第四章 指数函数与对数单元卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第四章 指数函数与对数函数（单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．） 1．已知，则的最小值为（   ） A．3 B．2 C． D．1 2．已知，，，则的大小关系为 A． B． C． D． 3．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．函数的图象大致为（    ） A．B．C． D． 5．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是若“进步”的值是“退步”的值的100倍，大约经过参考数据：，（    ）天． A．200天 B．210天 C．220天 D．230天 6．已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数且的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9．下列说法正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．若函数，则 C．若函数在上单调递增，则 D．若函数，则对任意，都有 10．已知函数，方程有四个不等的实数解，分别为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11．双曲函数是数学中一类重要的函数，在工程技术应用等领域得到广泛应用．已知双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数，当时，，则（    ） A．双曲正切函数为奇函数 B．对任意实数，不等式恒成立，则 C．若，则 D．存在实数，使得函数有3个零点 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．若函数在上严格单调递减，则的取值范围是__________ 13．已知关于的方程在区间上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为___________. 14．已知函数，，若，，使得成立，则实数的取值范围是_____. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．化简求值： (1)； (2) 16．已知实数满足不等式. (1)求实数的取值范围； (2)求不等式的解集A； (3)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 17．已知函数是定义在上的偶函数． (1)请写出满足的关系式； (2)若，请判断的单调性，并用定义法证明； (3)在第二问的条件下，，对任意的，存在，使得恒成立，求的取值范围． 18．已知定义在上的函数满足，且，． (1)求实数的值； (2)若不等式恒成立，求实数a的取值范围； (3)设，若对任意的，存在，使得，求实数m的取值范围． 19．已知将函数的图象向右平移1个单位长度，所得函数图象与函数的图象关于直线对称. (1)讨论的零点个数； (2)对任意，存在，使得恒成立，求实数的取值范围； (3)已知两点在函数的图象上，其横坐标分别为，两点在函数的图象上，两点关于直线对称，两点关于直线对称，判断是否存在四边形为正方形，请说明理由. 注： 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 指数函数与对数函数（单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．） 1．已知，则的最小值为（   ） A．3 B．2 C． D．1 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】运用换底公式化简计算、条件等式求最值、对数的运算 【分析】利用基本不等式求得，再根据对数的运算即可求得最小值. 【详解】因为，，所以，，当且仅当时取等号， . 故选：D. 2．已知，，，则的大小关系为 A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】比较对数式的大小、对数函数单调性的应用 【分析】由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意结合对数函数的性质可知： ，，， 据此可得：. 【点睛】对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 3．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由对数（型）的单调性求参数 【分析】根据对数函数的性质求解． 【详解】由题意，解得． 故选：C． 4．函数的图象大致为（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断指数型函数的图象形状 【分析】分和讨论，再结合指数函数单调性即可判断. 【详解】当时，，此时函数在上单调递增，故AB错误， 当时，，此时函数在上单调递减，故C错误，D正确. 故选：D. 5．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是若“进步”的值是“退步”的值的100倍，大约经过参考数据：，（    ）天． A．200天 B．210天 C．220天 D．230天 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用 【分析】由题设得方程，根据指对数关系、对数运算性质求值即可. 【详解】设经过x天“进步”的值是“退步”的值的100倍，则，即， ． 故选：D． 6．已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】研究对数函数的单调性、判断指数函数的单调性、根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 7．已知函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、由对数函数的单调性解不等式 【分析】根据条件先分析的结果，由此确定出的奇偶性和单调性，再将问题转化为“已知，求解的取值范围”，根据单调性列出关于的不等式并求解出结果. 【详解】由题可知且 ， ， 令，则且定义域为关于原点对称，即为奇函数， 函数与在上均单调递增， 与在上单调递增， 在上单调递增，即在上也单调递增且， 又为奇函数，在上单调递增， 不等式等价于， ， 在R上单调递增， ， 解得， 实数a的取值范围是， 故选：A. 【点睛】思路点睛：利用函数单调性和奇偶性解形如的不等式的思路： （1）利用奇偶性将不等式变形为；、 （2）根据单调性得到与的大小关系； （3）结合函数定义域以及与的大小关系，求解出的取值范围即为不等式解集. 8．已知函数且的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】设的值域为，可知，分和两种情况，结合指数函数性质运算求解. 【详解】当时，可知的值域为， 设的值域为，依题意得. 当时，在上单调递减， 即当时，，不符合题意； 当时，在上单调递增， 即当时，，可得，解得； 综上所述：实数的取值范围是. 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9．下列说法正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．若函数，则 C．若函数在上单调递增，则 D．若函数，则对任意，都有 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、已知f（g（x））求解析式、复合函数的定义域、根据函数的单调性求参数值 【分析】根据对数型函数的定义域判断A，配凑法求函数解析式判断B，由二次函数的单调性列不等式判断C，根据解析式确定函数单调性判断D. 【详解】由可得，所以函数的定义域为，故A错误； 因为，所以，故B正确； 因为函数在上单调递增，所以，解得，故C正确； 由分别在上单调递增知，函数在上单调递增， 所以对任意，都有，故D正确. 故选：BCD 10．已知函数，方程有四个不等的实数解，分别为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.15 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用 【分析】将零点问题化为交点问题，作出函数图象求解参数范围判断A，分别解出，利用指数的运算法则判断B，利用对数的运算法则判断C，结合题意将目标式表示为指数函数，再结合指数函数的性质求解取值范围判断D即可. 【详解】令，解得， 令，解得，此时， 令，解得，此时， 令，解得，此时， 令，解得，此时， 则， 如图，作出符合题意的图象， 因为方程有四个不等的实数解， 所以与有四个不同的交点，则，故A错误， 对于B，令，解得， 令，解得， 令，解得， 令，解得， 则 ，故B正确， 对于C，由已知得，， 则 ， 而 ，可得，故C正确， 对于D，由题意得 ， 而， 因为，所以， 则， 令，由指数函数性质得在上单调递增， 当时，，当时，， 可得，即，故D正确. 故选：BCD 11．双曲函数是数学中一类重要的函数，在工程技术应用等领域得到广泛应用．已知双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数，当时，，则（    ） A．双曲正切函数为奇函数 B．对任意实数，不等式恒成立，则 C．若，则 D．存在实数，使得函数有3个零点 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】根据零点求函数解析式中的参数、函数奇偶性的定义与判断、函数新定义、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据函数奇偶性判断A即可；先确定双曲正弦函数的奇偶性及单调性，再利用奇偶性及单调性得到不等式，结合二次型函数恒成立的等价条件求解即可判断B；，结合可得即可判断C；令，则，结合双曲型函数确定单调性，进而得到解得情况，再因式分解解方程得或，最后由零点个数得到的范围即可判断D． 【详解】对于A，，， 双曲正切函数为奇函数，故A正确； 对于B，， ，为奇函数， 又因为为增函数，为减函数，所以为上的增函数， ，则， ，即在上恒成立， ①时，成立，符合题意； ②时，，解得； 综上，，故B错误； 对于C，， 当时，由整理可得， 即，故，故C正确； 对于D，令，当且仅当时取得， 且当时，单调递减，当时，单调递增， ， 时，无实数解；时，有一个实数根； ，有两个实数根； 又， ， 则或， 又函数有3个零点， 且当时，即，解得， 所以，即有两个实数根， 则，解得，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．若函数在上严格单调递减，则的取值范围是__________ 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性求参数值 【分析】根据指数函数、一次函数的单调性及端点处函数值大小关系求解即可. 【详解】由题意知，解得，所以. 所以的取值范围为. 故答案为： 13．已知关于的方程在区间上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用 【分析】观察方程的结构特征，将它进行变形为，然后构造函数，确定函数的单调性，从而将问题转化为当时，有两个不相等的实数根，利用根的分布列出不等式组，求解即可得到答案． 【详解】解：因为方程， 所以变形为， 令， 则有， 因为在上单调递增， 所以即为， 故当时，有两个不相等的实数根， 在中，则有，即， 解得， 所以实数的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了函数的零点与方程根的关系，涉及了函数单调性的应用、二次函数根的分布问题，解题的关键是将已知的方程变形为，进而构造函数分析，对于学生的思维能力有较高的要求． 14．已知函数，，若，，使得成立，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】对数函数最值与不等式的综合问题、对数型复合函数的单调性 【分析】根据题意可得只需即可，再由分类讨论即可. 【详解】根据题意可得只需即可， 由题可知为对数底数且或， 当时，此时在各自定义域内都有意义， 由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递减， 所以，， 所以， 即，无解， 所以不符合题意； 当时， 由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以， 即，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．化简求值： (1)； (2) 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】(1)根据指数幂运算和根式的性质运算即可； (2)根据对数运算性质运算即可. 【详解】（1） ； （2） . 16．已知实数满足不等式. (1)求实数的取值范围； (2)求不等式的解集A； (3)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】函数不等式恒成立问题、由指数函数的单调性解不等式、由对数函数的单调性解不等式、指数函数最值与不等式的综合问题 【分析】（1）由指数函数单调性性质即可求解； （2）由对数函数的单调性即可求解； （3）令，将题设不等式恒成立问题转化成一元二次不等式恒成立问题即可求解. 【详解】（1）因为函数在上单调递减， 又，所以， 所以实数的取值范围为. （2）由（1）可知函数为增函数，又， 所以. 所以不等式的解集. （3）当时，不等式恒成立， 令，则， 所以在上恒成立， 所以当时，当且仅当即时等号成立， 所以，即，即实数的取值范围为. 17．已知函数是定义在上的偶函数． (1)请写出满足的关系式； (2)若，请判断的单调性，并用定义法证明； (3)在第二问的条件下，，对任意的，存在，使得恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 若，由（1）知，此时. 因为是偶函数，不妨仅考虑在上的单调性，上的单调性与之相反． 任取，不妨令， 因为，所以， 因为，所以，所以，可得， 因此， 所以在上单调递减，在上单调递增． (3) 【难度】0.4 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、函数不等式恒成立问题、定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求参数 【分析】（1）由是定义在上的偶函数得到，整理得到，由不恒为零，得到； （2）时，，因为是定义在上的偶函数，可以只考虑在上的单调性，上的单调性与之相反，时，，所以在上单调递减，因此在上单调递增； （3）双变量问题，由题可知，由的单调性和奇偶性得到，分和两种情况讨论，在两种情况中分别令，，得到的取值范围. 【详解】（1）因为是偶函数，所以，所以， ，， 因为对上的均满足，而不恒为零， 所以. （2）略 （3）由题意可知，， ， 由（2）知在上单调递增，在上单调递减，且， 所以对任意的. ①当时，， 此时只需满足， 若； 若； 所以. ②当时，， 此时只需满足， 若； 若； 此时无解. 综上所述：. 18．已知定义在上的函数满足，且，． (1)求实数的值； (2)若不等式恒成立，求实数a的取值范围； (3)设，若对任意的，存在，使得，求实数m的取值范围． 【答案】(1)1 (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】函数不等式恒成立问题、定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求参数、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）由，得，进而得，利用对数的运算即可求解； （2）由（1）得，利用复合函数的单调性判断的单调性，不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立，设，利用基本不等式即可求解； （3）对任意的，存在，使得，即在上的最小值不小于在上的最小值，利用单调性先求，即在上有解，则在上有解，令，再令，利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）由，所以， 即， 所以，； （2）由（1）知，， 令，得在上单调递增，在上单调递增， 由复合函数的单调性得在上单调递增， 所以不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立， 设，则，，当且仅当，即时，等号成立 所以，故实数的取值范围是； （3）因为对任意的，存在，使得， 所以在上的最小值不小于在上的最小值. 因为在上单调递增， 所以当时，. ，则在上有解， 则在上有解， 令，， 令，，则，当且仅当时取等号， ∴，∴. 19．已知将函数的图象向右平移1个单位长度，所得函数图象与函数的图象关于直线对称. (1)讨论的零点个数； (2)对任意，存在，使得恒成立，求实数的取值范围； (3)已知两点在函数的图象上，其横坐标分别为，两点在函数的图象上，两点关于直线对称，两点关于直线对称，判断是否存在四边形为正方形，请说明理由. 注： 【答案】(1)1 (2) (3)存在，理由： 由题意，； ，， 假设存在四边形为正方形，则， 由可得，即，所以； 由可得，即有， 因为，由图可知，所以，代入， 得，令得， 令，因为， 所以在内有解，故存在四边形为正方形. 【难度】0.15 【知识点】求对数型复合函数的值域、函数对称性的应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】（1）判断单调性，结合零点存在定理可判断零点个数； （2）利用单调性等价转化为，分别求解左右两个式子的值域，根据值域的包含关系可得答案； （3）根据正方形邻边相等且垂直得出的关系，结合两者关系可判断是否存在四边形为正方形. 【详解】（1）因为，，所以， 因为均为增函数，所以也是增函数， 因为，所以仅有一个零点. （2）因为为增函数，所以， 即，即， 令，因为， 则， 因为，所以. 因为，所以，因为，所以， 由题意可得，即，解得， 所以实数的取值范围是. （3）略 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $