4.2.1 等差数列的概念（第1课时）（导学案）数学人教A版选择性必修第二册

4.2.1 等差数列的概念（第1课时） （导学案） (1) 经历等差数列概念的形成过程，能描述等差数列的定义，感受等差数列的本质特征，发展数学抽象和数学建模素养. (2) 能用递推公式描述等差数列的概念，体验从函数的视角研究数列的一般路径. (3) 能利用等差数列的定义判断与证明等差数列. 教学重点：1.等差数列的概念.2.等差数列的通项公式及运用． 教学难点：1.等差数列的判定.2.等差数列的通项公式及灵活运用． 阅读教材，完成以下问题： 知识点一　等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示． 知识点二　等差中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项．根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b． 知识点三　等差数列的递推公式与通项公式 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，填表： 递推公式 通项公式 an＋1－an＝d an＝a1＋(n－1)d 知识点四　等差数列与一次函数的关系 由于an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，所以当d≠0时，等差数列{an}的第n项an是一次函数f(x)＝dx＋(a1－d)(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)． [拓展]　等差数列{an}的图象为分布于一条直线上的一群孤立的点，结合一次函数的单调性可知：当d>0时，{an}为递增数列；当d<0时，{an}为递减数列；当d＝0时，{an}为常数列． 课堂导入1：生活情境——服装尺码与温度序列（引出“判定”） 情境描述：女装尺码 S,M,L,XL,XXL,XXXL 对应 38,40,42,44,46,48；某地海拔 20m 起每升 100m 温度 25.0,24.4,23.8,23.2,22.6。 思考：这两组数都是等差数列吗？怎样判断“一组数成不成等差”？ 预设：都是；判定方法——看相邻两项差是否都等于同一个常数 d。 追问：如果只知道通项是关于 n 的一次式，它一定成等差吗？公差与一次式系数有何关系？ 预设：一定成等差；通项 aₙ = pn+q 时，公差 d = p。 【设计意图】以服装尺码、气温两组生活数据，训练“由差值判断等差”的判定意识，并初步关联“通项是 n 的一次式”，为定义与通项的应用搭桥。 教学建议：引导学生分别计算两组差值，归纳判定通法。 课堂导入2：生活情境——校园长跑打卡（引出“通项公式”） 情境描述：同学们，为迎接学校秋季运动会，班级开展"长跑打卡"活动：第一周每天跑3圈，以后每周都比上一周多跑2圈。这样前几周每天跑的圈数依次为 3，5，7，9，11，… 思考：这个数列有什么共同特征？你能用"相邻两项的关系"描述它吗？ 预设：从第2项起，每一项与它前一项的差都等于2，即 aₙ₊₁ - aₙ = 2（n∈N*）。 追问：第10周每天要跑多少圈？如果要提前知道任意一周的圈数，需要怎样的公式？ 预设：a₁₀ = 3 + 9×2 = 21（圈）；需要一个能由序号n直接算出第n项圈数的公式（通项公式），这就是本节课要研究的问题。 【设计意图】以学生熟悉的校园体育活动为情境，直观呈现"相邻两项差为常数"的结构特征，既引出等差数列定义，又为通项公式的学习设下悬念，激发探究欲。 教学建议：可让学生现场算一算自己第几周能"破纪录"，增强代入感；引导对比两个情境（生肖纪年、长跑打卡）中数列的共性。 请看下面几个问题中的数列． 情境1．北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为 9，18，27，36，45，54，63，72，81． ① 情境2．S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是 38，40，42，44，46，48． ② 情境3．测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度（单位：℃）依次为 25.0，24.4，23.8，23.2，22.6． ③ 思考：把以上情境中数列汇总如下，观察数列，找出规律并填空 引入中数列：2025，2037，2049，2061，2073，（ ） 情景①数列： 9，18，27，36，45，54，63，72，81，（ ） 情景②数列： 34，36，38，40，42，44，46，48，（ ） 情景③数列： 25.0，24.4，23.8，23.2，22.6，（ ） 学生：思考，发现规律，并填空 总结：共同的规律：从第 2 项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数. 定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列（arithmetic progression），这个常数叫做等差数列的公差（common difference），公差通常用字母d表示． 思考：你能用符号语言表示数列为等差数列吗? 数列第n项为：___________，它的前一项为：___________，公差为__________ ① 数列第n+1项为：___________，它的前一项为：___________，公差为__________ ② ①②都是等差数列的递推公式 定义：特别地，由三个数组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，叫做与的等差中项（arithmeticmean）．根据等差数列的定义可以知道，． 问题3：你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？ 设一个等差数列的首项为，公差为．根据等差数列的定义，可得 ， 就是等差数列的递推公式． 所以，，，…． 于是 …… 归纳可得． 当时，上式为．这就是说，上式当时也成立． 以上方法为不完全归纳法 思路二：（累加法） 由定义得,将这些等式的两边分别相加得. 也就是. 当时，上式为．这就是说，上式当时也成立． 综上，首项为，公差为的等差数列的通项公式为： 思考：何时想到用累加法？ 预设：已知条件中含相邻两项之差，比如 追问：等差数列的通项公式中涉及了哪几个量?你能由此分析一下确定一个等差数列的基本条件吗? 师生：学生观察通项公式的结构回答：首项、公差、项数、第项.其中，首项、公差是基本量，由基本量就可以唯一确定一个等差数列.因此，在解决等差数列问题时，我们要重视用基本量表示数列中其他元素. 设计意图：帮助学生记忆公式，初步了解公式中的量，建立基本量思想，为后续研究等差数列的几何意义作铺垫. 思考：我们知道，数列是特殊的函数，请观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 师生：由于， 所以， 当时，数列为常数列；的图象为均匀分布在平行于轴的一条直线上的散点； 当时，等差数列的第项是一次函数，当时的函数值，即． 如图4.2-1，在平面直角坐标系中画出函数的图象，就得到一条斜率为，截距为的直线．在这条直线上描出点，，…，，…，就得到了等差数列的图象． 事实上，公差的等差数列的图象是点组成的集合，这些点均匀分布在直线上． 反之，任给一次函数（为常数)，则，，…，，…，构成一个等差数列，其首项为，公差为． 例1：（1）已知等差数列的通项公式为，求的公差和首项． （2）求等差数列8，5，2，…的第20项． 分析： （1）已知等差数列的通项公式，只要根据等差数列的定义，由即可求出公差； （2）可以先根据数列的两个已知项求出通项公式，再利用通项公式求数列的第20项． 预设：（1）当时，由的通项公式，可得 于是 把代入通项公式，得 所以，的公差为，首项为3 （2）由已知条件，得：，把，代入， 得 把代入上式，得 所以，这个数列的第20项是． 例2：是不是等差数列的项？如果是，是第几项? 分析：先求出数列的通项公式，它是一个关于的方程，再看是否能使这个方程有正整数解． 预设：由，，得这个数列的通项公式为 令解这个关于 的方程，得． 所以，是这个数列的项，是第100项． 设计意图：让学生体会并总结：判断一个数是否为数列的项，只须令通项公式等于这个数，得到关于n的方程.若方程有正整数解，则它就是，否则不是 方法小结：等差数列通项公式中的四个参数及其关系 在等差数列中，首项与公差是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关，的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量. 等差数列的通项公式 四个参数 首项、公差、项数、第项 “知三求一” （方程思想） 已知首项、公差、项数、求第项 已知首项、公差、第项、求项数 已知首项、项数、第项、求公差 已知公差、项数、第项、求首项 题型一：等差数列通项公式的基本量计算 例题：在等差数列中， (1)已知，，求，； (2)已知，，求； (3)已知，，求． 解析：（1）在等差数列中，由，得：， 解得，所以. （2）设等差数列的公差为，由，得：，解得，所以. （3）设等差数列的公差为，由，得：，解得，所以. 题型二：等差中项的应用 例题 已知a和2b的等差中项是5，3a和4b的等差中项是7，求2a和3b的等差中项； 解析：∵a和2b的等差中项是5，∴a + 2b = 10.① 又∵3a和4b的等差中项是7，∴3a + 4b = 14.② 由①②解得 ∴2a和3b的等差中项为. 方法总结：等差数列等差中项的应用 由等差数列的定义知，即 ，从而由等差中项的定义可知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项，此表达式可以用来判定等差数列.在设等差数列的项时，可利用上述性质. 题型三：等差数列的判定与证明 例题：（1）数列满足，．证明数列是等差数列 解析：由，可得， 又，所以 数列是以为首项，2为公差的等差数列 (2) （2）已知数列满足，记. 求证：数列是等差数列 解析： ∴，为常数（）. 又，，所以数列是以为首项，为公差的等差数列. 方法规律：判定等差数列常用的2种方法 (1)定义法：（常数）（）⟺为等差数列. (2)等差中项法：⟺为等差数列. 1.（25-26高二下·广东阳江·期末）在等差数列中，已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【详解】在等差数列中，由，，得公差， 所以. 2.（25-26高二下·河南驻马店·期末）通项公式为（）的等差数列的公差为（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【详解】公差为. 3.（25-26高二下·安徽合肥·期末）在等差数列中，，，则（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】D 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等差数列基本量计算即可求解． 【详解】设公差为，则， 所以． 4.（25-26高二下·广东茂名·期中）已知等差数列2，5，8，…，则41是这个数列的（   ） A．第16项 B．第15项 C．第14项 D．第13项 【答案】C 【知识点】利用等差数列通项公式求数列中的项 【详解】由题可知该等差数列的首项为2，公差为3， 因此该数列通项公式为， 令，可得. 因此41是这个数列的第14项. 5.（25-26高二下·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知等差数列中，则（   ） A．15 B．14 C．16 D．12 【答案】B 【知识点】利用等差数列通项公式求数列中的项、等差数列通项公式的基本量计算 【详解】因为数列为等差数列，设公差为d， 由题得，即，则. 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2.1 等差数列的概念（第1课时） （导学案） (1) 经历等差数列概念的形成过程，能描述等差数列的定义，感受等差数列的本质特征，发展数学抽象和数学建模素养. (2) 能用递推公式描述等差数列的概念，体验从函数的视角研究数列的一般路径. (3) 能利用等差数列的定义判断与证明等差数列. 教学重点：1.等差数列的概念.2.等差数列的通项公式及运用． 教学难点：1.等差数列的判定.2.等差数列的通项公式及灵活运用． 阅读教材，完成以下问题： 知识点一　等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差都等于 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个 叫做等差数列的公差，公差通常用字母 表示． 知识点二　等差中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时， 叫做a与b的等差中项．根据等差数列的定义可以知道，2A＝ ． 知识点三　等差数列的递推公式与通项公式 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，填表： 递推公式 通项公式 ＝d an＝ 知识点四　等差数列与一次函数的关系 由于an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，所以当d≠0时，等差数列{an}的第n项an是一次函数f(x)＝dx＋(a1－d)(x∈R)当 时的函数值，即 ． 课堂导入1：生活情境——服装尺码与温度序列（引出“判定”） 情境描述：女装尺码 S,M,L,XL,XXL,XXXL 对应 38,40,42,44,46,48；某地海拔 20m 起每升 100m 温度 25.0,24.4,23.8,23.2,22.6。 思考：这两组数都是等差数列吗？怎样判断“一组数成不成等差”？ 追问：如果只知道通项是关于 n 的一次式，它一定成等差吗？公差与一次式系数有何关系？ 课堂导入2：生活情境——校园长跑打卡（引出“通项公式”） 情境描述：同学们，为迎接学校秋季运动会，班级开展"长跑打卡"活动：第一周每天跑3圈，以后每周都比上一周多跑2圈。这样前几周每天跑的圈数依次为 3，5，7，9，11，… 思考：这个数列有什么共同特征？你能用"相邻两项的关系"描述它吗？ 追问：第10周每天要跑多少圈？如果要提前知道任意一周的圈数，需要怎样的公式？ 请看下面几个问题中的数列． 情境1．北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为 9，18，27，36，45，54，63，72，81． ① 情境2．S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是 38，40，42，44，46，48． ② 情境3．测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度（单位：℃）依次为 25.0，24.4，23.8，23.2，22.6． ③ 思考：把以上情境中数列汇总如下，观察数列，找出规律并填空 引入中数列：2025，2037，2049，2061，2073，（ ） 情景①数列： 9，18，27，36，45，54，63，72，81，（ ） 情景②数列： 34，36，38，40，42，44，46，48，（ ） 情景③数列： 25.0，24.4，23.8，23.2，22.6，（ ） 学生：思考，发现规律，并填空 总结：共同的规律：从第 2 项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数. 定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列（arithmetic progression），这个常数叫做等差数列的公差（common difference），公差通常用字母d表示． 思考：你能用符号语言表示数列为等差数列吗? 数列第n项为：___________，它的前一项为：___________，公差为__________ ① 数列第n+1项为：___________，它的前一项为：___________，公差为__________ ② ①②都是等差数列的递推公式 定义：特别地，由三个数组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，叫做与的等差中项（arithmeticmean）．根据等差数列的定义可以知道，． 问题3：你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？ 设一个等差数列的首项为，公差为．根据等差数列的定义，可得 ， 就是等差数列的递推公式． 所以，，，…． 于是 …… 归纳可得． 当时，上式为．这就是说，上式当时也成立． 以上方法为不完全归纳法 思路二：（累加法） 由定义得,将这些等式的两边分别相加得. 也就是. 当时，上式为．这就是说，上式当时也成立． 综上，首项为，公差为的等差数列的通项公式为： 思考：何时想到用累加法？ 预设：已知条件中含相邻两项之差，比如 追问：等差数列的通项公式中涉及了哪几个量?你能由此分析一下确定一个等差数列的基本条件吗? 师生：学生观察通项公式的结构回答：首项、公差、项数、第项.其中，首项、公差是基本量，由基本量就可以唯一确定一个等差数列.因此，在解决等差数列问题时，我们要重视用基本量表示数列中其他元素. 思考：我们知道，数列是特殊的函数，请观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 师生：由于， 所以， 当时，数列为常数列；的图象为均匀分布在平行于轴的一条直线上的散点； 当时，等差数列的第项是一次函数，当时的函数值，即． 如图4.2-1，在平面直角坐标系中画出函数的图象，就得到一条斜率为，截距为的直线．在这条直线上描出点，，…，，…，就得到了等差数列的图象． 事实上，公差的等差数列的图象是点组成的集合，这些点均匀分布在直线上． 反之，任给一次函数（为常数)，则，，…，，…，构成一个等差数列，其首项为，公差为． 例1：（1）已知等差数列的通项公式为，求的公差和首项． （2）求等差数列8，5，2，…的第20项． 例2：是不是等差数列的项？如果是，是第几项? 方法小结：等差数列通项公式中的四个参数及其关系 在等差数列中，首项与公差是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关，的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量. 等差数列的通项公式 四个参数 首项、公差、项数、第项 “知三求一” （方程思想） 已知首项、公差、项数、求第项 已知首项、公差、第项、求项数 已知首项、项数、第项、求公差 已知公差、项数、第项、求首项 题型一：等差数列通项公式的基本量计算 例题：在等差数列中， (1)已知，，求，； (2)已知，，求； (3)已知，，求． 题型二：等差中项的应用 例题 已知a和2b的等差中项是5，3a和4b的等差中项是7，求2a和3b的等差中项； 方法总结：等差数列等差中项的应用 由等差数列的定义知，即 ，从而由等差中项的定义可知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项，此表达式可以用来判定等差数列.在设等差数列的项时，可利用上述性质. 题型三：等差数列的判定与证明 例题：（1）数列满足，．证明数列是等差数列 (2) （2）已知数列满足，记. 求证：数列是等差数列 方法规律：判定等差数列常用的2种方法 (1)定义法：（常数）（）⟺为等差数列. (2)等差中项法：⟺为等差数列. 1.（25-26高二下·广东阳江·期末）在等差数列中，已知，，则（     ） A． B． C． D． 2.（25-26高二下·河南驻马店·期末）通项公式为（）的等差数列的公差为（     ） A． B． C．1 D．2 3.（25-26高二下·安徽合肥·期末）在等差数列中，，，则（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 4.（25-26高二下·广东茂名·期中）已知等差数列2，5，8，…，则41是这个数列的（   ） A．第16项 B．第15项 C．第14项 D．第13项 5.（25-26高二下·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知等差数列中，则（   ） A．15 B．14 C．16 D．12 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $