第12章 全等三角形全章高频重点题型突破（专项训练）数学新教材华东师大版八年级上册

第12章 全等三角形全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 命题与证明 题型2 全等三角形的概念 题型3 全等三角形的性质 题型4 灵活选用判定方法证明三角形全等 题型5 补充全等三角形判定过程 题型6 结合尺规作图的三角形全等问题 题型7 倍长中线模型 题型8 垂线模型 综合攻坚·知能拔高 题型1 全等三角形的动点问题 题型2 全等三角形的判定与性质综合 题型3 与角平分线有关的全等三角形问题 题型4 等腰三角形的性质和判定 题型5 线段垂直平分线的性质和判定 ◆题型1 命题与证明 1．下列命题中，属于真命题的是（     ） A．如果，那么a，b都是正数 B．如果，，那么 C．若，那么 D．同旁内角互补 【答案】B 【分析】根据有理数的乘法法则、平行公理、绝对值方程、平行线的性质等逐一判断各选项即可得出结果. 【详解】解：，说明同号，二者可同为正数，也可同为负数，例如时， A是假命题； ∵根据平行线的基本性质，平行于同一直线的两条直线互相平行， 若，，则， B是真命题； 时，满足或，例如但， C是假命题； 只有两条平行直线被第三条直线所截得到的同旁内角才互补，任意同旁内角不一定互补， D是假命题． 2．如图，直线，被直线所截，下列命题为真命题的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】根据平行线的性质与判定定理逐一判断即可． 【详解】解：如图所示，， A、当时，，此时不能得到，原命题是假命题，不符合题意； B、当时，，此时不能得到，原命题是假命题，不符合题意； C、当时，，则，不能得到，原命题是假命题，不符合题意； D、当时，，则，原命题是真命题，符合题意． 3．证明：平行于同一条直线的两条直线平行． 已知：____________． 求证：____________． 证明： 【答案】 已知：如图，直线中，，， 求证：． 证明：作直线的截线，交点分别为． ∵, ∴， ∵, ∴， ∴， ∴． 【分析】写出已知，求证，利用平行线的判定定理证明即可． 【详解】略 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 4．把命题“邻补角的角平分线互相垂直”改写成“如果……那么……”的形式，指出它的题设和结论，请画出图形，并说明它是真命题还是假命题． 【答案】 如果两条射线分别是邻补角的平分线，那么它们互相垂直． 题设：两条射线分别是邻补角的角平分线； 结论：它们互相垂直．是真命题； 如图，，是邻补角，，分别平分，． 【详解】略． 5．下列命题①两直线平行，同旁内角互补；②相等的角是对顶角；③等角的补角相等；④垂线段最短 可作为定理的有 （    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据平行线的判定定理对①进行判断；根据对顶角的定义对②进行判断；根据补角的定义对③进行判断；根据直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短可对④进行判断． 【详解】解∶两直线平行，同旁内角互补，所以①可作为定理； 相等的角是对顶角是假命题，所以②不能作为定理； 等角的补角相等，所以③可作为定理； 垂线段最短，所以④可作为定理． 故选∶ C． 【点睛】本题考查了命题与定理∶判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理． ◆题型2 全等三角形的概念 6．下列几种说法：全等三角形的对应边相等；面积相等的两个三角形全等；周长相等的两个三角形全等；全等的两个三角形的面积相等．其中正确的是______． 【答案】 【分析】根据全等三角形的概念和性质，逐个判断各说法的正误． 【详解】解：全等三角形能够完全重合，对应边相等，说法正确； 面积相等的两个三角形形状不一定相同，不一定全等，说法错误，例如底为高为的三角形和底为高为的三角形面积相等，但不全等； 周长相等的两个三角形形状不一定相同，不一定全等，说法错误，例如边长为的三角形和边长为的三角形周长均为，但不全等； 全等三角形能够完全重合，因此全等的两个三角形面积相等，说法正确； 综上，正确的是． 7．已知在和中，A与，B与是对应点，，则和全等，用符号语言表示为：______ ． 【答案】 【分析】用全等三角形的对应点以及全等三角形的判定条件即可解答． 【详解】解：在和中，A与，B与是对应点，， ∴和全等，用符号语言表示为：． 8．下列命题①两个三角形全等，它们的形状相同；②两个三角形全等，它们的大小相同；③面积相等的两个三角形全等；④周长相等的两个三角形全等．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握能够完全重合的两个三角形是全等三角形是解题的关键，根据全等三角形的性质和判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：两个三角形全等，它们的形状相同；故①正确； 两个三角形全等，它们的大小相同；故②正确； 面积相等的两个三角形，不一定能完全重合，即不一定全等，故③错误； 周长相等的两个三角形不一定能完全重合，即不一定全等，故④错误； 故选B． 9．如图，，则的对应角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的概念，根据已知条件，和，和是对应边，点与点对应点，点与点是对应点，由此即可得到的对应角，理解其概念是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的对应角是， 故选：B． 10．全等三角形的对应关系：两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫______，重合的边叫_____，重合的角叫______． 【答案】 对应点 对应边 对应角 【分析】本题主要考查两个全等三角形对应边角的概念，掌握概念是解题的关键，直接根据全等三角形的对应关系的概念填空即可． 【详解】全等三角形的对应关系：两个全等三角形重合在一起， 重合的顶点叫对应点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角． 故答案为：对应点；对应边；对应角． ◆题型3 全等三角形的性质 11．如图，，如果，，，那么的长为_______． 【答案】/厘米 【分析】根据全等三角形的性质，对应边相等．由可知与是对应边，从而得出． 【详解】解： ， ， ， ． 12．如图，，，，那么_____°． 【答案】 【分析】根据全等三角形的性质得出和，结合的度数求出，最后利用三角形内角和定理求解． 【详解】解：， ，， ， ． 在中，． 13．如图，，点E在线段BC上，，则的度数为______． 【答案】/45度 【分析】由全等三角形的对应角相等即可解答． 【详解】解：， ， ， 即． 14．如图，，点C与点D是对应点，那么下列结论中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等三角形的性质得出，，，根据对顶角的性质得出，再逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， 根据对顶角性质得， 无法判断， 故选项D错误. 15．如图，两个三角形全等，根据图中所给条件，可得的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形内角和定理计算边a与边c的夹角，根据全等三角形对应角相等求解即可． 【详解】解：在左图中，边a与边c的夹角为， ∵两个三角形全等，且是边a与边c的夹角， ∴． ◆题型4 灵活选用判定方法证明三角形全等 16．根据下列条件，能画出唯一的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定条件和三角形三边关系，逐一分析各选项是否满足唯一性即可． 【详解】解：A．∵，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，故不符合题意． B．∵，，，为两边及其中一边的对角，不能唯一确定三角形，故不符合题意． C．∵，，，为两边及其夹角，满足SAS全等判定条件，可唯一确定，故符合题意． D．∵仅已知三个内角度数，无边长条件，只能确定三角形形状，不能确定大小，无法唯一确定三角形，故不符合题意． 17．如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成了如图所示的四块，他需要去商店再配一块与原来大小和形状完全相同的模具．现只能拿能两块去配，其中可以配出符合要求的模具的是（     ） A．①③ B．②④ C．①④ D．③④ 【答案】B 【详解】解：根据题意得：拿①②或②④可以根据“角边角”得到与原三角形全等的三角形． 18．如图，、相交于点O，，请你再补充一个条件，使得，你补充的条件是_______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据全等三角形的判定定理：，，，，，即可解答． 【详解】根据题意可得，， 根据全等三角形的判定定理， 可补充的条件为，则； 可补充的条件为，则．（答案不唯一） 19．根据下列条件，能作出唯一三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．， 【答案】C 【分析】本题利用三角形三边关系和全等三角形的判定定理，逐一判断选项能否作出唯一三角形即可． 【详解】解：A、已知两边及其中一边的对角，不能确定唯一三角形，本选项不符合题意． B、，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能作出三角形，本选项不符合题意． C、已知两个角，第三个角可由三角形内角和求出，且已知一条边，符合全等三角形的判定条件，能作出唯一三角形，本选项符合题意． D、只知道一个直角和斜边，缺少边或角的条件，不能确定唯一三角形，本选项不符合题意． 20．有以下命题： ①两条直角边分别相等的两个直角三角形全等； ②一条直角边和斜边分别相等的两个直角三角形全等； ③斜边和一个锐角分别相等的两个直角三角形全等； ④两个锐角分别相等的两个直角三角形全等． 其中假命题是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．根据直角三角形全等的判定定理（如、、、等），逐一判断各命题的真假． 【详解】解：①两条直角边分别相等，且夹角为直角相等，符合，可证明两三角形全等，是真命题． ②一条直角边和斜边分别相等，符合定理，可证明两三角形全等，是真命题． ③斜边和一个锐角分别相等，符合，可证明两三角形全等，是真命题． ④两个锐角分别相等，但无对应边相等，不能证明两三角形全等，是假命题． 故选：D． ◆题型5 补充全等三角形判定过程 21．如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 证明：， （___________） ， ____________________ 即：____________________ 在和中， （_____________） （_____________） ． 【答案】两直线平行，内错角相等；；；；；；；；；全等三角形的对应角相等． 【分析】根据平行线的判定与性质，结合全等三角形的判定方法证明 即可． 【详解】略． 22．如图，已知，，，则，请说明理由． 解：∵（________）， ∴________， ∴__________， 在和中， ∴____________________（__________）， ∴（________）， ∴． 【答案】 已知，，，，，，，三角形全等的对应角相等 【分析】根据两三角形全等，对应角相等，再根据同位角相等，两直线平行即可证明． 【详解】略 23．如图，，点E、F在线段上，且，连接，若．求证：且．请将以下证明过程及部分理由补充完整． 证明：∵， ∴ ①． ∵， ∴，即 ②． 在和中， ∵ ∴（ ⑤）， ∴（ ⑥）， ⑦， ∴． 【答案】；；；；；全等三角形的对应边相等； 【分析】利用，证明，可得，，即可解答． 【详解】略 24．如图，在中，点在边上，，． (1)用尺规完成基本作图：在射线上作线段，使得，连接； (2)结合（1）所作的图形，求证．请完成下面的证明： 证明：， （_____①_____）． 在和中， ， ． _____③_____． ． 【答案】(1) (2)两直线平行，同位角相等；； 【分析】（1）以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点，连接即可； （2）利用两直线平行同位角相等，全等三角形的判定和性质以及同位角相等两直线平行推导即可． 【详解】（1）略 （2）略 25．补充完成下列推理过程． 如图，在四边形中，，点在上，连接，．若平分，平分． 求证：． 证明：延长交的延长线于点， ， ．（__________________________） 又平分，平分， ，，（__________________________） ． 在和中， ， ．（__________________） ．（__________________________） 在和中 ，（___________________） ．（________________） ． 【答案】两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；；全等三角形对应边相等；已证； 【分析】根据题目中的每一步推理过程，结合图形填写即可． 【详解】略 ◆题型6 结合尺规作图的三角形全等问题 26．如图，在的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，请使用无刻度直尺和圆规按要求作图．（注意求作的图形用实线） (1)在图1中，画出边上的中线； (2)在图2中，找一个点D，使得与全等（点D不能与点A重合）． 【答案】(1)解：如图即为所作， (2)解：如图即为所作， 【分析】（1）找出的中点，连接即可； （2）根据三边对应相等找出点，即可得． 【详解】（1）略 （2）解：图略 由图可得， ． 27．的顶点在如图所示的网格中的格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图中作的中线； (2)在图中作的高． 【答案】(1) 如图，线段即为所求； (2) 如图，线段即为所求． 【分析】（1）利用网格特征作出的中点，连接即可； （2）取格点，连接，延长交于点，线段即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 28．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图．（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法） (1)在图①中的边上找一点E，使得； (2)在图②中画出一个，使，D为格点（点D不与点C重合）； (3)在图③中的边上找一点E，连接，使． 【答案】(1) 如图，点即为所求作； (2) 如图，即为所求作； (3) 如图，点即为所求作． 【分析】本题考查了格点作图，全等三角形的性质，根据相关知识点正确作图是解题关键． （1）取格点、，由全等的性质可得； （2）由可知，和同底等高，则过点与平行的直线上的格点为点，可作； （3）取格点、，由全等的性质可得，进而得出，则与的交点即为点． 【详解】（1）解：略； （2）解：略； （3）解：略． 29．如图，方格纸上有一个，请你在方格纸内画出满足条件，，的，并判断与是否一定全等． 【答案】 如图所示，与 不一定全等． 【分析】本题考查的是全等三角形的判定定理，根据题意画出不同的三角形再进行判断.判定全等三角形的方法有 (， ， ， ， ) 五种判定方法，但不能判定三角形全等． 【详解】略 30．如图，图1、图2均为由边长为1的小正方形组成的的方格网络，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点之上，像这样的三角形叫格点三角形，试在方格纸上按下列要求画格点三角形： (1)在图1中画一个格点三角形与全等且有1个公共点； (2)在图2中画一个格点三角形与全等且有1条公共边； 【答案】(1) 即为所求作（答案不唯一）； (2) 即为所求作（答案不唯一）． 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，明确全等三角形的判定定理是关键； （1）如果公共点为B，取格点E、F，使，，可得出格点三角形即为所求作； （2）以为公共边，是小方格的对角线，可画出，连接，就可得出即为所求作． 【详解】（1）略 （2）略 ◆题型7 倍长中线模型 31．倍长中线法是一种重要的解题方法，如图①，在中，是边上的中线，若延长至点E，使，连接，可根据“”证明，则． (1)若，则的取值范围是_______． (2)如图②，已知和中， ，连接 是的中点，连接，求证： ． 【答案】(1) (2)证明：如图，延长至点F，使得，连接． 是的中点， ． 在和中， ， ， ， ， ． ， ． 在和中， ， ， ． ． 【分析】（1）如图①，证明，再由三角形的三边关系求解即可； （2）延长至点F，使得，连接，证明，得到，再证明，得到，即可得证． 【详解】（1）解：如图①， ∵是边上的中线， ∴ ∵ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴； （2）略 32．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．依据小明的方法，可求得的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定和性质，延长至点，使，连接，根据证明，即可得到，然后根据三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：延长至点，使，连接， ∵点D是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 33．阅读以下材料，完成以下两个问题． 【阅读材料】已知：如图，（）中，D、E在上，且，过D作交于点F，．求证：平分． 结合此题，，点E是的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转移边和角．有两种考虑方法：①考虑倍长，如图（1）所示；②考虑倍长，如图（2）所示 (1)请选择方法①或方法②，完成阅读材料中的证明． (2)根据上述材料，完成下列问题： 已知，如图3，在中，是边上的中线，分别以，为直角边向外作等腰直角三角形，，，，证明：； (3)与面积之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)方法①∶证明：如图，延长至点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 平分； 方法②：证明：如图，延长至点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 平分； (2)如图，延长至点，使，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴， 设与交于点H， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即． (3)与面积相等，理由如下； 由（2）可知， ∴， ∵，， ∴， 由（2）可知， ∴， ∴． 【分析】（1）方法①：延长至点，使，连接，证明，得到，，再根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出，即可证明；方法②：延长至点，使，连接，证明，得到，，再根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出，即可证明； （2）延长至点，使，连接，证明，得到，，进而推出，，再证明，即可得出，设与交于点H，由，即可得出，等量代换可得出，由三角形内角和定理即可得出． 【详解】（1）证明：略； （2）证明：略； （3）解：略； 34．问题情境：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： (1)①由已知和作图能得到，依据是________． A．    B． C．    D． ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是________． 解后反思： 题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． (2)如图，已知与，，，，、分别为中边上的中线与高，且，，求的面积． (3)拓展延伸： 如图，在第（2）的条件下，若延长交于点，请猜想线段和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2) (3)，理由如下： 如图：过点作于点，过点作于点．则 ， ∴， ∵， ∴， ∴， ，， ∴， ， 同理： 在和中 ，， 【分析】（1）①根据中线的定义可得，再利用可证明；②根据全等三角形的性质以及三角形的三边关系即可解答； （2）如图：延长至，使得，易证可得、、，再证明可得，再根据三角形间的面积关系得到，最后根据三角形面积公式求得即可； （3）如图：过点作于点，过点作于点．先证明可得，同理可得，即；最后再证明并运用全等三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：①是中线， ， 在和中， ， ，即选项A符合题意； ②，，， ， ， ，即， ， ， ． （2）解：如图：延长至，使得， 是中线， ， 又， ． ，，， ， ． ， ． ， ． ， ， . （3）解：，理由见答案. 35．【探究】 (1)如图1，是 的中线，且，延长至点，使，连接 ，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为 ．               【应用】 (2)提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是 的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】 (3)根据以上经验，如图3，，，，连接 、 ，是的中点，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明：如图3，是的中点，延长至点，使，连接， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，根据三角形内角和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）按照边角边证明三角形全等即可． （2）按照（1）中方法延长，使，利用三角形全等证明，再利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求出的取值范围． （3）按照（1）中方法延长，使，证明、即可证明出结论． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， 在和中， ∴， （2）解：如图2，是 的中线，，，延长至点，使，连接，则， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴在，根据三角形三边关系得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）略 ◆题型8 垂线模型 36．在和中，，，点A、D、E在同一直线上，和交于点N，连接． (1)如图，若，求证：； (2)如图，若，为的高，若点N是的中点，且，求的长； (3)在（2）的条件下，延长交于点F，连接，若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴； (2)6 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定、三角形面积公式，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）利用证明，再利用全等三角形的性质即可证明； （2）根据等腰直角三角形的性质得到，则有，根据三线合一性质，结合为的高，得到，再证明，得到，设，利用三角形的面积公式列出方程，求出的值即可求解； （3）过点作，交的延长线于点，先证明，得到，，由（2）得，，，则，，再证明，得到，最后利用线段的和差即可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴， 由（1）得，， ∴，， ∴， ∵为的高，， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形，， ∵点N是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过点作，交的延长线于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 由（2）得，，，， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 37．勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一．如图，在中，，以各边为边向外作正方形、正方形、正方形．连结、、，若，，则这个六边形的面积为（   ） A．14 B．13 C．16 D．15 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、全等三角形的性质与判定、三角形面积公式，解题的关键是作出辅助线构造全等三角形． 根据勾股定理得到，根据正方形的面积公式可得，根据三角形面积公式得到，通过证明，得到；过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，过点作于点，通过证明，得到，再利用三角形面积公式得到，同理可得，再利用割补法即可求出六边形的面积． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； 过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，过点作于点，如图， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴六边形的面积， 故选：A． 38．如图，在中，，于点，于点，交于点．若，，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解答的关键．先根据等腰三角形的性质得到，，再根据等腰三角形的判定和三角形的内角和定理证得，，然后证明得到即可求解． 【详解】解：∵在等腰三角形中，是底边上的高线， ∴，， ∴， ∵， ∴，又， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 39．如图，四边形中，，则四边形的面积为（   ） A．6 B．7 C．12 D．20 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线构造“三垂直”全等模型． 过点分别作，交直线于点，证明，则设，，则，则，求出，再由四边形的面积，然后整体代入求解即可． 【详解】解：过点分别作，交直线于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形的面积， ∴四边形的面积 ， 故选：C． 40．某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D、E．可证得：、、的数量关系为 ； (2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点． 【答案】(1) (2) （1）中的结论成立，理由如下： 如图2所示： ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； (3) 证明：过点作，交的延长线于点，如图3所示： ∵和都是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点． 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质； （1）证明得，由此即可得出、、的数量关系； （2）同（1）证得，进而得，据此即可得出结论； （3）过点作，交的延长线于点，由等腰直角三角形，得到，根据同角的余角相等得到，再根据和得到，即可证明，得到，再由，得到，即可证明得到，据此即可得出结论． 【详解】（1）解：、、的数量关系为：，理由如下： 如图1所示： ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）略 （3）略 ◆题型1 全等三角形的动点问题 1．数学课上，老师让同学们准备等腰三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系．已知：在中，． 【初步探究】 (1)如图1，若，点，，在直线上，，则与有怎样的数量关系？请直接写出结论； (2)【变式训练】 如图2，若，点，，在直线上，，试判断线段、和的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】 如图3，若，，，是中点，点在线段上以的速度由点到点运动，同时点在线段上由点到点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为多少时，能使与以，，三点为顶点所构成的三角形全等．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)，理由：∵点、、在直线上， ∴， 由三角形内角和定理知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (3)或 【分析】（1）利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明，得； （2）同（1）可证明，得，可得答案； （3）过点A作于F，可证明，得到；再分和两种情况，利用全等三角形的性质讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）略 （3）解：如图所示，过点A作于F， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵E是中点， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点Q的运动速度为或． 2．已知，． (1)如图1，连接，若，于点，、关于轴对称，是线段上的一点，且，连接，试判断线段与之间的位置和数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，在（1）的条件下，若N是线段上的一个动点，P是延长线上的一点，且，连接交y轴于点Q，过点N作轴于点H，当N点在线段上运动时，的面积是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)结论：．理由如下： ， ， ， ， ，， ，， ， 在与中， ， ， ， ， ， ； (2) 是定值，定值为4 【分析】（1）由得，因此有，根据可证，从而得证； （2）过作轴于，过作轴于，由“全等三角形的对应高相等”得，先根据可证，从而得，进而得，再根据可证，得，即可得的面积． 【详解】（1）解：略； （2）解：过作轴于，过作轴于，如图3， 轴， ， 由（1）知，，， 、关于轴对称，点A在轴上，， ，（全等三角形对应高相等）， 又， ， ， 又， ，即， 在与中， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中点的坐标，全等三角形的判定与性质．通过全等三角形的性质及判定来证明线段的位置和数量关系，以及添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 3．根据图形解决以下问题 (1)如图1，在等腰直角中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：； (2)在等腰直角中，，，点D是直线上一动点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为点； ①如图2，点D在线段上，与是否全等？请说明理由； ②如图3，点D在线段延长线上，若，，请直接写出线段的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴． (2)①； 理由：∵，， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴． ②4 【分析】（1）利用同角的余角相等证得，证明即可； （2）①利用同角的余角相等证得，根据证明；②利用同角的余角相等证得，根据证明，再利用等量代换即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：①略 ②∵，， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 4．如图，在中，是上的一点，，，，动点从点出发向点运动，速度为1，同时动点从点出发向点匀速运动，连接、，在运动过程中，存在某一时刻使与全等，则点的运动速度为________． 【答案】或 【分析】利用全等三角形的性质，设运动时间为，点的运动速度为，则有， ，分两种情况和，分别计算出点的运动速度． 【详解】解：设运动时间为，点的运动速度为， 则， ∴， ∵，当时，，， ∴，， ∴，， ∴点的运动速度为， 当时，，， ∴，， 解得， ∴点的运动速度为， 综上，点的运动速度为或． 5．如图，在中，于点于点，点为直线上一点，且，点从点出发，以1单位长度/秒的速度沿向点运动，同时，点从点出发，沿射线以4单位长度/秒的速度运动，当点到达点时，两点同时停止运动．若，设运动时间为秒，当与全等时，_________． 【答案】2或 【分析】分两种情况：点M在的延长线上和点M在上，两种情况都可证明只存在这种情况，则可得到，再根据线段的和差关系建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， 如图所示，当点M在的延长线上时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴此时只存在这种情况， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点M在上时，同理可得只存在这种情况， ∴， ∴， ∴； 综上所述，t的值为2或． ◆题型2 全等三角形的判定与性质综合 6．如图，在中，，，，若，则_____ 度． 【答案】65 【分析】由三角形的内角和可得，根据可得，进而可得，再根据角的等量代换即可得． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 7．如图，在中，，的角平分线，相交于点，过作交的延长线于点，交于点．下列结论正确的个数有（    ） ①②③④ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据三角形内角和以及角平分线的定义得，继而得出的度数，即可判断①；推出，根据证明即可判断②；证明，得，，根据外角的性质可判断③；通过等量代换可判断④． 【详解】解：在中，， ∴， ∵分别平分， ， ， ，故①正确； ， 又， ， ， ， 在和中 ，故②正确； ， ， 在和中 ， ， ， 故结论③错误； 又∵， ， 故结论④正确， ∴正确的个数是3个． 8．如图，点在同一条直线上，． (1)求证：； (2)找出图中互相平行的线段，说明你的理由． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)，理由： ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）证明，即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到，再根据平行线的判定即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 9．如图，中，，，点D在上，E为延长线上一点，且．延长交于点F． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明：，为延长线上一点， ， 在和中， ， ， ； (2)证明：， ， ， ． 【分析】（1）运用证明可得； （2）根据可得，进而即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 10．已知，，平分交于点D (1)如图1，过点D作于点E，说明：； (2)如图2，在（1）的条件下，延长交的延长线于点F，说明：； (3)如图3，点H为上一点，连接，，，求的长 【答案】(1)解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； (2)解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； (3)5 【分析】（1）利用证明即可； （2）证明，即可得出结果； （3）作于点，由全等得到，由（1）可知，进而得到，根据线段的和差关系得到，即可得出结果. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：作于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴. ◆题型3 与角平分线有关的全等三角形问题 11．如图，在和中，，，，直线，交于点M，连接，下列结论：①，②，③，④平分，其中正确结论的个数是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据条件利用，证明，即判定出①②；再利用三角形的内角和定理判定③；构造全等三角形对应边上的高，利用证明直角三角形全等，即可判定④． 【详解】解：∵， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴， ∴①，②正确； ③如图所示，与相交于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故③正确； ④如图所示，过点作于点，过点作于点， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即平分， 故④正确； 综上，正确的结论有个． 12．如图，为锐角三角形，分别以，为边，向外作等边三角形和等边三角形，连接交于点F，连接交于点G，与交于点O，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：平分． 【答案】(1)证明：∵等边三角形和等边三角形， ，，， ， ， ∴； (2) (3)证明：∵， ， 如图1，过点分别作，垂直于，，且垂足分别为点，点， ，， ， 平分． 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，，利用可证，可知； （2）根据得到，结合三角形的内角和定理和对顶相等可知； （3）过点分别作，垂直于，，且垂足分别为点，点，根据得到，可知平分． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知：， ，， ， ； （3）略 13．如图，在中，，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是 ________． 【答案】 【分析】过点作于，延长交于，先求出，证明，得出，，再结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，过点作于，延长交于， ∵在中，，，，， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 14．综合实践： (1)如图1，学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．如果在一个三角形中，两个角不等，那么它们所对的边有什么大小关系呢？ ①猜想：在中，如果，则___________（填写“”“”或“”）； ②验证：可以通过作___________图形，构造___________，将不等关系转化为___________关系，运用角的性质来进行证明．（填写正确答案的选项即可） A．全等三角形； B．对称； C．等腰三角形； D．相等； E．从特殊到一般． (2)如图2，在中，，平分交于点，连接．判断与的大小关系，并证明； (3)如图3，在中，，的角平分线交于点，若，请求出的值，并写出解答过程． 【答案】(1)①；②B，C，D (2)解：，理由如下： 如图，延长到点，使，连接，则， ∵平分， 在和中， ， ； (3)解：如图，在上截取，连接，作于点于点， ∵的角平分线交于点， ， ， 在和中， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ∵，于点于点， ， ， ∴的值为． 【分析】本题重点考查等腰三角形的性质、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角、三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，正确作出所需要的辅助线是解题的关键． （1）① 根据题意，进行猜测结果； ② 根据等腰三角形的性质和三角形的外角定理进行验证即可； （2）延长到点，使，连接，则，根据三角形的三边关系得出，证明，得出对应边相等，然后等量代换即可； （3）在上截取，连接，根据三角形的内角和定理及角平分线的性质得出，证明，得出对应边和对应角相等，根据三角形边和面积的关系得出，作于点于点，根据角平分线的性质定理得出，然后根据三角形面积和边的关系即可求解． 【详解】（1）解：① 如图，作的角平分线交于点，作与关于所在直线对称，点的对应点是， ∵平分，， ∴与关于所在直线对称， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， 故有如果，则； ②由①的求解思路可知可以通过作对称图形，构造等腰三角形，将不等关系转化为相等关系，运用角的性质来进行证明． 故答案为：B，C，D； （2）略 （3）略 15．如图，在中，，是的平分线，于点，点在上，且． (1)求证：． (2)试判断与，之间存在的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：∵是的平分线，，， ， 在和中， ， ∴， ； (2)解：，理由如下： 在和中， ， ∴， ， ． 【分析】（1）根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明； （2）证明，根据全等三角形的性质证明． 【详解】（1）略 （2）略 ◆题型4 等腰三角形的性质和判定 16．如图，在和中，，C，D，E三点在同一条直线上，连接，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定和性质进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∴ ∴ 即， 无法证明，故D错误． 17．如图，在中，，，直角的顶点P是的中点，两边，分别交于点E，F，连接交于点G，给出以下五个结论： ①； ②； ③； ④是等腰直角三角形； ⑤四边形的面积是面积的一半． 其中正确的结论是（     ） A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤ 【答案】C 【分析】根据等腰直角三角形的性质得：，，，平分．所以可证；；．即证得．根据全等三角形性质判断结论是否正确，根据全等三角形的面积相等可得的面积等于的面积，然后求出四边形的面积等于的面积的一半． 【详解】解：∵，， ∴，故①正确； ∵直角的顶点P是的中点， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴； ∴是等腰直角三角形；故②④正确； ∵， ∴， ∴， 即四边形的面积是面积的一半，故⑤正确； ∵，的长度随E、F的位置变化，只有E、F为中点时才相等， ∴一般情况下，故③错误； 故正确的有①②④⑤，共4个． 18．如图，在中，点D、C在上，连接、，，，过点F作于E． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：． 【答案】(1)证明：是的外角， ， ，，， ， ， 是等腰三角形． (2)证明：由（1）得， ， ． 【分析】（1）根据三角形外角的性质可得，再由，可证明，得到，则是等腰三角形 （2）由三线合一定理即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 19．在中，，平分，平分． (1)你能得到什么结论呢？ (2)过点A作于D，你能得到什么结论？ 【答案】(1)是等腰三角形；是等腰三角形； (2)，，，． 【分析】（1）由等角对等边得到，则是等腰三角形；由角平分线的定义推出，则可证明，得到是等腰三角形； （2）由三线合一定理可得，，则可推出，． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴是等腰三角形； ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：如图所示， ∵， ∴，， 又∵， ∴，． 20．如图，与为等腰三角形，，，，为线段上一个动点，与相交于点． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，在延长线上取一点，当时，线段与有什么位置关系？并说明理由； (3)如图3，若，且的面积为，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即平分． (2)解：，理由如下： 如图所示，在上截取，使得，连接，在上取点，连接，使得， ，， ， 在和中，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． (3) 【分析】（1）利用“相等的角减去相同角的两角仍相等”证明模型证明，进而证明，得到对应角相等证明结果； （2）在上截取，使得，连接，在上取点，连接， 使得，证明，利用等腰三角形的性质与全等三角形的性质以及等量代换证明，最后根据等量代换证得，从而得到答案； （3）先根据等腰三角形的性质与全等三角形的性质等量代换后得到，利用算出，再利用三角形内角和为和等量代换得出，取线段垂直平分线的交点，连接，过点作交于点，通过角度的换算得到是等腰直角三角形，再证得，根据平行线间垂线段相等，利用同底等高得到的面积，从而求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（1）知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设，则， ∵， ∴，解得， ∴， 在和中，， ∴，， 如图所示，取线段垂直平分线的交点，连接，过点作交于点， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，则， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴或， ∵线段的长度为非负数， ∴． ◆题型5 线段垂直平分线的性质和判定 21．如图，在四边形中，，为的中点，连接、，，延长交的延长线于点．若，，则的长为___． 【答案】8 【分析】证明，得到，，然后利用垂直平分线的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． 22．如图，在等腰三角形中，，是的高，边的垂直平分线分别交，于点，，连接，． (1)若，求的长度； (2)若，则___________°． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用等腰三角形三线合一得到是的垂直平分线，推出，再结合是的垂直平分线得，通过等量代换求出结果． （2）先根据等腰三角形三线合一得到，结合第（1）问，用等边对等角求出的度数． 【详解】（1）解：，， ，（等腰三角形三线合一） 垂直平分， ．（垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） 又垂直平分， ，（垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） ．（等量代换） （2），， ，（等腰三角形三线合一） ， ， ．（等边对等角） 23．如图，在中，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线的性质得，进而可得的周长为，即可求解． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长为． 24．解决下列问题 (1)问题发现：如图（1），已知． ①若，，则； ②若，，则，； ③根据以上计算，请写出与之间的数量关系：___________． (2)问题拓展：如图（2），已知，（1）中的关系还成立吗？如果不成立，请写出正确的结论；如果成立，请写出证明过程． (3)知识应用：点是三边垂直平分线的交点，若，请直接写出的度数． 【答案】(1)①，②，；③ (2)（1）中关系不成立， (3)或 【分析】（1）①根据等边对等角求出，进而求出，，利用周角的定义即可得出答案； ②利用周角的定义求出，根据等边对等角求出，，，根据角的和差关系即可得出答案； ③根据①②中的规律，得出即可； （2）根据等边对等角得出，根据四边形内角和为即可得出答案； （3）分点在内部和外部两种情况，利用（1）（2）结论解得即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∵， ∴，，， ∴，； ③∵，， ∴猜想． （2）解：（1）中关系不成立，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）解：如图所示， 当点在内部时， ∵点是三边垂直平分线的交点， ∴， ∴由（1）可知，； 当点在外部时， ∵点是三边垂直平分线的交点， ∴， ∴由（2）可知，，即， ∴ ∴的度数为或． 25．如图，在四边形中，，为的中点，连接，，，延长交的延长线于点．求证： (1)； (2)是的垂直平分线； (3)猜想：线段，，之间关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：， ， 又∵E为的中点， ， 在和中， ∴， ∴． (2)证明：∵， ∴， 又∵， ∴是的垂直平分线； (3)结论：，理由如下： 在和中， ， ， ， 由（1）可知， ， 即． 【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证； （2）由（1）得，再由垂直平分线的判定即可证明； （3）根据全等三角形的判定和性质得出，确定，由（1）可知，根据即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 一、单选题 1．如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点，若为边上的动点，为线段上一动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先连接，作底边上的高，再利用线段垂直平分线的性质得出，进一步得出，根据两点之间线段最短及垂线段最短可知，当、、三点共线，且与重合时，的值最小，即的值最小，此时最小值为的长，最后利用三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：如图，连接，作底边上的高， ∵垂直平分， ∴， ∴， 故当、、三点共线，且与重合时，的值最小，即的值最小，此时最小值为的长． ∵等腰三角形底边的长为，面积是， ∴， ∴， ∴的最小值是． 2．如图，在中，，，垂足为，且，若，则的长为（     ） A．1 B．1.5 C．2 D．3 【答案】C 【分析】在上取一点使得，可证，则，则题目可解． 【详解】解：在上取一点使得， ， ， ，     ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 3．如图，已知和都是等边三角形，且A、C、E三点共线，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连结．以下六个结论：①；②；③；④；⑤是等边三角形；⑥平分．其中正确的结论有（     ） A．①②④⑤ B．①②⑤⑥ C．③④⑤⑥ D．①②④⑥ 【答案】A 【分析】对于①，证明即可判断； 对于②，由，得到，进一步得出，即可得到结论； 对于③，先证明，得到，再证明，即得结论； 对于④，连接，在上取点M，使得，连接，先证明是等边三角形，再证明，可得，即得结论； 对于⑤，由③知，可得，即可得到结论； 对于⑥，先证明，，再根据题中没有给出这一条件，所以不能成立，所以也不能成立，即可判断结论． 【详解】解：和都是等边三角形， ，，， ， ， ， 故①正确； 由①知，， ， ， ， ， 故②正确； ， ， ， ， ， ， ， ， 点Q在上，是等边三角形， ， ， 故③错误； 连接，在上取点M，使得，连接， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， 故④正确； 由③知，， ， ， 是等边三角形， 故⑤正确； ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 由于题中没有给出这一条件， 所以不能成立， 所以也不能成立， 故⑥错误； 所以正确的结论有①②④⑤． 4．如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（     ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【分析】由证明可判断①正确；证明可判断②正确；由①②结论得到，，由 求解可判断③正确；根据三角形的三边关系可判断④错误． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴，故③正确； ∵在中，， ∴，故④错误， 综上，正确的是①②③． 5．如图，在和中，，，，点P在的延长线上，的延长线交于点M，连接，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．点B到的距离不相等 【答案】D 【分析】先说明是等边三角形，可得即可解答A；再根据“边角边”证明，解答B，D；然后根据全等三角形的对应角相等得，再说明是等边三角形，可得，然后求出说明C即可． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴ ∴，则A正确； ∵ ∴， ∴点B到的距离相等， 则B正确，D不正确； ∵， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，则C正确． 6．如图，，， ，如果点P在线段上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动．若经过t秒后，与全等，则t的值是（     ） A．2 B．4 C．2或3 D．2或4 【答案】C 【分析】根据题意可分两种情况：和，根据全等三角形的性质讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴当与全等时，只存在和这两种情况， 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴； 综上所述，t的值为2或3． 7．如图，在中，，，其面积为12，的垂直平分线分别交，边于点E，F，若点D为边的中点，点P为线段上的一个动点，则周长的最小值为（     ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】C 【分析】连接，，由，点是边的中点，则，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，则当三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，据此可得答案． 【详解】解：连接，， ∵，点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∴当三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值， ∴的周长的最小值为． 二、填空题 8．如图，在中，，、是的角平分线，，，则_______；__________ 【答案】 /度 4 【分析】利用角平分线的定义和三角形内角和定理，求出的度数；在上取点F使得，则，再证明，得到，进一步得到，再证明，即可得到． 【详解】解：∵，、是的角平分线， ∴，， ∴， ∴． 如图，在上取点F使得， 则． 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 9．如图，在中，，平分，过点作，垂足为点，连接，若，，则的面积为________． 【答案】 【分析】延长交于点，利用“角边角”判定，得到，从而可证明，即可求出答案． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵平分，， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， 在中，，，， ∴ ． 10．如图，在中，，的垂直平分线分别交于点E，F．若D为的中点，P为线段上一动点，则当周长的最小时，的大小为 __ ． 【答案】 【分析】如图：连接交于点，连接，易得当周长的最小时，即；再利用等腰三角形的性质可得、、，，易得；然后说明当点为与的交点时，此时周长的最小，且，最后利用等边对等角以及三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：如图：连接交于点，连接， ∵D为的中点， ∴， ∴当周长的最小时，最小， ∵， ∴， ∴， ∵在中，，D为的中点， ∴，，， ∴垂直平分， ∴， ∵的垂直平分线分别交、于点E，F， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴当为与的交点时，此时周长取得最小，最小值为 ∵，， ∴， ∴， ∴． 11．如图，等腰中， ，点D在上，过点C作交的延长线于点E，交的平行线于点F ，若 则 ________． 【答案】 【分析】延长，两线交于点H，先证明，再证明，不妨设，确定，不妨设，解答即可． 【详解】解：延长，两线交于点H， ∵等腰中， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵ 不妨设， ∴， ∴， ∴， 不妨设， ∴，, ∴， ∴． 12．如图，在中，，，平分，于点，交的延长线于点．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号是_________． 【答案】 ①③④ 【分析】证明，得到，据此可判断①；证明，得到，据此可判断③④；过点作于点，证明，得到，可证明，推出，则可证明，再由，得到，据此可判断②． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，故①正确； ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，故③正确； ∵， ∴，故④正确； 如图所示，过点作于点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即，故②错误； 综上所述，正确的有①③④ ． 三、解答题 13．等腰直角三角形既是特殊的直角三角形，又是特殊的等腰三角形；基于其边角特征判定全等三角形的过程中提炼了常见的一个全等结构（如图①），一些复杂的问题可以转化成这样的全等结构进行解决． 【理解探究】 (1)如图①，在中，，．点正好落在直线上，直线与直线的交点不在边上，分别作于点，于点，猜想线段、、之间的数量关系，并证明； 【转化应用】 (2)如图②，与均为等腰直角三角形，，且、、在同一直线上，连接．已知，，则________； (3)在中，，，，．直线经过的直角顶点交斜边于点，，，动点在直线上，动点在所在直线上．若以点、、为顶点的三角形与全等（如图③），直接写出所有满足条件的的长． 【答案】(1)． 证明： ，， ， ， ， ， ． 在和中， ， ， ，， ． (2) (3)所有满足条件的的长为或或． 【分析】（1）由垂直定义得到，由同角的余角相等得到，即可证明，得出，，因此； （2）根据，求出，则．过点作交延长线于点，同（1）思路证明，得到，根据求解即可； （3）根据得到，，根据的面积求出，根据同角的余角相等得到，若以点、、为顶点的三角形与全等，分点、均在点上方，和点、均在点下方分别讨论，根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解： 与均为等腰直角三角形，， ，， ，， ， ． 如图，过点作交延长线于点，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （3）解：，， ，， ，， ， 即， ． ， ， ， ， ． 若以点、、为顶点的三角形与全等，分以下情况讨论： ①若点、均在点上方， , 或， 若，如图， 则, . 若，如图， 则, . ②若点、均在点下方， ， 或, 若，如图， 则， . 若，如图， 则， ． 综上所述，所有满足条件的的长为或或． 14．结合图形，解决问题 (1)在中，，，为的角平分线．点为延长线上的一点，点为直线上的一点， ①如图，若．求证：是等腰三角形； ②如图，连接、、，若垂直平分，，，求的长； (2)如图，，点、点、点在一条直线上，点在上，点、点关于点对称，连接，取中点，连接，过点作，垂足为，延长交于点，连接，猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)①证明：∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ②3 (2)解：猜想，证明如下： 如图3所示，过点E作交的延长线于点P， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴； ∵点、点关于点对称， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点F为的中点， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）①由角平分线的定义得到，由平行线的性质得到，则可证明，据此可得是等腰三角形；②过点D作于点T，由角平分线的性质得到，证明，得到；证明，得到，设，则，即可得到，据此可得答案； （2）过点E作交的延长线于点P，证明，得到，，证明，得到，根据，可得． 【详解】（1）①略； ②解：如图2所示，过点D作于点T， ∴； ∵为的角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）略 15．如图，在中，，，边沿着过点的某条直线对折得到，连接，以为边在左侧作，其中，，与交于点，连接． (1)如图1，连接，当点在外部时，试说明； (2)如图2，连接，当点在的斜边上时，试判断的形状并说明理由； (3)如图3，当点在的内部时，若点为的中点，且，求的长． 【答案】(1)证明：如图， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴． (2)解：结论：是等腰三角形， 理由：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵据（1）可知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． (3)4 【分析】（1）利用折叠性质得到，结合直角推导出一组夹角相等，再匹配两组对应边相等，用证明全等； （2）先由等腰直角三角形求出，借助第（1）问的全等转移角，然后通过三角形内角和计算，得到两角相等，判定等腰三角形； （3）倍长中线构造平行四边形，转化边与角的关系，然后证明是等腰三角形的角平分线，由三线合一得到垂直平分线，完成线段等量代换，最后利用（1）的全等，把转化成求出长度． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，延长到，使得，连接，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵据（1）可知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平分， ∵， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∵， ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第12章全等三角形全章高频重点题型突破 内容概览 目基础拿分：高频题型归纳 题型1命题与证明 题型2全等三角形的概念 题型3全等三角形的性质 题型4灵活选用判定方法证明三角形全等 题型5补充全等三角形判定过程 题型6结合尺规作图的三角形全等问题 题型7倍长中线模型 题型8垂线模型 目综合攻坚知能拔高 题型1全等三角形的动点问题 题型2全等三角形的判定与性质综合 题型3与角平分线有关的全等三角形问题 题型4等腰三角形的性质和判定 题型5线段垂直平分线的性质和判定 基础拿分 高频题型归纳 ◆题型1命题与证明 1.下列命题中，属于真命题的是() A.如果ab>0,那么a,b都是正数 B.如果a‖b,b‖c,那么a‖c c.若a=b,那么a=b D.同旁内角互补 2.如图，直线a,b被直线c所截，下列命题为真命题的是() 1/27 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.当∠1=时，a‖b B.当∠ 1+时，ab C.当a‖b时，∠1= D.当a‖b时，∠ 1+ 3.证明：平行于同一条直线的两条直线平行. 己知： 求证： 证明： a b a‖c -c求证： 证明：作直线a、b、c的截线DF,交点分别为D,E,F D1 -a a‖b .∠1=， ..blc. .∠2=， .∠1=， ..a c. 4,把命题“邻补角的角平分线互相垂直”改写成“如果…那么…”的形式，指出它的题设和结论， 请画出图形，并说明它是真命题还是假命题， 5.下列命题①两直线平行，同旁内角互补：②相等的角是对项角；③等角的补角相等；④垂线段最短可 作为定理的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ◆题型2全等三角形的概念 6.下列几种说法：①全等三角形的对应边相等；②面积相等的两个三角形全等；③周长相等的两个三角 2/27 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 形全等；④全等的两个三角形的面积相等.其中正确的是 7.已知在△ABC和△ABC中，A与A,B与B是对应点，AB=AB,AC=AC,BC=BC,则 △ABC和△ABC全等，用符号语言表示为： 8.下列命题①两个三角形全等，它们的形状相同；②两个三角形全等，它们的大小相同；③面积相等的 两个三角形全等；④周长相等的两个三角形全等，其中正确的个数为() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9.如图，△ABC△CDA,则∠B的对应角是() A.∠CAD B.∠D C.∠ACD D.∠ACB 10.全等三角形的对应关系：两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫，重合的边叫，重 合的角叫一 ◆题型3全等三角形的性质 11.如图，△ABC≌△CDA,如果AB=9cm,BC=7cm,AC=12cm,那么DA的长为 D B 12.如图，△ABD≌△ABC,∠C=100°，∠CBD=30°，那么∠DAB=。. 13.如图，△ABC≌△AED,点E在线段BC上，∠1=45，则∠BAE的度数为 3/27 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B E 14.如图，△AOC≌△BOD,点C与点D是对应点，那么下列结论中错误的是() B A.∠A=∠B B.∠AOC=∠BODC.AC=BD D.AO=DO 15.如图，两个三角形全等，根据图中所给条件，可得∠0的度数是() 559 a C A.55° B.65 C.60° D.50° ◆题型4灵活选用判定方法证明三角形全等 16.根据下列条件，能画出唯一△ABC的是() A.AB=2,BC=3,CA=5 B.AC=5,BC=4.5,∠A=60° C.AB=8,CA=5,∠A=25° D.∠A=25°，∠B=66°，∠C=89° 17.如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成了如图所示的四块，他需要去商店再配一块与原来 大小和形状完全相同的模具.现只能拿能两块去配，其中可以配出符合要求的模具的是() ① ② ③ ④ A.①③ B.②④ C.①④ D.③④ 18.如图，AC、BD相交于点O,∠A=∠D,请你再补充一个条件，使得△ABC≌△DCB,你补充 的条件是 4127 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 19.根据下列条件，能作出唯一三角形的是() A.AB=4,AC=3,∠B=30° B.AB=4,BC=4,AC=8 C.∠A=50°，∠B=60°，AC=8 D.∠C=90°，AB=6 20.有以下命题： ①两条直角边分别相等的两个直角三角形全等： ②一条直角边和斜边分别相等的两个直角三角形全等： ③斜边和一个锐角分别相等的两个直角三角形全等： ④两个锐角分别相等的两个直角三角形全等. 其中假命题是() A.① B.② C.③ D.④ ◆题型5补充全等三角形判定过程 21.如图，点A,F,C,D在同一直线上，BCEF,AF=DC,BC=EF.求证：AB‖DE E B 证明：，BC‖EF, .∠ACB=∠EFD( '.AF=CD, ∴.AF+ =CD+ 即： 在△ABC和△DEF中， 5127 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△ABC≌△DEF( ∴.∠A=∠D( .AB‖DE 22.如图，已知AB=DE,BE=CF,∠B=∠DEF,则ACDF,请说明理由. E 解：，BE=CF(), ..BE+CE= ∴ =EF, AB=DE(己知) 在△ABC和△DEF中，∠B=∠DEF(已知 ()(已证) .△ ≌△ .∠ACB=∠F(), .AC‖DF 23.如图，AB‖CD,点E、F在线段AD上，且AE=DF,连接BF、CE,若∠B=∠C.求证： BF‖CE且BF=CE.请将以下证明过程及部分理由补充完整. A C D 证明：：AB‖CD, ①. .AE=DF, ∴.AE+EF=DF+EF,即AF=②. 在△ABF和△DCE中， 心 6127 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△ABF≌△DCE(⑤)， .BF=CE(_⑥)， ⑦， BF‖CE 24.如图，在△ABC中，点E在边BC上，AB‖DE,AB=DE. D B (I)用尺规完成基本作图：在射线EC上作线段EF,使得EF=BC,连接DF; (2)结合(1)所作的图形，求证AC‖DF.请完成下面的证明： 证明：AB‖DE, .∠B=∠DEF(①). 在△ABC和△DEF中， AB=DE ∠B=∠DEF ② ∴.△ABC△ DEF (SAS. ∴.∠ACB=③ .AC‖DF 25.补充完成下列推理过程， 如图，在四边形ABCD中，ABCD,点E在AD上，连接BE,CE.若BE平分∠ABC,CE平分 ∠BCD B D 求证：AE=DE. 证明：延长BE交CD的延长线于点F, ,AB‖CD 7/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠ABE=∠F.( 又，BE平分∠ABC,CE平分∠BCD, ∴.∠ABE=∠CBE,∠BCE=∠FCE, ∴.∠CBE=∠F 在△CBE和△CFE中， ∠CBE=∠F ∠BCE=∠FCE CE=CE ∴.△CBE≌△CFE. ∴.BE=FE.( 在△ABE和△DFE中 ∠ABE=∠F BE=FE ∠AEB=∠DEF △ABE≌△DFE. ∴.AE=DE」 ◆题型6结合尺规作图的三角形全等问题 26.如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，请使用无刻度直尺和圆规按要求作图. (注意求作的图形用实线) B 图1 图2 (1)在图1中，画出BC边上的中线AE: (②)在图2中，找一个点D,使得△DBC与△ABC全等（点D不能与点A重合）· 27.△ABC的顶点在如图所示的网格中的格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图 痕迹). 8/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 图2 (1)在图1中作△ABC的中线CD: (2)在图2中作△ABC的高CE, 28.如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上.按要求完 成下列画图.（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法） B B ① ② ③ (I)在图①中的边BC上找一点E,使得BE=EC: (②)在图②中画出一个△ABD,使S△ABD=S△ABC,D为格点（点D不与点C重合）： (3)在图③中的边AC上找一点E,连接BE,使BE⊥AC 29.如图，方格纸上有一个△ABC,请你在方格纸内画出满足条件AB,=AB,B,C1=BC, ∠A1=∠A的△A1B,C1,并判断△A1BC1与△ABC是否一定全等 30.如图，图1、图2均为由边长为1的小正方形组成的6×6的方格网络，△ABC的顶点A、B、C都在小 正方形的顶点之上，像△ABC这样的三角形叫格点三角形，试在方格纸上按下列要求画格点三角形： 9127 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B A B (1)在图1中画一个格点三角形与△ABC全等且有1个公共点： (2)在图2中画一个格点三角形与△ABC全等且有1条公共边； ◆题型7倍长中线模型 31.倍长中线法是一种重要的解题方法，如图①，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若延长AD至点 E,使DE=AD,连接CE,可根据“SAS”证明△ABD≌△ECD,则AB=EC. D B- B E D 图① 图② (1)若AB=12,AC=8,则AD的取值范围是 (2)如图②，已知Rt△AB0和Rt△CD0中，∠AOB=∠COD=90°，OA=OB,OC=OD,连接 AC,BD,E是BD的中点，连按OE,求证：OE=号AC, 32. 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在△ABC中，AB=8,AC=6,求BC边上的中 线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E,使DE=AD,连 接CE.依据小明的方法，可求得AD的取值范围是 。 D B 33.阅读以下材料，完成以下两个问题。 【阅读材料】已知：如图，△ABC(AB≠AC)中，D、E在BC上，且DE=EC,过D作DFBA交 10/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AE于点F,DF=AC.求证：AE平分∠BAC 结合此题，DE=EC,点E是DC的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转 移边和角.有两种考虑方法：①考虑倍长FE,如图(1)所示：②考虑倍长AE,如图(2)所示 B E G G 图(1) 图(2) 图(3) (1)请选择方法①或方法②，完成阅读材料中的证明. (2)根据上述材料，完成下列问题： 已知，如图3，在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB,AC为直角边向外作等腰直角三角形， ∠BAE=∠CAF=90°，AE=AB,AC=AF,证明：AD⊥EF: (3)△ABC与△AEF面积之间的关系，并说明理由， 34.问题情境：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： A M A E B E D 图1 图2 图3 如图1，△ABC中，若AB=4,AC=5,求BC边上的中线AD的取值范围. 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E,使DE=AD,连接CE.请根据小明 的方法思考并解答： (1)①由已知和作图能得到△ABD≌△ECD,依据是 A.SAS B.AAS C.SSS D.HL ②由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 解后反思： 题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散 11/27 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中. (2)如图2，已知△ABC与△AMN,AC=AM,AB=AN,∠BAN=∠CAM=90°，AD、AE分别为 △ABC中BC边上的中线与高，且BC=10,AE=8,求△AMN的面积. (3)拓展延伸： 如图3，在第(2)的条件下，若延长EA交MN于点P,请猜想线段MP和NP的数量关系，并说明理由. 35.【探究】 图1 图2 图3 (1)如图1，AD是△ABC的中线，且AB>AC,延长AD至点E,使ED=AD,连接BE,可证得 △ADC≌△EDB,其中判定两个三角形全等的依据为_· A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA 【应用】 (2)提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形.把分散的己知条件和所 求证的结论转化到同一个三角形中.如图2，EP是△DEF的中线，若EF=8,DE=6,求出2EP的取值 范围。 【拓展】 (3)根据以上经验，如图3，OA=OB,OC=OD,∠AOB+∠COD=180°，连接AC、BD,E是AC 的中点，证明：OE=BD, ◆题型8垂线模型 36.在△ACB和△DCE中，CB=CA,CD=CE,点A、D、E在同一直线上，AE和BC交于点N,连接 BE D D B (I)如图，若∠ACB=∠DCE,求证：AD=BE; 12/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图，若∠ACB=∠DCE=90°，CM为△DCE的高，若点N是ME的中点，且SAABET=24,求DN的 长： 6准(2)的条件下，延长CM交AB于点卫，连接NE,若NF=}”,求FM的长 37.勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一， 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以Rt△ABC各边为边向外作正方形ABFG、正方形ACHI、正 方形BCDE.连结GI、EF、DH,若AC=1,AB=2,则这个六边形EDHIGF的面积为() G D A.14 B.13 C.16 D.15 38.如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D,CE⊥AB于点E,交AD于点F.若 ∠BAC=45,AF=2V2,则CD的长为· E B D 39.如图，四边形ABCD中，ABCD,AB=4,CD=10,AD=AE,BF=BC,∠DAE=∠CBF=90°， 则四边形AFBE的面积为() D 13/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.6 B.7 C.12 D.20 40.某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形. G M A A H 图① 图② 图③ (1)如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线I经过点A,BD⊥直线l,CE⊥直线1，垂足 分别为D、E.可证得：DE、BD、CE的数量关系为_； (2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将(1)中的条件 改为：在△ABC中，AB=AC,D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=, 其中α为任意钝角.请问(1)中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以△ABC的边AB、 AC为腰向外作等腰直角△ABE和△ACG,其中∠BAE=∠CAG=9O°，若AH⊥BC,垂足为点H, 延长HA交EG于点M.求证：点M是EG的中点. 核心提升 重难题型归纳 ◆题型1全等三角形的动点问题 1.数学课上，老师让同学们准备等腰三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系.已知：在 △ABC中，AB=AC. A F m D A E m B>P B-P 图1 图2 图3 备用图 【初步探究】 ()如图1，若∠BAC=90°，点D,A,E在直线m上，∠BDA=∠AEC=∠BAC,则BD与AE有怎样 的数量关系？请直接写出结论； (2)【变式训练】 如图2，若∠BAC>90°，点D,A,E在直线m上，∠BDA=∠AEC=∠BAC,试判断线段BD、CE 14/27 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 和DE的数量关系，并说明理由. (3)【拓展应用】 如图3，若∠BAC<90°，AB=AC=12cm,BC=8cm,E是AB中点，点P在线段BC上以2cm/s的速度 由点B到点C运动，同时点Q在线段CA上由点C到点A运动，它们运动的时间为ts,当点Q的运动速度为 多少时，能使△BPE与以C,P,Q三点为顶点所构成的三角形全等.（直接写出结果） 2.已知A0,2,B4,0. YA 图1 图2 (I)如图1，连接AB,若DO,-6,DELAB于点E,B、C关于y轴对称，M是线段DE上的一点，且 DM=AB,连接AM,试判断线段AC与AM之间的位置和数量关系，并证明你的结论： (2)如图2，在(1)的条件下，若N是线段DM上的一个动点，P是MA延长线上的一点，且DN=AP,连 接PN交y轴于点Q,过点N作NH⊥y轴于点H,当N点在线段DM上运动时，△MQH的面积是否为定 值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由， 3.根据图形解决以下问题 图1 图2 图3 (I)如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB,直线l经过点C,过点A作AD⊥1于点D, 过点B作BE⊥I于点E,求证：△ADC≌△CEB: (2)在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB,点D是直线AB上一动点，分别过点A,B作直线CD 的垂线，垂足分别为点E,F; ①如图2，点D在线段AB上，△AEC与△CFB是否全等？请说明理由： ②如图3，点D在线段AB延长线上，若BF=1,AE=3,请直接写出线段EF的长. 15/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.如图，在△ABC中，D是BC上的一点，∠A=∠C,AC=18,CD=6,动点P从点C出发向点A运动， 速度为1，同时动点Q从点A出发向点B匀速运动，连接PQ、PD,在运动过程中，存在某一时刻使 △CDP与△APQ全等，则点Q的运动速度为 5.如图，在△ABC中，BE⊥AC于点E,AF⊥BC于点F,∠ABC=45°，点M为直线BC上一点，且 CM=AD,点P从点D出发，以1单位长度/秒的速度沿DB向点B运动，同时，点Q从点A出发，沿射线 AC以4单位长度/秒的速度运动，当点P到达点B时，P,Q两点同时停止运动.若AC=10,设运动时间为t 秒，当△ADP与△MCQ全等时，t= ◆题型2全等三角形的判定与性质综合 6.如图，在△ABC中，∠B=∠C,BD=CE,CD=BF,若∠A=50°，则∠EDF=度. E B D 7.如图，在△ACB中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD,BE相交于点P,过P作PF⊥AD交BC 的延长线于点F,交AC于点H.下列结论正确的个数有() 16/27 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C D B ①∠APB=135②△ABP≌△FBP③∠AHP=∠ABC④AH+BD=AB A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 8.如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE,AC=DF,BE=CF. D B E (1)求证：∠A=∠D: (2)找出图中互相平行的线段，说明你的理由. 9.如图，△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，点D在BC上，E为AC延长线上一点，且AD=BE.延 长AD交BE于点F E (1)求证：CD=CE (2)求证：AF⊥BE. 10.已知△ABC,∠B=90°，CD平分∠ACB交AB于点D E D D D B B B (I)如图1，过点D作DE⊥AC于点E,说明：△BCD≌△ECD: (2)如图2，在(1)的条件下，延长ED交CB的延长线于点F,说明：CF=AC: (3)如图3，点H为AC上一点，连接DH,AC+CH=10,AD=DH,求BC的长 ◆题型3与角平分线有关的全等三角形问题 17/27 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11.如图，在△AOB和△COD中，OA=OB,OC=OD|OA<OC,∠AOB=∠DOC=,直线AC, BD交于点M,连接OM,下列结论：①AC=BD,②∠OAM=∠OBM,③∠AMB=C,④MO平分 ∠AMD,其中正确结论的个数是() A.4 B.3 C.2 D.1 12.如图，△ABC为锐角三角形，分别以AC,BC为边，向外作等边三角形ACD和等边三角形BCE,连 接BD交AC于点F,连接AE交BC于点G,BD与AE交于点O,连接OC. D D F E 备用图 (①)求证：BD=AE: (2)求∠AOD的度数： (3)求证：OC平分∠DOE. 13.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，CD是△ABC的角平分线，AE⊥CD于点E,连接BE, AB=6,AC=8,BC=10,则△ABE的面积是 14.综合实践： E F D B 图1 图2 图3 18/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)如图1，学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等：反过来，等角所对的边 也相等.如果在一个三角形中，两个角不等，那么它们所对的边有什么大小关系呢？ ①猜想：在△ABC中，如果AB>AC,则∠C ∠B(填写“>”“<”或“=”)； ②验证：可以通过作 图形，构造 将不等关系转化为 关系，运用角 的性质来进行证明.（填写正确答案的选项即可） A.全等三角形： B.对称； C.等腰三角形； D.相等； E.从特殊到一般。 (2)如图2，在△ABC中，AB>BC,BP平分∠ABC交AC于点D,连接AP,CP.判断AB-BC与 PC-PA的大小关系，并证明： DE_4 BD (3)如图3，在△ABC中，∠A=60°，△ABC的角平分线BF,CE交于点D,若CD7,请求出CD的 值，并写出解答过程， 15.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E,点F在AC上，且 BD=DF」 E D B (1)求证：CF=EB. (2)试判断AB与AF,EB之间存在的数量关系，并说明理由， ◆题型4等腰三角形的性质和判定 l6.如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC,AD=AE,C,D,E三点在同一 条直线上，连接BD,则下列结论错误的是() A.△ABD≌△ACE B.BD=CE C.BD⊥CE D.∠BAE+∠CAD=200° 17.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE,PF分 别交AB,AC于点E,F,连接EF交AP于点G,给出以下五个结论： 19127 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①∠B=∠C=45°： ②AE=CF; ③AP=EF: ④△EPF是等腰直角三角形： ⑤四边形AEPF的面积是△ABC面积的一半. 其中正确的结论是() G B P A.①②③④ B.①②③⑤ C.①②④⑤ D.①②③④⑤ 18.如图，在△ABF中，点D、C在BF上，连接AD、AC,∠1=，∠ 3=,过点F作EF⊥AD 于E. A E B<14 D (1)求证：△ADF是等腰三角形： (2)求证：AE=DE, 19.在△ABC中，∠ABC=∠ACB,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB, (1)你能得到什么结论呢？ (2)过点A作AD⊥BC于D,你能得到什么结论？ 20.如图，△ABC与△AED为等腰三角形，AB=AC,AD=AE,∠DAE=∠BAC,D为线段BC上 一个动点，AC与DE相交于点G, 20/27 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：CA平分∠BCE: (②)如图2，在ED延长线上取一点F,当DF=EG时，线段AC与BF有什么位置关系？并说明理由： 25 3)如图3，若AELAB,且∠CAD=2∠CDE,△CDE的面积为4，求CD的长. ◆题型5线段垂直平分线的性质和判定 21.如图，在四边形ABCD中，AB‖DC,E为BC的中点，连接DE、AE,AE⊥DE,延长DE交AB 的延长线于点F.若AB=-5,CD=3,则AD的长为· 22.如图，在等腰三角形ABC中，，AB=AC,AD是△ABC的高，边AB的垂直平分线EF分别交AB, AD于点E,F,连接BF,CF」 E (1)若AF=5,求CF的长度： (2)若∠BAC=80°，则∠FCA= 23.如图，在△ABC中，线段BC的垂直平分线DE交BC于点D,交AC于点E,连接BE,若AB=4, AC=8,则△ABE的周长为() 21/27 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D A.8 B.10 C.12 D.16 24.解决下列问题 B 图(1) 图(2) (1)问题发现：如图(1)，已知OA=OB=OC. ①若∠ACB=72°，∠B0C=80°，则∠AOB= ②若∠AOB=140°，∠B0C=80°，则∠ACB=」 °，∠BAC= 0 ③根据以上计算，请写出∠ACB与∠AOB之间的数量关系： (②)问题拓展：如图(2)，已知OA=OB=OC,(1)中的关系还成立吗？如果不成立，请写出正确的结 论：如果成立，请写出证明过程.· (3)知识应用：点D是△ABC三边垂直平分线的交点，若∠BDC=112°，请直接写出∠BAC的度数. 25.如图，在四边形ABCD中，ADBC,E为CD的中点，连接AE,BE,BE⊥AE,延长AE交BC 的延长线于点F.求证： (1)AD=FC: (2)BE是AF的垂直平分线： (3)猜想：线段AB,BC,AD之间关系，并说明理由. 22/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型专练 高频重难特训 一、单选题 1.如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm,面积是12cm2,腰AC的垂直平分线EF交AB于点F,若 D为BC边上的动点，M为线段EF上一动点，则CM+MD的最小值为() E D B A.3cm B.6cm C.8cm D.12cm 2.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC,垂足为D,且AC+CD=BD,若BD=6,则CD的 长为() A.1 B.1.5 C.2 D.3 3.如图，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，且A、C、E三点共线，AD与BE交于点O,AD与BC 交于点P,BE与CD交于点Q,连结PQ.以下六个结论：①AD=BE;②∠AOE=120°；③DE=DP: ④OA=OB+OC:⑤△PCQ是等边三角形；⑥OC平分∠BCD.其中正确的结论有() A.①②④⑤ B.①②⑤⑥ C.③④⑤⑥ D.①②④⑥ 4.如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=∠ACB=45°，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，过 点A作AF⊥AD,垂足是A,过点C作CF⊥BC,垂足是C,交AF于点F,连接EF,下列结论：① △ABD≌△ACF:②DE=EF;③若SAADE=15,SACEF=6,则SAABC=36:④BD+CE=DE,其中正 确的是() 23/27 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A.①④ B.②③ C.①②③ D.①②④ 5.如图，在△ABC和△BPE中，AB=BC,BP=BE,∠ABC=∠EBP=60°，点P在BC的延长线上， EC的延长线交AP于点M,连接BM,则下列结论错误的是() A.∠ACP=120° B.△ABP≌△CBE C.∠PME=60° D.点B到AP,CE的距离不相等 6.如图，AB=4cm,BC=6cm,∠B=∠C,如果点P在线段BC上以1厘米/秒的速度由B点向C点 运动，同时，点Q从C点出发沿射线CD运动.若经过t秒后，△ABP与△CQP全等，则t的值是() D ○ A.2 B.4 C.2或3 D.2或4 7.如图，在△ABC中，AB=AC,BC=4,其面积为12，AC的垂直平分线EF分别交AB,AC边于点 E,F,若点D为BC边的中点，点P为线段EF上的一个动点，则△PCD周长的最小值为() 24127 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.12 B.10 C.8 D.6 二、填空题 8.如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE是△ABC的角平分线，BE=2,BC=6,则∠BPC= CD= E B 9.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB,过点B作BD⊥CD,垂足为点D,连接 AD,若AB=3,BC=4,则△ACD的面积为 D B 10.如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=68°，AC的垂直平分线EF分别交AB,AC于点E,F.若 D为BC的中点，P为线段EF上一动点，则当△PCD周长的最小时，∠BPE的大小为一· A F B D 11.如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在AC上，过点C作CE⊥BD交BD的延长线于点 SACDE= B,交BC的平行线AG于点F,若BD9’则SADB FD 2 25/27 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G E B A 12.如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，AD平分∠BAC,BE⊥AD于点E,交AC的延 长线于点F.给出下面四个结论：①AD=BF;②BE=CF;③BF=2BE;④AC+CD=AB.上述结论 中，正确结论的序号是 B D 三、解答题 13. 等腰直角三角形既是特殊的直角三角形，又是特殊的等腰三角形：基于其边角特征判定全等三角形的 过程中提炼了常见的一个全等结构（如图①），一些复杂的问题可以转化成这样的全等结构进行解决. F E E D 图① 图② 图③ 【理解探究】 (1)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC.点C正好落在直线l上，直线l与直线AB的交点不 在边AB上，分别作BF⊥I于点F,AE⊥I于点E,猜想线段BF、EF、AE之间的数量关系，并证明： 【转化应用】 (2)如图②，△ABC与△BDF均为等腰直角三角形，∠ACB=∠BFD=90°，且C、F、D在同一直线上， 连接AD.已知SABCD=12,BF=4,则S△ACD=: 3)在Rt△ACD中，∠ACD=90°，AC=6,CD=8,AD=10.直线l经过Rt△ACD的直角顶点C交斜 边AD于点E,CE⊥AD,AE:DE=9:16,动点F在直线l上，动点B在CD所在直线上.若以点B、C、F 为顶点的三角形与△ACE全等（如图③），直接写出所有满足条件的EF的长. 14.结合图形，解决问题 (1)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC>BC,BD为Rt△ABC的角平分线.点E为CB延长线上的一点，点 26/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F为直线AB上的一点， M D D B B B 图1 图2 图3 ①如图1，若EF‖BD.求证：△BEF是等腰三角形： ②如图2，连接EF、DE、DF,若DM垂直平分EF,BE=1,BF=5,求CE的长： (2)如图3，Rt△ABC≌Rt△DBE,点D、点B、点C在一条直线上，点E在AB上，点C、点C关于点B 对称，连接CE,取BE中点F,连接CF,过点B作BG⊥CF,垂足为G,延长BG交CE于点H,连接 FH,猜想线段CF、BH、FH之间的数量关系，并证明你的猜想。 15.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,边CA沿着过点A的某条直线对折得到DA,连接 CD,以CD为边在左侧作△CDE,其中∠CDE=9O°，CD=DE,AD与CE交于点F,连接BD (图1) (图2) (图3) (1)如图1，连接AE,当点D在△ABC外部时，试说明△ADE≌△BCD: (2)如图2，连接AE,当点D在△ABC的斜边AB上时，试判断△AEF的形状并说明理由； (3)如图3，当点D在△ABC的内部时，若点F为AD的中点，且EF=2,求BD的长， 27127函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第12章全等三角形全章高频重点题型突破 内容概览 目基础拿分：高频题型归纳 题型1命题与证明 题型2全等三角形的概念 题型3全等三角形的性质 题型4灵活选用判定方法证明三角形全等 题型5补充全等三角形判定过程 题型6结合尺规作图的三角形全等问题 题型7倍长中线模型 题型8垂线模型 目综合攻坚知能拔高 题型1全等三角形的动点问题 题型2全等三角形的判定与性质综合 题型3与角平分线有关的全等三角形问题 题型4等腰三角形的性质和判定 题型5线段垂直平分线的性质和判定 基础拿分 高频题型归纳 ◆题型1命题与证明 1.B 2.D 3. 已知：如图，直线a、b、c中，a‖b,b‖c, -a -b a‖c 一c求证： 证明：作直线a、b、c的截线DF,交点分别为D,E,F. 1/25 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -a a‖b .∠1=， b‖c .∠2=， .∠1=， ..a c. 4. 如果两条射线分别是邻补角的平分线，那么它们互相垂直. 题设：两条射线分别是邻补角的角平分线： 结论：它们互相垂直.是真命题： 如图，∠AOB,∠BOC是邻补角，OM,ON分别平分∠AOB,∠BOC. M B 5.C ◆题型2全等三角形的概念 6.①④ 7.△ABC△ABC 8.B 9.B 10. 对应点 对应边 对应角 ◆题型3全等三角形的性质 11.7cm/7厘米 12.65 13.45°45度 2/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14.D 15.C ◆题型4灵活选用判定方法证明三角形全等 16.C 17.B 18.∠ABC=∠DCB(答案不唯一) 19.C 20.D ◆题型5补充全等三角形判定过程 21.两直线平行，内错角相等；FC;FC;AC:DF;AC=DF;∠ACB=∠EFD:BC=EF;SAS; 全等三角形的对应角相等. 22. 己知，CF+CE,BC,BC=EF,ABC,DEF,SAS,三角形全等的对应角相等 23.∠A=∠D;DE;∠B=∠C;∠A=∠D;AAS;全等三角形的对应边相等；∠AFB=∠CED A 24.1)B E C (2)两直线平行，同位角相等；BC=EF;∠DFE 25.两直线平行，内错角相等：角平分线的定义；AAS;全等三角形对应边相等；已证；ASA ◆题型6结合尺规作图的三角形全等问题 26.(1)解：如图即为所作， B (2)解：如图即为所作， 3/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 27.(1) 如图1，线段CD即为所求： 图1 (2) 如图2，线段CE即为所求. 图2 28.(1) 如图，点E即为所求作； (2) 如图，△ABD即为所求作： 4/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B (3) 如图，点E即为所求作. C 29. 如图所示，△ABC与△ABC1不一定全等. R B C B C A 30.(1) △BEF即为所求作（答案不唯一）； B A F (2) △ABD即为所求作（答案不唯一）， B D 5/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型7倍长中线模型 31.(1)2<AD<10 (2)证明：如图，延长OE至点F,使得EF=OE,连接BF」 .E BD 是 的中点， .'BE=DE 在△BEF和△DEO中， FE=OE ∠BEF=∠DEO BE=DE ∴.△BEF△DEO(SAS), ∴.BF=OD=OC,∠FBE=∠ODE, .BF OD, ∴.∠OBF=∠OBE+∠FBE=∠OBE+∠ODE=180°-∠BOD .'∠AOC=360°-∠AOB-∠COD-∠BOD=180°-∠BOD, ∴.∠OBF=∠AOC 在△OBF和△AOC中， OB=AO ∠OBF=∠AOC BF=OC ∴.△OBF2△AOC(SAS), ∴.OF=AC. 0r=0R, ..OE=-AC. 2 32.1<AD<7 33.(I)方法①：证明：如图，延长FE至点G,使GE=FE,连接CG, 6/25 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D E G 在△DFE和△CGE中， DE=CE ∠DEF=∠CEG, EF=EG .△DFE≌△CGE SAS, ∴.DF=CG,∠DFE=∠G, 'DF=AC, .'.CG=AC, ∴.∠CAG=∠G, .DF‖AB, ..∠BAE=∠DFE, ∴.∠BAE=∠CAG, ∴.AE平分∠BAC: 方法②：证明：如图，延长AE至点G,使GE=AE,连接DG, B D 在△ACE和△GDE中， AE=GE ∠AEC=∠GED CE=DE ∴.△ACE≌△GDE SAS, ∴.AC=DG,∠CAE=∠G, 'DF=AC, ∴DG=DF, 7/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠DFG=∠G, DP‖AB, ∴.∠DFG=∠BAE, ∴.∠BAE=∠CAE, ∴.AE平分∠BAC: (2)如图，延长AD至点G,使GD=AD,连接BG, .AD BC G 是 边上的中线， ∴.BD=CD 在△ACD和△GBD中， CD=BD ∠ADC=∠GDB AD=GD ∴.△ACD≌△GBD SAS, ∴.BG=AC,∠ACD=∠GBD, ..BG AC ∴.∠ABG+∠BAC=180°， '.AC=AF, ∴.BG=AF .∠BAE=∠CAF=90°， .∴.∠EAF=360°-∠BAE-∠CAF-∠BAC=180°-∠BAC .'∠ABG=∠ABC+∠GBD=∠ABC+∠ACD=180°-∠BAC, ∴.∠EAF=∠ABG, 在△AEF和△BAG中， AE=AB ∠EAF=∠ABG AF=BG .△AEF≌△BAG SAS, 8/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠AEF=∠BAG, 设AD与EF交于点H, ,∠BAE=90°， .∠BAG+∠EAH=90°， 又'∠AEF=∠BAG, ∴.∠AEF+∠EAH=90°， .∠AHE=90°， 即AD⊥EF」 (3)△ABC与△AEF面积相等，理由如下： 由(2)可知△ACD2△GBD, ∴.SAACD=SAGBD, :S△ABC=S△ABD+SA□ACD,S△ABG=S△ABD+SAGBD, ∴.S△ABC=SAABG, 由(2)可知△AEF≌△BAG, SAAEF=SAABG .SAAEF=S△ABC. 34.(1)①A;②0.5<AD<4.5 (2)S△AMN=40 (3)MP=NP,理由如下： 如图：过点M作MH⊥AP于点H,过点N作NG⊥AP于点G.则∠MHA=∠CEA=90 H A C ∴.∠EAC+∠ACE=90°， .∠CAM=90°. ∴.∠EAC+∠HAM=90°」 ∴.∠MAH=∠ACE, .AC=AM,, 9125 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△AMH≌△CAEAAS, ∴.HM=AE, 同理：△AGN≌△BEA(AAS ∴.NG=AE .NG=HM 在△PHM和△PGN中 .NG=HM,∠MHP=∠NGP,∠HPM=∠GPN .△PGN≌△PHMAAS ∴.MP=NP 35.(1)B (2)2<2EP<14 ()证明：如图3，E是AC的中点，延长OE至点H,使EH=OE=号H0,连接CH, 图3 ∴AE=CE, 在△OEA和△HEC中， OE=EH ∠OEA=∠HEC AE=CE .△OEA≌△HEC(SAS, ∴.OA=HC,∠EOA=∠EHC, .OA=OB. ..HC=OB, 在△OCH中，根据三角形内角和180°， ∴.∠HOC+∠OHC+∠HC0=180°， ∴.∠HOC+∠EOA+∠HCO=180°， .∠HOC+∠EOA=∠COA, ∴.∠C0A+∠HC0=180°， .:·∠AOB+∠COD=180°，∠COA+∠DOB+∠AOB+∠COD=360°， 10/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠C0A+∠D0B=180°， .∠HCO=∠DOB, .OC=OD. .在△HCO和△BOD中， HC=OB ∠HCO=∠DOB OC=OD ∴，△HCO≌△BOD(SAS, ∴HO=BD EH=0E-号H0. ..OE=1BD 2 ◆题型8垂线模型 36.(1) 证明：，∠ACB=∠DCE, ∴.∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB 即∠ACD=∠BCE, 又，CB=CA,CD=CE, .△CAD≌△CBE SAS, ..AD=BE: (2)6 哈 37.A 38.V2 39.C 40.(1)DE=BD+CE (2) (1)中的结论成立，理由如下： 如图2所示： 11/25 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A E 图② .∠BDA=∠AEC=∠BAC=a,AB=AC, .☑ 1+∠ BAC80P8020, 在△ABD中，∠1+∠ B8θP802-c, .∠2=， .∠BDA=∠AEC=a,AB=AC, ∴，△ABD≌△CAEAAS, ..BD=AE,AD=CE ∴.DE=AE+AD=BD+CE; 3) 证明：过点E作EN‖AG,交AM的延长线于点N,如图3所示： G B H 图③ ,△ABE和△ACG都是等腰直角三角形，且∠BAE=∠CAG=90°， ∴.AB=AE,AC=AG, .AH⊥BC .∠ABC+∠HAB=90°， ,∠BAE=90°， ∴.∠HAB+∠EAN=90°， ∴.∠ABC=∠EAN, .∠BAE=∠CAG=90°， .∠BAC+∠EAG=180°， 12/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :EN‖AG, ∴.∠AEN+∠EAG=180°， ∴.∠BAC=∠AEN, ∴.△ABC≌△EANASA, ..AC=EN. .AC=AG, ..EN=AG, .EN‖AG ∴.∠N=∠MAG,∠MEN=∠MGA, .△EMN≌△GMA ASA, ..EM=GM, ∴.点M是EG的中点. 核心提升 重难题型归纳 ◆题型1全等三角形的动点问题 1.(1)BD=AE (2)DE=BD+CE,理由：，点D、A、E在直线m上， ∴.∠DAB+∠BAC+∠CAE=180° 由三角形内角和定理知，∠DAB+∠BDA+∠ABD=180°， ,∠BDA=∠AEC=∠BAC, ∴.∠CAE=∠ABD, .AB=AC, ∴.△ABD≌△CAEAAS, ∴.AD=CE,BD=AE, ∴.DE=BD+CE: (3)3cm/s或2cm/s 2.(I)结论：AC=AM,AC⊥AM.理由如下： .A0,2,B4,0,D0,-6, ∴.OA=2,OD=6,0B=4, .AD=OA+OD=8,BC=20B=8, .'AD=BC, 13/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DE⊥AB,∠AOB=90°， ∴.∠EAD+∠MDA=90°，∠EAD+∠ABO=90°， ∴.∠ABO=∠MDA, 在△CAB与△AMD中， AB=MD ∠ABO=∠MDA AD=BC .△CAB≌△AMD SAS, ∴.AC=AM,∠ACO=∠MAD, .'∠AC0+∠CA0=90°， ∴.∠MAD+∠CAO=∠MAC=90°， .AC=AM,AC⊥AM: (2) 是定值，定值为4 3.(1)证明：，AD⊥1，BE⊥1， .∠ADC=∠BEC=90°， 又∠ACB=90°， ∴.∠ACD=∠CBE=90°-∠BCE, ∠ACD=∠CBE 在△ADC和△CEB中， ∠ADC=∠BEC=90° CA=CB ∴△ADC≌△CEBAAS. (2)①△AEC≌△CFB: 理由：AE⊥CD,BF⊥CD, ∴.∠E=∠BFC=90°， 又∠ACB=90°， ∴.∠ACE=∠CBF=90°-∠BCF, ∠ACE=∠CBF 在△AEC和△CFB中，∠AEC=∠BFC=90° CA=CB .△AEC≌△CFBAAS. ②4 14/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 4.1或 10 5.2或 ◆题型2全等三角形的判定与性质综合 6.65 7.B 8.(1)证明：，BE+CE=CF+CE, ..BC=EF AB=DE,AC=DF. .△ABC≌△DEF SSS, .∠A=∠D: (2)ABDE,ACDF,理由： ,△ABC≌△DEF, .∠ABC=∠DEF,∠ACB=∠DFE, ..AB DE,AC DF 9.(1)证明：，∠ACB=90°，E为AC延长线上一点， .∴.∠BCE=90°， 在Rt△ACD和Rt△BCE中， AD=BE AC=BC .Rt△ACD≌Rt△BCEHL, .'CD=CE: (2)证明：.Rt△ACD≌Rt△BCE, .∠CAD=∠CBE, ∴.∠AFB=∠CAD+∠E=∠CBE+∠E=90°， .AF L BE 10.(1)解：.DE⊥AC, ∴，∠AED=∠CED=90°=∠B, CD平分∠ACB, ∴.∠ACD=∠BCD, 15125 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又.CD=CD, △BCD≌△ECD AAS: (2)解：·∠ABC=90°， .∠ABF=90°=∠AED, ,∠BDF=∠ADE, ∴.∠A=∠F, ,∠ACD=∠BCD,CD=CD, ∴.△ACD≌△FCD AAS, ∴.CF=AC: (3)5 ◆题型3与角平分线有关的全等三角形问题 11.A 12.(1)证明：，等边三角形ACD和等边三角形BCE, ∴.AC=DC,BC=EC,∠ACD=∠BCE=60°， ∴.∠ACE=∠ACB+60°=∠DCB, ∴.△BCD≌△ECASAS, ..BD=AE; (2)∠A0D=60° (3)证明：，∠AOD=60°， ∴.∠E0D=120°， 如图1，过点C分别作CP,CQ垂直于BD,AE,且垂足分别为点P,点Q, o .△BCD≌△ECA BD=AE 图1 .'CP=CQ, .OC平分∠DOE 16/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12 13. 5 14.(1)①>：②B,C,D (2)解：AB-BC>PC-PA,理由如下： 如图，延长BC到点G,使GB=AB,连接PG,则AB-BC=GB-BC=CG, D .CG>PC-PG, G 图2 ∴.AB-BC>PC-PG, .BP平分∠ABC, ∴.∠PBG=∠PBA, 在△PBG和△PBA中， GB=AB ∠PBG=∠PBA PB=PB .△PBG≌△PBA SAS ∴.PG=PA, ∴.AB-BC>PC-PA: 3)解：如图，在BC上截取BL=BE,连接DL,作LI⊥DB于点I,LJ⊥DC于点J, E 图3 ,∠A=60°，△ABC的角平分线BF,CE交于点D ∠ABF=∠CBF=-克∠ABC,∠ACE=∠BCE=i∠ACB, 2 ∠BDE=∠CBF+∠BCE∠ABC+∠ACB1B0-∠A-60, ∴.∠BDC=180°-∠BDE=120°， 17/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△BDL和△BDE中， BL=BE ∠LBD=∠EBD, BD=BD .△BDL≌△BDE SAS .SABDL=SABDE,∠BDL=∠BDE=60, .∠CDL=180°-∠BDL=60°， ∴.∠BDL=∠CDL=60°， :S△BDE二DE4 SABDC CD7' SABDL=4 ,SBDL=Z⊙△BDG,S SCDL-7 4 .S△BDL7 ABDC4 SACDL 3 ∠BDL=∠CDL,LI⊥DB于点I,LJ⊥DC于点J, ∴.LI=LJ, .S△BDL= DU 4 SACDL LCD.LJ 3, 2 BD 4 CD3’ BD CD的值为5 15.(1)证明：，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB,∠C=90°， ∴.DC=DE 在Rt△FCD和Rt△BED中， DF=DB DC=DE .Rt△FCD≌Rt△BED HL, ∴.CP=EB 18/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：AB=AF+2EB,理由如下： 在Rt△ACD和Rt△AED中， AD=AD DC=DE· ∴.Rt△ACD≌Rt△AED|HL, ∴.AC=AE .AB=AE+EB=AF+FC+EB=AF+2EB ◆题型4等腰三角形的性质和判定 16.D 17.C l8.(①)证明：.∠ADF是△ABD的外角， .∴.∠ADF=∠ 1, .∠DAF=∠ 2,∠1=，∠3=， ∴.∠ADF=∠DAF, ∴.AF=DF, ∴.△ADF是等腰三角形 (2)证明：由(1)得AF=DF, .EF⊥AD ∴.AE=DE 19.(1)△ABC是等腰三角形：△BOC是等腰三角形： (2)BD=CD,∠BAD=∠CAD,OD⊥BC,∠BOD=∠COD 20.(1)证明：，∠DAE=∠BAC, ,∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC,即∠CAE=∠BAD, AB=AC 在△ABD和△ACE中， ∠BAD=∠CAE AD=AE △ABD≌△ACESAS, ∴.∠B=∠ACE, .AB=AC, .∠B=∠ACB, ∴.∠ACE=∠ACB, 19/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即CA平分∠BCE, (2)解：AC‖BF,理由如下： 如图所示，在AB上截取AM,使得AM=AG,连接DM,在AB上取点H,连接DH,使得DH=DB, H E.AD=AE G D ∴.∠ADE=∠AED AM=AG 在△ADM和△AEG中， ∠BAD=∠CAE AD=AE ∴.△ADM≌△AEGSAS, .DM=EG,∠AMD=∠AGE,∠ADM=∠AED, ∴.∠ABC=∠DHB,∠ADM=∠ADE, .∠BAC=∠DAE,AB=AC,AD=AE,∠ADM=∠AED ∴.∠ABC=∠ACB=∠ADE=∠AED=∠ADM=∠DHB, 又，∠BDF=180°-∠ADE-∠ADM-∠BDM, ∠MDH=180°-∠ABC-∠DHB-∠BDM, ∴∠BDF=∠MDH, .DF=EG,DM=EG, .DF=DM, DH=DB 在△DMH和△DFB中， ∠MDH=∠BDF DM=DF ∴△DMH≌△DFBSAS, .∠AMD=∠F, 又：∠AMD=∠AGE=∠CGD, .∠F=∠CGD, AC‖BF (3)CD=5 20/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型5线段垂直平分线的性质和判定 21.8 22.(1)CF=5 (2)40 23.C 24.(1)①144，②70,40；③∠A0B=2∠ACB (2)(1)中关系不成立，∠AOB+2∠ACB=360° (3)56°或124° 25.(1)证明：.AD‖BC, ∴.∠EAD=∠F,∠D=∠ECF, 又，E为CD的中点， ∴.DE=CE, ∠EAD=∠F 在△ADE和△FCE中 ∠D=∠ECF DE=CE ∴.△ADE≌△FCE(AAS), ..AD=FC. (2)证明：，△ADE≌2△FCE, ..AE=FE, 又BE⊥AE, ∴BE是AF的垂直平分线： (3)结论：AB=BC+AD,理由如下： 在△AEB和△FEB中， AE=FE ∠AEB=∠FEB=90° BE=BE .△AEB≌△FEB SAS, ∴.AB=FB, 由(1)可知FC=AD, .AB=FB=BC+FC=BC+AD, 即AB=BC+AD. 21/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型专练 高频重难特训 1.B 2.C 3.A 4.C 5.D 6.C 7.C 8. 120°120度 4 9. 3 10.24° 5 11. 12. ①③④ 13.(1)BF+AE=EF 证明：.AE⊥1，BF⊥1， ∴.∠AEC=∠BFC=90°， ∴.∠ACE+∠CAE=90°， .∠ACB=90°， ∴.∠ACE+∠BCF=90°， ∴.∠CAE=∠BCF」 在△ACE和△CBF中， ∠AEC=∠CFB ∠CAE=∠BCF, AC=CB ∴.△ACE≌△CBF(AAS), ∴.AE=CF,CE=BF, ∴.BF+AE=CE+CF=EF. (2)6 22125 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 42.54.6 (③)所有满足条件的EF的长为或写或污， 14.(1)①证明：BD为Rt△ABC的角平分线， .∠ABD=∠CBD. ..EF BD. .∠BEF=∠CBD,∠BFE=∠ABD. ,∠BEF=∠BFE」 ∴.△BEF是等腰三角形： ②3 (2)解：猜想CF=BH+FH,证明如下： 如图3所示，过点E作EP⊥BE交BH的延长线于点P, Q B 图3 .∠PEB=90 .∠ABC=90°， ∴.∠ABD=180°-∠ABC=90°， ∠FBC=∠PEB; .BG⊥CF, .∠BCF+∠CBG=90°， 又，∠CBG+∠EBP=90°， ∴.∠EBP=∠BCF: ,点C、点C关于点B对称， ∴BC=BC, .Rt△ABC≌Rt△DBE, ..BC=BE, ..BC=BE, .△EBP≌△BC FASA, 23/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..BP=CF,EP=BF, ,点F为BE的中点， ..EF=BF, ..EP=EF: .BC=BE,∠CBE=90 ∴.∠BEC=∠BCE=45°， .∠PEH=∠PEB-∠BEC=45°， .∠PEH=∠FEH, 又，EH=EH, ∴△EPH≌△EFH SAS, ..PH=FH, ..BP=BH+PH, ..C F=BH+FH. 15.(1)证明：如图， C E .AC=AD. :.∠ACD=∠ADC, ,∠ACB=∠CDE=90°， ∴，∠BCD+∠ACD=90°，∠ADC+∠ADE=90°， .∠BCD=∠ADE, .CA=CB,AC=AD, ∴.DA=CB 在△ADE和△BCD中， DA=CB ∠ADE=∠BCD, DE=CD ∴.△ADE≌△BCD|SAS. 24125 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：结论：△AEF是等腰三角形， 理由：如图， CA=CB,∠ACB=90, .∠CAB=∠B=45, .AC=AD .∠ACD=∠ADC=67.5°， 据(1)可知△ADE≌△BCD, ∴.∠DAE=∠B=45°， .∠EAF=∠DCF, ,∠AFE=∠CFD, ∴.∠AEF=∠CDF=67.5°， ∴.∠AFE=180°-45°-67.5°=67.5°， ∴.∠AFE=∠AEF=67.5°， .△AEF是等腰三角形. (3)4 25/25