4.3.1　等比数列的概念(第1课时)课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦等比数列的概念、等比中项、通项公式及单调性，通过“出门望九堤”古代问题导入，对比等差数列定义、中项、通项公式的运算律差异，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于“入木三分”模块通过辨析等比数列是否含0项、等比中项唯一性等问题培养数学思维，“题型”模块结合基本量法和整体思想，用例题和思考题强化数学语言表达，古代问题引导用数学眼光观察现实。帮助学生深化概念理解，为教师提供系统教学资源，提升教学效率。

4.3　等比数列 4.3.1　等比数列的概念(第1课时) 等比数列的概念及通项公式 要点1　等比数列的概念 一般地，如果一个数列从第___项起，每一项与它的前一项的___都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列． 要点2　等比中项 (1)定义：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成__________，那么G叫做a与b的等比中项． (2)关系式：G2＝ab，即G＝______． 2 比 等比数列 第页 要点3　等比数列的通项公式 (1)等比数列的通项公式：an＝________． (2)公式的推广：an＝am· ______． 要点4　等比数列与指数函数的关系 (1)用函数思想理解等比数列的通项公式： a1qn－1 qn－m 第页 (2)等比数列的单调性： ③当q＝1时，等比数列{an}为常数列(这个常数列中各项均不等于0)； ④当q<0时，等比数列{an}为摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶数项异号)． 第页 1．(1)等比数列中是否有等于0的项？公比能否为0? 答：(1)没有；不能． (2)2和8的等比中项是4吗？ 答：(2)不一定是4，还可能是－4. (3)是否存在既是等差数列又是等比数列的数列？ 答：(3)存在．当数列{an}为非零常数列时，它既是等差数列又是等比数列．对于常数列，若它的各项都是零，则它只是等差数列，不是等比数列．因此，常数列必是等差数列，但不一定是等比数列． 第页 2．(1)命题p：a，G，b成等比数列，命题q：G2＝ab成立，p是q的充要条件吗？ 答：(1)不是，p是q的充分不必要条件． (2)任意两个数都有等差中项，任意两个数都有等比中项吗？ 答：(2)任意两个数不一定有等比中项，当两个数中至少有一个为0，或是两个数一正一负时没有等比中项，只有两个同号且不为0的数才有等比中项． 第页 3.课本中得到等比数列通项公式的方法是什么?你还有其他的方法吗? 答：课本中用的方法是归纳法． 我们还可以用累乘法得到等比数列的通项公式． 第页 4．比较等差数列和等比数列的定义、通项公式、中项性质等方面在运算律上的关系． 答：定义中“差”变为了“比”． 通项公式中“公差d的(n－1)倍”变为了“公比q的(n－1)次方”，实现了运算律的升级． 第页 5．我国古算经《孙子算经》里有一个有趣的题目“出门望九堤”：“今有出门，望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各几何？”你能回答这个问题吗？ 答：这是一个等比数列题目，所求各数构成了一个以9为首项，9为公比的等比数列，堤为9，木为92＝81，枝为93＝729，巢为94＝6 561，禽为95＝59 049，雏为96＝531 441，毛为97＝4 782 969，色为98＝43 046 721. 返 回 课时学案 10 题型一　 等比数列的概念 例 1　以下数列中，哪些是等比数列？　 【解析】　按照等比数列的定义，需要验证从第2项起，每一项与它前一项的比值是不是同一个常数． 第页 11 (2)1，1，1，…，1； 【解析】　(2)是公比q＝1的等比数列． (3)1，2，4，8，12，16，20； (4)a，a2，a3，…，an. 【解析】　(4)当a≠0时，它是公比q＝a的等比数列；当a＝0时，它不是等比数列． 第页 探究1 第页 思考题1　判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比． 【解析】　(1)不是等比数列． 第页 (3)1，0，1，0，1，0，…； 【解析】　(3)不是等比数列． (4)1，－4，16，－64，256，…； 【解析】　(4)是等比数列，公比为－4. (5)a，a，a，a，a，…. 【解析】　(5)当a≠0时是等比数列，公比为1.当a＝0时，不是等比数列． 第页 题型二　 等比中项 例 　 不存在 第页 16 (2)在等比数列{an}中，若a1＝1，a5＝4，则a3等于(　　) A．2　　　　　　　 B．2或－2 C．－2 D． √ 【解析】　因为在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4，所以a＝a1·a5＝4，因为a1＝1>0，所以a3>0，所以a3＝2. 第页 探究2 (1)当a，b同号时，a，b的等比中项有两个；当a，b异号时，a，b没有等比中项． (2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项都是它的前一项(前k项)与后一项(后k项)的等比中项，所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号． 第页 思考题2　(1)方程x2－8x＋9＝0的两根的等比中项是(　　) A．－4 B．－3和3 C．－4和4 D．3 √ 【解析】　由韦达定理可得方程x2－8x＋9＝0的两根之积为9，而9＝(±3)2，故方程x2－8x＋9＝0的两根的等比中项是±3. 第页 (2)【多选题】已知公比为q的等比数列{an}，若a1a5a9＝64，则(　　) A．a5＝4 B．当a1＝1时，q＝± C．a1和a9的等比中项为4 D．a1＋a9＝8 √ √ 第页 题型三　 等比数列的通项公式 例 3　在等比数列{an}中，公比为q. (1)若a1＝1，a4＝8，求an；　 【解析】　(1)因为a4＝a1q3， 所以8＝q3，所以q＝2， 所以an＝a1qn－1＝2n－1. (2)若an＝625，n＝4，q＝5，求a1； 第页 21 (3)若a5－a1＝15，a4－a2＝6，求a3； 第页 (4)若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝－32，求a6. 第页 探究3 a1和q是等比数列{an}的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便都可求出来，这种解题的方法称为基本量法，解题时角标没有明显特点，不能使用性质时，就用基本量法．整体思想：根据所给条件中的角标结构特点可将已知和所求都用a1，q表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解． 第页 思考题3　已知等比数列{an}，公比为q. (1)若a4＝27，q＝－3，求a7的值； 【解析】　(1)方法一：由a4＝a1·q3， 得27＝a1·(－3)3，解得a1＝－1， 所以a7＝a1·q6＝(－1)×(－3)6＝－729. 方法二：a7＝a4·q3＝27×(－3)3＝－729. 第页 (2)若a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. 返 回 课后巩固 27 √ 第页 2．若x，2x＋2，3x＋3是一个等比数列的连续三项，则x的值为________． －4 解析　∵x，2x＋2，3x＋3成等比数列，∴(2x＋2)2＝x(3x＋3)，∴x＝－4或x＝－1(舍去)． 第页 3．在54和2之间插入2个数________和________，使得这4个数构成等比数列． 18 6 解析　由题意可知该等比数列中，a1＝54，a4＝2， 第页 4．已知a是1，2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab＝________． ±6 第页 5.等比数列{an}中，a1＋a3＝20，a2＋a4＝60，则a7＋a8＝________． 5 832 又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10a1＝20，∴a1＝2. ∴a7＋a8＝a1(q6＋q7)＝2(36＋37)＝5 832. 返 回 自助餐 33 等比数列的单调性 (1)由等比数列的通项公式可知，公比影响数列各项的符号．一般地，当q>0时，等比数列各项的符号相同；当q<0时，等比数列各项的符号正负交替． (2)判断等比数列{an}的单调性的方法： ①当q>1，a1>0或0<q<1，a1<0时，{an}是递增数列． ②当q>1，a1<0或0<q<1，a1>0时，{an}是递减数列． ③当q＝1时，{an}是常数列(这个常数列中各项均不为0)． ④当q<0时，{an}是摆动数列． (3)研究等比数列的单调性问题，既要考虑首项的符号，也要考虑公比的取值范围． 第页 例 在等比数列{an}中，公比为q，且q<1，那么对于等比数列{an}的单调性的说法正确的是(　　) A．{an}是递增数列　　 B．{an}是递减数列 C．{an}是常数列 D．无法确定{an}的单调性　 √ 第页 思考题　(1)已知数列{an}是等比数列，且公比q大于0，则“q>1”是“数列{an}是递增数列”的(　　) A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 √ 【解析】　当a1<0，q>1时，数列{an}为递减数列，即充分性不成立； 当数列{an}是递增数列时，可能是a1<0，0<q<1，即必要性不成立． 即“q>1”是“数列{an}是递增数列”的既不充分也不必要条件． 第页 (2)设{an}是等比数列，则“a1<a2<a4”是“数列{an}是递增数列”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 √ 【解析】　若数列{an}是递增数列，则a1<a2<a4，因此必要性成立．当a1<a2<a4，即a1<a1q<a1q3时，若a1<0，则有q3<q<1，解得q<－1或0<q<1.当q<－1时，数列{an}是摆动数列，不具有单调性，故充分性不成立．故选B. 返 回 ±eq \r(ab) 等比数列{an}的通项公式an＝a1qn－1可以改写为an＝eq \f(a1,q)·qn.当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数函数f(x)＝eq \f(a1,q)·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)． ①当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1>0，,q>1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1<0，,0<q<1))时，等比数列{an}为递增数列； ②当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1>0，,0<q<1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1<0，,q>1))时，等比数列{an}为递减数列； 当n≥2时，eq \f(a2,a1)·eq \f(a3,a2)·eq \f(a4,a3)·…·eq \f(an,an－1)＝q·q·q·…·q⇒eq \f(an,a1)＝qn－1⇒an＝a1qn－1(n≥2)； 当n＝1时，a1＝a1q0＝a1q1－1，∴当n＝1时，an＝a1qn－1也成立，即an＝a1qn－1(n∈N*)． 中项性质中A＝eq \f(a＋b,2)变为G＝±eq \r(ab)，其中a，b两项的“和”变为了“积”，“除以2”变为了“开2次方”． (1)1，－eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，－eq \f(1,8)，eq \f(1,16)； (1)是等比数列，公比q＝－eq \f(1,2). 【解析】　(3)因为eq \f(8,4)≠eq \f(12,8)，所以该数列不是等比数列． 如果一个数列{an}的项符合关系式eq \f(an＋1,an)＝q(q为非零常数)或eq \f(an,an－1)＝q(n≥2)，则该数列是等比数列，而只由an＋1＝qan或an＝qan－1(n≥2)成立则不能得到数列{an}一定为等比数列．因为等比数列中的任意一项不能为0，整式变分式一定要讨论除过去的式子能否为0. (1)1，eq \f(1,3)，eq \f(1,6)，eq \f(1,9)，eq \f(1,12)，…； (2)eq \f(2,3)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up20(2)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up20(3)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up20(4)，…； 【解析】　(2)是等比数列，公比为eq \f(2,3). 2　(1)①eq \r(3)＋1和eq \r(3)－1的等比中项为________； ②1＋eq \r(3)和1－eq \r(3)的等比中项为________． ±eq \r(2) eq \r(2) 【解析】　由等比数列性质可得a1a5a9＝aeq \o\al(3,5)＝64，即a5＝4，故A正确； 当a1＝1时，a5＝a1·q4＝4，所以q＝±eq \r(2)，故B正确； 因为a1a9＝aeq \o\al(2,5)＝16，所以a1和a9的等比中项为4或－4，故C错误； 取a1＝1，则a9＝16，故a1＋a9＝17，故D错误． 故选AB. eq \r(2) 【解析】　(2)a1＝eq \f(an,qn－1)＝eq \f(625,54－1)＝5. 【解析】　(3)由已知，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1q4－a1＝15，　　　　　　①,a1q3－a1q＝6.　　　　　　②)) 由题意得q2≠1，由①÷②，得eq \f(q2＋1,q)＝eq \f(5,2)，所以q＝eq \f(1,2)或q＝2. 当q＝eq \f(1,2)时，a1＝－16，a3＝a1q2＝－4； 当q＝2时，a1＝1，a3＝a1q2＝4. 【解析】　(4)由a4＋a5＋a6＝q3(a1＋a2＋a3)＝4q3＝－32， 解得q＝－2，所以a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝3a1＝4，解得a1＝eq \f(4,3)， 所以a6＝a1q5＝eq \f(4,3)×(－2)5＝－eq \f(128,3). 【解析】　(2)因为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＋a5＝a1q＋a1q4＝18，,a3＋a6＝a1q2＋a1q5＝9，)) eq \a\vs4\al(①,②) 由题意得q≠－1，由②÷①，得q＝eq \f(1,2)，从而a1＝32. 又an＝1，所以32×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up16(n－1)＝1，即26－n＝20，故n＝6. 1．数列1，－eq \f(\r(2),2)，eq \f(1,2)，－eq \f(\r(2),4)，eq \f(1,4)，…的一个通项公式为(　　) A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))) eq \s\up16(n－1)　　　　　　 B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2))) eq \s\up16(n) C．(－1)neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2))) eq \s\up16(n－1) D．(－1)n＋1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2))) eq \s\up16(n－1) 解析　设数列为{an}，由题知数列是以1为首项，－eq \f(\r(2),2)为公比的等比数列，故数列{an}的一个通项公式为an＝(－1)n－1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2))) eq \s\up16(n－1)＝(－1)n＋1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2))) eq \s\up16(n－1)，故选D. 设公比为q，则由a4＝a1q3，即2＝54q3，解得q＝eq \f(1,3)，所以a2＝a1q＝54×eq \f(1,3)＝18，a3＝a1q2＝54×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up20(2)＝6. 解析　依题意知2a＝1＋2，b2＝(－1)×(－16)，解得a＝eq \f(3,2)，b＝±4，∴ab＝±6. 解析　设公比为q，则q＝eq \f(a2＋a4,a1＋a3)＝3. 【解析】　等比数列{(－1)n}的公比为－1，为摆动数列，不具有单调性；等比数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up26(n)))的公比为eq \f(1,2)，是递减数列；等比数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up26(n)))的公比为eq \f(1,2)，是递增数列． $