4.2.2 第3课时 等差数列前n项和的应用 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教用Word（人教A版）

1．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且＝，则＝(　　) A．3 B．2 C． D． 解析：选B.＝＝＝，所以＝2. 2．(2026·红桥月考)已知数列{an}满足an＝－2n＋9，n∈N*，则数列{|an|}的前10项和为(　　) A．58 B．52 C．62 D．60 解析：选B.因为an＝－2n＋9，n∈N*，令an＝－2n＋9≥0，得n≤4.5. 因为n∈N*，所以当n≤4时，an＞0；当n≥5时，an＜0.记数列{|an|}的前n项和为Sn， 则S10＝|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝(a1＋a2＋a3＋a4)＋(|a5|＋|a6|＋…＋|a10|) ＝＋＝52. 3．一个屋顶的某一个斜面呈等腰梯形，最上面一层铺了21块瓦片，往下每一层多铺一块瓦片，斜面上铺了20层瓦片，共铺了瓦片(　　) A．420块 B．630块 C．610块 D．620块 解析：选C.由题意可知，每层所铺瓦片数构成一个公差为1，首项为21的等差数列， 则前n项和Sn＝21n＋， 所以共铺了瓦片S20＝20×21＋＝610块． 4．已知等差数列{an}，{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn.若＝，则＋＝(　　) A．2 B． C．1 D． 解析：选D.因为{an}，{bn}为等差数列， 则＋＝＝×＝＝＝＝＝. 5．现从一圆形花坛的圆心向外栽种8圈某种花卉，圆心处栽1株(视为第1圈)，第2圈栽3株花卉，从第2圈起，第n圈栽种花卉的数目比第n－1圈多种2(n－1)(2≤n≤8，n∈N*)株，则第8圈栽种花卉(　　) A．57株 B．56株 C．55株 D．54株 解析：选A.设第n圈栽种花卉an株，则an－an－1＝2(n－1)(2≤n≤8，n∈N*). 又a1＝1，a2＝3，则a8－a7＝14，a7－a6＝12，a6－a5＝10，…，a2－a1＝2， 所以a8＝(a8－a7)＋(a7－a6)＋(a6－a5)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝14＋12＋10＋…＋2＋1 ＝＋1＝57. 6．(多选)已知数列{an}的通项公式为an＝10－2n，前n项和为Sn，则(　　) A．数列为等差数列，公差为－2 B．数列{Sn＋n2}为等差数列，公差为9 C．当n≤5时，数列{|an|}的前n项和为Sn D．当n＞5时，数列{|an|}的前n项和为－Sn＋2S5 解析：选BCD.对于A，由an＝10－2n，得an＋1－an＝－2，a1＝8，可知数列{an}是首项为8，公差为－2的等差数列，则Sn＝＝－n2＋9n，则＝9－n，所以－＝－1， 所以数列为等差数列，公差为－1，故A错误； 对于B，Sn＋n2＝－n2＋9n＋n2＝9n，而9(n＋1)－9n＝9，所以数列{Sn＋n2}为等差数列，公差为9，故B正确； 对于C，D，当n＜5时，an＞0；当n＝5时，an＝0；当n＞5时，an＜0， 所以当n≤5时，数列{|an|}的前n项和为|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn， 当n＞5时，数列{|an|}的前n项和为|a1|＋|a2|＋…＋|a5|＋|a6|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋…＋an) ＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn，故C，D均正确． 7．若等差数列{an}和{bn}的前n项的和分别是Sn和Tn，且＝，则＝____． 解析：因为{an}和{bn}是等差数列，故＝＝＝. 答案： 8．甲、乙两个机器人分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m．若甲、乙到达对方起点后立即返回，则他们第二次相遇需要经过________min. 解析：由题意知甲每分钟走的路程成等差数列，设为{an}，则an＝2＋(n－1)·1＝n＋1. 设甲、乙第二次相遇需要经过t min，因为第1次相遇甲、乙共走70 m，第2次相遇甲、乙共走210 m， 则＋5t＝210， 所以t＝15(负值舍去). 答案：15 9．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整数的正整数n的集合是__________． 解析：由＝＝＝＝＝＝＝7＋. 因为为整数且n∈N*，所以n＝1，2，5. 答案：{1，2，5} 10．(13分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝－175，a6＝－29. (1)求{an}的通项公式；(5分) (2)求数列{|an|}的前n项和Tn.(8分) 解：(1)设{an}的公差为d. 由可得解得 则an＝a1＋(n－1)d＝2n－41. (2)由(1)可知，当n≤20时，an＜0，则|an|＝－an， 则Tn＝－Sn＝－＝－n2＋40n. 当n＞20时，an＞0，则|an|＝an， 则Tn＝－a1－a2－…－a20＋a21＋a22＋…＋an＝Sn－2S20＝n2－40n＋800. 故Tn＝ 11．已知数列{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为An，Bn，且＝，则使≥λ恒成立的实数λ的最大值为(　　) A． B． C．1 D．2 解析：选A.由题意得，＝＝＝＝＝. 因为n∈N*，＝1－≥，当且仅当n＝1时取等号， 所以使≥λ恒成立的实数λ的最大值是. 12．(多选)有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”其意思是：现有一位善于步行的人，第一天行走了100里，以后每一天比前一天多走相同的里程数，九天他共行走了1 260里，则下列论述正确的是(　　) A．从第二天起，每一天比前一天增加的里程数为10 B．此人第五天行走了150里 C．此人前六天共行走了750里 D．此人前八天共行走的里程是第九天行走里程的8倍 解析：选AC.设此人第n(n∈N*)天走an里，则数列{an}是公差为d的等差数列，记数列{an}的前n项和为Sn. 对于A，由题意可得解得d＝10，故A正确； 对于B，a5＝a1＋4d＝100＋4×10＝140，故B错误； 对于C，S6＝6a1＋d＝600＋×10＝750，故C正确； 对于D，a9＝a1＋8d＝100＋8×10＝180， S8＝S9－a9＝1 260－180＝1 080，而180×8＝1 440≠1 080，故D错误． 13．已知等差数列，－，－，…前n项的绝对值之和为50，则n＝________． 解析：记题中等差数列为{an}，则a1＝，a2＝－，公差d＝a2－a1＝－， 所以等差数列{an}的通项公式为an＝＋(n－1)×＝. 设数列{|an|}的前n项和为Sn， 当n＝1时，S1＝|a1|＝≠50，不合题意； 当n≥2时，则an＜0， 可得Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1－(a2＋…＋an)＝－＝. 令Sn＝＝50，解得n＝12或n＝－(舍去). 综上所述，n＝12. 答案：12 14．(15分)已知数列{an}满足3a1＋32a2＋…＋3nan＝n(n∈N*). (1)求{an}的通项公式；(6分) (2)记bn＝|11＋log3a2n|，求数列{bn}的前n项和Tn.(9分) 解：(1)在数列{an}中，3a1＋32a2＋…＋3nan＝n， 当n≥2时，3a1＋32a2＋…＋3n-1an－1＝n－1， 两式相减，得3nan＝1，则an＝， 当n＝1时，3a1＝1，即a1＝，满足上式， 所以{an}的通项公式是an＝. (2)由(1)知，bn＝|11＋log3a2n|＝＝|11－2n|. 令11－2n≥0，得n≤，则n≤5，记cn＝11－2n，易知{cn}为等差数列． 当n≤5时，bn＝cn，则Tn＝＝＝10n－n2； 当n≥6时，bn＝－cn，则Tn＝(c1＋c2＋…＋c5)－(c6＋c7＋…＋cn) ＝2(c1＋c2＋…＋c5)－(c1＋c2＋…＋c5＋c6＋c7＋…＋cn) ＝2×(50－25)－(10n－n2)＝n2－10n＋50. 所以数列{bn}的前n项和 Tn＝ 15．(15分)某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，引进设备后每年收益为21万元．同时，公司每年需要付出设备的维修和工人工资等各种费用，第一年各种费用2万元，第二年各种费用4万元，以后每年各种费用都增加2万元． (1)引进这种设备后，求该公司使用这种设备后第n(n≤18，n∈N*)年后所获利润总和f(n)；(7分) (2)这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？(8分) 解：(1)由题意知，每年的各种费用是以2为首项，2为公差的等差数列， 所以f(n)＝21n－－25＝－n2＋20n－25(n≤18，n∈N*). (2)年平均获利为＝＝20－≤20－2＝10， 当且仅当n＝，即n＝5时，等号成立， 所以这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大． 学科网（北京）股份有限公司 $