4.1 数列的概念（第1课时）（教学设计）数学人教A版选择性必修第二册

4.1 数列的概念（第1课时） 教学设计 教学内容 本节课为人教A版（2019）选择性必修第二册第四章《数列》的开篇课时4.1《数列的概念》（第1课时）。 核心教学内容：以初中对数列的直观认知、高一函数概念与三种表示为铺垫，搭建“函数—数列”统一认知框架；通过生活与历史实例（斐波那契兔子数列、王芳1~17岁身高数据、古巴比伦K90泥版月相数据、2的正整数次幂）抽象出数列概念，突出“有序性”这一核心特征；系统讲解数列的项、项数、首项及通项公式，能由通项求指定项、由前几项归纳通项；揭示数列与函数的内在联系，将数列定位为定义域为正整数集（或其有限子集）的特殊函数，并介绍数列的表格法、图象法表示；结合数列分类（有穷/无穷、递增/递减/常/摆动），配套例题、变式与分层训练，建立“实例—概念—表示—应用”的标准化认知路径，为后续等差数列、等比数列及数列性质研究奠定概念与思想基础。 内容解析 流量用量）切入，降低抽象概念的理解门槛，再逐步深入到数列定义、通项公式及与函数的关系，符合学生认知规律.既突出数列 “有序性” 的核心特征，又建立数列与函数的联系，将数列定位为 “定义域为正整数集（或其有限子集）的特殊函数”，为后续从函数视角研究数列性质（如单调性、周期性）埋下伏笔，实现知识的纵向衔接.明确 “由数列前几项归纳通项公式” 为难点，通过 “求特定项” 与 “归纳通项” 的对比教学，强化对通项公式的理解；同时结合生活实例（日常时间、消费）巩固概念，兼顾知识掌握与应用能力培养. 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：理解数列 “有序性” 特征与通项公式本质，能求特定项、尝试归纳通项. 教学目标 （1）能通过对具体实例共同特征的归纳，抽象出数列的一般概念；知道数列的一般表示，并能说出表示的具体含义；能用函数的观点解释数列，知道数列是从正整数集（或它的有限子集）到实数集的函数；通过数列概念的抽象，发展数学抽象素养。 （2）能类比函数的表示，用通项公式、图象或表格表示一个数列，能说出三种表示方法各自的优势；能通过对数列与函数在表示方法上的异同点的比较，进一步体会函数与数列的联系，加深对数列本质的认识。 （3）能说明数列通项公式中各个量的含义；能认识到通项公式是数列最基本最重要的表示方法，其本质就是数列的函数解析式；能根据数列的通项公式写出数列的任意项，或根据数列的前几项写出数列的一个通项公式，体会特殊与一般的数学思想。 目标解析 （1）该目标聚焦数列概念的抽象形成与本质理解，要求学生从具体实例归纳共性以抽象概念，掌握表示方法并关联函数视角。既锻炼归纳抽象能力，又搭建数列与函数的知识桥梁，直接指向数学抽象素养的发展，为后续学习奠定概念基础。 （2）此目标围绕数列表示方法展开，要求类比函数表示掌握三种方法，明确各自优势并对比异同。通过类比迁移深化知识联系，不仅让学生掌握实用技能，更能帮助其从表示层面理解数列与函数的关联，加深对数列本质的认知。 （3）该目标聚焦通项公式，要求明确各量含义、认识其核心地位与函数本质，并具备应用能力。既强化对通项公式的理解，又渗透特殊与一般思想，为后续运用通项公式解决问题筑牢根基。 达成上述目标的标志是： （1）能准确说出数列的定义，指出数列是按一定顺序排列的一列数，并解释“有序性”的含义，能区分数列与数集。 （2）能正确使用 aₙ 表示数列的第 n 项，说出首项、项数等概念，并用 a₁,a₂,…,aₙ,… 表示数列。 （3）能写出给定实例（如王芳身高、2的幂）的一个通项公式，并说明其中 n 与 aₙ 的含义。 （4）能用函数的观点解释数列：指出数列是从正整数集（或有限子集）到实数集的函数，自变量为序号 n，函数值为 aₙ，并大致说出其图象是一群孤立的点。 （5）能根据通项公式求出数列的指定项，或判断某数是否为数列中的项；能由简单数列的前几项归纳出一个通项公式。 （6）能说出数列按项数（有穷、无穷）与按项的大小关系（递增、递减、常、摆动）的分类，并举例说明。 学生已系统学习函数的定义、三种表示方法（解析式、图象、表格），能分析简单函数的变量关系，这为理解数列与函数的关联提供基础.但多数学生对 “有序性” 的数学意义认知模糊，易将数列与数集混淆；归纳推理能力较弱，仅能处理规律明显的数序，对复杂数列（如分式、符号交替型）的通项归纳存在障碍. 预估困难及解决办法： 困难1：难以建立 “数列是特殊函数” 的认知，混淆数列与函数的定义域、图象特征.​ 解决方法：通过对比表格呈现函数（y=2x）与数列（aₙ=2n）的定义域、对应关系、图象（函数是直线，数列是孤立点），结合实例直观辨析差异与联系.​ 困难2：由数列前几项归纳通项公式时，找不到项与序号的关联，或归纳不全面.​ 解决方法：提供阶梯式案例（先等差、等比，再分式、符号交替型），引导学生先观察项的 “变与不变”，再分析项与序号的和、差、积、商关系，总结归纳步骤. 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：理解数列作为特殊函数的本质，及从数列前几项准确归纳出通项公式. 知识点一　数列及其有关概念 1．数列：一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列． 2．项：数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项． 知识点二　数列的表示 数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}，这里n是正整数． [提醒]　(1)数列中的项是有序的，有序性是数列的主要特征，例如：1，3，5，7，9和9，7，5，3，1不是同一个数列． (2)数列中的数可以重复出现，这与数集中的数的互异性是不同的． 知识点三　数列与函数的关系 1．数列与函数的内在联系 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)． 2．数列的表示方法 (1)解析式法． (2)图象法． (3)列表法． 3．数列的单调性 与函数类似，数列也有单调性． 知识点四　数列的分类 1．按项的个数分类 类别 含义 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 2.按项的变化趋势分类 类别 含义 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 知识点五　数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．通项公式就是数列的函数解析式，根据通项公式可以写出数列的各项． [想一想]　(1)所有的数列都一定有通项公式吗？ 提示：不一定，如的不足近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，0.0001，…，所构成的数列1，1.4，1.41，1.414，1.4142，…，就没有通项公式． (2)数列的通项公式在形式上一定是唯一的吗？ 提示：不一定，如数列－1，1，－1，1，－1，1，…，它的通项公式可以写成an＝(－1)n，也可以写成an＝还可以写成an＝(－1)n＋2等． 这些通项公式，形式上虽然不同，但都表示同一个数列．另外，有些数列只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前几项归纳出的数列的通项公式可能并不唯一． 课堂导入1：生活情境——纸张对折：能叠到珠穆朗玛峰吗？（引出“通项公式”与“数列能预测未来”） 情境描述：同学们都折过纸。一张普通 A4 纸厚约 0.1 mm。把它对折 1 次，厚度变成 0.2 mm；对折 2 次，0.4 mm；对折 3 次，0.8 mm……老师把“对折次数”和“厚度”依次记下来：第 1 次 0.1，第 2 次 0.2，第 3 次 0.4，第 4 次 0.8，第 5 次 1.6……（单位：mm）。 思考：按照这个规律，对折第 n 次后的厚度是多少？如果一直对折下去，大约对折多少次，这叠纸的厚度就能超过珠穆朗玛峰（约 8849000 mm）？ 预设：厚度依次是 0.1，0.2，0.4，0.8，1.6……每次都变成原来的 2 倍；要超过珠峰大约需要对折 27 次左右。 追问：刚才我们是“一个数一个数往后数”得到的，能不能用一个数学式子，直接写出“第 n 次对折后的厚度”？这个能由序号直接算出项的式子，叫什么？ 预设：可以写成 aₙ = 0.1 × 2ⁿ⁻¹；这个能“由序号直接算出项”的式子，就是数列的通项公式。 【设计意图】用“折纸超过珠峰”的反直觉结果制造认知冲突，让学生在“惊讶”中迫切想知道“第 n 次到底多厚”，自然引出数列的“项与序号的对应”以及通项公式——数列不仅能记录过去，还能预测未来。这一悬念贯穿全课，在“通项公式”环节可回扣验证。 教学建议：可现场拿一张纸演示对折（实物或动画），让学生亲口报出前 5 次厚度；追问时强调“我们不希望每次都从头数，想要一个公式直接算第 n 项”，顺势引出通项公式的需求。 课堂导入2：生活情境——我的零钱罐：每月 1 号存一笔（引出“有序性”与“常数列/递增数列”） 情境描述：很多同学有存零花钱的习惯。小刚的记账本上写着：1 月 1 号存 100 元，2 月 1 号存 100 元，3 月 1 号存 100 元，4 月 1 号存 100 元……他把每个月存的钱按“月份先后”排成一列：100，100，100，100，……。另一位同学小丽是“压岁钱理财”：1 月存 100，2 月存 200，3 月存 300，4 月存 400……排成：100，200，300，400，……。 思考：小刚这一列数里，第 3 个数表示什么？小丽的数列如果把前两项调换变成“200，100，300，400”，还是同一数列吗？ 预设：小刚第 3 个数表示 3 月存了 100 元；小丽的数列调换前两项后含义变了（2 月变 1 月），不是同一数列。 追问：为什么数列“顺序一换就变味”？数列和我们在初中学过的“集合”最本质的区别到底是什么？ 预设：数列最本质的特征是“有序性”——项的位置（序号）不同，表示的实际意义就不同；集合不讲究顺序，数列讲究顺序。 【设计意图】从学生熟悉的“存零花钱”出发，用“常数列”与“递增数列”两个贴近生活的例子，通过“顺序能不能换”的辨析，聚焦数列区别于集合的核心特征——有序性，同时为“常数列”“递增数列”的分类提供生活原型，前后呼应。 教学建议：可让同学现场说出自己某个月的零花钱，凑成一组“数列”；重点引导学生对比“集合{100,200,300}”与“数列 100,200,300”的区别，把“有序性”说透。 教师：同学们，平时要有意识地用数学的眼观去看世界，数列在我们生活中，无处不在！我来举几个例子，稍后你来举例子. 例子1：王芳从1岁到17岁，每年生日那天测量身高．将这些身高数据（单位：cm）依次排成一列数：75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168．② 思考：此例中的第6个数是什么?它的实际意义是什么?163是第几个数?它的实际意义是什么? 学生：观察数据，独立思考，然后得出正确答案：116，它表示王芳6岁时身高为116cm；15，它表示王芳15岁时身高为163cm 追问：75和168能交换位置吗? 为什么? 预设：不能交换位置，位置不同的数表示含义不同 思考：第6个数是116，第17个数是168，可否用通俗易懂的一个数学符号来表示？ 预设：记王芳第岁时的身高为，那么，. 追问：表示排在第几位的数？他的实际意义是什么？ 预设：第14位的数，第14岁的身高为162cm 设计意图：引导学生分析这一列数中的每一个数的值是由排列顺序中的序号所确定的,引入一个与序号相关的符号来表示数列中的数. 例子2：在两河流域发掘的一块泥版（编号K90，约产生于公元前7世纪）上，有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数（把满月分成240份，则从初一到十五每天月亮的可见部分可用一个代表份数的数来表示）：5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240．③ 要求：记第天月亮可见部分的数为,那么. 预设：，. 例子3：2的次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数： 2，4，8，16，……④ 归纳：上面四个例子的共同特征是什么? ① 0， 1， 1，2， 3， 5，8，13， 21，34，...... ② 75, 87, 96, 103, 110, 116, 120, 128, 138, 145, 153, 158, 160, 162, 163, 165, 168. ③ 5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240． ④ 2，4，8，16，…… 预设：都是一列数，都有确定的顺序 定义：数列：一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列 项：数列中的每一个数叫做这个数列的项. 项数：数列中的项的个数叫做这个数列的项数， 首项：数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，也称首项.常用符号a1表示 第2项：数列的第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示 第n项：第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示. 数列的一般形式是 ，，…，，…，简记为． 思考：2的次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数： 2，4，8，16，……④ 易知，那么， 追问：能否以函数的观点来理解序号与项之间的关系？ 预设：由于数列中的每一项与它的序号有下面的对应关系： 所以数列是从正整数集(或它的有限子集)到实数集的函数，其自变量是序号，对应的函数值是数列的第项，记为． 结论：数列是一个特殊的函数，自变量是序号，对应的函数值是数列的第项，记为： 练习：2的次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数： 2，4，8，16，……④，则 教师：这种数列的表示方法叫做“解析式法” 通项公式：如果数列的第项与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 练习：写出下列三个数列的通项公式： （1）所有偶数构成的数列：2，4，6，8，10，...... （2）所有奇数构成的数列：1，3，5，7，9，...... （3）数列：-1，1，-1，1，-1，...... 预设：（1）；（2）；（3） 思考：由第（3）小题的结果，你能得出怎样的结论？ 预设：一个数列的通项公式不唯一 练习：所有偶数构成的数列：2，4，6，8，10，.....的通项公式： （1） 答案：316 思考：有什么结论？ 预设：结论：通项公式可以用来求数列指定项 （2）是不是该数列的项？答案：, 所以37不是该数列的项 思考：有什么结论？ 预设：结论：通项公式可以用来判断某数是否为数列的项 练习：数列：1，7，108，36，72，.....的通项公式什么？ 思考：有什么结论？ 预设：结论：不是所有数列能写出它的通项公式 思考：函数有表格，图像，解析式三种表示方法， 数列作为一种特殊的函数，你能表格法和图象法表示数列②吗？ 75, 87, 96, 103, 110, 116, 120, 128, 138, 145, 153, 158, 160, 162, 163, 165, 168. 数列的第二种表示方法：表格法 预设：表格法如表4.1-1： 数列的第三种表示方法：图象法 王芳从1岁到17岁每年生日那天测量身高的图象法：如图4.1-1： 数列的分类： 1. 以项数来分类： (1) 有穷数列：项数有限的数列； (2) 无穷数列：项数无限的数列. 2. 以各项的大小关系来分类： (1) 递增数列： 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列. 对任意n∈N*，总有an+1>an (或an+1-an>0). (2) 递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列.对任意n∈N*，总有an+1<an (或an+1-an<0). (3) 常数列：各项都相等的数列； (4) 摆动数列：从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. 例1：根据下列数列的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象． （1）；（2）． 解：（1）当通项公式中的时，数列的前5项依次为 图象如图4.1-2(1)所示． （2）当通项公式中的时，数列的前项依次为．图象如图4.1-2(2)所示． 师生：学生计算、画图.教师利用电子表格计算、画图（图2、图3),结合表格、图象,请学生回答这两个数列是否是递增数列. 设计意图：本例是对通项公式的直接运用,并要求学生描点作图,使学生从通项公式、表格和图象三个角度认识数列. 例2：根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式： （1）； （2）． 解：（1）这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为 ① ①或常常用来表示正负相间的变化规律． （2）这个数列前4项的奇数项是2，偶数项是0，所以它的一个通项公式为 ． 师生：学生回答,教师进行引导:解答第(1)题时,可以先思考第(1)题与下列两个数列(1) (2)的关系;对于第(2)题,可以考虑在的每一项上加1,也可以对例1(2)中数列的每一项取绝对值后乘以2.教师同时强调,通过数列的前几项归纳得到的数列的通项公式,可能是不唯一的. 例3如果数列的通项公式为，那么120是不是这个数列的项？如果是，是第几项？ 分析：要判断120是不是数列中的项，就是要回答是否存在正整数，使得．也就是判断上述关于的方程是否有正整数解． 解：令，解这个关于的方程，得（舍去），或． 所以，120是数列的项，是第10项． 师生：教师引导学生理解题意：要判断120是不是该数列中的项，就是要判断是否存在正整数n，使得.我们令，接下来就是要判断这个关于n的方程是否有正整数解．学生解这个关于n的方程，得或. 教师：因为n是正整数，所以要舍掉.因此，120是这个数列的项，并且是第10项.在这道题讲解后，总结：通项公式反映的是项与序号之间的关系，我们不仅要会通过序号求项，还要会像这道题一样根据项求序号. 方法总结：判断某数值是否为该数列的项的方法 先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程. 若方程解为正整数，则是数列的一项； 若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项. 题型一：由数列通项公式求指定项 例题：（1）已知数列的通项公式，则的值为（    ） A． B．0 C． D．1 解析：因为数列的通项公式，所以. 故选：B （2）若已知数列的通项公式是，其中． 则 ， ． 解析：数列的通项公式是，则； 将代入计算，得到. （3）已知数列的通项公式为，则（    ） A．34 B．36 C．38 D．40 解析：．故选：D. 题型二：判断某数是否为数列项 例题 （1）已知数列的通项公式是，则下列各数是的项的是（   ） A．18 B．20 C．32 D．66 解析：因为，所以当是64的因数1，2，4，8，16，32，64时，是整数， 当或时，，故D错误； 当或时，，故C错误； 当或时，，故B正确； 当时，，故A错误． 故选：B． （2）已知数列的通项公式为，那么是这个数列的第（     ）项． A．9 B．10 C．11 D．12 解析：由数列的通项公式为，令， 即，可得，解得或， 即，所以是数列的第项. 故选：B. 方法总结：判断某数值是否为该数列的项的方法 先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程. 若方程解为正整数，则是数列的一项； 若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项. 题型三：观察法求数列通项公式 例题：（1）数列为，则不能作为通项公式的是（     ） A． B． C． D． 解析：对于A：，故A正确； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确； 故选：C. （2）写出下列数列{an}的一个通项公式： (1)，2，，8，，…； (2)1，－3，5，－7，9，…； 解析：(1)先将各项都统一成分数再观察：，，，，，…，所以它的一个通项公式为an＝. （2）数列各项的绝对值分别为1,3,5,7,9，…是连续的正奇数，其通项公式为An＝2n－1. 考虑(－1)n＋1具有转换符号的作用，所以数列{an}的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)． 方法总结：此类问题主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法求解. 具体注意以下几方面： (1)分式中分子、分母的特征； (2)相邻项的变化特征； (3)拆项后的特征； (4)各项的符号特征和绝对值特征； (5)化异为同； (6)对于符号交替出现的情况，可用(−1)^n或(−1)^n+1处理. 1.（25-26高二下·辽宁抚顺·期末）在数列中，若（为常数），且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断或写出数列中的项 【详解】因为，所以，则．故选：A 2.（25-26高二下·河南南阳·期中）已知数列0，，，，…，则该数列的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】观察法求数列通项 【详解】，观察可得该数列的通项公式可以为，故选：C. 3.（25-26高二下·四川巴中·期中）数列的的一个通项公式（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】观察法求数列通项 【分析】根据数列各项分子、分母特征，即可找出规律，求出通项公式. 【详解】将写成，所以该数列各项分子为，是以为首项和公比的等比数列，分母为，是以为首项,以为公差的等差数列， 所以此数列的一个通项公式为，故选：C. 4.（25-26高二上·福建宁德·阶段检测）已知数列1，，，-2，，，则该数列的第6项为（     ） A． B． C． D．6 【答案】A 【知识点】根据规律填写数列中的某项 【分析】根据数列前几项找出规律，求出第6项即可. 【详解】观察数列可得，奇数项为正，偶数项为负，且绝对值是按自然数顺序依次开平方， 所以第6项为偶数项，是负数，绝对值为，即. 故选：A. 5.（25-26高二下·陕西渭南·期末）若数列满足，，则等于（     ） A． B．-1 C．2 D． 【答案】C 【知识点】数列周期性的应用 【详解】因为，， 所以，，， 所以数列为周期数列，周期为3，即， 所以.故选：C. 6.（25-26高二下·四川达州·期中）下列数列是单调递减数列的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断数列的增减性 【详解】数列是单调递减数列，都是单调递增数列．故选：A. 7.（25-26高二下·全国·课堂例题）已知，，则数列是（    ） A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．不能确定 【答案】C 【知识点】判断数列的增减性 【详解】，，即数列的各项相同，故数列是常数列.故选：C. 8（24-25高二下·重庆·阶段检测）观察数列（   ），，，，，（   ），…的特点，则括号中应填入的适当的数为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】根据规律填写数列中的某项、观察法求数列通项 【分析】根据数列各项的正负性、分母的特征写出数列的通项公式，再运用代入法进行求解即可. 【详解】因为， 数列的通项公式，则有，， 故选：D. .9.（25-26高二下·四川成都·期中）已知数列的通项公式为，则_________. 【答案】18 【知识点】判断或写出数列中的项 【分析】将4代入通项公式，即得. 【详解】因为，所以. 10.（24-25高二下·江西南昌·阶段检测）已知数列的通项公式为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．0 D．3 【答案】B 【知识点】数列的概念及辨析 【分析】利用通项公式的意义求解即可. 【详解】因为，所以. 故选：B. 1.（2026高三·全国·专题练习）下面有四个命题：①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项；②数列，，，，…通项公式是；③数列的图象是一群孤立的点；④数列与数列是同一数列．其中正确命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】判断命题的真假、数列的概念及辨析、根据数列递推公式写出数列的项 【分析】根据数列的定义与性质来判断即可 【详解】数列的定义:按照确定的顺序排列的一列数称为数列，当知道首项和递推公式时，不一定可以写出这个数列的任何一项，例如,若只知道首项是写不出后续项的，故①错，②中的,当时，故②错，因为数列中的的取值为正整数，所以数列的图像是一个个孤立的点，故③对， 数列与数列排列顺序不一样，所以不是同一数列，故④错.所以正确的个数为1个.故选：A. 2.（25-26高二下·全国·课后作业）的第9项是（   ） A． B． C． D．以上均不对 【答案】B 【知识点】根据规律填写数列中的某项 【分析】由题意可知，代入计算即可求解. 【详解】由题意可知，故第9项为． 故选：B 3.（2026高三·全国·专题练习）若数列的前四项为2，0，2，0，则此数列的通项公式不能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断或写出数列中的项、根据数列递推公式写出数列的项 【分析】逐项计算前4项判断即可. 【详解】对于A，，，，，A可能.对于B，，，，，B可能. 对于C，，，，，C可能.对于D，，， ，故D不可能..故选：D. 4.（湖南邵阳市2027届高三上学期第一次联考数学试题）在数列中，，，则__________． 【答案】7 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项 【详解】由题意得，． 一、知识清单 1. 数列定义：按照确定的顺序排列的一列数称为数列，核心特征为“有序性”。 2. 相关概念：数列中的每一个数叫做项；项的个数叫做项数；第1项也称首项，用a₁表示；第n项用aₙ表示。 3. 数列的一般形式：a₁，a₂，…，aₙ，…，简记为{aₙ}。 4. 通项公式：如果数列{aₙ}的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式；其本质是数列的函数解析式。 5. 数列与函数：数列是从正整数集（或其有限子集）到实数集的特殊函数，自变量是序号n，函数值是aₙ；数列的图象是一群孤立的点。 6. 数列的分类：按项数分为有穷数列、无穷数列；按项与项之间的大小关系分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列。 二、方法归纳 （1）由数列的前几项求通项公式：先观察项的“变与不变”，再分析项与序号的和、差、积、商关系，必要时对分式、符号交替等情形先“化异为同”。 （2）求指定项：将序号n代入通项公式计算。 （3）判断某数是否为数列的项：令aₙ=该数，解关于n的方程，若n为正整数则是数列的项，否则不是。 （4）通项公式不唯一：一个数列可能有多个通项公式，如-1，1，-1，1，……可写为aₙ=(-1)ⁿ等。 （5）数形结合思想：用图象法表示数列，能直观看出数列的变化趋势（递增、递减、摆动等），数列图象是孤立的点。 三、易错误区 （1）混淆数列与数集：误认为数列中的数不能重复（如3，3，3，……是数列），或忽略顺序（2，4，6，8与2，4，8，6不是同一数列）。 （2）误认为通项公式唯一：一个数列的通项公式可能不唯一。 （3）归纳通项时忽略符号交替：符号正负交替的数列应用(-1)ⁿ或(-1)ⁿ⁺¹表示，注意n=1时的验证。 （4）混淆数列图象与函数图象：数列图象是孤立的点，不是连续的曲线。 （5）判断是否为数列的项时忽略定义域：解方程得到的n必须是正整数。 巩固作业：教科书第5页练习第1、2题； 拓展作业：教科书第9页习题第7题.  4.1 数列的概念（第1课时） 1. 数列概念：按照确定的顺序排列的一列数——有序性 项、项数、首项、第n项 2. 一般形式：a₁，a₂，…，aₙ，…，简记为{aₙ} 3. 通项公式：aₙ=f(n)，本质是函数解析式，不唯一 4. 数列与函数：定义域为正整数集（或其有限子集）的特殊函数 5. 分类：有穷/无穷；递增/递减/常数列/摆动 例题区（学生板演区域） 例1：由通项公式求前5项并画图 例2：由前几项写通项公式 例3：判断120是否为数列的项（n²+2n=120，n=10） 题型一：由通项公式求指定项 题型二：判断某数是否为数列的项 题型三：观察法求通项公式 课堂小结：有序性——通项公式——特殊函数 1. 现存问题 （1）情境引入衔接不够紧密：身高记录、微信步数两个生活情境虽激发了学生兴趣，但从生活“按顺序排列的数”到数学“数列”定义的过渡稍显生硬，部分学生未能自然建立“有序性”与数学定义的关联。 （2）“数列是特殊函数”理解不透彻：在数列与函数的关系这一关键知识点上，部分学生对定义域（正整数集或其有限子集）与图象（孤立点）的差异认知不足。 （3）归纳通项公式难点突破不足：由数列前几项归纳通项公式环节，部分学生找不到项与序号的关联，尤其是分式、符号交替型数列，仅记住了结论，对归纳方法理解不深。 （4）互动形式较单一：主要通过师生问答推进，小组合作探究不足，学生结合生活实际自主举例的机会较少。 2. 改进措施 （1）优化情境过渡：在生活情境后增加“将数列与集合对比”的辨析活动，让学生经历从生活现象到数学概念的抽象过程，自然引出“有序性”。 （2）强化特殊函数认知：通过对比表格呈现函数y=2x与数列aₙ=2n的定义域、对应关系、图象，直观辨析差异与联系，再配以专项小练习。 （3）细化归纳方法指导：将归纳通项公式拆解为“观察变与不变→分析项与序号的关系→归纳验证”三步，提供等差、等比型到分式、符号交替型的阶梯式案例，降低理解难度。 （4）增加小组合作探究：让学生以小组为单位结合生活实际自主举例数列、互评通项公式，提升课堂参与度与知识应用能力。 学科网（北京）股份有限公司 $