4.2.1 第2课时等差数列的性质及应用-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

b+c+a+b=c(b十c)+a(a十b2=2+c2+b(u+c2= ac a2+c2+2ac_2(a+c)2_2(a+c ac b(a十c) b :b十c,a十，a十也成等差数列. a 素养演练·提升技能 1.AB[由题知，只需2-200<4<10a4=(2-4d》(2+dD d>0 =4-<4,A正确a+a:=(2-d)2+(2+d)=d2-3d+6>4> B正痛女十d=22a十2a>1,C正确aa 15 a2a4=(2-2d)(2+2d)-(2-d)(2+d)=-3d<0,所以a1a5< a2a1,D错误.] 2.C[由题意，从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分 清明，谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数 列，设冬至的日影长为a1,公差为d,则a十a:十a?=31.5,a3十a6十 ag=25,5,两式相减得-6d-6,解得d=-1,所以a1十a4+a7= 3a1+9d=31.5,解得a1=13.5.] 67 3.66 [设所构成的等差数列{am}的首项为a1,公差为d,则 13 (a十a十a+a=3,:.(4a十6d3,解得 a1=22' ∴.d5=a1十 la7+ag十ag=4, 3a1+21d=4, 7 d=66' 4d-+4×品-品】 4.2[因为2S3=3S2十6，所以2(a1+a2十ag)=3(a1十a2)+6,化简 得3d=6,得d=2.门 5.解(1)证明由是+人=2， 得6，-2S-交十2(S,-工D 亦可得2+今=25。=2+D ba ,1(≥2)， 即6。-128-D0n≥2)，所以6，-6，-1= 1 由号+=，可得6= 3 所以6，是首项为号，公差为了的等差数列。 (②)由1知么=号+宁a-1)=1+分 b二 防以822 吉=1时，S=6=号满天上式，所以S-品 所以=8-中≥ 当n-1时a-5-4-是≠-名 1 3 所以an= 2n=1, n∈N. 1 1 n十1n ,n≥2， 第二课时等差数列的性质及应用 必备知识·自主梳理 1.(2)ap+ag①2a 即时小练 1.C[a3+a4+a5=3a4=12,a4=4.] 2.B[由题意得4d=a,-ag=-5-7=-12,所以d=-3.] 3.3d[(am+1十2am+3)-(am+2a+2)=(aw+1-am)+2(am+9-am+2） =d+2d=3d.] 关键能力·合作探究 题点一 [典例]解析设该等差数列为{an,冬至、小寒、大寒、…芒种的日 影子长分别记为a1a2a…,a12,公差为d,由题意可得， a+a十a,=37.5,即/3a1+9d=37.5. (a12=4.5, (a1+11d=4.5, 解得∫a1=l55, 1d=-1. 所以立夏的日影子长为a1o=a1+9d=6.5(尺). 答案D 对点训练 1.解设从第一年起，第n年的利润为a。万元，则a1=200,am十1一an -20(n∈N°)， .每年的利润构成一个等差数列{an}, 从而am=a1十(n-1)d=200十(n-1)×(-20)=220-20n 若am0,则该公司经销这一产品将亏损 ∴.由am=220一20m0,得n>11,即从第12年起，该公司经销此产 品将亏损. 2.2031[设n年后该市新建住房的面积为a万平方米. 由题意，得{an}是等差数列，首项a1=450,公差d=50, 所以am=a1+(n一1)d=400+50. 令400+50m>820,解得n>5 42 由于n∈N,则n≥9. 所以该市在2031年新建住房的面积开始大于820万平方米.] 题点二 典例]解(1)，{an}为等差数列， a5a30a5a0a7s也为等差数列，设其公差为'， 则a60=as十3d=8+3d=20,解得d=4. .a7s=a60十d'=24. (2),a1十a5十a6十a7=2(a1十a7)=56 .a1十a7=28,又at·a?=187, .(=11或a17{25·或a1=23, a2=17 (a7=11,1 d=-2. (3):{an}是等差数列，a1十a17=a3十a15=2ag, .ag=117,.a3十a15=2ag=234. 对点训练 1.B[由等差数列的性质，得a1十42011=a2十a2o10=2a106.因为 a1,a211是方程x2一10.x十16=0的两根，所以a1十a211=10.所以 a2+aios +dzX10-15.] 2.BD[设等差数列{am}的公差为d,易知>0.，等差数列{am}满足 a1十a2十a3十…十a1o1=0,且a1+a101=a2+a100 =…=a50十452= 2a51∴a1十a2十ag十…十a1ol=(a1十a1l）+(a2十a1w)+…+(a50 十a52）十a51=101a51=0,.a51=0,a1十a101=a2十a100=2a51=0, 故B,D正确，A错误.又a51=a1十50d=0,a1=-50d,.a3十 a1oo=(a1十2d)+(a1+99d)=2a1+101d=2×(-50d)+101d-d >0,故C错误. 题点三 典例]解法一由题可知，第一个数列是首项为2，公差为3的等 差数列，记为{an},则其通项公式为an=3m一1： 第二个数列是首项为2，公差为5的等差数列，记为{bm},则其通项 公式为bm=5m一3. 若数列{a。}的第n项与数列{b}的第m项相同，即am=bm,则3n 1=5m-3, n=5m2=m+ 2(m-1) 3 3 又n∈N,.必有m一1=3k,即m=3k十1(k为非负整数)， 又25m-3197,,.1m40,∴.m=1,4,7,…,40. ∴.两数列的公共项为2,17,32，…，197. 设公共项从小到大依次排列构成的数列为{。}，则其通项公式为 c,=15p-13,公共项有4021+1=14（个）. 法二设两数列的公共项从小到大依次排列构成的数列为{c。},则 c1=2. ,两数列为等差数列，且易知它们的公差分别为3,5，.数列{cb}仍 为等差数列，且公差d=15..cb=c1十（p-1)d=2十(p一1)×15= 15p-13. 令215p一13197，知1p14,,.两数列共有14个公共项. 对点训练 解在数列{am}中，a1=5,公差d1=8一5=3， .an=41+(n-1)d1=3n+2. 在数列{bm}中，b1=3,公差d2=7-3=4, ∴.bm=b1+(m-1)d2=4m-1. 4m一1 令an=bm,则3n+2=4m-1.n= ,m,n∈N*,∴.m=3k(k∈N*), 又80100甲(8h10i0.<k≤19 0<n≤100， …k=1,2,3,…,25,∴.两个数列共有25个共同的项」 素养演练·提升技能 L.C[设cn=a十b,由于{an,{bn}都是等差数列，则{cn}也是等差 数列，设其公差为d,则c1=a1十b1=25十75=100，c2=a2十b2= 100.故d=c2-c1=0.故cn=100(n∈N).从而c37=100.] 2.C[:a2+a4十aa十ag十a1o=5a6=80,ag=16,∴a7-2a8- 2(2a,-ag)=2(a6十as-as)=之a6=8.] 3.D OD=DC=CB=BA=1;DD=0.5.CC=k,BB= k2AA=k3, 依题意，有k一0.2=k1,k3一0.1=k2, DD+CC+BB+AAL-0.725. OD+DC1+CB1十BA1 所以0.5+36。-0.3=0.725，故k。=0.9.] 4 4.B[设该网店从第一月起每月的利润构成等差数列{am},公差为 d,则a2=2500,a5=4000.由a5=a2+3d,即4000=2500+3d,得 d=500.由a=a2+(m-2)×500=5000,得m=7.] 5.C[设凸多边形的内角组成的等差数列为{am},则an=120十5(n-1) =5n十115，由an<180,得n<13且n∈N“.由n边形内角和定理得， (m-2)×180=n×120+nm1D×5.解得n=16或1=9.：1<13. .n=9.] 4.2.2等差数列的前n项和公式 第一课时等差数列的前n项和公式 必备知识·自主梳理 S,=n(ata,) S,=na1+n(n Dd 2 即时小练 1.B[.S16= 10(a1+a102=120,a1十a0=24.] 2 2.A[由a,=18-a,可得a4+a,=18,所以S=8a+as2 2 4(a4十a5)=4×18=72.] 26 3.32[由巴知可得a+5d=2. (5a+10d1=30.解得 a1=3 d=-3 4 5=8a,+8X74=32.] 2 关键能力·合作探究 题点一 [典例]解(1)法一由已知条件得 ja5+a1o=2a1+13d=58, 1a4+ag=2a1+11d=50, 解得a1=3, 1d=4. Sn=10a1+10X)0-D4=10X3+10X9×4=210. 2 法二由已知条件得 ja5十a1o=(a1十a1o)+4d=58, la4+ay=(a1+a1o)+2d=50, .a1+a10=42, 5o-10a,+ao2=5×42=210. 2 （2S,=7a+a2=7a,=42a4=6. 2 Sn=a十an2_n(a4十a-3) 2 2 =(6+45)=510. 2 ∴.n=20. 对点训练 C[方法一设等差数列{ar}的公差为d,首项为a1,依题意可得， a2+a6=a1+d+a1+5d=10,即a1+3d=5, 又a4a8=(a1+3d)(a1+7d)=45,解得：d=1,1=2, 所以S,=5a1+54×d=5X2+10=20. 2 故选：C. 方法二a2十a6=2a1=10,a4ag=45,所以a1=5,ag=9, 从而d=84=1,于是a4=a4-d=5-1=4, 8-4 所以S5=5a3=20. 故选：C.门 题点二 [典例](1)解析：{an}是等差数列，a1=1. “{S}也是等差数列且首项为=1. 1 又--2 S}的公差是1， n ÷8=1+a0-10X1=10, ∴.S10=100. 答案B (2)解法一在等差数列中， Sn,S2m-Sm,S3m一S2m成等差数列， ∴.30,70，S3m-100成等差数列. .2×70=30+(S8m-100),∴S3m=210. 法二在等差数列中 SmS2m,Sm成等差数列， m 2m'3m 所以+ 3m 即S1m=3(S2m-Sm)=3×(100-30)=210. 9(a1十ag) 2 (3)解 2(a1十a) Sg7×9+265 6+) 9(b1+)Tg 9+3 12 2 对点训练 1.10[因为等差数列共有2n十1项，所以S奇一S=am+1= S2m十1 2n+1 即132-120=132+120，解得m=10.] 2n+1 2.C[方法1甲：{an}为等差数列，设其首项为a1,公差为d, 则s=a+0Da.g-a+”号4=号a+a-号 2 d 2 固此{贷}为等差：列，则甲是乙的充分条件： 反之，乙： S}为等差数列，即S出- S-nS+1-(n+1)S n了 1+1 n(n+1) nue+1一S为常数，设为· n(十1) 即a+1-S n(n+1) =t,则Sn=nan+1-t·n(n十1)，有S-1=(n-1)an t·n(n-1）,n2, 两式相减得：an=am+1一(n-1)an一2n,即ar+1一am=21,对n=1 也成立， 因此{am}为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C正确， 方法2甲：{an}为等差数列，设数列{an}的首项a1·公差为d,即S, -anDd. 2 则=a+n,1Dd= 为等差数列，即甲 2 2n+a- n 是己的充分条件： 反之乙：为等差数列，即-Dm n ,S=5,+(n-1)D 即Sn=S1+n(-1)D,Sm-1=(-1)S1+(n-1)(n-2)D, 当n2时，上两式相减得：Sm一S。-1=S十2(n一1)D,当n=1时， 上式成立， 于是an=a1+2(n-1)D,又aa+1-an=a1+2nD-[a1+2(n-1)D] =2D为常数， 因此{am}为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件， 故选：C. 题点三 [典例门解析因为数列{a,》是公差d>0的等差数列，所以an+1一 an=>0,所以数列{am}递增，故A正确； 学差数到的前n项和为S,=号十(a,一号)，所以受=兰十 d a1- ，所以数列{}是道增的等差数列，故B正确： 若a。=,则5，=+1)，所以 n(2+1) n+c2(n+c)' 因为{S}为等差数列，所 25 An+c 2=+十3十，即22义3 2(2+c) 1×2 2中口十2十解得c=0或c=1,经检验，均符合题意，故0 错误： 若a7=0,则S13 13(a1十a12=13a1=0,即方程S,=0有唯-的 根n=13,故D正确.故选A、B、D. 答案ABD 对点训练 {a+0-1.解得8s=a+a 1.B[由a2=7,a,=19,得a十d=7, +…+a.=3m+nn2DX4=2n2+n=am2+bm,a=2,6=1,:ab 2 =2.] 2.350[当n=1时，a1=S1=12+2×1-1=2: 当n≥2时，am=S。一Sm-1=2n十1，数学 选择性必修第二册 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.(多选)设d为正项等差数列{am}的公差，若d>:4.(2022·全国乙卷)记Sm为等差数列{an}的前n 0,a3=2,则 ( ) 项和.若2S3=3S2+6,则公差d= A.a2a4<4 B.ai+a4>15 5.(2021·全国乙卷)记Sn为数列{an}的前n项 4 C.1+1>1 D.aas>azas 和6为数列线的前n发积，已知号名=2 a5 (1)证明：数列bn}是等差数列. 2.我国古代用日晷测量日影的长度，晷长即为所测 (2)求{am}的通项公式. 量影子的长度.《周髀算经》中记载：一年有二十 四个节气，每个节气晷长损益相同.二十四个节 气及晷长变化如图所示.相邻两个节气晷长的变： 化量相同，周而复始.从冬至日起，依次小寒、大 寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小 满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数 列，若测得冬至、立春、春分日影长之和为31.5 尺，大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为25.5尺，则冬 至的日影长为 ( ) 晷长逐渐变小 春分 雨水惊蛰0清明谷雨 立春330 ,30立夏 。 大寒300 ·60小满 小寒。 。芒种 冬至270 90夏至 大雪· ·小暑 小雪2 立210 120大客 立秋 。150 霜阵寒露180白露处暑 秋分 晷长逐渐变大 A.11.5尺 B.12.5尺 C.13.5尺 D.14.5尺 3.现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等 差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容 温馨提示 请做课时分层检测（三）》 积共4升，则第5节的容积为 升 第二课时 等差数列的性质及应用 明学习目标 知结构体系 1.了解等差数列的有关性质 课标 2.能在具体问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应 等差数列的实际应用 要求 的问题. 等差数 项与序号的关系 等差数列的性质 重点 重点：等差数列的实际应用及其性质的应用 等差数列的性质 等差数列的综合问题 难点 难点：等差数列性质的应用 10 第四章数列 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 1.等差数列的项与序号的关系 2.等差数列的性质 (1)等差数列通项公式的推广 数列 结论 公差为d的等差数列 通项公式 通项公式的推广 (c+an) {c·an} 公差为cd的等差数列 a,=a1+(n-1)d an=am+(n-m)d {ar十aw-k} 公差为2d的等差数列 (揭示首末两项的关系) (揭示任意两项之间的关系) {pan+qba} 公差为pd1十qd2的等差数列 (2)项的运算性质 若m十n=p十q(m,n,p,q∈N*),则am十am 即时小练 1.如果等差数列{an}中，a3十a4十a5=12,那么a4 等于 ( ①特别地，当m十n=2k(m,n,k∈N*)时，am十 A.2 B.3 C.4 D.5 an= 2.等差数列{an}中，a3=7,a7=-5,则公差d= ②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项 ( 之和等于首末两项的和，即a1十an=a2十am-1 A.3 B.-3 C.2 D.-2 3.若数列{am}是公差为d的等差数列，则数列 …=ak十0n-k十1=… {am十2am+2}是公差为 的等差数列： 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 题点一等差数列的实际应用 对点训练 [典例]《周髀算经》是中国最古老的天文学和数1.某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万 学著作，书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立： 元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利 润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如 春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒： 果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪 种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若： 一年起，该公司经销这一产品将亏损？ 冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒 种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子长为 A.15.5尺 B.12.5尺 C.9.5尺 D.6.5尺 /方法技巧/ 解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点： (1)解答数列实际应用问题的基本步骤：①审 题，即仔细阅读材料，认真理解题意；②建模，即 将已知条件翻译成数学（数列）语言，将实际问 题转化成数学问题；③判型，即判断该数列是否 为等差数列；④求解，即求出该问题的数学解； :2.假设某市2023年新建住房450万平方米，预计 ⑤还原，即将所求结果还原到实际问题中. 在今后的若干年内，该市每年新建住房面积均比 (2)在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄 上一年增加50万平方米.那么该市在 清首项、项数等关键问题。 年新建住房的面积开始大于820万平方米. 11 数学选择性必修第二册 题点二等差数列性质的应用 题点三等差数列的综合问题 [典例](1)若{an}为等差数列，a15=8,a60=20,[典例]在两个等差数列2,5,8，…，197与2,7， 求a75; 12,…,197中，求它们的公共项从小到大依次排 (2)等差数列{an}中，a4十a5十a6十a7=56,a4· 列构成的数列的通项公式及公共项的个数， a7=187,求a1和d; (3)已知{an}是等差数列，且a1-a3十ag-a15十 a17=117,求a3十a15的值. /方法技巧/ 有关两个等差数列公共项的问题，处理办 法一般有两种：一是先利用两数列的公共项组 成的新等差数列的公差为两个等差数列公差的 最小公倍数求新数列的公差，然后找到第一项 后用通项公式解决；二是从通项公式入手，建立 am=bn这样的方程，利用n=f(m),借助n,m 均为正整数，得到n(或m)可取的整数形式，如 本例中的m=3k十1，再求一定范围内的整数 /方法技巧/ 解，从而解决问题。 等差数列运算常用的两种思路 (1)根据已知条件，寻找、列出两个方程，确定 对点训练 a1,d,然后求其他； 已知两个等差数列，{am}:5,8,11,…,{bm}:3,7, (2)利用性质巧解，其中m十n=k+l=2s(m,n, 11,…,它们都有100项，问它们有多少个共同 k,l,s∈N*)曰am十am=ak十a1=2a: 的项？ 对点训练 1.等差数列{an)中，若a1,a2o11为方程x2-10.x十 16=0的两根，则a2十a1006十a2010= ( ) A.10 B.15 C.20 D.40 2.(多选)已知单调递增的等差数列{am}满足a1十 a2十a3十…十a1o1=0,则下列各式一定成立的有 ( A.a1+a101>0 B.a2+a100=0 C.a3+a1o0≤0 D.a51=0 12 第四章数列 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.设数列{am},{bn}都是等差数列，且a1=25,b1= 75,a2十b2=100,则由am十bm所组成的数列的第 37项的值为 ( A.0 B.37 C.100 D.-37 2.在等差数列{an}中，若a2十a4十a6十ag十a10= O D 80,则a7- 2as的值为 图1 ( 图2 A.0.75B.0.8 C.0.85 D.0.9 A.4 B.6 C.8 D.10 :4.目前农村电子商务发展取得了良好的进展，若某 3.(2022·新高考Ⅱ卷)图1是中国古代建筑中的： 家农村网店从第一个月起利润就成递增等差数 举架结构，AA',BB,CC',DD'是桁，相邻桁的水 列，且第2个月利润为2500元，第5个月利润为 平距离称为步，垂直距离称为举.图2是某古代： 4000元，第m个月后该网店的利润超过5000 建筑屋顶截面的示意图，其中DD1,CC1,BB1, 元，则m= ( AA1是举，OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步，相 A.6 B.7 C.8 D.10 邻价的拳事之比分别为品=05瓷=， 5.一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内 角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n 船-合-6：已知成公考为@1 等于 () CB A.12 B.16 C.9 D.16或9 的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3= ( 温馨提示 请做课时分层检测（四） 4.2.2 等差数列的前n项和公式 第一课时等差数列的前n项和公式 明学习目标 知结构体系 课标 1.探索并掌握等差数列前项和公式. 前n项和公式的推导 要求 2.理解等差数列的通项公式与前项和公式的关系. 等差数列的 前n项和公式的应用 重点 重点：等差数列前项和公式及其性质的应用. 前n项和 难点 难点：等差数列前n项和公式的应用. 前n项和性质及应用 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 等差数列的前n项和公式 (2)依据方程的思想，在等差数列前n项和公式中， 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”. 求和公式 即时小练 微点注解 1.在等差数列{an}中，S10=120,那么a1十a1o= 在a1,d,n,an,Sn中，“知三求二” A.12 B.24 C.36 D.48 (1)在等差数列{an}中，an=a1十(n-1)d,Sn=2.已知等差数列{am}的前n项和为Sn,若a4= a中a或5，=a+2.两个公式共 18-a5,则S8等于 () 2 A.72 B.54 C.36 D.18 涉及a1,d,n,an及Sm五个基本量，它们分别表3.设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn,若a6 示等差数列的首项、公差、项数、末项、前n项和.=2且S=30,则Sg -13