4.2.1 等差数列的概念（第2课时）（导学案）数学人教A版选择性必修第二册

4.2.1 等差数列的概念（第2课时）（导学案） （1）掌握等差数列的重要性质，并应用，培养学生逻辑推理，数学运算素养； （2）能够根据等差数列的性质进行运算. 教学重点：等差数列的性质及应用． 教学难点：等差数列性质的应用． 阅读教材，完成以下问题： 知识点一　等差数列的项与序号的关系 (1)等差数列通项公式的推广： an＝am＋ (m，n∈N*)． [说明]　公式d＝(n，m∈N*，n≠m)是由公式an＝am＋(n－m)d演变而来的．已知数列中的任意两项，只要弄清所在项的序号，就可以应用该公式来求得d. (2)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 ＝ap＋aq. [拓展]　项的运算性质可推广到三项的情形，即m＋n＋t＝p＋q＋s，且m，n，t，p，q，s∈N*⇒am＋an＋at＝ap＋aq＋as，还可以推至四项乃至更多项的情形，只要两边项数一样，且下标的和相等即可． (3)当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝ ． (4)有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和(若有中间项则等于中间项的2倍)，即a1＋an＝a2＋ ＝ak＋ ＝2a (其中n为奇数且n≥3)． 知识点二　等差数列的常用结论 1．若{an}是公差为d的等差数列，则下列数列： (1){c＋an}(c为任一常数)是公差为 的等差数列； (2){c·an}(c为任一常数)是公差为 的等差数列； (3){an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为 的等差数列． 2．若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为 的等差数列． 3．等差数列{an}中每隔相同的项数抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列． 课堂导入1：生活情境——钢管堆倒放规律 情境描述：同学们，在大自然中，美无处不在，雄伟的高山，潺潺的溪流，茂密的森林。同样，数学也可以给人以美的感受。我们来看下面这个例子：某仓库有一堆钢管，最上面有4根，下面每一层比它的上一层多1根，记最上层钢管数为a₁，往下每一层的钢管数依次记为a₂，a₃，…， 则a₁ = 4，a₂ = 5，a₃ = 6，a₄ = 7，…。 思考：假设我们把这堆钢管倒过来放置，你能从中发现什么规律吗？ 追问：易知数列{aₙ}是等差数列，那么这种"对称项之和相等"的规律是否具有一般性呢？ 课堂导入2：生活情境——阶梯教室座位排布（引出“下标和性质”） 情境描述：同学们，学校阶梯教室第1排有18个座位，从第2排起，每一排都比前一排多2个座位。用aₙ表示第n排的座位数，则a₁ = 18，a₂ = 20，a₃ = 22，…，a₇ = 30，…，a₁₁ = 38，…。 思考：第3排与第11排的座位数之和是多少？它与第7排座位数的2倍有什么关系？ 预设：a₃ + a₁₁ = 22 + 38 = 60，2a₇ = 2×30 = 60，所以 a₃ + a₁₁ = 2a₇。 追问：这里3 + 11 = 14 = 2×7。更一般地，若m + n = p + q，等差数列中aₘ + aₙ与aₚ + a_q有何关系？ 预设：由对称性可知 aₘ + aₙ = aₚ + a_q，这正是本节课要研究的等差数列的重要性质。 情境问题一： 例1.某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少（为正常数）万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废．请确定的取值范围． 思考：如何根据实际意义建立数列模型?题目条件中包含哪些不等关系?利用什么公式列不等式? 预设：设使用年后，这台设备的价值为万元，则可得数列． 由已知条件，得： 由于是与无关的常数， 所以数列是一个公差为的等差数列． 因为购进设备的价值为220万元， 所以， 于是 根据题意，得： ， 即： 解这个不等式组，得： 所以，的取值范围为. 方法总结 1、建模：确定数列类型（等差数列），明确首项、公差，写出通项公式 2、列约束：根据题目中的 “时间限制”“数值限制”（如使用年限、价值范围、产量要求等），列出关于和的不等式（组）； 3、求解：将通项公式代入不等式（组），解出参数（如本题的）的取值范围 问题情境二： 例2.已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列． （1）求数列的通项公式． （2）是不是数列的项?若是，它是的第几项?若不是，说明理由． 思考：如何确定新的等差数列的首项和公差?判断一个数是否为某数列中的项的方法是什么? 预设：等差数列通项公式；建立关于n的方程 分析：（1）是一个确定的数列，只要把表示为中的项，就可以利用等差数列的定义得出的通项公式； （2）设中的第项是中的第项，根据条件可以求出与的关系式，由此即可判断是否为的项. 预设：（1）设数列的公差为． 由题意可知，，， 于是， 因为，所以，所以， 所以 ． 所以，数列的通项公式是 （2）数列的各项依次是数列的第1，5，9，13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列，则． 令，解得． 所以，是数列的第8项． 思考： （1）如果插入个数，那么的公差是多少？ （2）对于第（2）小题，你还有其他解决方法吗？ 方法总结：等差数列插入项构成新等差数列 1、确定新数列的首项：新数列首项与原数列首项相同，即 2、计算新数列的公差：设原数列公差为，每相邻两项间插入个数，则新数列公差满足，由此解出 3、写出新数列的通项公式：利用等差数列通项公式，代入首项和公差即可. 思考：对于第(2)小题的教材解法，你能否给出一个推广形式？ 其实这种解法蕴含的是等差数列的一个重要性质：若是等差数列，公差为，则，，，…()是公差为的等差数列． 教师：课后请同学们自行证明一下. 问题情境三： 例3：已知数列是等差数列，，且．求证：． 思考： 1）由的表达式，你能发现它们之间的关系么？ 师生：由易得. 所以，，这也是等差数列的重要性质. 等差数列通项公式需要基本量和,该公式是用等差数列的某一项和公差表达第项，即，变形可得. 2）例3是等差数列的一条性质，图4.2-2是它的一种情形．你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗？ 师生： （1）等差数列的图象是点组成的集合，这些点均匀分布在同一条直线上， 所以，点在同一条直线上； （2）设点与点的中点为，点与点的中点为， 因为，所以点与点重合， 所以它们的纵坐标相等，即， 所以.特别地，当时，. 等差数列的性质： 若是等差数列，公差为，正整数满足， 则. （2）等差数列的某一项和公差d表达第n项，即 ，变形可得. 题型一：等差数列性质的应用 例题：已知数列为等差数列，且公差为.若，，求公差. 题型二：等差数列中对称设项法的应用 例题 三个数成等差数列，这三个数的和为6，积为，则这三个数为 ． 方法总结：等差数列设项方法与技巧 (1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程求出a1和d，即可确定此等差数列的通项公式； (2)当已知数列有3项时，可设为a - d，a，a+ d，此时公差为d；当有5项、7项……时，可同理设出； (3)当已知数列有4项时，可设为a - 3d，a - d，a + d，a + 3d，此时公差为2d；当有6项、8项……时，可同理设出. 题型三：等差数列的实际应用问题 例题：（1）某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有15个座位，从第2排起每一排都比前一排多2个座位．你能用表示第排的座位数吗? 第10排有多少个座位? (2) 通常情况下，海拔每升高米气温就降低.已知南阳市的海拔最高点是老界岭的崎角尖.若在某天测得老界岭的山脚的气温是，崎角尖的气温是，则崎角尖相对于山脚的高度是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 1.（25-26高二上·福建·阶段检测）等差数列中，，则数列的公差为（    ） A．1 B．2 C．-2 D．-1 2.（安徽省部分重点高中2026-2027学年高三上学期9月学情检测数学试卷）已知等差数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 3.（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）在等差数列中，，，则的公差为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4.（25-26高二下·辽宁·期末）已知等差数列，则“”是“”成立的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 5.（25-26高二下·贵州遵义·期中）在等差数列中，，则（    ） A．17 B．19 C．20 D．21 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2.1 等差数列的概念（第2课时）（导学案） （1）掌握等差数列的重要性质，并应用，培养学生逻辑推理，数学运算素养； （2）能够根据等差数列的性质进行运算. 教学重点：等差数列的性质及应用． 教学难点：等差数列性质的应用． 阅读教材，完成以下问题： 知识点一　等差数列的项与序号的关系 (1)等差数列通项公式的推广： an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)． [说明]　公式d＝(n，m∈N*，n≠m)是由公式an＝am＋(n－m)d演变而来的．已知数列中的任意两项，只要弄清所在项的序号，就可以应用该公式来求得d. (2)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq. [拓展]　项的运算性质可推广到三项的情形，即m＋n＋t＝p＋q＋s，且m，n，t，p，q，s∈N*⇒am＋an＋at＝ap＋aq＋as，还可以推至四项乃至更多项的情形，只要两边项数一样，且下标的和相等即可． (3)当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak． (4)有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和(若有中间项则等于中间项的2倍)，即a1＋an＝a2＋an－1＝ak＋an－k＋1＝2a (其中n为奇数且n≥3)． 知识点二　等差数列的常用结论 1．若{an}是公差为d的等差数列，则下列数列： (1){c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列； (2){c·an}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列； (3){an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列． 2．若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列． 3．等差数列{an}中每隔相同的项数抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列． 课堂导入1：生活情境——钢管堆倒放规律 情境描述：同学们，在大自然中，美无处不在，雄伟的高山，潺潺的溪流，茂密的森林。同样，数学也可以给人以美的感受。我们来看下面这个例子：某仓库有一堆钢管，最上面有4根，下面每一层比它的上一层多1根，记最上层钢管数为a₁，往下每一层的钢管数依次记为a₂，a₃，…， 则a₁ = 4，a₂ = 5，a₃ = 6，a₄ = 7，…。 思考：假设我们把这堆钢管倒过来放置，你能从中发现什么规律吗？ 预设：倒放后每一层的钢管数量与正放时对应层加起来一样多，即 a₁ + aₖ = a₂ + aₖ₋₁ = …（对称相等）。 师生：每一层上下两堆钢管的数量和一样多，用数学符号表示为 a₁ + aₙ = a₂ + aₙ₋₁ = …。 追问：易知数列{aₙ}是等差数列，那么这种"对称项之和相等"的规律是否具有一般性呢？ 预设：具有一般性，这就是本节课要探究的等差数列的性质。 【设计意图】以生活中钢管堆为素材，激发兴趣，通过倒放发现"对称项之和相等"的规律，自然衔接旧知，引出本节课性质探究。 教学建议：引导学生实际动手比划钢管倒放过程，鼓励用不同方式表达规律，结合等差数列定义加深对"对称性"的初步认知。 课堂导入2：生活情境——阶梯教室座位排布（引出“下标和性质”） 情境描述：同学们，学校阶梯教室第1排有18个座位，从第2排起，每一排都比前一排多2个座位。用aₙ表示第n排的座位数，则a₁ = 18，a₂ = 20，a₃ = 22，…，a₇ = 30，…，a₁₁ = 38，…。 思考：第3排与第11排的座位数之和是多少？它与第7排座位数的2倍有什么关系？ 预设：a₃ + a₁₁ = 22 + 38 = 60，2a₇ = 2×30 = 60，所以 a₃ + a₁₁ = 2a₇。 追问：这里3 + 11 = 14 = 2×7。更一般地，若m + n = p + q，等差数列中aₘ + aₙ与aₚ + a_q有何关系？ 预设：由对称性可知 aₘ + aₙ = aₚ + a_q，这正是本节课要研究的等差数列的重要性质。 【设计意图】以学生熟悉的阶梯教室座位为情境，直观呈现"下标之和相等则对应两项之和相等"的对称结构，为性质的抽象概括提供具象支撑，激发探究兴趣。 教学建议：可让学生现场找一组"下标之和相等"的排数验证结论，增强代入感；引导对比钢管堆与座位两个情境中规律的一致性。 情境问题一： 例1.某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少（为正常数）万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废．请确定的取值范围． 思考：如何根据实际意义建立数列模型?题目条件中包含哪些不等关系?利用什么公式列不等式? 预设：每经过一年其价值就会减少万元，得出为等差数列；；利用的通项公式列求解 分析：这台设备使用年后的价值构成一个数列，由题意可知，10年之内（含10年)，这台设备的价值应不小于万元；而10年后，这台设备的价值应小于11万元．可以利用的通项公式列不等式求解. 预设：设使用年后，这台设备的价值为万元，则可得数列． 由已知条件，得： 由于是与无关的常数， 所以数列是一个公差为的等差数列． 因为购进设备的价值为220万元， 所以， 于是 根据题意，得： ， 即： 解这个不等式组，得： 所以，的取值范围为. 设计意图：通过用等差数列解决实际问题，培养学生发现问题和解决问题的能力，提高数学建模核心素养. 方法总结 1、建模：确定数列类型（等差数列），明确首项、公差，写出通项公式 2、列约束：根据题目中的 “时间限制”“数值限制”（如使用年限、价值范围、产量要求等），列出关于和的不等式（组）； 3、求解：将通项公式代入不等式（组），解出参数（如本题的）的取值范围 问题情境二： 例2.已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列． （1）求数列的通项公式． （2）是不是数列的项?若是，它是的第几项?若不是，说明理由． 思考：如何确定新的等差数列的首项和公差?判断一个数是否为某数列中的项的方法是什么? 预设：等差数列通项公式；建立关于n的方程 分析：（1）是一个确定的数列，只要把表示为中的项，就可以利用等差数列的定义得出的通项公式； （2）设中的第项是中的第项，根据条件可以求出与的关系式，由此即可判断是否为的项. 预设：（1）设数列的公差为． 由题意可知，，， 于是， 因为，所以，所以， 所以 ． 所以，数列的通项公式是 （2）数列的各项依次是数列的第1，5，9，13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列，则． 令，解得． 所以，是数列的第8项． 思考： （1）如果插入个数，那么的公差是多少？ （2）对于第（2）小题，你还有其他解决方法吗？ 师生：（1）设数列的公差为．由题意可知，，， 于是， 因为，所以，所以， （2）由第（1）知，所以， 因为， 所以，令，解得， 所以，是数列的第8项． 方法总结：等差数列插入项构成新等差数列 1、确定新数列的首项：新数列首项与原数列首项相同，即 2、计算新数列的公差：设原数列公差为，每相邻两项间插入个数，则新数列公差满足，由此解出 3、写出新数列的通项公式：利用等差数列通项公式，代入首项和公差即可. 思考：对于第(2)小题的教材解法，你能否给出一个推广形式？ 其实这种解法蕴含的是等差数列的一个重要性质：若是等差数列，公差为，则，，，…()是公差为的等差数列． 教师：课后请同学们自行证明一下. 问题情境三： 例3：已知数列是等差数列，，且．求证：． 分析：（1）只要根据等差数列的定义写出，再利用已知条件即可得证． 证明：（1）设数列的公差为，则 所以 因为，所以 思考： 1）由的表达式，你能发现它们之间的关系么？ 师生：由易得. 所以，，这也是等差数列的重要性质. 等差数列通项公式需要基本量和,该公式是用等差数列的某一项和公差表达第项，即，变形可得. 2）例3是等差数列的一条性质，图4.2-2是它的一种情形．你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗？ 师生： （1）等差数列的图象是点组成的集合，这些点均匀分布在同一条直线上， 所以，点在同一条直线上； （2）设点与点的中点为，点与点的中点为， 因为，所以点与点重合， 所以它们的纵坐标相等，即， 所以.特别地，当时，. 设计意图：以例题形式归纳出等差数列的一条重要性 质，培养学生的逻辑推理能力.引导学生从几何角度解释 这一性质，培养学生直观想象的核心素养和多角度研究问 题的思维品质. 等差数列的性质： 若是等差数列，公差为，正整数满足， 则. （2）等差数列的某一项和公差d表达第n项，即 ，变形可得. 题型一：等差数列性质的应用 例题：已知数列为等差数列，且公差为.若，，求公差. 解析：由，得，∴. 由，解得或， ∴或. ∴公差为3或. 题型二：等差数列中对称设项法的应用 例题 三个数成等差数列，这三个数的和为6，积为，则这三个数为 ． 解析：设这三个数分别为．由题意可得 解得或 故所求三个数为，2，6或6，2，． 故答案为：或. 方法总结：等差数列设项方法与技巧 (1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程求出a1和d，即可确定此等差数列的通项公式； (2)当已知数列有3项时，可设为a - d，a，a+ d，此时公差为d；当有5项、7项……时，可同理设出； (3)当已知数列有4项时，可设为a - 3d，a - d，a + d，a + 3d，此时公差为2d；当有6项、8项……时，可同理设出. 题型三：等差数列的实际应用问题 例题：（1）某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有15个座位，从第2排起每一排都比前一排多2个座位．你能用表示第排的座位数吗? 第10排有多少个座位? 解析：由条件可知，每排的座位数看成等差数列，首项，， 则，． 综上可知，，第10排的座位数个． (2) 通常情况下，海拔每升高米气温就降低.已知南阳市的海拔最高点是老界岭的崎角尖.若在某天测得老界岭的山脚的气温是，崎角尖的气温是，则崎角尖相对于山脚的高度是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 解析：由题知崎角尖相对于山脚的高度是米，故选：C. 1.（25-26高二上·福建·阶段检测）等差数列中，，则数列的公差为（    ） A．1 B．2 C．-2 D．-1 【答案】A 【知识点】求等差中项、利用等差数列的性质计算 【分析】根据等差中项即可求解. 【详解】由等差中项可得 又，故公差为， 故选：A 2.（安徽省部分重点高中2026-2027学年高三上学期9月学情检测数学试卷）已知等差数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算、等差中项的应用 【详解】设等差数列的公差为，，通项公式为， 根据等差数列性质可知，得. 故， 由，将、代入得，解得. 另解：设等差数列的公差为，， 由得，即， 结合，两式相减得，代入得. 3.（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）在等差数列中，，，则的公差为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差中项的应用 【详解】由等差数列的性质得，则， 故的公差为. 4.（25-26高二下·辽宁·期末）已知等差数列，则“”是“”成立的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算 【详解】设等差数列公差为，则有， 由，则， 则时，，成立，“”是“”成立的充分条件. 时，有，即可推出或的结论， 故“”不是“”成立的必要条件.故A正确. 5.（25-26高二下·贵州遵义·期中）在等差数列中，，则（    ） A．17 B．19 C．20 D．21 【答案】B 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差中项的应用 【分析】根据等差中项的性质先求出，再结合条件求出，得到等差数列的公差，代入通项公式即可求得. 【详解】设等差数列的公差为，根据等差中项的性质，得， 又，所以，代入，得， 所以，因此等差数列的通项为， 所以. 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $