4.2.1 第1课时 等差数列的概念与通项公式课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦等差数列的概念、通项公式及与一次函数的关系，通过复习数列定义、通项公式和递推公式，结合星期日日期、奥运会年份等现实实例引导观察规律，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以现实情境培养数学眼光，通过不完全归纳法和累加法推导通项公式发展数学思维，结合函数性质分析增强数学语言表达。采用问题链驱动教学，例题与练习梯度分明，帮助学生直观理解概念和逻辑推理，也为教师提供清晰的教学流程和实用素材。

第4章 数列 4.2 等差数列 1 4.2.1 等差数列的概念 第1课时 等差数列的概念与通项公式 导入新课 1.数列的定义是什么? 一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列. 2.数列的通项公式的定义是什么? 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 3.数列的递推公式的定义是什么? 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 教学过程 问题1 观察下列现实生活中的数列,这些数列有什么共同的特征吗? (1)2023年1月中第一个星期日为1日,第二个星期日为8日,第三个星期日为15日,第四个星期日为22日,第五个星期日为29日.由此所组成的数列为1,8,15,22,29. (2)1896年,雅典举办了第一届现代奥运会,到2008年的北京奥运会已经是第二十九届奥运会.奥运会举办的年份(暂不考虑因战乱未真正举办的情况)所对应的数列为1 896,1 900,1 904,…,2 008,2 012,…. (3)我国有用十二生肖纪年的习惯,例如,2023年是兔年,从2023年开始,兔年的年份所对应的数列为2 023,2 035,2 047,2 059,…. 教学过程 (1)1,8,15,22,29.① (2)1 896,1 900,1 904,…,2 008,2 012,….② (3)2 023,2 035,2 047,2 059,….③ 观察数列①②③,你能发现它们的规律吗? 对于数列1,8,15,22,29,有8=1+7,15=8+7,22=15+7,29=22+7. 换一种写法就是:8-1=7,15-8=7,22-15=7,29-22=7. 如果用{an}表示数列1,8,15,22,29,那么如何表示8-1=7,15-8=7,22-15=7,29-22=7呢? a2-a1=7,a3-a2=7,a4-a3=7,a5-a4=7. 教学过程 由此你能得到什么结论?其他两个数列也有此结论吗? 对于数列①,有这样的规律:数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数7. 同样,数列②满足:从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数4. 数列③满足:从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数12. 教学过程 问题2 什么是等差数列?你能给出等差数列的定义吗? 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示. 你认为等差数列的定义中的关键语句是什么? “从第2项起”“同一个常数”. 教学过程 问题3 如果在数a与b中间插入一个数A,使a, A,b成等差数列,那么A应满足什么条件? 由等差数列的定义,有A-a=b-A,所以2A=a+b,即A=. 此时,我们把A叫做a与b的等差中项.易知, A是a与b的算术平均数,且任意两个数都有等差中项. 教学过程 答案 教学过程 问题4 你能根据等差数列的定义写出它的递推公式吗?你能推导出等差数列的通项公式吗? 设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则由等差数列的定义可得an+1-an=d(n∈N*)或an-an-1=d(n∈N*,n≥2). 你能根据递推公式,推导出等差数列的通项公式吗? 教学过程 不完全归纳法. 由an+1-an=d可得 a₂-a₁=d,a₃-a₂=d,a₄—a₃=d,….于是a₂=a₁+d,a₃=a₂+d=(a₁+d)+d=a₁+2d,a₄=a₃+d=(a₁+2d)+d=a₁+3d, …… 归纳可得an=a₁+(n-1)d(n≥2). 当n=1时，上式为a₁=a₁+(1-1)d=a₁,成立. 故首项为a₁,公差为d的等差数列{an}的通项公式为an=a₁+(n-1)d. 还有什么其他方法能推导等差数列的通项公式吗? 由等差数列的定义得a2-a1=d,a3-a2=d,观察以上两式,进行怎样的运算可以求出a3? 两式相加可得a3-a1=2d,即a3=a1+2d. 用此方法可以求出an吗? 共有几个等式? 一共有(n-1)个等式,将它们进行累加,有an-a1=(n-1)d,即an=a1+(n-1)d. 累加法. 教学过程 教学过程 由等差数列的通项公式可以看出,要求出an,需要哪几个条件? 只要求出等差数列的首项a1和公差d,然后代入公式an=a1+(n-1)d即可. 练习 写出以下数列的通项公式：(1)5,9,13,17,21; (2)9,7,5,3,1,-1; (3)6,6,6,6,6,6. an=5+(n-1)×4=4n+1. an=9+(n-1)×(-2)=-2n+11. an=6+(n-1)×0=6. 教学过程 已知等差数列{an}的首项a1和公差d,试求出an-am,看看等差数列的通项公式还可以表示为什么形式. an=am+(n-m)d对等差数列中任意一项am均成立,此公式可看作是等差数列的通项公式的一个推广,灵活运用此公式可以简化计算. 教学过程 教学过程 问题5 观察等差数列的通项公式,你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关? 因为an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d), 所以当d=0时,an=a1是常数函数; 当d≠0时,an是一次函数f(x)=dx+(a1-d)(x∈R)当x=n(n∈N*)时的函数值,即an=f(n). 公差d≠0的等差数列{an}的图象与一次函数f(x)=dx+(a1-d)(x∈R)的图象有什么关系? 公差d≠0的等差数列{an}的图象是一次函数f(x)=dx+(a1-d)(x∈R)图象上的一系列均匀分布的点. 教学过程 注意:数列{an}是公差不为0的等差数列⇔数列{an}的第n项an是一次函数f(x)=dx+(a1-d)(x∈R)当x=n时的函数值. 你能从函数的角度研究等差数列的增减性吗? 当d>0时,等差数列{an}是递增数列; 当d<0时,等差数列{an}是递减数列; 当d=0时,等差数列{an}是常数列. 一次函数f(x)=kx+b(k,b为常数)对应的数列{an}一定是等差数列吗? 任给一次函数f(x)=kx+b(k,b为常数),则an=kn+b,则a1=f(1)=k+b,an=f(n)= nk+b,an+1=f(n+1)=(n+1)k+b,an+1-an=[(n+1)k+b]-(kn+b)=k.所以数列{an}是以(k+b)为首项,k为公差的等差数列. 教学过程 课堂练习 D B 课堂练习 B C 课堂练习 B 课堂练习 CD 课堂总结 梳理本节课所学的内容,回答下列问题: (1)本节课学习了哪些知识?用到了哪些方法? (2)通过本节课的学习,你还有什么不同的收获? 知识清单: (1)等差数列的有关概念. (2)等差数列的通项公式. (3)等差数列与一次函数的关系. 方法: 不完全归纳法、累加法. 布置作业 教材习题4.2第2,10题. 谢谢观看 Thank you $