第四章 指数函数与对数函数 单元卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

人教A版（2019)必修第一册第四章指数函数与对数函 数单元检测卷 考试范围：4.1指数；4.2指数函数；4.3对数；4.4对数函数：4.5函数的应用（二） 试卷结构：19题，满分150分，考试时间120分钟 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1.已知 2,b=log2,c3，则a,b.c 的大小关系为() 3 3 2 A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.b>a>c 2.函数f(x)=n(2-x)+x+1的定义域为() A[-1,2 B.-1,2) c.[-1,2] D.（-1,2] 3.若loga3=m,loga5=n,则a2m+m=() A.15 B.45 C.75 D.225 4.函数 ix3 2x 的单调递减区间为() A.(-o,1] B.[1,+0o） C.[-1,+∞ D.(-0,-1] 5.已知函数fx-,2,x≤0。，若fa=2,则实数a的值为(） log2x,x>0 1 B C.1或-1 D.4或1 6.在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=logax（a>0且a≠1)的大致 图象不可能的是() A.两函数图象一增一减 B.两函数图象均单调递减 C.指数型函数递减，对数函数递增 D.指数型函数递增，对数函数递减 7.已知2°=3,3=5,5°=8，则abc的值为() A.1 B.2 C.3 D.4 8.设函数f(x)=1og2(2+1)+ax 是偶函数，则a=（） A.1 B.-1 D.、1 2 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列命题中正确的是() Alog,+log,1 B.lg 2+1g5+lne=2 C.2lo825=5 D.log39·log927=3 10关于西数f代x=gX-2x-31,下列说法正确的是（） A.函数的定义域为-o,-1)U(3,+o) B.函数的值域为R C.函数的单调递减区间为3，+∞)】 D.函数的图象关于直线X=1对称 11.已知函数f(x)=log2x|,若0<a<b且f(a)=f(b),则下列结论正确的是 () A.ab=1 B.a+b>2 c1+>2 D.a+b2<2 a b 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.计算： 片-5b时,4 13.函数 f(x)=a1+2（a>0且a≠1)的图象恒过定点P,则P的坐标 为 14.已知函数f(x)=1ogax(a>0且a≠1)在区间[2,4]上的最大值与最小值 之差为1，则a= 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)计算下列各式的值： D24--96°-3}2 (2)loga27+1g25+lg4-log23log38 16.(15分)已知函数fx)=loga1-x)+loga(x+3)(a>0且a≠1). (1)求函数f(x)的定义域： (2)若f(-1)=2,求a的值及函数f(x)的值域. 17.(15分)己知函数 f代x)=0~2-1是奇函数 2×+1 (1)求实数a的值： (2)判断函数f(x)在R上的单调性，并用定义加以证明； (3)若对任意的：∈[1,3]不等式ft2-2t)+f(2t-k)<0恒成立，求实数k的取值 范围 18.(17分)某科研小组研究发现，某种药物在人体内的浓度y(单位：mgL)与时间t （单位：小时)满足关系式y=y。2,其中y,为初始浓度，k为常数。已知服药后2 小时，药物浓度为初始浓度的4 (1)求k的值： (2)若初始浓度y=16mgL,问服药后至少经过多少小时，药物浓度降至1mgL以下？ (参考数据：lg2≈0.301) 197分)已知函fx对-lo音loe2x (1)当x∈[2,8]时，求函数f(x)的值域： (2)若关于x的方程f(x)=m在x∈[1,8]上有两个不相等的实数根，求实数m的取值 范围； (3)设gx)=f(x)+2,若gx)≥a对任意的x∈[1,4]恒成立，求a的取值范围。 参考答案与详细解析 一、单项选择题 1.【答案】B 【解折】a=3g,因为3g=1,所以a>1:b=1o82,因为}<1，所以6<0， c= 因为0<号<1且指数0.3>0所以0<C<1因此a>C>b故选B, 2 2.【答案】A 【解析】由2-x>0得x<2;由x+1≥0得x≥-1.取交集得-1≤x<2,即定义域为 [-1,2).故选A. 3.【答案】B 【解折】由对数定义，q=3a=5所以a2m=a2a=(a-a=32×5=45放选B, 4.【答案】B 【解析】令u=X-2x=(x-1-1'其单调递减区间为(-0,1小 单调递增区间为 [1,+o0八因为y= 号是减函数.所以fx的单调递减区间对应的单调递增区回，即 [1,+oo.故选B. 5.【答案】B 【解析】当a≤0时，fa)=2°=2'得a=1不满足a≤0：舍去：当a>0时， fa=1g,a=2得a=4当a=1时，f1)=1og,1=0≠2所以a=4答案：B 6.【答案】B 【解析】y=0日若a>1r则上0,1y=0递藏：y=1g。x递增，对应选项 a C:若0<a<1,则2>1，y=a递增，y=log。x递减，对应选项D.因此不可能出现两函 数均递减的情况.故选B 7.【答案】C 【解折】由2°=3得a=10g23:由g=5得b=1og5:由5=8得c=1og,8则 abc=log23·log35·log58=log28=3. 故选C. 8.【答案】D 【解析】f(x)是偶函数，则f-x)=fx)对任意x成立： log2(2*+1)-ax=10g2(2*+1)+ax 整理得2ax=10g,(2+1)-log2(2+1)=log:2+1 2x+1 而 1+1 2+1-2 1+2=1 2*+12*+12*2*+12产3 所以2ax=log22=-X,得2a=-1,即a=- .故选D. 二、多项选择题 9.【答案】ABC 【解析】 ·A:1og,8+1og}=3+-2=1,正确， .B:lg2+lg5+lne=lg10+1=1+1=2,正确： ·C:由对数恒等式aN=N,25=5,正确； D:10g,9=2°108,27=10327=号.乘积为g错误 1og392 故选ABC. 10.【答案】ABD 【解析】令u=X2-2x-3=(x-3)(x+1)月 .A:u>0→x<-1或x>3,定义域为-∞，-1)U(3,+∞)，正确： ·B:u可取(0，+∞)上的所有值，所以gu可取R上的所有值，值域为R,正确； .C:y=lgu是增函数，u在(3，+o)上递增，所以f(x)在(3，+o)上递增，错误： ,0:u=(x-1-4对称轴为x=1fx的图象关于直线x=1对称，正确 故选ABD 11.【答案】ABC 【解析】fx)=log2X当0<x<1时，f代x)=-1og,x递减：当x>1时，f(x)=log,x递 增.由f(a=fb)且0<a<b可知0<a<1<b,且-log2a=log2b,即log2a+log2b=0, 1og,ab)=0'所以ab=l ·A:ab=1,正确： .B:a+b>2ab=2(因为Q≠b),正确： 1+1-a+b C: a b ab =a+b>2,正确： D:a2+b2=(a+bP-2ab>4-2=2(因为a+b>2),所以a2+b2>2错误， 故选ABC. 三、填空题 12.【答案】3 【解析】 计算：2-lg5-lg2+2=4-1=3。答案：3. 13.【答案】(1,3 【解析】令x-1=0得x=1此时f1)=a+2=1+2=3°所以图象恒过定点(1,3° 14【容案】2号 【解析】当a>1时，f(x)在[2,4]上递增，最大值1og。4,最小值1oga2,差为 1og。4-1oga2=loga2=1,得a=2。 当0<a<1时，f(x)在[2,4]上递减，最大值1oga2,最小值1oga4,差为 1oge2-1g4=-1og,2=1,得log.2=-1,a=克 所以a=2减0=号 四、解答题 15.(13分) （1) 2 （-9.6)°=1， g品 别引 3-1-3*g 所以原式= 2.4 通分（分母18）： =27-18-12+8-5 1818181818 (2) 3 log,V27-log,3 2 lg25+lg4=lg100=2, log23·log38=log23 log28-1og28=3. 1og23 所以原式= 3+2-3 3-1 .1 2 3。 16.(15分) (1)由1-x>0得x<1;由x+3>0得x>-3。取交集得-3<x<1。 所以定义域为(-3,1)。 (2)f(-1)=log2+loga2=2log。2=2,得logn2=1,所以a=2。 此时 f(x)=log2(1-x)+log2(x+3)=log2[(1-x)(x+3)]. 令u=1-x)(x+3=-X2-2x+3=-(x+12+4° 当x∈(-3,1)时，u∈(0,4]。所以f(x)=log2u∈(-∞，2]。 值域为-∞，2]。 17.(15分) (1)因为fx)是奇函数，所以fO)=0: f10)=a21=01-0, 2°+12 用。x-f以对品罗-f方的数8 2*+1 a=1。 2)fx=2-1=1-2 2*+12*+1 任取XX2,则 rx-w122 =2 22+121+1 因为x<X,→2*<2s2+1<2+1:所以 1>1 21+12+1’ 从而f(x1)-f(x)<0,即f(x)<f(x2)。所以f(x)在R上单调递增。 (3)f2-2)+f2t2-k)<0→ft-2t)<-f22-k)=f(k-22)(因为f是奇函 数)。 因为f在R上递增，所以 t2-2t<k-2t2→k>3t2-2t. 对t∈[1,3]恒成立，需求3t-2t在[1,3]上的最大值。 h(t)=3t2-2t的对称轴为t= 在1,31L道猫，最大值A3)-27-6=21. 所以k>21,即k∈(21，+∞)。 18.(17分) 1)当1=2时.y=%2-022=23 4 所以-2k=-2,得k=1。 (2)由(1)y=y。2=162 要求162<1，即2<=24。 16 因为y=2递增，所以-t<-4,即t>4。 所以至少经过4小时，药物浓度降至1mg儿以下. 19.(17分) (1)f(x)=log2 x-4 ·log2(2x)=(1og2x-2)(1og2x+1)° 令t=log2x,当x∈[2,8]时，t∈[1,3]。 fx)=t-2t+1=f-t-2,对称轴= 在[1,3]上递增，最小值f(1)=1-1-2=-2,最大值f(3)=9-3-2=4。 值域为[-2,4]。 (2)x∈[1,8]时，t=log2x∈[0,3]。 方程f(x)=m即t-t-2=m,即t-t-2-m=0在t∈[0,3]上有两个不相等的实数根。 设0t)=f-t-2,te[0,3]。抛物线开口向上，对称轴t=号∈[0,3]。 费小2= 端点值：p(0)=-2,p(3)=4。 要使直线y=m与y=p(t)在t∈[0,3]上有两个不同交点，需 9 <m≤-2. 1 m一2时，两根为三0和t三1，均有效；当m=一时，只有一个根t=,不满足 个不同根。) (3)由(1)类似计算，x∈[1,4时t=1og2xe[0,2]f(x)=-t-2在[0,2上的最小 9x)=fx)+2简最小值为号+2= 49