等比数列； （2），，，，； 所以，所以是等比数列，公比； 1．判断下列数列是否是等比数列．如果是，写出它的公比． （1）3，9，15，21，27，33； （2）1，1.1，1.21，1.331，1.4641； （3），，，，，； （4）4，，16，，64，． （3） ，，，，，；显然， 故不是等比数列； （4）因为，，，，，； 所以，所以是等比数列，公比． 3. 在等比数列中，，．求和公比q． 设等比数列的首项为，公比为，因为，， 由等比数列的性质可得，，又， ，，，解得：， 当时，由，所以； 当时，由，所以 所以或 5．已知数列是等比数列． （1），，是否成等比数列？为什么？，，呢？ （2）当时，，，是否成等比数列？为什么？ 当时，，，是等比数列吗？ (1) 设等比数列的公比为， 则，， ，则，，成等比数列； 又，则，所以，，成等比数列； 5．已知数列是等比数列． （1），，是否成等比数列？为什么？，，呢？ （2）当时，，，是否成等比数列？为什么？ 当时，，，是等比数列吗？ (2)，， ，所以，，成等比数列； 又，则， 所以，，是等比数列． $