第1讲：数列题型讲义【十一题型】-2025-2026学年高二数学人教A版选择性必修第二册

第1讲：数列题型精讲与精练 【考点梳理】 · 考点一：等差数列的基本计算量 · 考点二：等差数列性质应用 · 考点三：等差数列的前n项和性质 · 考点四：等差数列的实际应用 · 考点五：等比数列的基本计算量 · 考点六：等比数列的性质 · 考点七：等比数列的前n项和性质 · 考点八：等比数列的实际应用 · 考点九：数列的通项公式求法 · 考点十：等比数列求和 · 考点十一：数列和不等式 【知识梳理】 知识点1．数列的有关概念 概念 含义 数列 按照确定的顺序排列的一列数 数列的项 数列中的每一个数 通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式 递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式 数列{an}的前n项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an 知识点2.数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的大小关系 递增数列 an＋1>an 其中n∈N* 递减数列 an＋1<an 常数列 an＋1＝an 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 知识点3、常用结论 1．已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝ 2．在数列{an}中，若an最大，则(n≥2，n∈N*)；若an最小，则(n≥2，n∈N*)． 知识点4．等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)． (2)等差中项 由三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有2A＝a＋b. 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1＋d或Sn＝. 3．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． (4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (5)S2n－1＝(2n－1)an. (6)等差数列{an}的前n项和为Sn，为等差数列． 常用结论 1．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p. 2．在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值． 3．等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列． 4．数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．这里公差d＝2A. 知识点5．等比数列有关的概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示. (2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab. 2．等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1. (2)等比数列通项公式的推广：an＝amqn－m. (3)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝. 3．等比数列性质 (1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2w＝m＋n，则aman＝a，其中m，n，w∈N*. (2)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)． (3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{an·bn}，{pan·qbn}和也是等比数列(b，p，q≠0)． (4)等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.(n为偶数且q＝－1除外) (5)若或则等比数列{an}递增． 若或则等比数列{an}递减． 常用结论 1．等比数列{an}的通项公式可以写成an＝cqn，这里c≠0，q≠0. 2．等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1,0)． 3．数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和． (1)若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列． (2)若数列{an}的项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q，或＝q. 【题型归纳】 题型一：等差数列的基本计算量 【典例1】．（25-26高二下·河南南阳·月考）已知是等差数列的前n项和，且，，则（   ） A．20 B．23 C．26 D．29 【变式1】．（2026·湖北十堰·二模）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．19 B．25 C．30 D．33 【变式2】．（25-26高三下·辽宁抚顺·月考）记为等差数列的前n项和，若 则 （    ） A． B． C．1 D．2 题型二：等差数列性质应用 【典例2】．（25-26高二下·河南许昌·期中）已知在等差数列中，，则其前17项和（   ） A．85 B．68 C．51 D．34. 【变式1】．（25-26高二下·广西贺州·月考）已知数列为等差数列，且，则（    ） A．11 B．22 C．44 D．88 【变式2】．（2026·四川资阳·三模）记为等差数列的前项和，若，，则（   ） A．15 B．21 C．28 D．36 题型三：等差数列的前n项和性质 【典例3】．（25-26高二下·安徽阜阳·月考）已知等差数列的前n项和为，且，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】．（25-26高二下·浙江·期中）设等差数列的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型四：等差数列的实际应用 【典例4】．（25-26高二下·四川成都·期中）《莱因德纸草书》（）是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目，请给出答案：把个面包分给个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织的布量相同），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织360尺布”，则第30天织布（    ） A．7尺 B．14尺 C．21尺 D．19尺 【变式2】．（24-25高二下·山东淄博·期中）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，七七数之剩二(除以7余2)，问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数满足二二数之剩一，三三数之剩一，将符合条件的所有正整数p按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前n项和为，则的最小值为（    ） A．26 B．36 C．38 D．46 题型五：等比数列的基本计算量 【典例5】．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·月考）已知等比数列的公比，前项和为，且，，成等差数列，若，则（    ） A． B．4 C． D．2 【变式1】．（25-26高二下·江西赣州·期中）设等比数列的前n项和为，若，则（   ） A． B． C．5 D．3 【变式2】．（25-26高二下·广东佛山·月考）记为等比数列的前项和．若，则（ ） A．7 B． C． D． 题型六：等比数列的性质 【典例6】．（25-26高二下·四川泸州·月考）在等比数列中，，，则（   ） A．36 B． C． D．6 【变式1】．（25-26高二下·吉林长春·月考）已知数列为等比数列，是方程的两个实数根，则（     ） A． B． C．4 D． 【变式2】．（2026·广东湛江·二模）已知等比数列的各项均为正数，且，则（   ） A． B． C． D． 题型七：等比数列的前n项和性质 【典例7】．（25-26高三下·重庆·月考）设等比数列的前项和为，若，则（　　） A．24 B．32 C．36 D．108 【变式1】．（25-26高二下·内蒙古赤峰·月考）设等比数列的前n项和为，若，，则 （ ） A．24 B．32 C．36 D．108 【变式2】．（2025·江西·二模）记为等比数列的前项和，若，则（    ） A．81 B．71 C．61 D．51 题型八：等比数列的实际应用 【典例8】．（25-26高二上·福建漳州·期中）一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟上升高度的80%，该热气球在前3分钟里上升的总高度为（    ）米. A．29 B．45 C．61 D．77 【变式1】．（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤.问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第 5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤.问原来持金多少?”.记这个人原来持金为斤，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高一下·上海·月考）近日，某网站发表了一项针对新冠肺炎疫情数据的最新分析，该研究显示，新冠病毒的中位潜伏期约4.75天，即病毒侵入人体到人体出现反应或开始呈现症状时平均4.75天；基本传染数（R0）达3.77，即每位患者平均传染3.77人．假如有一种细菌能够杀死新冠病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个新冠病毒的同时自身分裂为2个，现有一个这样的细菌和500个病毒，则细菌将新冠病毒全部杀死至少需要（    ） A．7秒钟 B．8秒钟 C．9秒钟 D．10秒钟 题型九：数列的通项公式求法 【典例9】．（25-26高二下·湖北武汉·期中）已知数列的前项和为，满足，则的值为（   ） A．63 B．126 C．128 D．254 【变式1】．（25-26高二下·河南南阳·月考）在数列中，，则的值为（    ） A．2+ln99 B．2+ln100 C．2+ln101 D． 【变式2】．（2026·山东济宁·一模）已知数列的首项，且满足，则（    ） A． B． C．10 D．12 题型十：等比数列求和 【典例10】．（25-26高二下·四川乐山·期中）记为数列的前项和，. (1)求数列的通项公式； (2)设，证明：. 【变式1】．（25-26高二下·河南新乡·期中）已知数列满足：． (1)证明：数列是等比数列； (2)若，求数列的前项和． 【变式2】．（25-26高二下·江西景德镇·月考）若正项数列满足，则称数列是的平方差数列.已知数列是的平方差数列，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若求数列的前项和. 题型十一：数列和不等式 【典例11】．（25-26高二下·湖北襄阳·期中）已知数列，满足，． (1)求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式 (2)求证：， 【变式1】．（25-26高二下·江西赣州·期中）已知数列的前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． (3)若对任意，不等式恒成立，且，为常数，已知，求的最小值． 【变式2】．（25-26高二下·江西吉安·期中）已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，记数列的前n项和为； （ⅰ）求； （ⅱ）若对任意恒成立，求实数k的取值范围． 【强化精练】 一、单选题 1．（25-26高二下·河南南阳·期中）已知数列为等差数列，若，则（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 2．（25-26高二下·河南平顶山·期中）记为数列的前项和，已知，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·辽宁营口·月考）已知公差为9的等差数列的项数为偶数，其所有奇数项之和为200，所有偶数项之和为380，则数列的项数为（   ） A．20 B．40 C．60 D．80 4．（25-26高二下·辽宁朝阳·月考）已知等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时，（ ） A．6或7 B．7 C．8 D．7或8 5．（25-26高二下·江西景德镇·月考）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．15 B． C． D．7 6．（25-26高三下·江苏南通·月考）已知是等比数列，则“数列是递增数列”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2026·安徽淮南·二模）平面螺旋是以一个固定点开始，向外圈逐渐旋绕而形成的图案.其画法是：取第一个正方形各边的四等分点，，，作第二个正方形，再取正方形各边的四等分点，，，作第三个正方形，以此方法一直循环下去，就可得到阴影部分图案，如图所示.设正方形边长为，后续各正方形边长依次为.若，则等于（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·月考）若正项无穷数列是等差数列，且，则（    ） A． B．当时，的前项和为 C．公差的取值范围是 D．当为整数时，的最大值为 9．（25-26高二下·河南新乡·月考）已知数列的首项，且，则下列结论正确的有（   ） A． B．数列是递增数列 C．数列是等比数列 D． 10．（25-26高三下·辽宁·月考）设为等差数列的前项和，已知，，则（   ） A． B．，，成等比数列 C． D．当且仅当时，取得最大值 11．（25-26高二下·河南南阳·期中）已知等比数列的各项均为正数，公比为，记数列的前项积为，且，，则下列正确的是（    ） A． B． C．当时，取最大值 D． 12．（2026·安徽马鞍山·二模）数列的前项和为，且，，则（    ） A．数列是等差数列 B．数列是等比数列 C． D．数列的前项和等于 三、填空题 13．（25-26高二下·广东中山·期中）已知等差数列的前项和为，且，则__________． 14．（25-26高三下·四川成都·月考）已知等差数列中，，，则______. 15．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·月考）已知等差数列的公差为，等比数列的公比为，且，，，则______． 16．（25-26高二下·浙江丽水·期中）已知数列的前n项和为，且，则________． 17．（25-26高二下·上海·期中）已知数列是各项均不为零的等差数列，为其前项和，且，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是__________． 四、解答题 18．（25-26高二下·辽宁沈阳·月考）已知数列中，，，. (1)证明数列为等比数列，并求数列的前n项和； (2)记，数列的前n项和为，求证：. 19．（25-26高三下·山东·月考）已知等差数列和正项等比数列满足，，． (1)求和的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 20．（25-26高二下·河南驻马店·月考）已知数列满足，，且对任意均成立，数列满足. (1)求数列，的通项公式. (2)设，求数列的前n项和. 21．（25-26高二下·上海·期中）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)若，设是数列的前项和，若存在常数，使不等式对任何正整数都成立，求的最小值. (3)已知数列满足（为正整数），且集合为正整数有且仅有两个元素，求实数的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1讲：数列题型精讲与精练 【考点梳理】 · 考点一：等差数列的基本计算量 · 考点二：等差数列性质应用 · 考点三：等差数列的前n项和性质 · 考点四：等差数列的实际应用 · 考点五：等比数列的基本计算量 · 考点六：等比数列的性质 · 考点七：等比数列的前n项和性质 · 考点八：等比数列的实际应用 · 考点九：数列的通项公式求法 · 考点十：等比数列求和 · 考点十一：数列和不等式 【知识梳理】 知识点1．数列的有关概念 概念 含义 数列 按照确定的顺序排列的一列数 数列的项 数列中的每一个数 通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式 递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式 数列{an}的前n项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an 知识点2.数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的大小关系 递增数列 an＋1>an 其中n∈N* 递减数列 an＋1<an 常数列 an＋1＝an 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 知识点3、常用结论 1．已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝ 2．在数列{an}中，若an最大，则(n≥2，n∈N*)；若an最小，则(n≥2，n∈N*)． 知识点4．等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)． (2)等差中项 由三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有2A＝a＋b. 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1＋d或Sn＝. 3．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． (4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (5)S2n－1＝(2n－1)an. (6)等差数列{an}的前n项和为Sn，为等差数列． 常用结论 1．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p. 2．在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值． 3．等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列． 4．数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．这里公差d＝2A. 知识点5．等比数列有关的概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示. (2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab. 2．等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1. (2)等比数列通项公式的推广：an＝amqn－m. (3)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝. 3．等比数列性质 (1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2w＝m＋n，则aman＝a，其中m，n，w∈N*. (2)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)． (3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{an·bn}，{pan·qbn}和也是等比数列(b，p，q≠0)． (4)等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.(n为偶数且q＝－1除外) (5)若或则等比数列{an}递增． 若或则等比数列{an}递减． 常用结论 1．等比数列{an}的通项公式可以写成an＝cqn，这里c≠0，q≠0. 2．等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1,0)． 3．数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和． (1)若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列． (2)若数列{an}的项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q，或＝q. 【题型归纳】 题型一：等差数列的基本计算量 【典例1】．（25-26高二下·河南南阳·月考）已知是等差数列的前n项和，且，，则（   ） A．20 B．23 C．26 D．29 【答案】A 【分析】方法一：由，得到，根据得到，进而得到公差，再利用通项公式求解；方法二：列方程组求解． 【详解】方法一：由，得， 由，得， 设公差为d，则，解得， ∴． 方法二：设公差为d，由题知， 解得，， ∴． 【变式1】．（2026·湖北十堰·二模）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．19 B．25 C．30 D．33 【答案】B 【详解】法1：设 的公差为 ，由 ，得 ，即 . 由 ，得 ，所以 . 所以 ，所以. 法2：设 的公差为 ，由题意，得 ， 即 ， 解得 ， . 所以 . 【变式2】．（25-26高三下·辽宁抚顺·月考）记为等差数列的前n项和，若 则 （    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】利用等差数列的性质求出，即可求出公差，即可求解. 【详解】由已知等差数列中，得， 即，所以， 又，则公差，所以. 题型二：等差数列性质应用 【典例2】．（25-26高二下·河南许昌·期中）已知在等差数列中，，则其前17项和（   ） A．85 B．68 C．51 D．34 【答案】B 【详解】设等差数列的公差为. 根据等差数列通项公式， . 已知，则，解得. 由等差数列前项和公式，得. 根据等差数列性质有. 因此. 【变式1】．（25-26高二下·广西贺州·月考）已知数列为等差数列，且，则（    ） A．11 B．22 C．44 D．88 【答案】C 【分析】由等差数列的性质求解. 【详解】根据等差数列的性质可得，所以． 【变式2】．（2026·四川资阳·三模）记为等差数列的前项和，若，，则（   ） A．15 B．21 C．28 D．36 【答案】B 【详解】因为为等差数列，所以，又因为， 所以，，则公差， 则：. 题型三：等差数列的前n项和性质 【典例3】．（25-26高二下·安徽阜阳·月考）已知等差数列的前n项和为，且，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据等差数列的片段和的性质即可求解． 【详解】因为成等差数列，设其公差为， 所以，所以， 所以，所以． 【变式1】．（25-26高二下·浙江·期中）设等差数列的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据等差数列的性质得，， ∴原式可化为     ∵ 为等差数列， ∴ ， 原式进一步化简为。 ∵ 等差数列前项和为常数项为0的二次函数，且， ∴ 可设，（且）。 由等差数列通项与前项和的关系：，： ∴， 将，代入化简后的原式得 【变式2】．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据题意，由等差数列前n项和的性质可得，要使为整数，只需要为的因数即可. 【详解】，又， ， 当时，，所以使得为整数的正整数的个数是4个. 故选：D. 题型四：等差数列的实际应用 【典例4】．（25-26高二下·四川成都·期中）《莱因德纸草书》（）是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目，请给出答案：把个面包分给个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据总和及题目条件列方程组求解即可. 【详解】设人所得面包数为递增等差数列，首项（即最小的一份）为所求，公差. 因为份总和为，由等差数列前项和公式， 化简得 ①， 较大的三份为后三项，较小的两份为前两项， 由题意， 代入通项公式展开得， 化简得②， 把②代入①得，即，解得. 因此最小的一份为. 【变式1】．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织的布量相同），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织360尺布”，则第30天织布（    ） A．7尺 B．14尺 C．21尺 D．19尺 【答案】D 【分析】由题意该女每天织布数量构成首项为的等差数列，由等差数列前项和公式计算可得公差的值，由此能求出第30天织布数量． 【详解】由题意该女每天织布数量构成首项为的等差数列，设公差为， 则， 解得， 所以第30天织布（尺）． 故选：D． 【变式2】．（24-25高二下·山东淄博·期中）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，七七数之剩二(除以7余2)，问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数满足二二数之剩一，三三数之剩一，将符合条件的所有正整数p按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前n项和为，则的最小值为（    ） A．26 B．36 C．38 D．46 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出及前n项和，再利用对勾函数的性质求出最小值. 【详解】二二数之剩一、三三数之剩一的数分别为、，， 因此数列的项即为以上两类数的公共项，即，， 而，则数列是等差数列， 于是，， 又对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以时，取得最小值38. 故选：C 题型五：等比数列的基本计算量 【典例5】．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·月考）已知等比数列的公比，前项和为，且，，成等差数列，若，则（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】D 【分析】根据题意，利用等比数列的前项和公式，化简得到，求得，再根据，求出，即可得解. 【详解】由等比数列的前项和公式， 可得， 因为，，成等差数列，可得， 整理得，即，即， 所以，解得或（舍去）， 由，可得， 所以. 故选：D. 【变式1】．（25-26高二下·江西赣州·期中）设等比数列的前n项和为，若，则（   ） A． B． C．5 D．3 【答案】C 【分析】设数列公比为，根据已知条件求出，再由等比数列求和公式化简计算即得. 【详解】设等比数列公比为，首项， 则，即得， 故. 【变式2】．（25-26高二下·广东佛山·月考）记为等比数列的前项和．若，则（ ） A．7 B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意求出的值，从而可得，再代入，即可得答案. 【详解】设等比数列的公比为， 由，可得：，解得， 所以，因此， 所以. 题型六：等比数列的性质 【典例6】．（25-26高二下·四川泸州·月考）在等比数列中，，，则（   ） A．36 B． C． D．6 【答案】D 【详解】在等比数列中，因为，所以，即， 所以，又因为与同号，所以. 【变式1】．（25-26高二下·吉林长春·月考）已知数列为等比数列，是方程的两个实数根，则（     ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【详解】因为是方程的两个不同实根， 所以，，所以， 因为是等比数列，所以，所以， 又因为，所以. 【变式2】．（2026·广东湛江·二模）已知等比数列的各项均为正数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由等比数列的性质得. 由于的各项均为正数，所以. 题型七：等比数列的前n项和性质 【典例7】．（25-26高三下·重庆·月考）设等比数列的前项和为，若，则（　　） A．24 B．32 C．36 D．108 【答案】B 【详解】因为等比数列的前项和为， 所以，，，成等比数列， 所以，解得， 又，所以，解得. 【变式1】．（25-26高二下·内蒙古赤峰·月考）设等比数列的前n项和为，若，，则 （ ） A．24 B．32 C．36 D．108 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为.若，，则， 故， ，所以， 故. 【变式2】．（2025·江西·二模）记为等比数列的前项和，若，则（    ） A．81 B．71 C．61 D．51 【答案】C 【分析】根据等比数列前项和性质，即可求解. 【详解】由题可知，，成等比数列， 所以，即，得， 则此等比数列的首项是1，公比是，那么， ， 所以. 故选：C 题型八：等比数列的实际应用 【典例8】．（25-26高二上·福建漳州·期中）一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟上升高度的80%，该热气球在前3分钟里上升的总高度为（    ）米. A．29 B．45 C．61 D．77 【答案】C 【分析】根据等比数列求和公式即可求解. 【详解】由题意可知，热气球每分钟上升的高度构成等比数列，且首项，公比， 则该热气球在前3分钟里上升的总高度为米. 故选：C 【变式1】．（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤.问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第 5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤.问原来持金多少?”.记这个人原来持金为斤，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别计算每关收税金，由5关所收税金之和为1斤，列出方程，求出的值. 【详解】由题意知：这个人原来持金为斤， 第1关收税金为：斤； 第2关收税金为斤； 第3关收税金为斤， 以此类推可得的，第4关收税金为斤，第5关收税金为斤， 所以， 即，解得. 故选：C. 【变式2】．（24-25高一下·上海·月考）近日，某网站发表了一项针对新冠肺炎疫情数据的最新分析，该研究显示，新冠病毒的中位潜伏期约4.75天，即病毒侵入人体到人体出现反应或开始呈现症状时平均4.75天；基本传染数（R0）达3.77，即每位患者平均传染3.77人．假如有一种细菌能够杀死新冠病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个新冠病毒的同时自身分裂为2个，现有一个这样的细菌和500个病毒，则细菌将新冠病毒全部杀死至少需要（    ） A．7秒钟 B．8秒钟 C．9秒钟 D．10秒钟 【答案】C 【分析】设第秒种的细菌的个数为，且，求得通项公式，据题意可得，求解即可. 【详解】设第秒种的细菌的个数为，且， 又每个细菌在每秒钟杀死一个新冠病毒的同时自身分裂为2个， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以， 则经过秒钟共杀死个新冠病毒， 依题意，需使，即，所以， 因是增函数，且，故. 即细菌将新冠病毒全部杀死至少需要9秒钟. 故选：C 题型九：数列的通项公式求法 【典例9】．（25-26高二下·湖北武汉·期中）已知数列的前项和为，满足，则的值为（   ） A．63 B．126 C．128 D．254 【答案】B 【分析】根据和的关系得到，则，，再根据等比数列前项和公式计算即可． 【详解】解：，当时，，故； 当时，，，相减得到， 数列是首项为，公比为的等比数列， 故，验证时成立，故，， ． 【变式1】．（25-26高二下·河南南阳·月考）在数列中，，则的值为（    ） A．2+ln99 B．2+ln100 C．2+ln101 D． 【答案】B 【详解】由可得， 则 . 【变式2】．（2026·山东济宁·一模）已知数列的首项，且满足，则（    ） A． B． C．10 D．12 【答案】A 【分析】根据递推关系得，结合等差数列定义写出的通项公式，即可得答案. 【详解】由题意可得：， 令，则可得：， 所以是等差数列，公差为2. 又因为，所以， 所以. 题型十：等比数列求和 【典例10】．（25-26高二下·四川乐山·期中）记为数列的前项和，. (1)求数列的通项公式； (2)设，证明：. 【详解】（1）数列的前项和，当时，， 而，满足上式，所以数列的通项公式为. （2）由（1）得，令， 则，， 两式相减得， 因此，所以. 【变式1】．（25-26高二下·河南新乡·期中）已知数列满足：． (1)证明：数列是等比数列； (2)若，求数列的前项和． 【详解】（1）时，，解得， 时，，化简得，又， 所以是以1为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）可知：，所以 ，所以 ． 【变式2】．（25-26高二下·江西景德镇·月考）若正项数列满足，则称数列是的平方差数列.已知数列是的平方差数列，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若求数列的前项和. 【答案】(1), (2) (3) 【详解】（1）因为，故， 故，所以为常数列， 而，故，故即. 故，所以， 由累加法可得，而， 故，而，故. （2）, 当为偶数时，. 当为奇数时，. 故. （3）当为奇数时，，当为偶数时，， 而， 令， 则， 故， 故 ， 故. 而，则， 故， 故， 故. 题型十一：数列和不等式 【典例11】．（25-26高二下·湖北襄阳·期中）已知数列，满足，． (1)求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式 (2)求证：， 【详解】（1）由满足，，得， 两边取倒数，得，即． 所以数列是首项为，公差为的等差数列． 由等差数列通项公式可得：，故． （2）由知，则. 设数列的前项和为，则. 先证：当时，， 当时，， 所以，. 综上，对任意， 再证：因为当时，，所以当时，； 当时， ，因为，所以综上，，故结论成立． 【变式1】．（25-26高二下·江西赣州·期中）已知数列的前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． (3)若对任意，不等式恒成立，且，为常数，已知，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用与的关系求的通项公式; （2）利用错位相减法求前项和； （3）化简不等式左边表达式，再将不等式变形为，通过求该表达式的最大值得到的最小值. 【详解】（1）当时，， 当时，， 显然也满足， 所以. （2）由（1）知， 则， ， 得， ， 所以． （3）把代入，已知， 所以等价于， 即，对任意恒成立， 所以， 设，显然递减， 当时，取最大值， 所以的最小值． 【变式2】．（25-26高二下·江西吉安·期中）已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，记数列的前n项和为； （ⅰ）求； （ⅱ）若对任意恒成立，求实数k的取值范围． 【详解】（1）设数列的公差为d，由得， 由，令得，联立，得，，所以． （2）（ⅰ）由（1）可得，所以，① ，② 得：， 所以． （ⅱ）将代入不等式得， 当n为奇数时，不等式等价于恒成立， 因为，所以； 当n为偶数时，不等式等价于恒成立， 因为，所以； 综上可知k的取值范围为． 【强化精练】 一、单选题 1．（25-26高二下·河南南阳·期中）已知数列为等差数列，若，则（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 【答案】C 【详解】因为数列为等差数列，所以，则， 所以. 2．（25-26高二下·河南平顶山·期中）记为数列的前项和，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，， 当时，，不满足上式，所以 3．（25-26高二下·辽宁营口·月考）已知公差为9的等差数列的项数为偶数，其所有奇数项之和为200，所有偶数项之和为380，则数列的项数为（   ） A．20 B．40 C．60 D．80 【答案】B 【分析】设等差数列共项，由偶数项之和与奇数项之和的差为可得答案. 【详解】设等差数列共项，则奇数项有项，偶数项有项，且各成等差数列， 所有偶数项之和为，所有奇数项之和为， 则，所以20，则． 4．（25-26高二下·辽宁朝阳·月考）已知等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时，（ ） A．6或7 B．7 C．8 D．7或8 【答案】D 【详解】已知等差数列，，， 由等差数列前项和公式可得， ，解得， ， ，是开口向上的二次函数， 对称轴为， 由于是正整数，离对称轴最近的整数为7和8， 当取最小值时，7或8． 5．（25-26高二下·江西景德镇·月考）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．15 B． C． D．7 【答案】C 【分析】使用等差数列前项和的性质成等差数列表示未知量，进而求解即可. 【详解】设，，则， ，，成等差数列，， 即，解得，所以. 6．（25-26高三下·江苏南通·月考）已知是等比数列，则“数列是递增数列”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】因为是等比数列，所以可令，公比为，则，，，由，得， 解得或，当，时，总有，即， 当，，总有，即，因此，等比数列是递增数列， 若数列是递增数列，则必有，故“数列是递增数列”是“”的充分必要条件. 7．（2026·安徽淮南·二模）平面螺旋是以一个固定点开始，向外圈逐渐旋绕而形成的图案.其画法是：取第一个正方形各边的四等分点，，，作第二个正方形，再取正方形各边的四等分点，，，作第三个正方形，以此方法一直循环下去，就可得到阴影部分图案，如图所示.设正方形边长为，后续各正方形边长依次为.若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意判断为等比数列，求出通项公式，代入求解即可. 【详解】由题意可知，，易知，所以. 又，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列， 所以，故. 二、多选题 8．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·月考）若正项无穷数列是等差数列，且，则（    ） A． B．当时，的前项和为 C．公差的取值范围是 D．当为整数时，的最大值为 【答案】AD 【分析】根据题意，由等差中项的性质分析A，由等差数列前项和公式分析B，由等差数列的通项公式及单调性分析C、D． 【详解】根据题意，正项无穷数列是等差数列，设其公差为，依次分析选项： 对于A，等差数列中，若，则， 所以，故A正确； 对于B，由于，，则公差， 故的前项和，故B错误； 对于C，由于，只需且即可，则有， 即的取值范围为，故C错误； 对于D，由等差数列的性质，，若为整数，必为整数， 又由数列是正项数列，故，故，即最大值为，故D正确． 9．（25-26高二下·河南新乡·月考）已知数列的首项，且，则下列结论正确的有（   ） A． B．数列是递增数列 C．数列是等比数列 D． 【答案】BC 【详解】对于A，，A错误； 对于CD，，， 又，数列是以为首项，为公比的等比数列，C正确； ，即，D错误； 对于B，，， 数列是递增数列，B正确. 10．（25-26高三下·辽宁·月考）设为等差数列的前项和，已知，，则（   ） A． B．，，成等比数列 C． D．当且仅当时，取得最大值 【答案】BC 【分析】根据题意求出等差数列的首项和公差，即可判断A；求出通项公式，继而求出，，，即可判断B；根据数列的前n项和公式可判断C；求出前n项和的表达式，结合二次函数性质求其最大值，即可判断D. 【详解】设等差数列的公差为，则，解得，，A项错误； 由上得，所以，，，则， 而，所以，，成等比数列，B项正确； ，C项正确； ，显然二次函数的图象开口向下， 且对称轴方程为，又，所以取得最大值时，或，D项错误. 11．（25-26高二下·河南南阳·期中）已知等比数列的各项均为正数，公比为，记数列的前项积为，且，，则下列正确的是（    ） A． B． C．当时，取最大值 D． 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，利用等比数列性质推导得，再逐项分析判断. 【详解】由等比数列的各项均为正数，得， 由，得； 由，得，则， 且，，当时，取最大值，BC正确，A错误； 由，即，D正确. 12．（2026·安徽马鞍山·二模）数列的前项和为，且，，则（    ） A．数列是等差数列 B．数列是等比数列 C． D．数列的前项和等于 【答案】ABD 【分析】根据与之间的关系分析可得，即可判断A；进而可得，，即可判断BC；整理可得，利用裂项相消法运算求解，即可判断D. 【详解】对于A，由数列满足， 当时，，所以， 可得， 因为，可得，所以， 则，所以，所以， 所以数列是以首项为，公差的等差数列，所以A正确； 对于B，由A项可得，所以， 当时，， 当时，，适合上式，所以， 又由，可得， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列，所以B正确； 对于C，由B项知：数列的通项公式为，所以C错误； 对于D，由， 可得的前项和为： ，所以D正确. 三、填空题 13．（25-26高二下·广东中山·期中）已知等差数列的前项和为，且，则__________． 【答案】6 【分析】利用等差数列的片段和仍然成等差数列求解. 【详解】因为成等差数列，设其公差为， 所以，所以， 所以，所以． 14．（25-26高三下·四川成都·月考）已知等差数列中，，，则______. 【答案】12 【分析】方法1，利用等差数列性质求解；方法2，利用等差数列通项公式列式求出首项、公差，进而求出目标项. 【详解】方法1：已知为等差数列，则， 由，得，解得， 又，所以. 方法2：设等差数列的公差为， 依题意，，解得， 所以. 15．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·月考）已知等差数列的公差为，等比数列的公比为，且，，，则______． 【答案】12 【分析】根据等差数列及等比数列的通项公式列方程组求解即可. 【详解】等差数列的通项公式为，则，. 等比数列的通项公式为，则，. 由题意知，，整理得，即， 所以或. 对于二次方程，，则此方程无实数解. 因此，所以. 故. 16．（25-26高二下·浙江丽水·期中）已知数列的前n项和为，且，则________． 【答案】75 【详解】当为奇数时，为奇数，则，故数列的奇数项均为； 当为偶数时，为偶数，则，即， 则数列的偶数项，是以为首项，公差为1的等差数列， 所以. 17．（25-26高二下·上海·期中）已知数列是各项均不为零的等差数列，为其前项和，且，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】先根据求出的通项公式，再代入不等式求解，结合对勾函数性质及不等式恒成立条件即可求出实数的取值范围． 【详解】由，平方得， 又等差数列中有， 所以， 所以，由于，得， 则，即对任意恒成立， 设， 根据对勾函数性质，当时该式子取得最小值，此时，而， 所以，故． 四、解答题 18．（25-26高二下·辽宁沈阳·月考）已知数列中，，，. (1)证明数列为等比数列，并求数列的前n项和； (2)记，数列的前n项和为，求证：. 【答案】(1)证明见解析，； (2)证明见解析. 【分析】（1）对等号两边同时取倒数，再变形即可证明为等比数列，再求出通项公式结合错位相减法即可得； （2）通过通项公式得的通项公式，进而可得的通项公式，求和得到表达式后通过放缩，将其转化为一个等比数列的前n项和，即可证明. 【详解】（1）因为数列中， ，， 两边同时取倒数，可得，， 两边同时减去，可得，即， 因为，所以，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列； 所以，所以， ① 所以② 两式相减可得 . 所以. （2）因为，所以， 所以，所以， 因此， 所以， 令， 当时，； 当时，；随着的增大，逐渐变小，逐渐增大， 因为，所以，即，所以，所以. 19．（25-26高三下·山东·月考）已知等差数列和正项等比数列满足，，． (1)求和的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1)；， (2) 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的性质求出，再列方程组求解； （2）利用分组求和以及等差、等比求和公式计算. 【详解】（1）设的公差为，数列的公比为， 由，得， 因为，，所以，，得，， 故，； （2）由（1）可知，， 则 20．（25-26高二下·河南驻马店·月考）已知数列满足，，且对任意均成立，数列满足. (1)求数列，的通项公式. (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题目条件构造等比数列，利用等比数列的通项公式求的通项公式，然后再用累加法求解数列的通项公式即可. （2）先求出目标数列，再利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）由题意可知：， 所以，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以即， 则 ， （2）由题意得，则 得到， ， 则， 得到 21．（25-26高二下·上海·期中）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)若，设是数列的前项和，若存在常数，使不等式对任何正整数都成立，求的最小值. (3)已知数列满足（为正整数），且集合为正整数有且仅有两个元素，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）当；当时，， .当时，代入符合；所以，； （2）， . 由单调性知，递增，当时，， 当时，，所以 所以，所以， 所以最小值为. （3） 数列为等比数列，首项为，公比为2， 所以. 所以，令， 所以 当时，， 当时，，所以， 又，，， 因为集合为正整数有且仅有两个元素， 当时，集合为正整数有且仅有两个元素. 所以实数为为的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $