专题01 全等三角形核心模型与构造方法（高效培优专项训练）数学新教材华东师大版八年级上册

专题01 全等三角形核心模型与构造方法 题型一：一线三等角模型 题型二：半角模型 题型三：手拉手模型 题型四：倍长中线法构造全等 题型五：截长补短法构造全等 题型一：一线三等角模型 方法技巧：同一直线上出现三个相等的角，常由“同角的余角（补角）相等”证出另一组角相等，配合一组对应边相等，用ASA或AAS判定三角形全等，实现边、角转化。 1．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，P为上一点，以点P为顶点作，交于D，交于E，若，，求的长． 【答案】9 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质，解题的关键是证明三角形全等．证明，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ， ∵，， ， ∵， ∴， ． 2．（25-26八年级下·江西赣州·期中）如图，直线l的上方有三个正方形A，B，C，其中正方形A，C的一边在直线l上，正方形B的两个顶点分别与正方形A，C的一个顶点重合，另有一个顶点在直线l上．已知正方形A的面积比正方形C的面积小6，且正方形B的面积为14，则正方形A的面积为______． 【答案】4 【分析】根据正方形的性质证明，得出，利用勾股定理列出方程求解． 【详解】解：如图所示， 根据正方形的性质可得，，， ∴，， ∴， ∴， ， ∵在中，， ∴ 即 ∵正方形A的面积比正方形C的面积小6， ∴， ∵， ∴， ∴，正方形A的面积为4． 3．（25-26八年级上·天津·期中）如图，在中，，，，，垂足分别为D、E． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 【答案】(1) 证明： ， ，，， ， 在与中， ， ， ． (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握“两个三角形若有两个角分别相等且其中一组等角的对边相等，则这两个三角形全等”是解题的关键． （1）根据图形发现要证相等的两条线段和分别在与中，而这两个三角形已经有一组边，还有一组角，题目中出现了三个直角且顶点在同一条直线上，可以利用同角的余角相等再找一组角，证全等从而证线段相等． （2）利用全等三角形的对应边相等，先求出的长度，从而得到的长度． 【详解】（1）略 （2）解： ，， 由（1）可知， 又， ． 4．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）（1）习题呈现：类似冀教版八年级上册57页C组习题，如图1，在中，，，直线经过点C，且于，于E．请直接写出、、之间的数量关系． （2）问题解决：在（1）的条件下，当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：． （3）变式探究：如图3，，，是经过顶点C的一条直线，并且经过的内部，点E、F在射线上，且．请猜想、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2）证明：∵， ， 又 ∵， ， ， ， ， ， ． （3）， 理由：∵， ， ∵，， ， 在和中， ， ， ， ∴． 【分析】本题考查了邻补角的意义，全等三角形的判定和性质等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键，题型较好，综合性比较强． （1）由已知推出，因为，推出，根据即可得到，得到，即可求出答案； （2）与（1）证法类似可证出，能推出，得到，代入已知即可得到答案； （3）与（1）（2）证法类似可证出，能推出，得到，代入已知即可得到答案； 【详解】解：（1）证明：∵， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ． （2）略 （3）略 题型二：半角模型 方法技巧：大角内作其一半的小角，通过旋转把分散的线段“拼”到同一直线上，构造全等三角形，把线段和差关系转化为证明两线段相等，如证。 1．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，，，是边上一点，是的延长线上一点，且． (1)求证：； (2)若点在边上，且，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由； (3)若将题中条件“，”改为“，，点在边上”，则当满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？（只写结果即可） 【答案】(1)证明：，，， ， 又， ， 在和中， ， ， ； (2)解：猜想、、之间的数量关系为：． 证明：，， ∴， 由（1），可得， ， ， 即， ， 在和中， ， ， 又，， ； (3)当时，仍然成立． 【分析】本题综合考查了全等三角形的性质和判定． （1）首先判断出，然后根据全等三角形判定的方法，判断出，即可判断出； （2）猜想、、之间的数量关系为：．首先证明，据此推得，所以，最后根据，判断出即可． （3）当时，仍然成立，依照（2）的证明过程即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：当时，仍然成立， 证明：，， ∴， 由（1），可得， ， ， 即， ， 在和中， ， ， ， 又，， ； ∴当时，仍然成立． 2．（26-27八年级上·河南安阳·阶段检测）教材第一章的数学活动提到了多边形，在此基础上结合全等的知识对四边形进行研究，其中，． (1)如图1，连接，若， ①的度数是__________； ②求证：． (2)如图2，点、分别在线段、上，满足，探究、，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①； ②证明：∵， ，都是直角三角形， 在和中， ， ， ． (2)解：． 理由：如图，延长至点，使，连接， ，， ， 在和中， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ． ，， ． 【分析】（1）①根据角的和差计算即可； ②证明即可； （2）延长至点，使，连接，证明，得到，，进而证明，得到，根据可知． 【详解】（1）①解：∵，， ； ②略 （2）略 3．（25-26七年级下·福建福州·期末）在四边形中，． (1)若，，点，分别是，上的点，且．试探究线段，，之间的数量关系． 小亮同学认为：延长到点，使，连接，如图，先证明，再证明，则可得到，，之间的数量关系．请你： ①直接写出的度数：________°； ②根据小亮同学的思路，直接判断，，之间的数量关系：________． (2)如图，若，点，分别是，上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． (3)如图，若，，点，分别是，延长线上的点，若，求的度数（结果用含的代数式表示）． 【答案】(1)①；② (2)结论仍然成立，理由如下： 延长到点，使，连接，如图所示： ， ，， ， 在和中， ， ，， ， ， ， 是的平分线， ， 在和中， ， ， 又， ， 结论仍然成立； (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质的应用、角平分线的判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）先由“”证明，得到、，进而推导出，再证明，即可得角的度数和线段关系； （2）利用可推导出，沿用（1）的截长补短构造全等的思路，先证明，再证明，判断结论是否成立； （3）采用截长补短法，在上截取，先证明，得到、，再证明，结合角的和差关系推导与的数量关系． 【详解】（1）解：①延长到点，使，连接， ， ， ， 在和中， ， ， 、， ， ， ； ②由①知，、， 在和中， ， ， ， ， ； （2）略； （3）解：如图，在延长线上取一点，使得，连接， ，， ， 又， 在和中， ， ， ，， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即， ， ． 4．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）问题背景  如图1，在四边形中．，，，、分别在、上，且，试探究图中线段、、之间的数量关系，并说明理由． 由“，”的数据信息，解决问题的方法是：延长到，使得，连接，则可以先证，再证________________，从而得到，，之间的数量关系是：________； 验证猜想  写出上述推理的详细过程； 探索延伸  如图2，在四边形中，，，、分别在、上，且，上述结论是否成立，并说明理由． 【答案】 解：（1）如图所示： ∵，，， ∴； ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）成立，理由如下： 延长到，使得，连接， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【分析】本题考查了常见的全等模型——半角模型，掌握模型的构成条件、辅助线的引入是解题关键． （1）先证，推出，进一步得；再证，即可得； （2）参考（1）中的证明过程即可； 【详解】解：（1）略 （2）略 题型三：手拉手模型 　　方法技巧：两个等腰（或等边）三角形共顶点，绕公共顶点旋转构成一对全等三角形；用SAS证全等，得对应边、对应角相等，常用于证明线段相等或夹角为定值。 1．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图，是等边三角形，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据“等角减去同角仍相等”得到，再根据判定，从而证明结果； （2）利用等量代换将转化为，从而解出答案． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴，即， 在和中，， ， ∴． （2）解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴，是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 由（1）知， 2．（25-26八年级上·四川德阳·期末）已知：如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接．以下四个结论：①；②；③；④．其中错误的个数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握考查的知识点是解题的关键． 先证明和为等腰直角三角形，推出，再证明，运用全等的性质即可解题． 【详解】解：∵，，， ∴和为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确，不符合题意； ∴， ∵， ∴，故②正确，不符合题意； ∵， ， ， ， ， ∴， ∴，故③正确，不符合题意； ∵如图，延长射线交于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故④正确，不符合题意； 综上，符合题意共个． 故选：A． 3．（26-27九年级上·甘肃·期中）如图，D为内一点，，，将线段绕着点A顺时针旋转能与线段重合，连接，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：将线段绕着点顺时针旋转能与线段重合， ，， ， ， 在和中， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据条件证明即可； （2）根据全等三角形的对应角相等及等腰三角形两底角相等即可计算求解． 【详解】（1）略； （2）解：由得， ，， ， ． 4．（26-27八年级上·河北邯郸·阶段检测）探究解题： (1)如图①，，，，与交于点F．求证：． (2)如图②，在（1）的条件下，当，试判断与的位置关系并证明． (3)如图③，在（1）的条件下，当，连接，求（用含的式子表示）． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴． (2)， 证明：如图， 由（1）有， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． (3) 【分析】（1）证明，即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质和三角形内角和定理得到，即可证明结论； （3）过点作，垂足分别为，证明，得到平分，证明，即可求出． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：过点作，垂足分别为，设相交于点， ∵， ∴，，, ∴， ∴， ∴平分， ∵,， ∴， ∴． 题型四：倍长中线法构造全等 方法技巧：遇到中线或中点，将中线加倍延长构造全等三角形，实现边、角转移，把分散条件集中到同一三角形，用于证明线段倍半关系或取值范围，如证。 1．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段检测）倍长中线法是一种重要的解题方法，如图①，在中，是边上的中线，若延长至点E，使，连接，可根据“”证明，则． (1)若，则的取值范围是_______． (2)如图②，已知和中， ，连接 是的中点，连接，求证： ． 【答案】(1) (2)证明：如图，延长至点F，使得，连接． 是的中点， ． 在和中， ， ， ， ， ． ， ． 在和中， ， ， ． ． 【分析】（1）如图①，证明，再由三角形的三边关系求解即可； （2）延长至点F，使得，连接，证明，得到，再证明，得到，即可得证． 【详解】（1）解：如图①， ∵是边上的中线， ∴ ∵ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴； （2）略 2．（24-25七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）【方法学习】 数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题： 如图，在中，，求出边上的中线的取值范围． 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用二角形的三边关系可得AE的取值范围，从而得到AD的取值范围： 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形， 把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 解：________ 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法是解题的关键；延长到，使得，连接，根据题意证明，可知，在中，根据，即可； 【详解】（1）解：如图，延长到，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴，， ∴． 3．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．此方法在解决几何问题中有着广泛的应用． 【解决问题】某数学学习小组拟采用上述方法解决以下问题： (1)如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，连接，可以判定，从而得到．这样就能把线段，，集中在中，再利用三角形的三边关系，即可求出中线的取值范围． 请你直接写出的取值范围：______； (2)如图2，，点D为的中点，，，求； (3)如图3，在和中，，，．连接，，点F是的中点，连接并延长，与相交于点G．请猜想和的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 解：； 理由如下：延长至点H，使，连接，如图： ， ∵F是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，平行线的判定和性质，三角形三边关系，同角的补角相等，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）根据三角形三边关系进行作答，即可求解； （2）如图2，延长交的延长线于H，根据中点得，证得，求得，证得为线段的垂直平分线，然后即可求解； （3）延长至点H，使，连接，先证得，得，，再根据平行线的性质证得，再证，然后即可求解； 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：如图2，延长交的延长线于H， ， ∵， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为线段的垂直平分线， ∴； （3）略 4．（25-26八年级上·福建南平·期中）综合与实践 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，点是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接．根据小明的方法思考：请补充完整证明“”的推理过程． （1）求证：； 证明：点是的中点，， 在和中， （______）（依据）． （2）由“三角形的三边关系”，则的取值范围是_____；的取值范围是_____； 【解后反思】题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【初步运用】 （3）如图2，是的中线，交于点，交于，，若，，求线段的长度． 【答案】（1）， （2）， （3） 【分析】（1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）由（1）知，得到，根据三角形的三边关系可计算，而，从而可得的取值范围； （3）延长到，使，连接，由证得，根据全等三角形的性质结合等腰三角形的性质可知，即可得出答案． 【详解】解：（1）点是的中点， ， 在和中， ， （依据）， 故答案为：，； （2）由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ， ， ， 故答案为：，； （3）延长到，使，连接，如图所示： 是中线， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， ， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了倍长中线的辅助线，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，等腰三角形性质和判定，掌握相关知识是解题的关键． 题型五：截长补短法构造全等 　　方法技巧：出现“线段和（差）等于某线段”时，用截长或补短构造全等三角形，将和差关系转化为证明两线段相等，如证。 1．（25-26八年级上·广东潮州·期中）如图，，点E在线段上，分别是、的角平分线， (1)线段与有怎样的位置关系？请说明理由． (2)若，，求的长． 【答案】(1) 解：，理由如下： 分别是、的角平分线， ， ， ， ， ， ， ； (2)5 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定和性质， （1）先根据角平分线得，再根据就可得出，即可得出结论； （2）在上截取，先证，再证，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图，在上截取，连接， 分别是、的角平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 2．（26-27八年级上·云南昆明·阶段检测）综合实践 (1)问题1：如图1，在四边形中，，，．，分别是，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长到点．使．连接，先证明，再证明．他得到的线段，，之间的数量关系是___________________________________． (2)【探究思考】问题2：如图2，若将问题1的条件改为：四边形中，，．，问题1的结论是否仍然成立？请说明理由． (3)【拓展延伸】问题3：如图3，在问题2的条件下，若点在的延长线上，点在的延长线上，问题1的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1) (2)结论仍然成立，理由如下： 延长到点．使，连接，如图2， ∵，， ∴，又，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，又，， ∴， ∴， ∵， ∴； (3)问题1的结论不成立，理由如下： 在上取一点G，使，连接，如图3， ∵，， ∴，又，， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴，又，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）延长到点,使．连接，先证明，再证明，利用全等三角形的性质可得结论； （2）同（1）方法，延长到点，使，连接，先证明，再证明得到，进而可得结论； （3）在上取一点G，使，连接，同理先证明，再证明，得到，进而可得结论． 【详解】（1）解：延长到点．使，连接，如图1， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，又，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）略 3．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）将两个全等的和按图①方式摆放（点E恰好落在边上），所在直线与所在直线相交于点F． (1)如图①，请探索线段，，之间的数量关系，并说明理由；将图①中的绕点B按顺时针方向旋转至图②中的位置，线段，，之间的数量关系是否仍然成立？（图②结论无需证明，只要判断即可） (2)将图①中的绕点B按逆时针方向旋转至图③中的位置，请探索线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)将图①中的绕点B按逆时针方向旋转至图④中的位置，连接交于点M，求证：M是的中点． 【答案】(1)，理由如下： 如图，连接， ∵， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 线段，，之间的数量关系依然成立，证明如下： 如图，连接， ∵， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)，理由如下： 如图，连接， ∵， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (3)证明：如图，过点A作于点H，过点D作交的延长线于点N， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴M是的中点． 【分析】（1）证明，得到，然后等量代换即可求解；当图①中的绕点B按顺时针方向旋转至图②中的位置时，同上证明即可； （2）证明，得到，然后等量代换即可求解； （3）过点A作于点H，过点D作交的延长线于点N，证明，得到，然后证明，得到，即可证明M是的中点． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 4．（26-27八年级上·浙江金华·阶段检测）按要求解答下列问题： (1)【问题背景】如图1，在四边形中，，，E、F分别是线段、线段上的点，若，试探究线段、、之间的数量关系． 小明同学探究此问题的方法是．延长到点G，使，连接，先证明．再证明，可得出结论，他的结论应是____________． (2)【猜想论证】如图2，在四边形中，，，E在线段上、F在线段延长线上．若．探究线段、、之间的数量关系． (3)【拓展应用】如图3，在四边形中，，，平分，，，，且，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）延长至点，使得，连接，先证明，得出，，再证明，得出，即可得解； （2）在上截取，使得，连接，先证明得出，，再证明得出，即可得证； （3）过点作交的延长线于，交的延长线于，交于，证明四边形是正方形，得出，证明，得出，，，再证明， ，，求出，，，即可得出结果． 【详解】（1）解：如图，延长至点，使得，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，在上截取，使得，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，过点作交的延长线于，交的延长线于，交于， ∵平分， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，且，，， ∴， ∵，， ∴四边形的面积为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 全等三角形核心模型与构造方法 题型一：一线三等角模型 题型二：半角模型 题型三：手拉手模型 题型四：倍长中线法构造全等 题型五：截长补短法构造全等 题型一：一线三等角模型 方法技巧：同一直线上出现三个相等的角，常由“同角的余角（补角）相等”证出另一组角相等，配合一组对应边相等，用ASA或AAS判定三角形全等，实现边、角转化。 1．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，P为上一点，以点P为顶点作，交于D，交于E，若，，求的长． 2．（25-26八年级下·江西赣州·期中）如图，直线l的上方有三个正方形A，B，C，其中正方形A，C的一边在直线l上，正方形B的两个顶点分别与正方形A，C的一个顶点重合，另有一个顶点在直线l上．已知正方形A的面积比正方形C的面积小6，且正方形B的面积为14，则正方形A的面积为______． 3．（25-26八年级上·天津·期中）如图，在中，，，，，垂足分别为D、E． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 4．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）（1）习题呈现：类似冀教版八年级上册57页C组习题，如图1，在中，，，直线经过点C，且于，于E．请直接写出、、之间的数量关系． （2）问题解决：在（1）的条件下，当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：． （3）变式探究：如图3，，，是经过顶点C的一条直线，并且经过的内部，点E、F在射线上，且．请猜想、、之间的数量关系，并说明理由． 题型二：半角模型 方法技巧：大角内作其一半的小角，通过旋转把分散的线段“拼”到同一直线上，构造全等三角形，把线段和差关系转化为证明两线段相等，如证。 1．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，，，是边上一点，是的延长线上一点，且． (1)求证：； (2)若点在边上，且，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由； (3)若将题中条件“，”改为“，，点在边上”，则当满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？（只写结果即可） 2．（26-27八年级上·河南安阳·阶段检测）教材第一章的数学活动提到了多边形，在此基础上结合全等的知识对四边形进行研究，其中，． (1)如图1，连接，若， ①的度数是__________； ②求证：． (2)如图2，点、分别在线段、上，满足，探究、，之间的数量关系，并说明理由． 3．（25-26七年级下·福建福州·期末）在四边形中，． (1)若，，点，分别是，上的点，且．试探究线段，，之间的数量关系． 小亮同学认为：延长到点，使，连接，如图，先证明，再证明，则可得到，，之间的数量关系．请你： ①直接写出的度数：________°； ②根据小亮同学的思路，直接判断，，之间的数量关系：________． (2)如图，若，点，分别是，上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． (3)如图，若，，点，分别是，延长线上的点，若，求的度数（结果用含的代数式表示）． 4．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）问题背景  如图1，在四边形中．，，，、分别在、上，且，试探究图中线段、、之间的数量关系，并说明理由． 由“，”的数据信息，解决问题的方法是：延长到，使得，连接，则可以先证，再证________________，从而得到，，之间的数量关系是：________； 验证猜想  写出上述推理的详细过程； 探索延伸  如图2，在四边形中，，，、分别在、上，且，上述结论是否成立，并说明理由． 题型三：手拉手模型 　　方法技巧：两个等腰（或等边）三角形共顶点，绕公共顶点旋转构成一对全等三角形；用SAS证全等，得对应边、对应角相等，常用于证明线段相等或夹角为定值。 1．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图，是等边三角形，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 2．（25-26八年级上·四川德阳·期末）已知：如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接．以下四个结论：①；②；③；④．其中错误的个数是（   ）． A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·甘肃·期中）如图，D为内一点，，，将线段绕着点A顺时针旋转能与线段重合，连接，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 4．（26-27八年级上·河北邯郸·阶段检测）探究解题： (1)如图①，，，，与交于点F．求证：． (2)如图②，在（1）的条件下，当，试判断与的位置关系并证明． (3)如图③，在（1）的条件下，当，连接，求（用含的式子表示）． 题型四：倍长中线法构造全等 方法技巧：遇到中线或中点，将中线加倍延长构造全等三角形，实现边、角转移，把分散条件集中到同一三角形，用于证明线段倍半关系或取值范围，如证。 1．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段检测）倍长中线法是一种重要的解题方法，如图①，在中，是边上的中线，若延长至点E，使，连接，可根据“”证明，则． (1)若，则的取值范围是_______． (2)如图②，已知和中， ，连接 是的中点，连接，求证： ． 2．（24-25七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）【方法学习】 数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题： 如图，在中，，求出边上的中线的取值范围． 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用二角形的三边关系可得AE的取值范围，从而得到AD的取值范围： 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形， 把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 解：________ 3．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．此方法在解决几何问题中有着广泛的应用． 【解决问题】某数学学习小组拟采用上述方法解决以下问题： (1)如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，连接，可以判定，从而得到．这样就能把线段，，集中在中，再利用三角形的三边关系，即可求出中线的取值范围． 请你直接写出的取值范围：______； (2)如图2，，点D为的中点，，，求； (3)如图3，在和中，，，．连接，，点F是的中点，连接并延长，与相交于点G．请猜想和的数量关系并说明理由． 4．（25-26八年级上·福建南平·期中）综合与实践 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，点是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接．根据小明的方法思考：请补充完整证明“”的推理过程． （1）求证：； 证明：点是的中点，， 在和中， （______）（依据）． （2）由“三角形的三边关系”，则的取值范围是_____；的取值范围是_____； 【解后反思】题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【初步运用】 （3）如图2，是的中线，交于点，交于，，若，，求线段的长度． 题型五：截长补短法构造全等 　　方法技巧：出现“线段和（差）等于某线段”时，用截长或补短构造全等三角形，将和差关系转化为证明两线段相等，如证。 1．（25-26八年级上·广东潮州·期中）如图，，点E在线段上，分别是、的角平分线， (1)线段与有怎样的位置关系？请说明理由． (2)若，，求的长． 2．（26-27八年级上·云南昆明·阶段检测）综合实践 (1)问题1：如图1，在四边形中，，，．，分别是，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长到点．使．连接，先证明，再证明．他得到的线段，，之间的数量关系是___________________________________． (2)【探究思考】问题2：如图2，若将问题1的条件改为：四边形中，，．，问题1的结论是否仍然成立？请说明理由． (3)【拓展延伸】问题3：如图3，在问题2的条件下，若点在的延长线上，点在的延长线上，问题1的结论是否仍然成立？请说明理由． 3．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）将两个全等的和按图①方式摆放（点E恰好落在边上），所在直线与所在直线相交于点F． (1)如图①，请探索线段，，之间的数量关系，并说明理由；将图①中的绕点B按顺时针方向旋转至图②中的位置，线段，，之间的数量关系是否仍然成立？（图②结论无需证明，只要判断即可） (2)将图①中的绕点B按逆时针方向旋转至图③中的位置，请探索线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)将图①中的绕点B按逆时针方向旋转至图④中的位置，连接交于点M，求证：M是的中点． 4．（26-27八年级上·浙江金华·阶段检测）按要求解答下列问题： (1)【问题背景】如图1，在四边形中，，，E、F分别是线段、线段上的点，若，试探究线段、、之间的数量关系． 小明同学探究此问题的方法是．延长到点G，使，连接，先证明．再证明，可得出结论，他的结论应是____________． (2)【猜想论证】如图2，在四边形中，，，E在线段上、F在线段延长线上．若．探究线段、、之间的数量关系． (3)【拓展应用】如图3，在四边形中，，，平分，，，，且，求四边形的面积． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $