4.2.2 等差数列的前n项和公式（第1课时）（导学案）数学人教A版选择性必修第二册

4.2.2 等差数列的前n项和公式（第1课时） （1）通过等差数列的前n项和公式的推导，体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题与解决问题的一般思路和方法，培养学生的逻辑推理核心素养； （2）通过等差数列的前n项和公式的运用，进一步理解函数与方程(组)思想，提高学生观察、反思、归纳的能力，培养学生的数学运算和数学抽象核心素养； （3）通过等差数列的前n项和公式在实际生活中的应用，使学生再一次认识到数学来源于生活，又服务于生活.同时发展学生善于观察生活的优秀品格，培养学生数学建模核心素养. 教学重点：1.等差数列的前n项和公式的推导过程.2.利用等差数列的前n项和公式解决问题． 教学难点：等差数列前n项和公式的推导过程． 阅读教材，完成以下问题： 知识点一　等差数列的前n项和公式及其推导 1．等差数列前n项和公式的推导思路：它来源于对等差数列的第k项与倒数第k项的和都等于首项a1和末项an的和这一性质的认识和发现．推导方法是倒序相加法． 2．等差数列的前n项和公式 因为等差数列{an}中，有a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1成立，所以可得到等差数列前n项和公式为Sn＝．① 如果代入等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，Sn也可以用首项a1与公差d表示，即Sn＝na1＋d．② [说明]　当已知首项、末项和项数时，用公式①较为方便；当已知首项、公差和项数时，用公式②较为方便． 3．等差数列前n项和公式Sn＝na1＋d还可以由如下方法推导： Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a1＋(a1＋d)＋(a1＋2d)＋…＋[a1＋(n－1)d]， Sn＝an＋an－1＋…＋a1 ＝[a1＋(n－1)d]＋[a1＋(n－2)d]＋[a1＋(n－3)d]＋…＋a1， ∴2Sn＝[2a1＋(n－1)d]＋[2a1＋(n－1)d]＋…＋[2a1＋(n－1)d] ＝n[2a1＋(n－1)d]． ∴Sn＝na1＋d. 知识点二　等差数列的前n项和公式与二次函数的关系 若数列{an}的前n项和公式为Sn＝An2＋Bn＋C，那么数列{an}为等差数列时应满足条件C＝0． [说明]　(1)一般地，对于等差数列{an}，如果首项a1，公差d是确定的，前n项和Sn＝na1＋d＝n2＋n，设A＝，B＝a1－，上式可写成Sn＝An2＋Bn.当A≠0(即d≠0)时，Sn是关于n的二次函数，那么(n，Sn)在二次函数y＝Ax2＋Bx的图象上． (2)以等差数列前n项的项数为横坐标，前n项和为纵坐标的图象为抛物线上的一系列的孤立的点． 课堂导入1：生活情境——高斯求和故事 情境描述：教师：说到等差数列求和，一定要认识一个人——高斯（Gauss，1777－1855），德国数学家，近代数学的奠基者之一，享有"数学王子"的美誉。200多年前，高斯10岁的时候，他的算术老师提出问题：求1 + 2 + 3 + … + 100的值。 高斯同学的算法：逐项相加，1 + 2 = 3，3 + 3 = 6，6 + 4 = 10，……（计算较慢）； 高斯的算法：1 + 2 + 3 + … + 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + … + (50 + 51) = 101 × 50 = 5050。 思考：高斯算法有何巧妙？ 预设：巧妙地将首尾配对，每对和相等，将加法运算转化为了乘法运算，提高了运算效率。 追问：能否推广？变式题1：求1 + 2 + 3 + … + n的值；变式题2：求4 + 5 + 6 + … + 10的值。高斯算法能否优化？如何优化？ 预设：令S = 1 + 2 + 3 + … + n ①，则S = n + (n-1) + … + 1 ②； ① + ②得：2S = n(n + 1)，所以S = n(n + 1)/2。 【设计意图】以高斯故事激发兴趣，借问题链引导思考，让学生体会算法巧妙，为倒序相加法推导及公式学习铺垫。 教学建议：通过追问引导学生自主提炼算法核心，结合变式题逐步渗透推广思路，让学生先独立尝试再对比"逐项相加"与"首尾配对"的效率。 课堂导入2：生活情境——存钱罐储蓄计划 情境描述：小明计划养成储蓄的好习惯，第1个月往存钱罐里存10元，以后每个月都比上个月多存2元，即第2个月存12元，第3个月存14元，……，第12个月存32元。 思考：小明一年（12个月）一共能存多少钱？你能用简单的方法算出来吗？ 预设：逐月相加：10 + 12 + 14 + … + 32，共12个数； 或首尾配对：(10 + 32) + (12 + 30) + … + (20 + 22) = 42 × 6 = 252（元）。 追问：为什么首尾配对每对和都相等？这对一般等差数列求前n项和有什么启发？ 预设：因为每个月都比上个月多存2元（相邻两项差相同），由对称性a₁ + a₁₂ = a₂ + a₁₁ = …，首尾配对每对和都等于首项加末项；这启发我们把一般等差数列前n项和转化为"首末项平均数 × 项数"。 【设计意图】以学生熟悉的储蓄场景引出"首尾配对"思想，与高斯故事呼应，为倒序相加法的抽象概括提供具象支撑，激发探究兴趣。 教学建议：让学生先独立计算，再对比"逐项相加"与"首尾配对"的效率差异，感受转化思想；可现场补充"班级图书角每周新增图书"等类似情境。 情境问题一： 例1.某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少（为正常数）万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废．请确定的取值范围． 思考：如何根据实际意义建立数列模型?题目条件中包含哪些不等关系?利用什么公式列不等式? 预设：每经过一年其价值就会减少万元，得出为等差数列；；利用的通项公式列求解 分析：这台设备使用年后的价值构成一个数列，由题意可知，10年之内（含10年)，这台设备的价值应不小于万元；而10年后，这台设备的价值应小于11万元．可以利用的通项公式列不等式求解. 预设：设使用年后，这台设备的价值为万元，则可得数列． 由已知条件，得： 由于是与无关的常数， 所以数列是一个公差为的等差数列． 因为购进设备的价值为220万元， 所以， 于是 根据题意，得： ， 即： 解这个不等式组，得： 所以，的取值范围为. 设计意图：通过用等差数列解决实际问题，培养学生发现问题和解决问题的能力，提高数学建模核心素养. 方法总结 1、建模：确定数列类型（等差数列），明确首项、公差，写出通项公式 2、列约束：根据题目中的 “时间限制”“数值限制”（如使用年限、价值范围、产量要求等），列出关于和的不等式（组）； 3、求解：将通项公式代入不等式（组），解出参数（如本题的）的取值范围 问题情境二： 例2.已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列． （1）求数列的通项公式． （2）是不是数列的项?若是，它是的第几项?若不是，说明理由． 思考：如何确定新的等差数列的首项和公差?判断一个数是否为某数列中的项的方法是什么? 预设：等差数列通项公式；建立关于n的方程 分析：（1）是一个确定的数列，只要把表示为中的项，就可以利用等差数列的定义得出的通项公式； （2）设中的第项是中的第项，根据条件可以求出与的关系式，由此即可判断是否为的项. 预设：（1）设数列的公差为． 由题意可知，，， 于是， 因为，所以，所以， 所以 ． 所以，数列的通项公式是 （2）数列的各项依次是数列的第1，5，9，13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列，则． 令，解得． 所以，是数列的第8项． 思考： （1）如果插入个数，那么的公差是多少？ （2）对于第（2）小题，你还有其他解决方法吗？ 师生：（1）设数列的公差为．由题意可知，，， 于是， 因为，所以，所以， （2）由第（1）知，所以， 因为， 所以，令，解得， 所以，是数列的第8项． 方法总结：等差数列插入项构成新等差数列 1、确定新数列的首项：新数列首项与原数列首项相同，即 2、计算新数列的公差：设原数列公差为，每相邻两项间插入个数，则新数列公差满足，由此解出 3、写出新数列的通项公式：利用等差数列通项公式，代入首项和公差即可. 思考：对于第(2)小题的教材解法，你能否给出一个推广形式？ 其实这种解法蕴含的是等差数列的一个重要性质：若是等差数列，公差为，则，，，…()是公差为的等差数列． 教师：课后请同学们自行证明一下. 问题情境三： 例3：已知数列是等差数列，，且．求证：． 分析：（1）只要根据等差数列的定义写出，再利用已知条件即可得证． 证明：（1）设数列的公差为，则 所以 因为，所以 思考： 1）由的表达式，你能发现它们之间的关系么？ 师生：由易得. 所以，，这也是等差数列的重要性质. 等差数列通项公式需要基本量和,该公式是用等差数列的某一项和公差表达第项，即，变形可得. 2）例3是等差数列的一条性质，图4.2-2是它的一种情形．你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗？ 师生： （1）等差数列的图象是点组成的集合，这些点均匀分布在同一条直线上， 所以，点在同一条直线上； （2）设点与点的中点为，点与点的中点为， 因为，所以点与点重合， 所以它们的纵坐标相等，即， 所以.特别地，当时，. 设计意图：以例题形式归纳出等差数列的一条重要性 质，培养学生的逻辑推理能力.引导学生从几何角度解释 这一性质，培养学生直观想象的核心素养和多角度研究问 题的思维品质. 等差数列的性质： 若是等差数列，公差为，正整数满足， 则. （2）等差数列的某一项和公差d表达第n项，即 ，变形可得. 题型一：等差数列性质的应用 例题：已知数列为等差数列，且公差为.若，，求公差. 解析：由，得，∴. 由，解得或， ∴或. ∴公差为3或. 题型二：等差数列中对称设项法的应用 例题 三个数成等差数列，这三个数的和为6，积为，则这三个数为 ． 解析：设这三个数分别为．由题意可得 解得或 故所求三个数为，2，6或6，2，． 故答案为：或. 方法总结：等差数列设项方法与技巧 (1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程求出a1和d，即可确定此等差数列的通项公式； (2)当已知数列有3项时，可设为a - d，a，a+ d，此时公差为d；当有5项、7项……时，可同理设出； (3)当已知数列有4项时，可设为a - 3d，a - d，a + d，a + 3d，此时公差为2d；当有6项、8项……时，可同理设出. 题型三：等差数列的实际应用问题 例题：（1）某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有15个座位，从第2排起每一排都比前一排多2个座位．你能用表示第排的座位数吗? 第10排有多少个座位? 解析：由条件可知，每排的座位数看成等差数列，首项，， 则，． 综上可知，，第10排的座位数个． (2) 通常情况下，海拔每升高米气温就降低.已知南阳市的海拔最高点是老界岭的崎角尖.若在某天测得老界岭的山脚的气温是，崎角尖的气温是，则崎角尖相对于山脚的高度是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 解析：由题知崎角尖相对于山脚的高度是米，故选：C. 1.（26-27高三上·云南·阶段检测）等差数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算 【详解】设等差数列的公差为，则， 所以，即，， 又，故，所以. 2.（25-26高二下·江西上饶·期末）等差数列中，前项和为104，其中奇数项之和为40，且，则数列公差为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、等差数列奇数项或偶数项的和 【分析】设等差数列的公差为，根据已知有得，再结合求公差. 【详解】前项中，奇数项共项，偶数项共项， 由前项和为，奇数项和为， 因此偶数项和为， 设等差数列的公差为， 每一个偶数项比对应前一个奇数项多1个公差，共组， 因此， 由，得， 两式相减， 因此数列公差为. 3.已知是等差数列的前n项和，若，，则等于（ ） A．﹣4040 B．﹣2024 C．2024 D．4040 【答案】B 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、前n项和与n的比所组成的等差数列、利用定义求等差数列通项公式 【分析】根据等差数列前n项和的性质，结合等差数列的通项公式进行求解即可. 【详解】是等差数列的前n项和，则数列是等差数列． ，， 则数列的公差，首项为， ，． 故选：B． 4.（25-26高二下·北京·期中）已知无穷等差数列的公差不为0，前项和为．则“有最小值”是“数列单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】充要条件的证明、二次函数法求等差数列前n项和的最值、等差数列的单调性 【分析】先由有最小值推出得数列单调递增，再由数列单调递增推出有最小值，判断出充要条件. 【详解】等差数列前项和公式为，是关于的二次函数， 若，二次函数开口向下，当时，， 即不可能有最小值，所以有最小值，即， 而时，，数列单调递增，充分性成立， 若数列单调递增，则，二次函数开口向上，定义域为正整数， 开口向上的抛物线必然存在离对称轴最近的正整数点，对应的最小值， （即使所有项都为正，最小值就是，依然存在），因此必要性成立， 综上，“有最小值”是“数列单调递增”的充要条件. 5.（2026高三·全国·专题练习）已知数列的前项和，则下列判断正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】由Sn求通项公式 【详解】 当， 时，，也满足，所以。 令， 时，，故， 时，，故， 因此. 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2.2 等差数列的前n项和公式（第1课时） （1）通过等差数列的前n项和公式的推导，体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题与解决问题的一般思路和方法，培养学生的逻辑推理核心素养； （2）通过等差数列的前n项和公式的运用，进一步理解函数与方程(组)思想，提高学生观察、反思、归纳的能力，培养学生的数学运算和数学抽象核心素养； （3）通过等差数列的前n项和公式在实际生活中的应用，使学生再一次认识到数学来源于生活，又服务于生活.同时发展学生善于观察生活的优秀品格，培养学生数学建模核心素养. 教学重点：1.等差数列的前n项和公式的推导过程.2.利用等差数列的前n项和公式解决问题． 教学难点：等差数列前n项和公式的推导过程． 阅读教材，完成以下问题： 知识点一　等差数列的前n项和公式及其推导 1．等差数列前n项和公式的推导思路：它来源于对等差数列的第k项与倒数第k项的和都等于首项a1和末项an的和这一性质的认识和发现．推导方法是 ． 2．等差数列的前n项和公式 因为等差数列{an}中，有a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1成立，所以可得到等差数列前n项和公式为Sn＝ ．① 如果代入等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，Sn也可以用首项a1与公差d表示，即Sn＝ ．② [说明]　当已知首项、末项和项数时，用公式①较为方便；当已知首项、公差和项数时，用公式②较为方便． 3．等差数列前n项和公式Sn＝na1＋d还可以由如下方法推导： Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a1＋(a1＋d)＋(a1＋2d)＋…＋[a1＋(n－1)d]， Sn＝an＋an－1＋…＋a1 ＝[a1＋(n－1)d]＋[a1＋(n－2)d]＋[a1＋(n－3)d]＋…＋a1， ∴2Sn＝[2a1＋(n－1)d]＋[2a1＋(n－1)d]＋…＋[2a1＋(n－1)d] ＝n[2a1＋(n－1)d]． ∴Sn＝na1＋d. 知识点二　等差数列的前n项和公式与二次函数的关系 若数列{an}的前n项和公式为Sn＝An2＋Bn＋C，那么数列{an}为等差数列时应满足条件 ． 课堂导入1：生活情境——高斯求和故事 情境描述：教师：说到等差数列求和，一定要认识一个人——高斯（Gauss，1777－1855），德国数学家，近代数学的奠基者之一，享有"数学王子"的美誉。200多年前，高斯10岁的时候，他的算术老师提出问题：求1 + 2 + 3 + … + 100的值。 高斯同学的算法：逐项相加，1 + 2 = 3，3 + 3 = 6，6 + 4 = 10，……（计算较慢）； 高斯的算法：1 + 2 + 3 + … + 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + … + (50 + 51) = 101 × 50 = 5050。 思考：高斯算法有何巧妙？ 追问：能否推广？变式题1：求1 + 2 + 3 + … + n的值；变式题2：求4 + 5 + 6 + … + 10的值。高斯算法能否优化？如何优化？ 预设：令S = 1 + 2 + 3 + … + n ①，则S = n + (n-1) + … + 1 ②； ① + ②得：2S = n(n + 1)，所以S = n(n + 1)/2。 课堂导入2：生活情境——存钱罐储蓄计划 情境描述：小明计划养成储蓄的好习惯，第1个月往存钱罐里存10元，以后每个月都比上个月多存2元，即第2个月存12元，第3个月存14元，……，第12个月存32元。 思考：小明一年（12个月）一共能存多少钱？你能用简单的方法算出来吗？ 预设：逐月相加：10 + 12 + 14 + … + 32，共12个数； 或首尾配对：(10 + 32) + (12 + 30) + … + (20 + 22) = 42 × 6 = 252（元）。 追问：为什么首尾配对每对和都相等？这对一般等差数列求前n项和有什么启发？ 预设：因为每个月都比上个月多存2元（相邻两项差相同），由对称性a₁ + a₁₂ = a₂ + a₁₁ = …，首尾配对每对和都等于首项加末项；这启发我们把一般等差数列前n项和转化为"首末项平均数 × 项数"。 情境问题一： 例1.某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少（为正常数）万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废．请确定的取值范围． 思考：如何根据实际意义建立数列模型?题目条件中包含哪些不等关系?利用什么公式列不等式? 方法总结 1、建模：确定数列类型（等差数列），明确首项、公差，写出通项公式 2、列约束：根据题目中的 “时间限制”“数值限制”（如使用年限、价值范围、产量要求等），列出关于和的不等式（组）； 3、求解：将通项公式代入不等式（组），解出参数（如本题的）的取值范围 问题情境二： 例2.已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列． （1）求数列的通项公式． （2）是不是数列的项?若是，它是的第几项?若不是，说明理由． 思考： （1）如果插入个数，那么的公差是多少？ （2）对于第（2）小题，你还有其他解决方法吗？ 方法总结：等差数列插入项构成新等差数列 1、确定新数列的首项：新数列首项与原数列首项相同，即 2、计算新数列的公差：设原数列公差为，每相邻两项间插入个数，则新数列公差满足，由此解出 3、写出新数列的通项公式：利用等差数列通项公式，代入首项和公差即可. 思考：对于第(2)小题的教材解法，你能否给出一个推广形式？ 其实这种解法蕴含的是等差数列的一个重要性质：若是等差数列，公差为，则，，，…()是公差为的等差数列． 教师：课后请同学们自行证明一下. 问题情境三： 例3：已知数列是等差数列，，且．求证：． 思考： 1）由的表达式，你能发现它们之间的关系么？ 师生：由易得. 所以，，这也是等差数列的重要性质. 等差数列通项公式需要基本量和,该公式是用等差数列的某一项和公差表达第项，即，变形可得. 2）例3是等差数列的一条性质，图4.2-2是它的一种情形．你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗？ 等差数列的性质： 若是等差数列，公差为，正整数满足， 则. （2）等差数列的某一项和公差d表达第n项，即 ，变形可得. 题型一：等差数列性质的应用 例题：已知数列为等差数列，且公差为.若，，求公差. 题型二：等差数列中对称设项法的应用 例题 三个数成等差数列，这三个数的和为6，积为，则这三个数为 ． 方法总结：等差数列设项方法与技巧 (1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程求出a1和d，即可确定此等差数列的通项公式； (2)当已知数列有3项时，可设为a - d，a，a+ d，此时公差为d；当有5项、7项……时，可同理设出； (3)当已知数列有4项时，可设为a - 3d，a - d，a + d，a + 3d，此时公差为2d；当有6项、8项……时，可同理设出. 题型三：等差数列的实际应用问题 例题：（1）某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有15个座位，从第2排起每一排都比前一排多2个座位．你能用表示第排的座位数吗? 第10排有多少个座位? (2) 通常情况下，海拔每升高米气温就降低.已知南阳市的海拔最高点是老界岭的崎角尖.若在某天测得老界岭的山脚的气温是，崎角尖的气温是，则崎角尖相对于山脚的高度是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 1.（26-27高三上·云南·阶段检测）等差数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高二下·江西上饶·期末）等差数列中，前项和为104，其中奇数项之和为40，且，则数列公差为（    ） A． B． C． D． 3.已知是等差数列的前n项和，若，，则等于（ ） A．﹣4040 B．﹣2024 C．2024 D．4040 4.（25-26高二下·北京·期中）已知无穷等差数列的公差不为0，前项和为．则“有最小值”是“数列单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5.（2026高三·全国·专题练习）已知数列的前项和，则下列判断正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $