4.1 数列的概念（第2课时）（导学案）数学人教A版选择性必修第二册

4.1 数列的概念（第2课时） （导学案） (1) 能结合具体事例说明数列递推公式的作用；能根据数列的递推公式写出数列的某一项，体会特殊 与一般的数学思想 (2) 能说出数列的前项和的含义，能根据数列的前项和的定义推出数列的通项与前项和之间的关系 并能根据这一关系由前项和公式求通项公式,体会分类与整合的数学思想. 教学重点：理解数列的递推公式，会用累加法、累乘法求数列的通项公式． 教学难点：根据数列的递推公式或前n项和公式求数列的通项公式． 阅读教材，完成以下问题： 知识点一　数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． [提醒]　(1)并不是所有的数列都有递推公式．(2)递推公式是给出数列的一种表示方法，与通项公式一样，都能确定一个数列． 知识点二　数列的前n项和 1．定义 我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an． 2．数列的前n项和公式 (1)如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式． (2)显然S1＝a1，而Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥2)，于是有an＝ 若a1适合an(n≥2)，则用一个公式表示an；若a1不适合an(n≥2)，则要用分段形式表示an. 课堂导入1：生活情境——闯关游戏“能量累加”（引出“递推公式”） 情境描述：同学们，一款闯关游戏中，玩家初始能量为5点，每通过一关，能量会更新：当前关的能量=上一关能量×3+2（比如第二关能量为17点、第三关能量为53点……）。通关10关后，系统会统计“累计获得的总能量”发放奖励，玩家需要提前算出总能量能否解锁终极皮肤。 思考：用数列的符号语言如何表示“当前关的能量=上一关能量×3+2”？ 提示：用aₙ表示当前关的能量，那么上一关能量用________表示。 预设：上一关能量用aₙ₋₁表示，则有aₙ = 3aₙ₋₁ + 2（n≥2），a₁ = 5（递推公式）。 追问：用数列的符号语言如何表示“前10关累计获得的总能量”？ 预设：S₁₀ = a₁ + a₂ + … + a₁₀（前10项和）。 【设计意图】以闯关游戏为载体，将递推关系与前n项和转化为具象问题，激发兴趣，衔接旧知，自然引出递推公式与前n项和两大核心概念与探究方向。 教学建议：教学中可动态演示能量更新过程，引导学生用数列符号表征关系，通过追问强化递推公式与前n项和的概念关联，化解抽象理解难度。 课堂导入2：生活情境——存钱罐储蓄计划（引出“前 n 项和 Sₙ”） 情境描述：同学们，小明想为明年暑假的研学旅行攒钱。他决定从今年1月开始，第1个月往存钱罐里存20元，以后每个月都比上个月多存10元。这样第2个月存30元，第3个月存40元，…… 思考：若用aₙ表示第n个月存的钱数，你能用“相邻项之间的关系”表示aₙ吗？ 预设：aₙ = aₙ₋₁ + 10（n≥2），a₁ = 20（递推公式）。 追问：到6月底，小明一共存了多少钱？怎样用数学符号表示“前6个月存的钱的总和”？ 预设：20+30+40+50+60+70=270（元）；记S₆ = a₁ + a₂ + … + a₆（前6项和）。 【设计意图】以学生熟悉的“存钱罐攒钱”场景，自然引出“相邻项关系（递推）”与“累计求和（前n项和）”两大核心概念，为递推公式与前n项和的学习提供生活原型。 教学建议：可让学生现场设计自己的攒钱计划，用递推公式表示并计算累计总额，增强代入感；引导学生对比两个情境中“逐项更新”与“累计求和”的不同视角。 问题1：图4.1-3中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式. 教师：请同学们尝试用观察法求通项公式. 预设：第一步：写出以上4个图中，着色三角形的个数依次为：1，3，9，27， 第二步：观察数列前几项找规律：都是3的指数幂，指数为序号减1． 第三步：得结论：这个数列的一个通项公式是 第四步：验证：用所得通项公式，再次验证是否符合同意. 追问1：从着色三角形的个数演变角度再观察以上4个图形，你能观察出图中三角形的变化规律吗? 师生：学生独立思考，小组讨论后全班交流，得出每个图形中的着色三角形都在下一个图形中分裂成3个着色小三角形和1个无色小三角形. 追问2：你能根据这个规律说出相邻两个图形中着色三角形个数的关系吗? 师生：学生思考后全班交流，得出：每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的3倍. 追问3：用表示第n个图形的着色三角形个数，写出的关系 师生： 预猜：由此可以猜测可以从第2项起，可以表示为： 师生：学生思考后全班交流，得出无法表示的结论，进而需要把单列出来，即. 定义：像这样，如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．知道了首项和递推公式，就能求出数列的每一项了． 思考：根据定义，递推公式的作用是什么？ 预设：已知数列的第1项(或前几项)，就能写出数列的所有项. 要求：请利用递推公式定义，写出对应数列的前六项. 预设： 思考：一个数列的通项公式和递推公式有何联系与区别？ 预设：学生将通项公式和递推公式相比较，发现和刚刚学习的通项公式一样，递推公式也是数列的一种表示方法.只不过通项公式反映的是项与序号之间的对应关系，而递推公式反映的则是相邻两项或多项之间的关系.学生在教师的引导下认识到通项公式和递推公式各有利弊，在数列的研究中都发挥着巨大的作用. 教师：在对数列的研究中，求数列某些项的和是主要问题之一． 定义：我们把数列从第1项起到第项止的各项之和，称为数列的前项和，记作，即： 如果数列的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的前n项和公式. 探究：数列的前n项和公式与通项公式有何联系？ 师生：教师引导学生观察，发现其中有.如果把留出来，前面的就是前项的和，也就是.如果已知前项和公式，那么把公式中的给换成，就能得到，然后用就可以得到.教师提醒学生注意是前项的和，这里一定是大于或等于2的，所以当时，.学生接着思考的情况，发现就是第1项，所以就等于，于是我们有. 预设：如果数列的前项和与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前项和公式． 显然，而， 于是我们有 思考：已知数列的前n项和公式为，你能求出的通项公式吗？ 师生：教师引导学生根据一个数列前n项和公式与通项公式的关系，即，进行求解.教师提醒学生关注的情况是否满足时求出的通项公式，如果不满足，要分开写. 预设：因为当时，， 当时，， 并且当时，依然成立． 所以的通项公式是． 题型一：利用递推公式求项的值 例题：已知数列对任意正整数，均满足，则 ． 解析：当时，， 当时，，所以 当时，，所以 题型二：数列的周期性问题 例题 数列满足，且，则 ． 解析：由，，则，，， ，，所以数列是以5为周期的周期数列， 又，则． 故答案为：． 方法总结：利用数列周期性解题的方法（试探+找规律） · 先利用所给数列的递推公式,结合数列的首项,求出数列的前几项, · 通过前几项观察发现数列的周期性,并确定数列的周期, · 然后再解决相关的问题. 题型三：已知求 例题：(1)若前项和，求其通项公式； 解析：当时，；当时， 不满足上式． 所以通项公式为 (2) 若前项和，求其通项公式； 解析：当时，；当时，，不满足上式． 因此通项公式为. (3)已知，求其通项公式． 解析：当时，----①， ----②， 两式相减可得，则，当时，，不满足上式． 故通项公式为. 1.（25-26高二下·河南洛阳·阶段检测）数列满足，则等于（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、数列周期性的应用 【分析】根据递推公式逐项计算得到数列是周期为3的数列，即可求解. 【详解】因为 ，所以, ，，，， 所以数列是周期数列，周期为 ，故． 2.（2026·云南·模拟预测）已知数列的前n项和，则（   ） A．2025 B．2026 C．2027 D． 【答案】B 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【详解】. 3.（25-26高一下·上海青浦·期末）已知数列的前n项和为，数列是递增数列是的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【知识点】判断数列的增减性、既不充分也不必要条件 【分析】根据充分条件以及必要条件的定义，举例说明，即可得出答案. 【详解】令，显然，所以数列是递增数列，但； 令，显然成立. 又，，所以，， 所以数列不是递增数列. 所以，数列是递增数列是的既不充分也不必要条件. 4.（25-26高二下·四川南充·阶段检测）若数列满足，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数列周期性的应用 【详解】由题可知，，，， 以此类推，可知. 5.（25-26高一下·上海黄浦·期末）已知数列的通项公式为（为正整数），则数列的前项和的最小值为__________ 【答案】 【知识点】判断数列的增减性 【分析】由单调性可得该数列前项为负值，从第4项起为正值，据此可得的最小值. 【详解】因，在上单调递增，则为递增数列. 注意到， 则该数列前项为负值，从第4项起为正值，从而. 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1 数列的概念（第2课时） （导学案） (1) 能结合具体事例说明数列递推公式的作用；能根据数列的递推公式写出数列的某一项，体会特殊 与一般的数学思想 (2) 能说出数列的前项和的含义，能根据数列的前项和的定义推出数列的通项与前项和之间的关系 并能根据这一关系由前项和公式求通项公式,体会分类与整合的数学思想. 教学重点：理解数列的递推公式，会用累加法、累乘法求数列的通项公式． 教学难点：根据数列的递推公式或前n项和公式求数列的通项公式． 阅读教材，完成以下问题： 知识点一　数列的递推公式 如果一个数列的 或 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． [提醒]　(1)并不是所有的数列都有递推公式．(2)递推公式是给出数列的一种表示方法，与通项公式一样，都能确定一个数列． 知识点二　数列的前n项和 1．定义 我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的 ，记作 ，即 ． 2．数列的前n项和公式 (1)如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的 ． (2)显然S1＝ ，而Sn－1＝ ，于是有an＝ 若a1适合an(n≥2)，则用一个公式表示an；若a1不适合an(n≥2)，则要用分段形式表示an. 课堂导入1：生活情境——闯关游戏“能量累加”（引出“递推公式”） 情境描述：同学们，一款闯关游戏中，玩家初始能量为5点，每通过一关，能量会更新：当前关的能量=上一关能量×3+2（比如第二关能量为17点、第三关能量为53点……）。通关10关后，系统会统计“累计获得的总能量”发放奖励，玩家需要提前算出总能量能否解锁终极皮肤。 思考：用数列的符号语言如何表示“当前关的能量=上一关能量×3+2”？ 追问：用数列的符号语言如何表示“前10关累计获得的总能量”？ 课堂导入2：生活情境——存钱罐储蓄计划（引出“前 n 项和 Sₙ”） 情境描述：同学们，小明想为明年暑假的研学旅行攒钱。他决定从今年1月开始，第1个月往存钱罐里存20元，以后每个月都比上个月多存10元。这样第2个月存30元，第3个月存40元，…… 思考：若用aₙ表示第n个月存的钱数，你能用“相邻项之间的关系”表示aₙ吗？ 追问：到6月底，小明一共存了多少钱？怎样用数学符号表示“前6个月存的钱的总和”？ 问题1：图4.1-3中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式. 教师：请同学们尝试用观察法求通项公式. 追问1：从着色三角形的个数演变角度再观察以上4个图形，你能观察出图中三角形的变化规律吗? 追问2：你能根据这个规律说出相邻两个图形中着色三角形个数的关系吗? 追问3：用表示第n个图形的着色三角形个数，写出的关系 预猜：由此可以猜测可以从第2项起，可以表示为： 定义：像这样，如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．知道了首项和递推公式，就能求出数列的每一项了． 思考：根据定义，递推公式的作用是什么？ 要求：请利用递推公式定义，写出对应数列的前六项. 思考：一个数列的通项公式和递推公式有何联系与区别？ 预设：学生将通项公式和递推公式相比较，发现和刚刚学习的通项公式一样，递推公式也是数列的一种表示方法.只不过通项公式反映的是项与序号之间的对应关系，而递推公式反映的则是相邻两项或多项之间的关系.学生在教师的引导下认识到通项公式和递推公式各有利弊，在数列的研究中都发挥着巨大的作用. 教师：在对数列的研究中，求数列某些项的和是主要问题之一． 定义：我们把数列从第1项起到第项止的各项之和，称为数列的前项和，记作，即： 如果数列的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的前n项和公式. 探究：数列的前n项和公式与通项公式有何联系？ 师生：教师引导学生观察，发现其中有.如果把留出来，前面的就是前项的和，也就是.如果已知前项和公式，那么把公式中的给换成，就能得到，然后用就可以得到.教师提醒学生注意是前项的和，这里一定是大于或等于2的，所以当时，.学生接着思考的情况，发现就是第1项，所以就等于，于是我们有. 预设：如果数列的前项和与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前项和公式． 显然，而， 于是我们有 思考：已知数列的前n项和公式为，你能求出的通项公式吗？ 题型一：利用递推公式求项的值 例题：已知数列对任意正整数，均满足，则 ． 题型二：数列的周期性问题 例题 数列满足，且，则 ． 方法总结：利用数列周期性解题的方法（试探+找规律） · 先利用所给数列的递推公式,结合数列的首项,求出数列的前几项, · 通过前几项观察发现数列的周期性,并确定数列的周期, · 然后再解决相关的问题. 题型三：已知求 例题：(1)若前项和，求其通项公式； (2) 若前项和，求其通项公式； (3) 已知，求其通项公式． 1.（25-26高二下·河南洛阳·阶段检测）数列满足，则等于（      ） A． B． C． D． 2.（2026·云南·模拟预测）已知数列的前n项和，则（   ） A．2025 B．2026 C．2027 D． 3.（25-26高一下·上海青浦·期末）已知数列的前n项和为，数列是递增数列是的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.（25-26高二下·四川南充·阶段检测）若数列满足，，则的值为（     ） A． B． C． D． 5.（25-26高一下·上海黄浦·期末）已知数列的通项公式为（为正整数），则数列的前项和的最小值为__________ 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $