4.2.1 第1课时 等差数列的概念与通项公式-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教A版)

010 4.2 等差数列 4.2.1等差数列的概念 第1课时 等差数列的概念与通项公式 新课程标准解读 学科核心素养 1.通过生活中的实例，理解等差数列、等差中项的概念 数学抽象 2.掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单的问题， 逻辑推理、数学运算 教材梳理 明要点 ●情境导入 [提示] 第34届奥运会在 夏季奥林匹克运动会(Olympic Summer Games), 2028年举办.举办奥 简称“夏季奥运会”“夏奥会”或“奥运会”，是由 运会的年份：1896， 1900,1904,1908, 国际奥林匹克委员会主办的国际性多赛事运动 1912,…构成一个数 会，是世界规模最大的夏季综合性运动会，由国 列.前一项加4等于后 际奥林匹克委员会各成员国轮流承办，每四年举办一届.1896年雅典奥运 一项， [知识点反思1] 会为首届夏季奥林匹克运动，至2024年巴黎奥运会共33届.第34届奥运 (1)等差数列定义可 会哪一年举办呢？ [提示] 用符号表示为：am+ -a,=d(neN"), 白新知初探 这也是等差数列的递 推公式； 知识点一等差数列的概念 (2)定义中强调“从 般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的 第2项起，每一项与 它的前一项的差都等 都等于 ,那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差 于同一个常数”·例 如数列1,2,3,4， 数列的 ,公差通常用字母 表示 P[知识点反思1] 6.就不符合等差数列 知识点二等差中项 定义； (3)公差d的取值可 由三个数a,A,b组成的等差数列是项数最少的等差数列.这时，A叫做a与 正、可负、也可为0 (公差为0的等差数 b的 ,且2A= [知识点反思2] 列是常数列). [知识点反思2] 知识点三等差数列的通项公式 (1)任意两个实数都 首项为a1,公差为d的等差数列{an}的通项公式是an= 有等差中项，且唯一； (2)等差中项的几何 [知识点反思3] 意义是两个实数的算 术平均数，即 目预习自测 A=0+6 2 1.2024是等差数列4,6,8，…的 (3)等差数列{an A.第1009项B.第1010项C.第1011项 D.第1012项 中，an是am-k与an+ 的等差中项 2.2与8的等差中项是 A.-5 B.5 C.4 D.±4 011 3.已知数列{an}是等差数列，且a,=2,a3=6,则该等差数列的公差d= [知识点反思3] ( (1)通项公式中a1和 A号 d称为基本量，确定 B.1 它们就可以写出通项 公式； D.2 (2)an=a1+(n-1)d =a2+(n-2)d= 4.已知等差数列{an}的通项公式为an=3-4n,则数列{an}的首项与公差分a+(n-3)d="= am+(n-m)d; 别是 (3)当d>0时，是递 A.1,4 B.-1,-4 增数列，当d=0时， 是常数列，当d<0 C.4,1 D.-4,-1 时，是递减数列 题型探究提技能 题型一 等差数列的概念 例1（多选）下列数列是等差数列的是 A.an=-2n+3(n∈N*) B.4,7,10,13,16 [方法总结1] 利用定义判断等差数 c5号1号号 D.-3,-2,-1,1,2 列的方法 从第二项起，检验每 P[方法总结1] 一项减去它的前一项 》跟踪训练1 所得的差是否都等于 判断下列各组数列是不是等差数列.如果是，写出首项a1和公差d. 同一个常数，若是同 (1)1,3,5,7,9,…； 一个常数，则是等差 数列，否则不是等差 (2)9,6,3,0,-3,…； 数列. (3)1,3,4,5,6,… (4)7,7,7,7,7, (51,234 012 题型二 等差中项及应用 例2.(1)已知a+3是2a-1和2a+1的等差中项，则3a-5和4u+6的等 差中项为 [方法总结2] (2)已知△ABC的三边a,b,c成等差数列，√a,√b,√也成等差数列， 等差中项的应用方法 则△ABC的形状为 P[方法总结2] (1)求两个数x,y的 等差中项A,即根据 》跟踪训训练2 等差中项的定义得 在-1与7之间顺次插入三个数a,b,c,使这五个数成等差数列，求此数列. A=tty 2； (2)证三项成等差数 列，只需证中间一项 为两边两项的等差中 项即可，即若a,b, c成等差数列，则有 a+c=2b；反之，若 a+c=2b,则a,b,c 成等差数列 题型三等差数列通项公式的应用 例3已知等差数列a.中，a:=3,。=217,试判断153是不是这个数列 的项？如果是，是第几项？ [方法总结3] [方法总结3] 等差数列通项公式的 求法与应用技巧 (1)等差数列的通项 公式可由首项与公差 确定，所以要求等差 数列的通项公式，只 需求出首项与公差 即可； (2)等差数列{an}的 通项公式an=a1+（n -1)d中共含有四个 参数，即a1,d,n, an,如果知道了其中 的任意三个参数，那 么就可以由通项公式 求出第四个参数，即 “知三求一”· 013 〉跟踪训练3 在等差数列{an}中. (1)已知a5=-1,ag=2,求a1与d; (2)已知a1+a6=12,a4=7,求ag: 随堂检测 重反馈 1.下列数列是等差数列的是 1写6母 B.Ig 5,lg 6,lg 7 cIg D.2,3,5 2.已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是 () A.2 B.3 C.6 D.9 3.已知等差数列-8，-3,2,7，…，则该数列的第100项为 4.在等差数列{an}中. (1)已知a1=2,d=3,n=10,求an; (2)已知a1=3,an=21,d=2,求n. 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[3]当n=1时，a=S=P+分+1=弓不特合上式 2n=1, .a= 1 2m-2n≥2 跟踪训练3：【解析】由a1+2a2+3a3+…+nan=n2, ① 当n≥2时，可得a1+2a2+3a3+…+(n-1)·am-1=(n- 1)2, ② 所以由①-②得nam=n2-(n-1)2=2n-1, 即a,=2-(m≥2 当n=1时，a1=1也满足上式， 所以a=2-neN) 随堂检测重反馈 1.A由a2=1,am+a+1=2n,neN,可得a1+a2=2,a2+a3= 4,解得a1=1,a3=3,a1+a3=4. 2.C数列{an}满足a=1,√ani-√a=1,可得√a=1, √a,-√a=l,√a-√a2=1,…,√ao-ag=1,叠加可 得/a10=10,所以a1o=100. 3.BD因为bn=am-1,所以b2=a1=a2=3,b=a2=a3=5,b4 =a3=a5=9,b5=a4=ag=17,b6=ah5=a17=33. 4.【解析】当n=1时，a1=S1=2, 当n≥2时，an=Sn-S。-1=3-1-(3"--1)=2×3"-1, 显然a1=2适合上式，所以an=2×3"-1(neN*). 4.2等差数列 4.2.1等差数列的概念 第1课时等差数列的概念与通项公式 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 2差同一个常数公差d 知识点二 等差中项a+b 知识点三 a1+(n-1)d 预习自测 1.C:此等差数列的公差d=2,a1=4,∴am=4+(n-1)×2 =2n+2,令2024=2n+2,解得n=1011. 2.B设2与8的等差中项是x,则2x=2+8,解得x=5. 3.D由等差数列的定义可知a2-a1=a3-a2,所以a2=4,故公 差d=a2-a1=2. 4.Bn=1时，a1=-1,n=2时，a2=3-4×2=-5,所以公差d =a2-a1=-4 14 题型探究提技能 例1：ABCA项，由an=-2n+3(n∈N*),则a1=1,a2=-1, a3=-3,…,由等差数列的定义，故是等差数列；B项d=3,故 是等差数列；C项d=了，故是等差数列：D项每一项与它的前 一项的差不是同一个常数，故不是等差数列 跟踪训练1：【解析】(1)是，a1=1,d=2. (2)是，a1=9,d=-3. (3)不是. (4)是，a1=7,d=0. (5)不是 例2：(1)11(2)等边三角形 【解析】(1)因为a+3是2a-1和2a+1的等差中项，所以 2(a+3)=(2a-1)+(2a+1),解得a=3,则3a-5=4,4a+ 6=18,所以3a-5和4a+6的等差中项为4+18=11 2 (2)因为a,b,c成等差数列，√a,√b,E也成等差数列，所以 2b=a+c, 12/B=Ja+vc, 则4b=(a+)2=a+c+2ac,即a+c= 2√ac,所以(a-E)2=0,故a=c=b.所以△ABC为等边三 角形. 跟踪训练2：【解析】-1，a,b,c,7成等差数列， b是-1与7的等差中项，b=-1)+7=3: 2 又a是-1与3的等差中项，a=-)+3-l. 2 又c是3与7的等差中项，.c=37=5. 2 .该数列为-1,1,3,5,7 例3：【解析】设首项为a1,公差为d,则an=a1+(n-1)d, 已知得a1+15-1)1=33,解得a1=23 la1+(61-1)d=217,ld=4. 所以an=-23+(n-1)×4=4n-27, 令a.=153,即4n-27=153,解得n=45eN*,所以153是所 给数列的第45项. 跟踪训练3：【解析】(1)a5=-1,ag=2, 「a1+4d=-1 解得厂-5， la1+7d=2, d=1. (2)设数列{an}的公差为d, [a1+a1+5d=12. 由已知得， 解得∫a1, la1+3d=7. d=2. ∴.an=1+(n-1)×2=2n-1, .∴.a=2×9-1=17. 随堂检测重反馈 1.C对于A,6号≠)石，A不是等发数列：对于B,l归6 -g5≠s7-66,B不是等差数列：对于C,日-1=子-尽， C是等差数列：对于D,3-2≠5-3，D不是等差数列.故选C. 3 2.B由m和2n的等差中项为4，得m+2n=8.又由2m和n的 等差中项为5，得2m+n=10.两式相加，得3m+3n=18,即 m+n=6所以m和n的等差中项为=3 3.487依题意得，该数列的首项为-8，公差为5，所以a1m= -8+99×5=487, 4.【解析】(1)a1o=a1+(10-1)d=2+9×3=29. (2)由an=a1+(n-1)d,得3+2(n-1)=21,解得n=10. 第2课时 等差数列的性质及应用 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 1)(n-m）a,-a(2)a,+a(3)md n-m 知识点二 1.(1)d(2)cd 预习自测 1.B由等差数列的性质得ag-a3=(8-3)d=5d,所以d= -20-10=-6. 5 2.B由等差数列的性质可得a1+a,=a3+a5=10,又因为a1=2, 所以a,=8. 3.35因为数列{an},{bn}都是等差数列，所以数列{an+bn}也 构成等差数列，所以2(a3+b3)=(a1+b1)+(a5+bs),所以 2×21=7+a5+b5,所以a5+b5=35. 题型探究提技能 例1：【解析】方法一：设数列an}的公差为d, 则a0=a15+(60-15)d=8+45d, 所以4行-号=青 4 所以a=a0+(75-60)d=20+15×15=24 方法二：因为数列an}为等差数列， 所以a15,a30,a45,a0,a5也成等差数列， 设其公差为d,as为首项，则ao为第四项， 所以a0=a1s+3d,得d=4,所以a5=ao+d=24. 跟踪训练1：6n-14 【解折】方法-：设公差为d,则+3让=10， [a1+13d=70, 解得∫-8， d=6. 所以an=a1+(n-1)d=6n-14. 方法二：设公老为，则d=号=0-6，a.=4,+(a-4)d =10+6(n-4)=6n-14. 例2：B因为在等差数列{a.}中，a+a2+a3=32,a1+a2+a1 =118.所以3a,=32,3ae=118.所以a,=32,a2=8,所以 3,a12= 3 a4+a10=a2+a12=50. 14 跟踪训练2：D因为数列{an}是等差数列，所以a3+ag=2a6= 26,解得a6=13,所以a3+3a7=a3+a7+2a7=2a5+2a7= 2(a5+a,）=4a6=52. 例3：B数列4,7,10，…的首项a1=4,公差d=3,通项公式为 am=3n+1.数列8,12,16，…的首项b1=8,公差d2=4,通项公 式为bm=4m+4.它们的末项分别为a1o=301,b1=404,它 们相同的项为a,=6,3n+1=4m+4n=智+1，其中n,me N*,所以m=3k(keN*),即n=4k+1.a4k+1=3(4k+1)+1 =12k+4≤301，解得4≤24子，取=24 跟踪训练3：12n-125 【解析】由于数列{an}和bn}都是等差数列，所以cn}也是 等差数列，且公差为3×4=12，又c1=11,故cm=11+12(n 1）=12n-1.又a1m=302,b1m=399,所以 r11≤12n-1≤302， 解得1≤n≤25.25，故{c.}的项数为25. 11≤12n-1≤399， 例4：【解析】设某单位需购买电视机n台. 在甲商场购买时，所购买电视机的售价构成等差数列{α，}， am=780+(n-1)×(-20)=-20n+800, 由an=-20n+800≥440，得n≤18， 即购买台数不超过18台时，每台售价(800-20n)元； 购买台数超过18台时，每台售价440元. 到乙商场购买时，每台售价为800×75%=600（元）. 比较在甲、乙两家家电商场的费用 (800-20n)n-600n=20n(10-n). 当n<10时，(800-20n)n>600n,到乙商场购买花费较少； 当n=10时，(800-20n)n=600n,到甲、乙商场购买花费 相同； 当10<n≤18时，(800-20n)n<600n,到甲商场购买花费 较少； 当n>18时，440n<600n,到甲商场购买花费较少. 因此，当购买电视机台数少于10台时，到乙商场购买花费较 少；当购买电视机10台时，到两家商场购买花费相同：当购买 电视机台数多于10台时，到甲商场购买花费较少. 跟踪训练4：【解析】记2024年为第1年，由题设可知第1年获 利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元， …,则每年获利构成等差数列{an},且当a.<0时，该公司 经销此产品将出现亏损. 设第n年的利润为a.,因为a1=200,公差d=-20,所以an= a1+(n-1)d=220-20n 由题意知，数列{an}为递减数列，令an<0,即an=220-20n <0,解得n>11,即从第12年起，也就是从2035年开始，该公 司经销此产品将出现亏损. 随堂检测重反馈 1.C设等差数列{an}的公差为d,因为a5=a2+(5-2)d,所以 15=3+3d,解得d=4.又因为an=a2+(n-2)d,所以an= 3+(n-2)×4=4n-5.