4.2.1 等差数列的概念（第2课时）（教学课件）数学人教A版选择性必修第二册

第四章 数列 4.2.1 等差数列的概念 (第2课时) ·选择性必修第二册· 学习目标 通过从实际问题中识别等差关系，并建立等差数列模型解决问题，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力，提升数学建模核心素养. 通过体验等差数列性质的探索过程，体会知识形成过程的重要性，培养学生观察、分析、猜想、归纳和自主探究的能力，提升逻辑推理核心素养.掌握等差数列的重要性质，并应用，培养学生逻辑推理，数学运算素养. 目录 CATALOG 01.等差数列的性质 03.应用新知 02.等差数列的性质的应用 04.题型强化训练 05.真题感知 06.小结及随堂练习 4.2.1 等差数列的概念（第2课时） 01 等差数列的性质 导入新知1：生活情境——钢管堆倒放规律 情境描述：同学们，在大自然中，美无处不在，雄伟的高山，潺潺的溪流，茂密的森林。同样，数学也可以给人以美的感受。我们来看下面这个例子：某仓库有一堆钢管，最上面有4根，下面每一层比它的上一层多1根，记最上层钢管数为a₁，往下每一层的钢管数依次记为a₂，a₃，…，则a₁ = 4，a₂ = 5，a₃ = 6，a₄ = 7，…。 思考：假设我们把这堆钢管倒过来放置，你能从中发现什么规律吗？ 追问：易知数列{aₙ}是等差数列，那么这种"对称项之和相等"的规律是否具有一般性呢？ 导入新知2：生活情境——阶梯教室座位排布 情境描述：同学们，学校阶梯教室第1排有18个座位，从第2排起，每一排都比前一排多2个座位。用aₙ表示第n排的座位数，则a₁ = 18，a₂ = 20，a₃ = 22，…，a₇ = 30，…，a₁₁ = 38，…。 思考：第3排与第11排的座位数之和是多少？它与第7排座位数的2倍有什么关系？ 追问：这里3 + 11 = 14 = 2×7。更一般地，若m + n = p + q，等差数列中aₘ + aₙ与aₚ + a_q有何关系？ 引入新知 思考：假设我们把这堆钢管倒过来放置，如图2，你能从中发现什么规律吗? 引入新知 那么这种规律性是否具有一般性呢？本节课，我们将学习等差数列的概念和通项公式的实际应用，进而探究等差数列的性质。 应用新知 情境问题一： 例1：某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少 d（d 为正常数）万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废．请确定 d 的取值范围． 思考： 如何根据实际意义建立数列模型? 题目条件中包含哪些不等关系? 利用什么公式列不等式? 等差数列 等差数列通项公式 应用新知 分析 解 析 应用新知 方法总结 建模 列约束 求解 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 等差数列通项公式的基本量计算 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 利用等差数列的性质计算 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 利用定义求等差数列通项公式 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 利用等差数列通项公式求数列中的项 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 等差数列的单调性、等差数列通项公式的基本量计算 02 等差数列性质的应用 4.2.1 等差数列的概念（第2课时） 应用新知 情境问题二： 思考：如何确定新的等差数列的首项和公差? 判断一个数是否为某数列中的项的方法是什么? 等差数列通项公式 建立关于n的方程 应用新知 分析 解 析 应用新知 思考： 如果插入数，那么的公差是多少？ 应用新知 分析 解 析 应用新知 思考： 对于(2),你还有其他解法么？ 应用新知 方法总结 确定新数列的首项 计算新数列的公差 写出新数列的通项公式 等差数列插入项构成新等差数列 应用新知 思考： 对于第(2)小题的教材解法，你能否给出一个推广形式？ 其实这种解法蕴含的是等差数列的一个重要性质：若是等差数列，公差为，则，，，…()是公差为的等差数列． 证明：∵是等差数列，公差为，∴ ，， 即，，，…()是公差为的等差数列． ∴， 即. 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 等差数列的单调性、判断命题的必要不充分条件 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 等差数列的单调性、等差数列通项公式的基本量计算 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 等差数列的应用 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 等差数列的应用、等差数列通项公式的基本量计算 03 应用新知 4.2.1 等差数列的概念（第2课时） 应用新知 情境问题三： 分析 应用新知 证 明 思考： 当公差 d = 0 时, 不一定成立; 当 d ≠ 0 时, 一定成立. 应用新知 思考： 应用新知 思考：例3是等差数列的一条性质（角标和性质），图4.2-2是它的一种情形． 你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗？ 应用新知 等差数列的性质 若是等差数列，公差为，正整数满足， 则. 04 题型强化训练 4.2.1 等差数列的概念（第2课时） 重要题型专练 题型一 等差数列性质的应用 例题 解 析 重要题型专练 题型二 等差数列中对称设项法的应用 例题 解 析 重要题型专练 方法总结 等差数列设项方法与技巧 重要题型专练 题型三 等差数列的实际应用问题 例题 解 析 重要题型专练 题型三 等差数列的实际应用问题 例题 解 析 05 真题感知 4.2.1 等差数列的概念（第2课时） 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 06 小结及随堂练习 4.2.1 等差数列的概念（第2课时） 课堂小结 等差数列的 灵活设元问题 等差数列 的性质 性质2： 性质3： 性质1： 作业 巩固作业：教科书第25页习题4.2第5、6、8题 4.2.1 等差数列的概念（第2课时） 课后作业答案 教科书第25页习题4.2第5题 课后作业答案 教科书第25页习题4.2第6题 课后作业答案 教科书第25页习题4.2第8题 本课结束 感谢您的聆听 ·选择性必修第二册· 在大自然中，美无处不在，雄伟的高山，潺潺的溪流，茂密的森林.同样， 数学也可以给人以美的感受.我们来看下面这个例子：如图1，某仓库有一堆 钢管，最上面有四根，下面每一层比它的上一层多一根，记最上层钢管数为 ，往下每一层的钢管数依次记为，则，，， ，，. 数列是等差数列. 每一层的钢管数量一样多，用数学符号表示为：. 这台设备使用年后的价值构成一个数列，由题意可知，10年之内 （含10年)，这台设备的价值应不小于万元；而10年后， 这台设备的价值应小于11万元．可以利用的通项公式列不等式求解. 设使用年后，这台设备的价值为万元，则可得数列． 由已知条件，得:， 由于是与无关的常数，所以数列是一个公差为的等差数列． 因为购进设备的价值为220万元，所以， 于是 根据题意，得：，即： 解这个不等式组，得： 所以，的取值范围为. 确定数列类型（等差数列），明确首项、公差，写出通项公式 根据题目中的 “时间限制”“数值限制”（如使用年限、价值范围、产量要求等），列出关于和的不等式（组） 将通项公式代入不等式（组），解出参数（如本题的）的取值范围 1.（25-26高二下·广东深圳·期中）等差数列1，46，91，…，2026，2071共有（    ） A．44项 B．45项 C．46项 D．47项 【详解】设等差数列，公差为，，，又，解得， 故等差数列1，46，91，…，2026，2071共有47项..故选：D． 2.（25-26高二下·江西·期中）在等差数列 中， ，则 （    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【详解】数列为等差数列，设等差数列的公差为. ，，即； ，得.故选：A． 3.（25-26高二上·北京丰台·期末）已知数列 满足 ， （ ），则 （   ） A． B．9 C．11 D．13 【详解】，，数列是公差为的等差数列，，．故选：C． 4.（25-26高二下·湖南衡阳·期末）已知等差数列 的通项公式为 ，在 中每相邻两项之间都插入2个数，组成一个新的等差数列 ，则 （    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【详解】由的通项公式，得首项，公差，则等差数列的首项，设其公差为，由于相邻两项之间插入2个数，故，则，根据等差数列通项公式，， 因此..故选：B． 5.（25-26高二下·安徽·期末）已知等差数列 ， ， ，若 ，则 （　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【详解】由，，得等差数列的公差为， 所以，所以， 又数列的公差不为，所以数列为单调数列， 所以结合，可得，故．.故选：C． 例2：已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间 都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列． （1）求数列的通项公式． （2）是不是数列的项?若是，它是的第几项?若不是，说明理由． (1) 是一个确定的数列，只要把表示为中的项，就可以 利用等差数列的定义得出的通项公式； （1）设数列的公差为．由题意可知，，， 于是， 因为，所以，所以， 所以． 所以，数列的通项公式是 由题意可知，，，于是， 因为，所以，即， 所以数列的通项公式是： (2) 设中的第项是中的第项，根据条件可以求出与 的关系式，由此即可判断是否为的项. （2）数列的各项依次是数列的第1，5，9，13，…项， 这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列，则． 令，解得． 所以，是数列的第8项． （2）由第（1）知，所以， 因为，所以，令，解得， 所以，是数列的第8项． 新数列首项与原数列首项相同，即 设原数列公差为，每相邻两项间插入个数，则新数列公差满足，由此解出 利用等差数列通项公式，代入首项和公差即可. 6.（2026·湖南益阳·模拟预测）已知 、 、 、 是曲线 上的四个点，其中 ，且 、 、 、 、 成等差数列，则 （　　） A． B． C． D． 【详解】因为、、、、成等差数列，设公差为， 则，，故，由点在曲线上，则，故，故..故选：D． 7.（23-24高二下·重庆·阶段检测）已知等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，则“ ”是“ 是递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】当，满足，但是，显然是递减数列，故充分性不成立，当是递增数列，则，若，则单调递减，显然不恒成立，所以，所以必要性成立，所以“”是“是递增数列”的必要不充分条件.故选：B 8.（25-26高三上·安徽阜阳·期末）已知等差数列 的前n项和为 ，公差为d，且 为递减数列，若 ，则d的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】因为为等差数列，且，所以. 因为数列为递减数列，即当时，有，即， 即从第二项开始，各项均为负数，当时，数列为递增数列，当足够大时，必有成立，不符合题意，当时，数列为常数数列或递减数列，只需即可，可知，解得，综上，.故选：C. 9.（24-25高二下·河南南阳·期末）通常情况下，海拔每升高 米气温就降低 .已知南阳市的海拔最高点是老界岭的崎角尖.若在某天测得老界岭的山脚的气温是 ，崎角尖的气温是 ，则崎角尖相对于山脚的高度是（    ） A． 米 B． 米 C． 米 D． 米 【详解】由题知崎角尖相对于山脚的高度是米， 故选：C. 10.（24-25高二下·河南焦作·期末）已知数列 ， 的通项公式分别为 ， ，由 ， 的公共项从小到大排列得到的数列为 ，则 （   ） A．1941 B．1961 C．1981 D．2001 【详解】由题可知是首项为1，公差为4的等差数列，是首项为1，公差为5的等差数列，则这两个数列的公共项从小到大排列构成的新数列是首项为1，公差为20的等差数列，故.故选：C. 例3：已知数列是等差数列，，且． 求证：． 只要根据等差数列的定义写出，再利用已知条件 即可得证． 设数列的公差为，则 所以， 因为， 所以 已知数列是等差数列，，且， 则成立么？ （1）由的表达式，你能发现它们之间的关系么？ 由，易得. 所以，，这也是等差数列的重要性质. 等差数列通项公式需要基本量和,该公式是用等差数列 的某一项和公差d表达第n项，即， 变形可得. (1)等差数列的图象是点组成的集合， 这些点均匀分布在同一条直线上，所以，点 在同一条直线上； (2)设点与点的中点为，点与点的中点为， 因为，所以点M与点N重合，所以它们的纵坐标相等，即， 所以.特别地，当时，. （2）等差数列的某一项和公差d表达第n项，即 ，变形可得. 已知数列为等差数列，且公差为. 若，，求公差. 由 ，得 ，∴ . 由 ，解得 或 ， ∴ 或 . ∴公差 为3或 . 三个数成等差数列，这三个数的和为6，积为，则这三个数为 ． 设这三个数分别为．由题意可得 解得或 故所求三个数为，2，6或6，2，． 故答案为：或. (1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程求出a1和d，即可确定此等差数列的通项公式； (2)当已知数列有3项时，可设为a - d，a，a+ d，此时公差为d；当有5项、7项……时，可同理设出； (3)当已知数列有4项时，可设为a - 3d，a - d，a + d，a + 3d，此时公差为2d；当有6项、8项……时，可同理设出. （1）某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有15个座位，从第2排起每一排都比前一排多2个座位．你能用表示第排的座位数吗? 第10排有多少个座位? 由条件可知，每排的座位数看成等差数列，首项，， 则，． 综上可知，，第10排的座位数个． （2）通常情况下，海拔每升高米气温就降低.已知南阳市的海拔最高点是老界岭的崎角尖.若在某天测得老界岭的山脚的气温是，崎角尖的气温是，则崎角尖相对于山脚的高度是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 由题知崎角尖相对于山脚的高度是米， 故选：C. 1.（2026·广东汕头·三模）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 因为，所以， 所以是首项为1，公差为2的等差数列， 所以，所以， 所以． 2.（2026·北京延庆·一模）设等差数列的公差为，其前n项和为，则“”是“存在最小值”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 为等差数列，则， 对应的二次函数为，故当时，函数有最小值，对应的数列有最小值，当数列有最小值时，则二次函数开口向上，所以，故是充分必要条件． 3.（2026·北京密云·一模）已知数列的前项和为，则（    ） A．35 B．11 C． D． 因为，即， 可知数列是以首项为，公差为的等差数列， 则，所以. 4.（23-24高二下·安徽宿州·开学考试）已知等差数列，则“单调递增”是“”的（    ）条件 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 已知等差数列的公差为，即， 当单调递增时，，令得到， ； 反之，，为单调递增. 故“单调递增”是“”的充要条件． 故选：A. 5.已知一个多边形的周长等于158cm，所有各边的长成等差数列，最大的 边长为44cm，公差为3cm、求这个多边形的边数． 解：由题意可知：，， 则， 即， 得 解得或（舍去），故这个多边形的边数为4. 6. 已知数列，都是等差数列，且，，， 求数列的前100项和． 解：因为数列，都是等差数列，所以也是等差数列， 又，，， 则数列的前100项和为：． 8. 已知两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，将这两 个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列．求这个新数列的 各项之和． 解：有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200， 由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列， 2，14，26，38，50，…，182是两个数列的相同项. 共有个，也是等差数列， 它们的和为，这个新数列的各项之和为1472 $