4.1 数列的概念（第1课时）（分层作业）数学人教A版选择性必修第二册

分层作业 4.1 数列的概念（第1课时） 目 录 1 题型01 数列的概念及辨析 1 题型02根据规律填写数列中的某项 3 题型03观察法求数列通项 4 题型04判断或写出数列中的项 5 题型05确定数列中的最大（小）项 6 7 9 11 题型01 数列的概念及辨析题型01 1.（25-26高二下·全国·课堂例题）下列有关数列的说法正确的是（   ） ①同一数列的任意两项均不可能相同；②数列、、与数列、、是同一个数列；③数列中的每一项都与它的序号有关． A．①② B．①③ C．②③ D．③ 【答案】D 【知识点】数列的概念及辨析 【分析】根据数列的定义逐项判断即可. 【详解】①错误，例如无穷个构成的常数列、、、的各项都是； ②错误，数列、、与数列、、各项的顺序不同，表示不同的数列；③正确． 故选：D. 2.（25-26高二下·全国·课堂例题）下列说法错误的是（   ） A．数列的首项是4 B．数列中，若，则从第2项起，各项均不等于3 C．数列就是数列 D．数列中的项不能是三角形 【答案】B 【知识点】数列的概念及辨析 【分析】根据数列的相关概念，以及数列的结构特征逐一各选项判断即可. 【详解】对于A，根据数列的相关概念，数列的第1项即为首项4，故A正确； 对于B，若数列是一个首项为3的常数列，则各项均等于3，故B错误； 对于C，根据数列的相关概念可知C正确； 对于D，数列中的项必须是数，不能是其他形式，故D正确． 故选：B. 3.（25-26高二下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（   ） A．数列可表示为 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的第k项为 D．数列可记为 【答案】C 【知识点】数列的概念及辨析、判断或写出数列中的项、观察法求数列通项 【分析】根据数列的概念分别判断各个选项即可. 【详解】在A中，表示集合不是数列，所以A不正确； 在B中，数列中的各项是有顺序的，所以B不正确； 在C中，第k项为，所以C正确； 在D中，数列应记为，所以D不正确． 故选：C. 题型02根据规律填写数列中的某项题型02 4.（25-26高二下·湖北·阶段检测）将1到2026这2026个数中，能被3除余1且被5除余2的数从小到大排成一列构成数列，则________． 【答案】52 【知识点】数列的概念及辨析、根据规律填写数列中的某项 【分析】根据题意逐项列举求解. 【详解】根据题意可得，满足“被除余”的正整数为 满足“被除余”的数为, 故同时满足这两个条件的整数是， 所以. 5.（25-26高二下·安徽安庆·期末）数列为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，，首先给出，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是，，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是，，，，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加4，，如此继续，则（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【知识点】根据规律填写数列中的某项、由递推数列研究数列的有关性质、数列新定义 【分析】根据数列构造方法可知：，；根据变化规律可得，从而得到结果. 【详解】由数列的构造方法可知，，，，可得 ， 即 ， 6.（25-26高二下·湖北·期中）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图所示的1，3，6，10被称为三角形数，将所有的三角形数从小到大依次排列，则其第7个数为（   ） A．15 B．21 C．28 D．36 【答案】C 【知识点】根据规律填写数列中的某项 【分析】根据题图及前4个三角形数找到规律，即可得第7个数. 【详解】由题图及三角形数知：后一个数与前一个数的差依次为2，3，4，5，6，， 所以三角形数依次为1，3，6，10，15，21，28，即第7个数为28. 题型03观察法求数列通项题型03 7.（25-26高二上·湖北孝感·期末）数列的第8项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据规律填写数列中的某项、观察法求数列通项 【分析】根据所给数列，写出数列的一个通项公式，再求解第8项. 【详解】记数列为，通过观察分子分母的特征，可得数列的一个通项公式为，. 故选：B 8.（25-26高二上·四川攀枝花·期末）数列的第6项是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据规律填写数列中的某项、观察法求数列通项 【分析】观察数列的分子为项数的平方、分母为项数的倍减，写出通项公式后代入即可求得第项. 【详解】第一项： 第二项： 第三项： 第四项： 所以通项公式为：，则第六项为：. 故选：A 9.（25-26高二下·广东佛山·期中）数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】观察法求数列通项 【详解】注意到四项的分子均为，分母均为，可得通项公式. 题型04判断或写出数列中的项题型04 10.（25-26高二下·广东汕尾·期中）已知数列则是该数列的（    ） A．第99项 B．第100项 C．第101项 D．第102项 【答案】B 【知识点】判断或写出数列中的项、观察法求数列通项 【详解】归纳可得数列的通项为， 令，即，故为偶数且， 解得． 11.（26-27高三上·湖南·开学考试）已知数列的前项积，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断或写出数列中的项 【详解】数列的前项积，所以， 因为，，所以. 12.（25-26高二下·四川内江·期末）已知数列的通项公式为，则80是该数列的（    ） A．第8项 B．第7项 C．第6项 D．第5项 【答案】A 【知识点】判断或写出数列中的项 【详解】令，得 ，解得 ，或（舍去）. 题型05确定数列中的最大（小）项题型05 13.（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列满足，则数列的最小项是第（   ）项 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【知识点】确定数列中的最大（小）项 【分析】分析数列的单调性，确定数列中最小的项. 【详解】由； 由. 所以数列中，当时；当时， 所以数列中，最小. 即数列的最小项是第8项. 14.（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期末）数列的通项公式为，为其前项和，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】确定数列中的最大（小）项 【分析】令，解得，即可求得的最小值. 【详解】令，因为，所以解得， 所以数列的前3项为负，第四项起为正， 的最小值为. 故选：B 15.（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）若数列的通项公式为，则的最小项和最大项分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】确定数列中的最大（小）项 【分析】分，两种情况，结合数列单调性求解即可. 【详解】当时，，是递减数列，则的最小项为； 当时，，是递减数列，则的最大项为. 故选：B. 1.（24-25高二下·辽宁·阶段检测）设数列的前项积，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数列的概念及辨析 【分析】利用数列的前项积与前项积的关系即可求解. 【详解】数列的前项积，即； 所以. 故选：A 2.（25-26高二下·四川南充·阶段检测）数列的第8项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据规律填写数列中的某项、观察法求数列通项 【详解】数列 分子：，通项为； 分母：，通项为； 故数列通项为，第8项：. 3.（24-25高二下·河北·阶段检测）已知首项为1的数列满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、累乘法求数列通项 【分析】根据给定条件，利用累乘法求解. 【详解】依题意，. 故选：A. 4.（25-26高二上·湖南张家界·期末）观察下列数列的特点，在划线处应填的数是（   ） 1，1，2，3，5，__________，13，...... A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【知识点】根据规律填写数列中的某项 【分析】从第三项起，每一项与前两项之间的关系进行求解即可. 【详解】因为， 所以划线处填的数为，， 故选：B 5.（25-26高二下·江西·期中）数列的通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】观察法求数列通项 【详解】分子：，规律为. 分母：，规律为. 所以通项可以为 6.（25-26高二下·辽宁朝阳·期中）数列1，3，6，，，…的一个通项公式为（    ） A．， B．， C． D． 【答案】C 【知识点】由递推关系式求通项公式 【详解】观察可得，，， 所以，又， 所以． 1.（2026·陕西咸阳·三模）已知数列的通项公式为，则取到最大值时的值是（） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】确定数列中的最大（小）项 【分析】将通项公式变形为，通过分析其在分母临界点两侧的单调性来求解最大值. 【详解】对分离常数得：， 令，得， 当（为正整数）时，，因此； 当（为正整数）时，，因此， 因此的最大值一定出现在中，排除C、D， 在时，增大，（负数）增大，减小，增大， 因此随增大而增大，所以时，取到最大值， 验证：，是所有项中的最大值， 故. 2.（2026·安徽·模拟预测）已知数列的通项公式为，若是数列的最大项，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【知识点】确定数列中的最大（小）项 【分析】根据数列的通项公式，结合为最大项得到关于的不等式组并结合确定的值. 【详解】由题意得，，又因为， 所以， 解得，又因为，所以． 3,（25-26高二下·全国·课堂例题）下列各项表示数列的是（    ） A．△，○，☆，□ B． C．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 D． 【答案】B 【知识点】数列的概念及辨析 【分析】利用数列的定义求解即可. 【详解】由数列的定义得数列是指按照一定次序排列的一列数， 而不能是图形、文字、向量等，故B正确． 故选：B 4.（25-26高二下·山东东营·期末）已知等比数列的公比为，则“”是“为递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断数列的增减性 【详解】等比数列首项时，， 因为，所以为递增数列， 所以推不出为递减数列； 若数列的通项公式为，此数列为递减数列， 公比，不满足，所以为递减数列推不出； 所以等比数列的公比为，“”是“为递减数列”的既不充分也不必要条件. 1.（2025·浙江·二模）已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】数列的概念及辨析 【分析】根据数列前项和与的关系，对各选项逐一进行分析判断. 【详解】当时，；当时，. 仅知道，无法确定的大小，也就不能确定的正负. 例如数列为，，，但，所以选项错误. 当时，，则；当时，. 仅知道，无法确定的大小，也就不能确定的正负. 例如数列为，，，， 当时，，所以选项错误. 当时，，由可得，但不能得出； 当时，即，可得，同样无法得出. 例如数列为，，满足，但，所以选项错误. 已知，当时，，即； 当时，； ，由可得，那么，所以，即，选项正确. 故选：D. 2.（2026高二·全国·专题练习）数列满足，，表示数列前项和，则下列选项中错误的是（   ） A．若，则 B．若，则递减 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】判断数列的增减性、由递推数列研究数列的有关性质、裂项相消法求和、数列求和的其他方法、数列综合 【分析】利用数列的性质和递推公式，通过给定的数列的递推公式和不同初始值，分析数列的递增、递减性质以及数列和的大小关系即可. 【详解】作出与的图象， 由蛛网图可知，选项A，B正确； 若，由蛛网图可知，时，， 则，故，选项C正确； 若2，则， 比较与的大小， 因为， 则，选项D错误． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 4.1 数列的概念（第1课时） 目 录 1 题型01 数列的概念及辨析 1 题型02根据规律填写数列中的某项 2 题型03观察法求数列通项 3 题型04判断或写出数列中的项 3 题型05确定数列中的最大（小）项 3 4 5 5 题型01 数列的概念及辨析题型01 1.（25-26高二下·全国·课堂例题）下列有关数列的说法正确的是（   ） ①同一数列的任意两项均不可能相同；②数列、、与数列、、是同一个数列；③数列中的每一项都与它的序号有关． A．①② B．①③ C．②③ D．③ 2.（25-26高二下·全国·课堂例题）下列说法错误的是（   ） A．数列的首项是4 B．数列中，若，则从第2项起，各项均不等于3 C．数列就是数列 D．数列中的项不能是三角形 3.（25-26高二下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（   ） A．数列可表示为 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的第k项为 D．数列可记为 题型02根据规律填写数列中的某项题型02 4.（25-26高二下·湖北·阶段检测）将1到2026这2026个数中，能被3除余1且被5除余2的数从小到大排成一列构成数列，则________． 5.（25-26高二下·安徽安庆·期末）数列为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，，首先给出，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是，，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是，，，，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加4，，如此继续，则（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 6.（25-26高二下·湖北·期中）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图所示的1，3，6，10被称为三角形数，将所有的三角形数从小到大依次排列，则其第7个数为（   ） A．15 B．21 C．28 D．36 题型03观察法求数列通项题型03 7.（25-26高二上·湖北孝感·期末）数列的第8项为（    ） A． B． C． D． 8.（25-26高二上·四川攀枝花·期末）数列的第6项是（    ） A． B． C． D． 9.（25-26高二下·广东佛山·期中）数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 题型04判断或写出数列中的项题型04 10.（25-26高二下·广东汕尾·期中）已知数列则是该数列的（    ） A．第99项 B．第100项 C．第101项 D．第102项 11.（26-27高三上·湖南·开学考试）已知数列的前项积，则（    ） A． B． C． D． 12.（25-26高二下·四川内江·期末）已知数列的通项公式为，则80是该数列的（    ） A．第8项 B．第7项 C．第6项 D．第5项 题型05确定数列中的最大（小）项题型05 13.（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列满足，则数列的最小项是第（   ）项 A．5 B．6 C．7 D．8 14.（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期末）数列的通项公式为，为其前项和，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 15.（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）若数列的通项公式为，则的最小项和最大项分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 1.（24-25高二下·辽宁·阶段检测）设数列的前项积，则（   ） A． B． C． D． 2.（25-26高二下·四川南充·阶段检测）数列的第8项为（    ） A． B． C． D． 3.（24-25高二下·河北·阶段检测）已知首项为1的数列满足，则（   ） A． B． C． D． 4.（25-26高二上·湖南张家界·期末）观察下列数列的特点，在划线处应填的数是（   ） 1，1，2，3，5，__________，13，...... A．7 B．8 C．9 D．10 5.（25-26高二下·江西·期中）数列的通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 6.（25-26高二下·辽宁朝阳·期中）数列1，3，6，，，…的一个通项公式为（    ） A．， B．， C． D． 1.（2026·陕西咸阳·三模）已知数列的通项公式为，则取到最大值时的值是（） A． B． C． D． 2.（2026·安徽·模拟预测）已知数列的通项公式为，若是数列的最大项，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3,（25-26高二下·全国·课堂例题）下列各项表示数列的是（    ） A．△，○，☆，□ B． C．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 D． 4.（25-26高二下·山东东营·期末）已知等比数列的公比为，则“”是“为递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1.（2025·浙江·二模）已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2.（2026高二·全国·专题练习）数列满足，，表示数列前项和，则下列选项中错误的是（   ） A．若，则 B．若，则递减 C．若，则 D．若，则 由蛛网图可知，选项A，B正确； 若，由蛛网图可知，时，， 则，故，选项C正确； 若2，则， 比较与的大小， 因为， 则，选项D错误． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $