4.2.1等差数列的概念及通项公式导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

等差数列的概念及通项公式 【学习目标】 1.理解等差数列、等差中项的概念. 2.掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单的问题. 3.体会等差数列与一元一次函数的关系. 4.掌握等差数列的判定与证明方法. 【学习重难点】重点：等差数列的概念及通项公式. 难点：等差数列的判定. 问题1　观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题. （1）近5届冬奥会举办的时间：2006，2010，2014，2018，2022； （2）我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用的中国鞋号按从大到小的顺序可排列为：45，44，43，42，41，40，…； （3）为增强体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了某班内5名男生1分钟内引体向上的个数：10，10，10，10，10. 以上数列有什么共同特征？ 提示　对于（1），我们发现2010-2006=4，2014-2010=4，2018-2014=4，2022-2018=4，也就是说该数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数.对于（2）有44-45=-1，43-44=-1，….对于（3），10-10=0，有同样的取值规律. 【知识梳理】 一、等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第 项起，每一项减去它的前一项所得的 __ 都等于_________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的___________，公差通常用字母___________表示．等差数列的定义的符号表示：若（与无关的常数），则为等差数列，该符号表示即为等差数列的递推公式. 【说明】(1)作差的起始项:“从第2项起”,因为第1项没有前一项; (2)作差的顺序:“每一项与它的前一项的差”,即作差的顺序为后项减去它前面相邻的一项,不可颠倒; (3)等差的含义:“同一个常数”指所有的差都相等,即a2-a1=a3-a2=…=an-an-1=…=d,其中d是与n无关的常数; (4)公差d的取值范围:可正、可负、也可为0(常数列是公差为0的等差数列),它是一个与n无关的常数,因此公差d的取值范围为(-∞,+∞). 【概念辨析】 判断下列数列是否为等差数列．如果是，请写出首项a1和公差d. (1)1,3,5,7,9，…； (2)9,6,3,0，－3，…； (3)1,3,4,5,6，…； (4)7,7,7,7,7，…； (5)1，，，，，…. 解　（1）是，a1=1，d=2；（2）是，a1=9，d=-3；（3）不是；（4）是，a1=7，d=0；（5）不是. 反思感悟　利用定义法判断等差数列：从第2项起，检验每一项与它的前一项的差是否都等于同一个常数，若是同一个常数，则是等差数列，否则不是等差数列. 二、等差中项 问题2　由等差数列的定义可知，如果1，x，3这三个数是等差数列，你能求出x的值吗？ 提示　由定义可知x-1=3-x，即2x=1+3，x=2. 【知识梳理】 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时，A叫做a与b的等差中项，且2A=a+b. 【说明】（1）任意两个实数都有等差中项，且唯一. （2）等差中项的几何意义是两个实数的算术平均数，即A=. 【概念辨析】 1.在-1与7之间顺次插入三个数a,b,c,使这五个数成等差数列,求此数列. 解:∵-1,a,b,c,7成等差数列,∴b是-1与7的等差中项,∴b==3. 又a是-1与3的等差中项,∴a==1. 又c是3与7的等差中项,∴c==5. ∴该数列为-1,1,3,5,7. 问题3　你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？ 提示　设一个等差数列的首项为a1，公差为d， 由等差数列的定义可知，an-an-1=d（n≥2）， 思路一：an=an-1+d，故有a2=a1+d，a3=a2+d=a1+2d，a4=a3+d=a1+3d，… 归纳可得，an=a1+（n-1）d（n≥2）. 思路二：a2-a1=d， a3-a2=d， a4-a3=d， … an-an-1=d， 左右两边分别相加可得，an-a1=（n-1）d，即an=a1+（n-1）d（n≥2）. 问题4　观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 提示　由于an=a1+（n-1）d=dn+（a1-d），故an是函数f（x）=dx+（a1-d）当x=n时的函数值，即an=f（n），点（n，an）则是函数f（x）=dx+（a1-d）图象上的均匀分布的孤立的点，而d是直线f（x）=dx+（a1-d）的斜率，记为d=（n≥2），实际上，如果已知直线上任意两点（n，an），（m，am），由斜率的公式可知d=，公差d的符号决定了数列的单调性，d>0时，数列｛an｝为递增数列，d=0时，数列｛an｝为常数列，d<0时，数列｛an｝为递减数列. 三、等差数列的通项公式 首项为a1,公差为d的等差数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d.（推导过程） 从等差数列的通项公式中不难看出它所具有的函数特征（类比于一次函数） ①当时，等差数列为常数列； ②当时，等差数列为递增数列； ③当时，等差数列为递减数列. 【概念辨析】 1.在等差数列｛an｝中， （1）已知a5=-1，a8=2，求a1与d； （2）已知a1+a6=12，a4=7，求an. 解　（1）由题意知 解得 （2）设等差数列｛an｝的公差为d，由题意知 解得 所以an=a1+（n-1）d=1+（n-1）×2=2n-1，n∈N*. 【典例分析】 例1、（1）在等差数列{an}中,a3+a4+a5=84,a9=73.求数列{an}的通项公式. （2）已知递减等差数列{an}的前三项和为18,前三项的乘积为66.求数列的通项公式,并判断-34是该数列的项吗? 解:（1）因为{an}是等差数列且a3+a4+a5=84,a9=73, 所以解得 得an=a1+(n-1)d=1+9(n-1)=9n-8, 所以an=9n-8. (2)依题意得 ∴ 解得或 ∵数列{an}是递减等差数列,∴d<0. 故取a1=11,d=-5, ∴an=11+(n-1)·(-5)=-5n+16. 即等差数列{an}的通项公式为an=-5n+16. 令an=-34,即-5n+16=-34,得n=10. ∴-34是数列{an}的第10项. 例2、已知数列｛an｝满足a1=2，an+1=. （1）数列是否为等差数列？说明理由； （2）求an. 解　（1）数列是等差数列，理由如下： ∵a1=2，an+1=， ∴==+， ∴-=， 即数列是首项为=，公差为d=的等差数列. （2）由（1）可知=+（n-1）d=， ∴an=，n∈N*. 总结：证明或判定等差数列的方法 （1）定义法：an+1-an=d（n∈N*）. （2）等差中项法：2an=an-1+an+1（n≥2）. （3）通项公式法：an=a1+（n-1）d=pn+q（p，q为常数）. 注意点：证明｛an｝是等差数列常用定义法. 【当堂训练】 1.已知数列｛an｝满足a1=4，an=4-（n>1），记bn=. （1）试证明数列｛bn｝为等差数列； （2）求数列｛an｝的通项公式. （1）证明　bn+1-bn=- =-=- ==. 又b1==，∴数列｛bn｝是首项为，公差为的等差数列. （2）解　由（1）知bn=+（n-1）×=. ∵bn=， ∴an=+2=+2. ∴数列｛an｝的通项公式为an=+2，n∈N*. 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 $ 等差数列的概念及通项公式 【学习目标】 1.理解等差数列、等差中项的概念. 2.掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单的问题. 3.体会等差数列与一元一次函数的关系. 4.掌握等差数列的判定与证明方法. 【学习重难点】重点：等差数列的概念及通项公式. 难点：等差数列的判定. 【知识梳理】 一、等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第 项起，每一项减去它的前一项所得的 __ 都等于_________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的___________，公差通常用字母_____表示．等差数列的定义的符号表示：若（与无关的常数），则为等差数列，该符号表示即为等差数列的递推公式. 【说明】 (1)作差的起始项:“从第2项起”,因为第1项没有前一项; (2)作差的顺序:“每一项与它的前一项的差”,即作差的顺序为后项减去它前面相邻的一项,不可颠倒; (3)等差的含义:“同一个常数”指所有的差都相等,即,其中是与无关的常数; (4)公差的取值范围:可正、可负、也可为 (常数列是公差为的等差数列),它是一个与无关的常数,因此公差的取值范围为. 【概念辨析】 1.判断下列数列是否为等差数列．如果是，请写出首项和公差. (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) . 二、等差中项 【知识梳理】 由三个数组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时，叫做与的 ，且. 【说明】 （1）任意两个实数都有等差中项，且唯一. （2）等差中项的几何意义是两个实数的算术平均数，即. 【概念辨析】 1.在与之间顺次插入三个数,使这五个数成等差数列,求此数列. 三、等差数列的通项公式 首项为,公差为的等差数列的通项公式为 .（推导过程） 从等差数列的通项公式中不难看出它所具有的函数特征（类比于一次函数） ①当时，等差数列为常数列； ②当时，等差数列为递增数列； ③当时，等差数列为递减数列. 【概念辨析】 1.在等差数列中， （1）已知，求与； （2）已知，求. 【典例分析】 例1、（1）在等差数列中, .求数列的通项公式. （2）已知递减等差数列的前三项和为,前三项的乘积为.求数列的通项公式,并判断是该数列的项吗? 例2、已知数列满足，. （1）数列是否为等差数列？说明理由； （2）求. 【当堂训练】 已知数列满足，，记. （1）试证明数列为等差数列； （2）求数列的通项公式. 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 $