第四章 指数函数与对数单元卷（基础）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第四章 指数函数与对数函数（单元自测·基础卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．） 1．已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数（且）的图象过定点，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．函数，满足对任意不相等的成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 5．已知函数，若有四个零点，，，，且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知且，若函数的值域为，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．著名数学家､物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：.若常数，空气温度为，某物体的温度从下降到，大约需要的时间为（    ）（参考数据：） A．16分钟 B．18分钟 C．20分钟 D．22分钟 8．对任意的函数，都有，且当]时，，若关于的方程在区间内恰有6个不等实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9．已知，，且，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 10．函数，则正确的有（   ） A．的定义域为 B．的值域为 C．是奇函数 D．在区间上是增函数 11．已知函数，若方程有四个不同的实数根，从小到大依次记为，则（    ） A． B．有2个零点 C．与的图象在区间内恰有一个交点 D． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．函数（且）的图象必经过定点P，则点P的坐标为 . 13．已知函数是奇函数，则实数的值为______． 14．已知函数，若关于的方程有四个不同的实数解，且，则的最小值为_______ 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．计算： (1) (2) 16．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并证明你的结论； (3)若对于恒成立，求实数m的范围. 17．已知函数 (1)若的值域为，求实数的取值范围； (2)若在内为单调函数，求实数的取值范围. 18．已知函数 (1)求函数的单调递增区间； (2)若对任意恒成立，求的取值范围． 19．某学校决定对教室采用药熏消毒法进行消毒，药熏开始前要求学生全部离开教室.已知在药熏过程中，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）与药熏时间t（小时）成正比；当药熏过程结束，药物即释放完毕，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）达到最大值.此后，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）与时间t（小时）的函数关系式为(a为常数).已知从药熏开始，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）关于时间t（小时）的变化曲线如图所示.    (1)从药熏开始，求每立方米空气中的药物含量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式； (2)据测定，当空气中每立方米的药物含量不高于0.125毫克时，学生方可进入教室，那么从药熏开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室? 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 指数函数与对数函数（单元自测·基础卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．） 1．已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】比较对数式的大小、比较指数幂的大小 【分析】根据指数函数对数函数的性质即可比较大小. 【详解】因为，，， 所以，所以. 故选：A. 2．已知函数（且）的图象过定点，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【分析】根据指数型函数过定点问题求出函数过定点，进而求解即可. 【详解】令，得，此时， 则函数过定点，即， 所以. 故选：D 3．函数，满足对任意不相等的成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由指数（型）的单调性求参数、根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据题意可判断函数在上严格单调递增，然后根据一次函数和指数函数的单调性列出不等式，求出解集即可. 【详解】因为函数对任意不相等的，都有， 所以函数在上严格单调递增. 因为，则有. 解得. 故选：B. 4．函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数图像的识别、判断指数型复合函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】利用奇偶性定义判断奇偶性，结合时单调性，应用排除法确定答案. 【详解】由解析式知定义域为R，，是偶函数，排除A， 当时，是减函数，故排除B，C. 故选：D. 5．已知函数，若有四个零点，，，，且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】对数的运算性质的应用、函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围、函数图象的应用 【分析】先画图确定函数有四个零点时m的取值范围，再利用韦达定理及对数性质求出和，最后通过换元法求取值范围. 【详解】作出函数的图象，如图： 因为有四个零点，所以， 因为，， 所以，即，所以， 则， 因为是方程的根，即的根， 所以， 又，所以， 令，则， 令，则， 所以， 因为在上单调递减， 所以，即的取值范围是. 6．已知且，若函数的值域为，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、分段函数的值域或最值、根据二次函数的最值或值域求参数、根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据指数函数单调性结合已知函数值域列式计算求解. 【详解】若，则在单调递减，即，， 当时，的最大值为，又因为，此时两部分值域的并集不为，不符合题意； 若，当时，，，当时，的最大值为， 只需的最大值大于等于2， 所以，解得. 7．著名数学家､物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：.若常数，空气温度为，某物体的温度从下降到，大约需要的时间为（    ）（参考数据：） A．16分钟 B．18分钟 C．20分钟 D．22分钟 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】指数式与对数式的互化、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】根据题意代值计算即可. 【详解】由题知， 所以，可得， 所以，即. 故选：D. 8．对任意的函数，都有，且当]时，，若关于的方程在区间内恰有6个不等实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】函数与方程的综合应用、求函数零点或方程根的个数、由奇偶性求函数解析式、函数图象的应用 【分析】根据函数的奇偶性求出函数的解析式，利用函数的周期性画出函数图象，结合方程的根与函数图象交点的关系可得函数与图象在上有6个不同的交点，由图可得，解之即可求解. 【详解】由，知函数为偶函数， 由，知函数为周期函数，且. 又当时，， 则当时，，， 由，得， 所以， 若方程在上有6个不等实根， 则函数与图象在上有6个不同的交点， 若，函数在上与函数图象只有1个交点，不符题意，故， 如图， 由图可知，， 解得，即实数a的取值范围为. 故选：A. 二、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9．已知，，且，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】对数的运算性质的应用、基本不等式求和的最小值、基本不等式求积的最大值、条件等式求最值 【分析】对于A，利用基本不等式建立一元二次不等式，可得其正误；对于B，由A的结论，根据对数的运算法则，可得其正误；对于C，由A的结论，根据基本不等式以及指数式的运算，可得其正误了对于D，利用换元以及基本不等式，可得其正误. 【详解】对于A，由，则，当且仅当时，等号成立， 即，整理可得， 分解因式可得，解得，故A错误； 对于B，由A可知，当且仅当时，等号成立， 可得，故B正确； 对于C，由，则，当且仅当时，等号成立， 由A可知，当且仅当时，等号成立，则，即，故C正确； 对于D，令，即， 由，即，则， 由，则，由，则， ，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：BCD. 10．函数，则正确的有（   ） A．的定义域为 B．的值域为 C．是奇函数 D．在区间上是增函数 【答案】AD 【难度】0.57 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域、求对数型复合函数的定义域、函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据给定的函数，求出定义域并变形解析式，再逐项分析判断即可求解. 【详解】由，所以的定义域为，故A正确； 由， 由，当时，等号成立， 令，则，又在单调递增， 所以，即， 所以的值域为，故B错误； 又，所以为偶函数，故C错误； 令，对任意的，且， 所以， 因为，则，即有， 所以，即，所以在单调递增， 又在单调递增，所以在区间上是增函数，故D正确. 11．已知函数，若方程有四个不同的实数根，从小到大依次记为，则（    ） A． B．有2个零点 C．与的图象在区间内恰有一个交点 D． 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】分段函数的性质及应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】画出两个函数的图像，结合图像求解选项A、选项B、选项C,利用对勾函数的性质求解选项D. 【详解】如图所示， 若方程有四个不同的实数根，则，故选项A错误，函数有两个零点，故选项B正确， 若与的图象， 当在区间内时，在时， 所以与的图象在区间内恰有一个交点，故选项C正确. 由题意知：即，所以   故选项D正确. 故选：BCD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．函数（且）的图象必经过定点P，则点P的坐标为 . 【答案】（2,0） 【难度】0.85 【知识点】对数型函数图象过定点问题 【详解】因为函数向右平移一个单位就得到 而对数函数过定点， 所以过定点（2,0）， 13．已知函数是奇函数，则实数的值为______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求参数、指数幂的运算 【分析】由奇函数的性质得出，求出的值，再结合奇函数的定义检验即可. 【详解】对任意的，，即函数的定义域为， 因为函数是奇函数，则，解得， 此时，，则, 故函数为奇函数，故. 故答案为：. 14．已知函数，若关于的方程有四个不同的实数解，且，则的最小值为_______ 【答案】/ 【难度】0.39 【知识点】基本（均值）不等式的应用、函数与方程的综合应用、对数函数图象的应用、函数图象的应用 【分析】先画出分段函数图象，确定的范围，由结合对数运算可得，与分别利用均值不等式求最小值，确认取等条件相同，即可得最小值. 【详解】作出函数的图象如下： 令可得或 则，，，， 由，得，即， ， 当且仅当时，等号成立，此时； 又， 当且仅当时等号成立，此时. 所以的最小值为. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)3 【难度】0.94 【知识点】对数的运算、指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【分析】（1）根据指数幂的运算计算即可； （2）根据对数的运算法则计算即可. 【详解】（1） ； （2）. 16．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并证明你的结论； (3)若对于恒成立，求实数m的范围. 【答案】(1) (2) 为奇函数，证明如下： 由（1）可知，定义域关于原点对称 又， 所以为奇函数； (3) 【难度】0.65 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、具体函数的定义域、函数奇偶性的定义与判断 【分析】（1）列出不等式，求解即可. （2）利用奇函数的定义求解即可； （3）利用函数的单调性求解即可. 【详解】（1）由，解得：或，所以定义域为. （2）略 （3）因为， 又外部函数为增函数，内部函数在上为增函数，由复合函数的单调性知函数在上为增函数， 所以， 又对于恒成立，所以，所以， 所以实数的范围是. 17．已知函数 (1)若的值域为，求实数的取值范围； (2)若在内为单调函数，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】对数型复合函数的单调性、已知二次函数单调区间求参数值或范围、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】（1）根据的值域为能取的一切值，建立不等式求解即可； （2）函数在内为单调函数，即在内也为单调函数，注意对数函数定义域，建立不等式求解即可. 【详解】（1）令，. 的值域为能取的一切值， 所以. （2）因为在内为单调函数，且在定义域内单调递减， 所以在内也为单调函数，且时， 当在内单调递增时，即函数的对称轴且，解得； 当在内单调递减时，即函数的对称轴且，此时无解； 综上所诉：实数的取值范围为. 【点睛】关键点睛：1.的值域为等价于能取的一切值； 2.若在内为单调函数，根据复合函数单调性可知，在内也为单调函数，解题时还需注意函数定义域. 18．已知函数 (1)求函数的单调递增区间； (2)若对任意恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【难度】0.65 【知识点】对数的运算、对数型复合函数的单调性、函数不等式恒成立问题、求对数型复合函数的值域 【分析】（1）根据对数的运算法则，对进行化简整理，利用换元法，结合二次函数的性质及复合函数单调性，即可得答案. （2）根据已知定义域结合对数函数值域化简，再构造函数应用单调性得出最值进而得出参数范围. 【详解】（1）由题意 ， 令， 则为开口向上，对称轴为的抛物线， 又因为在上单调递增， 则在上单调递减，在上单调递增， 又，解得， 所以根据复合函数单调性得函数的单调递增区间为. （2）因为对任意恒成立，且， 所以，化简得恒成立， 令， 则在上单调递增， 所以，即得， 又因为恒成立，所以，所以. 所以的取值范围为． 19．某学校决定对教室采用药熏消毒法进行消毒，药熏开始前要求学生全部离开教室.已知在药熏过程中，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）与药熏时间t（小时）成正比；当药熏过程结束，药物即释放完毕，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）达到最大值.此后，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）与时间t（小时）的函数关系式为(a为常数).已知从药熏开始，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）关于时间t（小时）的变化曲线如图所示.    (1)从药熏开始，求每立方米空气中的药物含量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式； (2)据测定，当空气中每立方米的药物含量不高于0.125毫克时，学生方可进入教室，那么从药熏开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室? 【答案】(1) (2)至少需要经过0.8个小时后，学生才能回到教室 【难度】0.85 【知识点】求指数函数解析式、由指数函数的单调性解不等式、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】（1）时，设，根据图象列式求解，从而得函数解析式； （2）解不等式，，可得结论． 【详解】（1）由图象可知：当时，图象为正比例函数图象，设为， 可得，解得 所以y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为. （2）当，令，则， 整理得，则，解得， 所以至少要经过0.8个小时后，学生才能回到教室。 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $