4.1数列的概念教学设计-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

《数列的概念》教学设计 一、教学内容分析 本节课是数列章节的起始课，是高中数学中离散型函数的开篇内容，起着承上启下的重要作用。承接函数的概念、表示方法、定义域与值域等知识，同时为后续学习等差数列、等比数列、数列求和、递推公式等内容奠定基础。 教材以生活实例引入→数列的定义→项与项数→分类→通项公式→简单应用为主线，通过 GDP 数据、细菌分裂、常数序列等实例，让学生理解数列是特殊的函数，培养学生观察、归纳、抽象概括的数学能力。 二、学情分析 已知点： 1.已学习函数的概念、表示方法、定义域、值域，具备函数思想基础。 2.能观察简单数字规律，具备一定归纳能力。 3.掌握代数式运算、方程求解等基本技能。 困惑点： 1.难以理解数列与函数的关系。 2.对通项公式的意义理解不清晰。 3.写通项公式时容易忽略符号规律、分母规律。 发展点： 1.能根据数列前几项写出简单通项公式。 2.能由通项公式求数列的项。 3.建立 “数列是特殊函数” 的观念。 三、教学目标（与核心素养相连） 1. 数学抽象 通过实例抽象出数列的概念，理解数列的 “有序性”，能区分数列与集合、数列与函数的差异。 2. 逻辑推理 能根据数列前几项的特征，归纳推理出数列的通项公式；能判断数列的类型（有穷 / 无穷、常数列等）。 3. 数学运算 能由通项公式求数列的项，能由项数求对应项的值，会进行简单的项数与项之间的运算。 4. 直观想象 能从函数图像角度认识数列图像是孤立的点 。 5. 数学建模 能从生活、经济、科学问题中提炼数列模型，感受数列在实际问题中的应用价值。 四、学习重点难点 教学重点： 1.数列的概念、项与项数、通项公式。 2.由通项公式求项；由前几项归纳通项公式。 教学难点： 1.理解数列是特殊的函数。 2.根据数列前几项准确写出通项公式。 5、 学习活动设计 教师：多媒体课件、数列实例图片、课堂练习单。 学生：课本、笔记本、笔。 环节一：情境导入・生活中的数列（5 分钟） 学习活动 1：观察数据・引出课题 情境展示教师播放 PPT：展示 2015—2019 年国内生产总值数据：688858，746395，832036，919281，990865对应年份：2015，2016，2017，2018，2019增长率：7.0%，6.8%，6.9%，6.7%，6.1%。 分层提问 提问 1：这些数字有什么共同特点？ 提问 2：它们是按一定次序排列的，我们把这样的一列数叫什么？ 提问 3：生活中你还见过哪些按顺序排列的数？ 板书课题数列的概念 设计意图:从真实经济数据切入，贴近生活，自然引出数列定义。 环节二：新知建构・数列的基本概念（10 分钟） 学习活动 2：自主阅读・提炼定义 学生自主学习阅读教材，圈画关键词： 数列：按照一定次序排列的一列数。 项：数列中的每一个数。 首项：第 1 项，记作a1​；第 2 项a2​…… 第n项an​。 数列表示：{an}。 教师精讲辨析 强调：次序不同→数列不同。例：1，2，3 和 3，2，1 是不同数列。 数列与集合区别：数列有序、可重复；集合无序、互异。 即时小练判断：数列 2，2，2，2… 是数列吗？（是，常数列） 设计意图:夯实概念，强调 “次序” 核心。 环节三：数列的分类（7 分钟） 学习活动 3：观察对比・归纳分类 教师给出例子① 1，2，3，4，5② 2，4，8，16，32…③ 3，3，3，3… 小组讨论（2 分钟）根据项数多少、项的变化规律分类。 教师总结: 按项数：有穷数列（项数有限）无穷数列（项数无限，写 “…”） 按项的特点：常数列（所有项都相同） 即时判断下列数列是有穷还是无穷？（1）1，3，5，7（2）1，1，1，1… 设计意图:用对比法让学生自主得出分类标准。 环节四：核心内容・数列的通项公式（12 分钟）【重点 + 难点】 学习活动 4：探究规律・认识通项 观察数列：2，4，6，8，10…提问：第 1 项、第 2 项、第 n 项分别是多少？学生得出：an​=2n 教师给出定义通项公式：数列第n项an​与项数n之间的关系式。 理解：数列是特殊函数 定义域：正整数集N∗或其有限子集 对应关系：n→an​ 图像：一群孤立的点 例题 1：由通项写前 5 项已知an​=n+1，写出前 5 项。解：依次令n=1,2,3,4,5得：2，3，4，5，6 例题 2：由前几项写通项（重点）给出数列：（1）2，4，6，8… （2）1，3，5，7…引导学生观察： 符号：正负交替用(−1)n或(−1)n+1 分子、分母分别找规律 与项数n建立关系 即时小练写出通项：1，4，9，16，25… 设计意图:由易到难，讲清 “观察 — 归纳 — 表达” 三步法。 环节五：巩固练习・当堂达标（7 分钟） 1．下列说法错误的是 A．数列4，7，3，4的首项是4 B．数列{an}中，若a1=3，则从第2项起，各项均不等于3 C．数列1，2，3，…就是数列{n} D．数列中的项不能是代数式 【答案】B 【分析】根据数列的概念分别判断即可． 【详解】根据数列的相关概念，可知数列4，7，3，4的第1项就是首项，即4，故A正确； 同一个数在一个数列中可以重复出现，故B错误； 根据数列的相关概念可知C正确； 数列中的项必须是数，不能是其他形式，故D正确．故选B． 【点睛】数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数称为这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项，又称为首项． 2．下列叙述正确的是 A．与是相同的数列 B．是常数列 C．数列的通项 D．数列是递增数列 【答案】D 【分析】根据数列的定义可排除；根据通项公式的定义可排除；根据数列各项的变化规律可知正确. 【详解】数列与各项顺序不同，不是相同的数列，故错误； 数列是摆动数列，故错误； 数列，通项，故错误； 单调递增，则数列是递增数列，故正确. 本题正确选项： 【点睛】本题考查数列的概念、通项、增减性的判定，属于基础题. 3．数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察，奇偶相间排列，偶数位置为负，所以为，数字是奇数，满足2n-1, 所以可求得通项公式. 【详解】由符号来看，奇数项为正，偶数项为负，所以符号满足， 由数值1，3，5，7，9…显然满足奇数，所以满足2n-1,所以通项公式 为，选C. 【点睛】本题考查观察法求数列的通项公式，解题的关键是培养对数字的敏锐性，属于基础题. 4．下列叙述正确的是（    ） A．数列，，，与，，，是相同的数列 B．数列，，，，…可以表示为 C．数列，，，，…是常数列 D．数列是递增数列 【答案】D 【分析】根据题意，结合数列的定义，依次分析选项，即可得出答案. 【详解】解：对于A，数列，，，与，，，不是相同的数列，故A错误； 对于B，数列，，，，…可以表示为，故B错误； 对于C，数列，，，，…是摆动数列，故C错误； 对于D，数列是递增数列，故D正确. 故选：D. 【点睛】本题考查数列的概念和数列的通项公式，属于基础题. 5．数列、、、的下一项应该是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察数列的项之间的变化规律，即可求得答案. 【详解】观察数列、、、的项之间的规律， 可得根号下的数依次增加4，故数列、、、的下一项应该是， 故选：C 6．已知数列，，，，则数列的第五项为（    ） A．9 B．15 C．24 D．39 【答案】C 【分析】由，，结合递推公式可得，即可得. 【详解】因，，，则，. 故选：C 7．数列1，3，6，10，，21，28，…中，由给出的数之间的关系可知的值是（    ） A．12 B．15 C．17 D．18 【答案】B 【分析】各项乘2，可得原数列的通项公式，从而得的值. 【详解】各项乘2，变为1×2，2×3，3×4，…，可得原数列的通项公式为，故． 故选: B. 8．数列，…的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据规律确定正确答案. 【详解】依题意，， A选项，错误；B选项错误；D选项错误， C选项，，且后面的项也满足，所以C选项正确. 故选：C 教师巡视、讲解错题。 环节六：课堂小结（3 分钟） 构建知识框架师生共同总结： 数列定义：按一定次序排列的一列数。 项、项数、首项、通项公式。 分类：有穷 / 无穷；常数列。 核心：数列是特殊的函数。 技能：由通项求项；由项归纳通项。 6、 板书设计 数列的概念 定义：按一定次序排列的一列数项：a1​,a2​,a3​…an​表示：{an} 分类有穷数列、无穷数列常数列 通项公式an​=f(n)（n∈N∗）数列是特殊的函数 基本题型① 由通项求项② 由前几项归纳通项 七、作业设计 1.基础必做题 背诵数列、通项公式的定义。 已知数列通项an​=3n+2，写出它的前 5 项。 判断下列数列是有穷还是无穷：（1）1，2，3，4，5（2）2，2，2，2… 2.提升选做题 写出下列数列的一个通项公式：（1）1，3，5，7，9…（2）-1，1，-1，1…（3）11​，21​，31​，41​… 3.拓展思考题 思考：数列的图像为什么是孤立的点，而不是连续曲线？ 八、教学评价与反思 亮点: 1.从真实 GDP 数据导入，贴近生活，激发兴趣。 2.概念形成遵循 “实例→抽象→辨析→应用”，符合认知规律。 3.重点突出通项公式，讲练结合，落实数学运算与逻辑推理。 不足: 1.部分学生对 “数列是函数” 理解仍较抽象。 2.归纳通项公式时符号规律掌握不牢。 改进: 1.增加函数图像对比，强化 “离散函数” 观念。 2.增加符号规律专项小练习，巩固技巧。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $