第十四章 全等三角形（单元自测卷·广东专用）数学新教材人教版八年级上册

命学科网·上好课 www .zxxk.com 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十四章全等三角形（参考答案） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D A C C D & 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.∠ABC=∠ABD 12.3 13.12.5 14.5 15.36cm或56cm 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分) 16. 证明：，AC∥DF, .∠ACB=∠F,1分 .BE=CF, .BE+CE=CF+CE .BC=EF,3分 在△ABC和△DEF中， AC=DF ∠ACB=∠F BC=EF· △ABC≌△DEF(SAS) 6分 .∠A=∠D.8分 17.(1) 如图所示，即为所求，…1分 …4分 1/9 上好每一堂课 (广东专用) 8 9 10 0 命学科网·上好课 (2) 219 www.zxxk.com 上好每一堂课 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 证明：，AE平分∠BAC, .∠BAE=∠DAE, .AB=AD,AE=AE, ,△BAE≌△DAE(SAS) .DE=BE.8分 18 证明：DE⊥AB,DF⊥AC, 在Rt△BDE和RtACDF中 BD=DC BE=CF, :.RtaBDES≌Rt CDF(HL) 4分 ..DE=DF, DE⊥AB,DF⊥AC, .∠DAE=∠DAF, .AD是△ABC的角平分线.8分 四、解答题（二)（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19.(1) 证明：.△ABC≌△DEC, ∴.∠BCA=∠ECD,∠BAC=∠EDC 点B,C,D在同一条直线上， .∠BCA=∠ECD=90°. .∠CDE+∠CED=90° .∠AEF=∠CED ∴.∠AEF+∠BAC=90°， .∠AFE=90°，即DF⊥AB;6分 (2),△ABC≌△DEC, .BC=CE=3,AC=DC」 ·.DC=BD-BC=8-3=5 .AC=DC=5, .AE=AC-CE=5-3=2.9分 20.(1) 1/9 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △OBF2aCOG,理由如下：1分 :∠BOC=90°」 .∠COG+∠BOF=∠BOF+∠OBF=90°， ∠C0G=∠0BF;3分 :∠CF0=∠BF0=90°，OB=OC, ∴.AOBF≌△COG(AAS) ;5分 (2)解：：aOBF2aCOG, ..CG=OF,OG=BF; BF,CG分别为2m和2.4m, ∴.CG=2.4m,0G=2m, ∴.GF=0F-0G=2.4-2=0.4(m) ;.8分 :妈妈在距地面1.2m高的B处，且1.2+0.4=1.6(m)」 ∴.爸爸在距离地面1.6m高的地方接住乐乐.9分 21.（(1)解：在△ABC中，AB=4km,AC=2km, .4-2<BC<4+2,即2km<BC<6km:2分 (2)△ADC≌aEDB,理由如下： :点D是BC的中点， ∴BD=CD 在△ADC与△EDB中， (DE=AD ∠EDB=∠ADC BD=CD .△ADC≌△EDB(SAS) 6分 (3)解：，△ADC≌aEDB, .'AC=BE 2km, 在△ABE中，AB=4km,BE=2km」 ∴.2km<AE<6km, 2/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .1km<AD<3km.9分 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分)， 22.(1) ①证明：，∠ACB=∠DCE=n° ∴.∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD ∴.∠ACD=∠BCE 在△ACD与△BCE中 (AC=BC ∠ACD=∠BCE CD=CE AACD≌ABCE(SAS) .AD=BE3分 ②②解：如图所示： B 图1 ACD≌ABCE(SAS) 由①得 .∠CAD=∠CBE 又∠2=∠1， ∴180°-∠CAD-∠2=180°-∠CBE-∠1， 即∠AMB=∠ACB=n°， .∠AMB=n°7分 (2) ACPO 是等腰直角三角形，证明如下： ACD≌ABCE(SAS) 由(1)得 ∴.AD=BE,∠CAD=∠CBE, P,O分别为AD,BE的中点， ..AP=BO. 3/9 可学科网·上好课 WW 在△ACP与△BCQ中 AC=BC ∠CAP=∠CBQ AP=BO △ACP≌ABCQ(SAS) .CP=CQ,∠ACP=∠BCQ. .∠ACP+∠PCB=∠ACB=n°， .∠BCQ+∠PCB=∠ACB=n°， 即∠PCQ=∠ACB=n°， 又，n=90, .∠PCQ=90° .△CP是等腰直角三角形.12分 23.(1)∠B=∠ADC=90°. ∠B=∠ADG=90°， 在△ABE和△ADG中 DG=BE ∠B=∠ADG AB=AD .∴△ABE2AADG(SAS) ,2分 .AE=AG,∠BAE=∠DAG, .∠BAD=120°，∠EAF=60°， ∴.∠BAE+∠DAF=60°， ∴.∠DAG+∠DAF=60° .∠GAF=60°=∠EAF, 在△AEF和△GAF中 4/9 w.zxxk.com 上好每一堂课 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AE=AG ∠EAF=∠GAF AF=AF ∴.△AEF2AAGF(SAS) 5分 :EF =GF, .FG=DG+DF BE+DF, .EF BE+DF: 故答案为：EF=BE+DF.6分 (2)结论EF=BE+DF仍然成立： 理由：如图，延长FD到点G,使DG=BE,连接AG, 5/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G D E C :∠B+∠ADC=180°，∠ADG+∠ADC=180°， ∴.∠B=∠ADG 在△ABE和△ADG中 (DG=BE ∠B=∠ADG AB=AD ∴.△ABE≌AADG(SAS) 9分 .AE=AG,∠BAE=∠DAG, :∠EAF= L∠BAD .∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF, ∠EAF=∠GAF, 在△AEF和△GAF中 AE=AG ∠EAF=∠GAF AF=AF ∴.△AEF≌△AGF(SAS) .EF=GF, FG=DG+DF=BE+DF, EF=BE+DF.12分 1/9 2026-2027八年级上册数学单元自测（广东专用） 第十四章 全等三角形 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列图形中，属于全等图形的是（   ） A． B． C． D． 2．小华不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有①，②，③，④的四块），要选带其中一块，配出和原来大小一样的三角形玻璃，应该选带（    ） A．① B．② C．③ D．④ 3．如图是两个全等三角形，其中的字母表示三角形的边长，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．下列判断正确的是（  ） A．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 B．有两边对应相等，且有一角为 30°的两个等腰三角形全等 C．有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 D．有两边和一角对应相等的两个三角形全等 5．如图，，，是连通三栋楼的道路，业主要求在这三条路围成的范围内安装一照明灯，使灯到三条路的距离相等，则灯应该安装在（   ） A．，两边高线的交点处 B．，两边中线的交点处 C．，两边垂直平分线的交点处 D．，两角的平分线的交点处 6．根据下列已知条件，能唯一画出的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，用尺规作图“过点C作”的实质就是作，其作图依据是（    ） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 8．如图，在中，，M，N，P分别是边，，上的点，且，，若，则的度数为（    ） A．70° B．80° C．90° D．100° 9．如图，在中，，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，作射线交于点D．则点D到边的距离为（    ）   A．3 B．6 C． D． 10．如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数（    ） ①平分；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，平分，若要判定≌，请添加一个条件，则这个条件可以是_____． 12．如图，，则的长为______． 13．如图，，，连接，若，则图中阴影部分的面积为______． 14．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E． △ABC的面积为35，AB=8．BC=6，则DE=__________． 15．在学习完“探索三角形全等的条件”这节课后，某班学生总结出很多全等三角形的模型，他设计了以下问题给班里学生解决：如图，做一个“U”字形框架，其中，足够长，于点A，于点B，点D从点B出发向点A运动，同时点E从点B出发向点N运动，且D，E运动的速度之比为，当个两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点C，使与全等，则线段的长为______． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16．如图，已知，，求证：．    17．如图，中，点D在边上，且．     (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）． (2)若（1）中所作的角平分线与边交于点E，连接．求证：． 18．如图，在中，D是的中点，，垂足分别为E，F，．求证：是的角平分线． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．如图，已知，且点B，C，D在同一条直线上，延长交于点F． (1)求证：； (2)已知，，求的长度． 20．乐乐与爸爸、妈妈在操场上荡秋千．乐乐坐在秋千上的起始位置是A处，起始位置与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面 1.2 m 高的处接住她，妈妈用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到秋千起始位置的水平距离分别为 和． (1)与全等吗？ 请说明理由； (2)爸爸在距离地面多高的地方接住乐乐？ 21．某乡村规划山地休闲游园，如图，地块形如三角形的山地，中间有湖泊，三边划分功能区：边为绿地，长为4千米，边为临溪护栏，长为2千米，边为山间土路．在土路的中点处修建观景驿站，同时修建索道，连接地块顶点与驿站． (1)直接写出山间土路边长的取值范围_________； (2)在中，延长到点，使，连接，与全等吗？请说明理由； (3)在（2）的条件下，求索道长度的取值范围． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）． 22．已知：如图，与中，，，． (1)如图1，，相交于点M，连接． ①求证：； ②求的度数（用含n的式子表示）； (2)如图2，当时，分别取，的中点P，Q，连接，和，判断的形状，并加以证明． 23．【问题背景】 在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是______． 【探索延伸】 （2）在四边形中如图2，，，、分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． ． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027八年级上册数学单元自测（广东专用） 第十四章 全等三角形 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列图形中，属于全等图形的是（   ） A． B． C． D． 2．小华不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有①，②，③，④的四块），要选带其中一块，配出和原来大小一样的三角形玻璃，应该选带（    ） A．① B．② C．③ D．④ 3．如图是两个全等三角形，其中的字母表示三角形的边长，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．下列判断正确的是（  ） A．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 B．有两边对应相等，且有一角为 30°的两个等腰三角形全等 C．有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 D．有两边和一角对应相等的两个三角形全等 5．如图，，，是连通三栋楼的道路，业主要求在这三条路围成的范围内安装一照明灯，使灯到三条路的距离相等，则灯应该安装在（   ） A．，两边高线的交点处 B．，两边中线的交点处 C．，两边垂直平分线的交点处 D．，两角的平分线的交点处 6．根据下列已知条件，能唯一画出的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，用尺规作图“过点C作”的实质就是作，其作图依据是（    ） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 8．如图，在中，，M，N，P分别是边，，上的点，且，，若，则的度数为（    ） A．70° B．80° C．90° D．100° 9．如图，在中，，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，作射线交于点D．则点D到边的距离为（    ）   A．3 B．6 C． D． 10．如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，则下列结论中正确的个数（    ） ①平分；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，平分，若要判定≌，请添加一个条件，则这个条件可以是_____． 12．如图，，则的长为______． 13．如图，，，连接，若，则图中阴影部分的面积为______． 14．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E． △ABC的面积为35，AB=8．BC=6，则DE=__________． 15．在学习完“探索三角形全等的条件”这节课后，某班学生总结出很多全等三角形的模型，他设计了以下问题给班里学生解决：如图，做一个“U”字形框架，其中，足够长，于点A，于点B，点D从点B出发向点A运动，同时点E从点B出发向点N运动，且D，E运动的速度之比为，当个两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点C，使与全等，则线段的长为______． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16．如图，已知，，求证：．    17．如图，中，点D在边上，且．     (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）． (2)若（1）中所作的角平分线与边交于点E，连接．求证：． 18．如图，在中，D是的中点，，垂足分别为E，F，．求证：是的角平分线． 4、 解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．如图，已知，且点B，C，D在同一条直线上，延长交于点F． (1)求证：； (2)已知，，求的长度． 20．乐乐与爸爸、妈妈在操场上荡秋千．乐乐坐在秋千上的起始位置是A处，起始位置与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面 1.2 m 高的处接住她，妈妈用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到秋千起始位置的水平距离分别为 和． (1)与全等吗？ 请说明理由； (2)爸爸在距离地面多高的地方接住乐乐？ 21．某乡村规划山地休闲游园，如图，地块形如三角形的山地，中间有湖泊，三边划分功能区：边为绿地，长为4千米，边为临溪护栏，长为2千米，边为山间土路．在土路的中点处修建观景驿站，同时修建索道，连接地块顶点与驿站． (1)直接写出山间土路边长的取值范围_________； (2)在中，延长到点，使，连接，与全等吗？请说明理由； (3)在（2）的条件下，求索道长度的取值范围． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）． 22．已知：如图，与中，，，． (1)如图1，，相交于点M，连接． ①求证：； ②求的度数（用含n的式子表示）； (2)如图2，当时，分别取，的中点P，Q，连接，和，判断的形状，并加以证明． 23．【问题背景】 在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是______． 【探索延伸】 （2）在四边形中如图2，，，、分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． ． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试卷 第1页（共4页） 试卷 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027八年级上册数学单元自测（广东专用） 第十四章 全等三角形（全解全析） 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列图形中，属于全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、选项中的两个图形不是全等形，故此选项不符合题意； B、选项中的两个图形不是全等形，故此选项不符合题意； C、选项中的两个图形不是全等形，故此选项不符合题意； D、选项中的两个图形是全等形，故此选项符合题意； 故选：D． 2．小华不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有①，②，③，④的四块），要选带其中一块，配出和原来大小一样的三角形玻璃，应该选带（    ） A． ① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【详解】解：带①去，可以利用“角边角”配出一块与原来大小一样的三角形玻璃， 故选：A． 3．如图是两个全等三角形，其中的字母表示三角形的边长，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图： 由三角形内角和定理可得， ∵两个三角形是全等三角形，且与是对应角， ∴， 故选：C． 4．下列判断正确的是（  ） A．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 B．有两边对应相等，且有一角为 30°的两个等腰三角形全等 C．有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 D．有两边和一角对应相等的两个三角形全等 【答案】C 【详解】解：有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，故A错误，不符合题意； 有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形不一定全等，因为30°角可能是顶角，也可能是底角，故B错误，不符合题意； 有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，故C正确，符合题意； 有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等，故D错误，不符合题意； 故选：C． 5．如图，，，是连通三栋楼的道路，业主要求在这三条路围成的范围内安装一照明灯，使灯到三条路的距离相等，则灯应该安装在（   ） A．，两边高线的交点处 B．，两边中线的交点处 C．，两边垂直平分线的交点处 D．，两角的平分线的交点处 【答案】D 【详解】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等， ∴灯应该安装在，两角的平分线的交点处． 故选：D． 6．根据下列已知条件，能唯一画出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、AB=3，BC=4，只已知两边，无法唯一确定一个三角形，不符合题意； B、根据∠C=90°，AB=6，一角和一边不能画出唯一三角形，不符合题意； C、根据AB=4，BC=3，∠A=30°，SSA不能画出唯一三角形，不符合题意； D、根据∠A=60°，∠B=45°，AB=4，符合全等三角形的判定定理ASA，即能画出唯一三角形，符合题意； 故选：D． 7．如图，用尺规作图“过点C作”的实质就是作，其作图依据是（    ） A． SAS B．SSS C．ASA D．AAS 【答案】B 【分析】本题考查了作图—基本作图，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定方法即可得出答案． 【详解】解：由作法可知，，， ， ， ， 故选：B． 8．如图，在中，，M，N，P分别是边，，上的点，且，，若，则的度数为（    ） A．70° B．80° C．90° D．100° 【答案】D 【分析】先根据证明≌，可得，再根据，，可得，进而得出答案． 【详解】在和中， ， ∴≌， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 9．如图，在中，，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，作射线交于点D．则点D到边的距离为（    ）   A．3 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是角平分线的性质，勾股定理的应用，理解题意作出合适的辅助线是解本题的关键．过点D作于E，如图所示，求解，证明，再利用等面积法求解即可； 【详解】解：过点D作于E，如图所示， ∵平分，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故选：D． 10．如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数（    ） ①平分；②；③；④． A． 个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点作于，由角平分线的性质定理可得，即可判断①；证明（），得出，同理可得（），从而得出，进而可得，即可判断②；由角平分线的定义可以判断③；由全等三角形的性质可以判断④； 【详解】解：①过点作于， ∵平分，平分， ，，， ∴，， ∴， ∴平分，故①正确； ②∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴（）， ∴， 同理可得：（）， ∴， ∴， ∴， ∵不一定等于， 故②错误； ③∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，③正确； ④由②可知（）， （）， ∴，， ∴，④正确， 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，平分，若要判定≌，请添加一个条件，则这个条件可以是_____． 【答案】 【详解】解：添加， ∵平分， ∴， ∵，， ∴≌． 12．如图，，则的长为______． 【答案】3 【分析】先证明，然后利用证明得到，，则． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：3． 13．如图，，，连接，若，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】12.5 【分析】根据全等三角形面积相等、对应边相等和对应角相等，将阴影面积进行转化，利用等量代换得到阴影面积等于的面积，再利用面积公式即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 14．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E． △ABC的面积为35，AB=8．BC=6，则DE=__________． 【答案】5 【分析】过D作DF⊥BC于F，根据角平分线的性质求出DE=DF，设DE=DF=a，根据△ABC的面积为35得出×AB×DE+×BC×DF=35，再把AB=8和BC=6代入求出a即可． 【详解】解：过D作DF⊥BC于F， ∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC， ∴DE=DF， 设DE=DF=a， ∵△ABC的面积为35， ∴， ∴×AB×DE+×BC×DF=35， ∵AB=8，BC=6， ∴×8×a+×6×a=35， 解得：a=5， 即DE=DF=5， 故答案为：5． 15．在学习完“探索三角形全等的条件”这节课后，某班学生总结出很多全等三角形的模型，他设计了以下问题给班里学生解决：如图，做一个“U”字形框架，其中，足够长，于点A，于点B，点D从点B出发向点A运动，同时点E从点B出发向点N运动，且D，E运动的速度之比为，当个两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点C，使与全等，则线段的长为______． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定（）及性质，解题的关键是分两种情况讨论三角形全等时对应边的相等关系． 设运动速度和时间，表达出相关线段长度；​由垂直得直角，确定全等所需的角的条件；​分两种对应边相等的情况，利用判定全等；​列方程求出相关量，进而得到的长度． 【详解】解：设点D，E运动的速度分别为，，它们运动的时间为，则，，， 于点A，于点B， ， 当，时，， 即， ， ； 当，时，， 即， ， ； 综上所述，的长为或 故答案为：或 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16．如图，已知，，求证：．    【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质．由，得，由，推导出，而，即可根据“”证明，则． 17．如图，中，点D在边上，且．     (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）． (2)若（1）中所作的角平分线与边交于点E，连接．求证：． 【答案】(1) 如图所示，即为所求，    (2) 证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【分析】（1）利用角平分线的作图步骤作图即可； （2）证明，即可得到结论． 18．如图，在中，D是的中点，，垂足分别为E，F，．求证：是的角平分线． 【答案】证明：，， 在和中 ， ∴， ， ，， ， 是的角平分线． 【分析】此题主要考查了角平分线定理的逆定理，直角三角形全等的判定，掌握相关知识是解决本题的关键．首先可证明，可得，又因为，根据角平分线定理的逆定理即可证明是角平分线． 4、 解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．如图，已知，且点B，C，D在同一条直线上，延长交于点F． (1)求证：； (2)已知，，求的长度． 【答案】(1)证明：∵， ∴，． ∵点B，C，D在同一条直线上， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即； (2)2 【分析】（1）由三角形全等的性质可得出，．根据点B，C，D在同一条直线上，即可求出，即．由对顶角相等即得出，从而即可求出，即可证明； （2）由三角形全等的性质可得出，，从而可求出，即得出，进而可求出． 【详解】 （2）∵， ∴，， ∴ ∴， ∴． 20．乐乐与爸爸、妈妈在操场上荡秋千．乐乐坐在秋千上的起始位置是A处，起始位置与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面 1.2 m 高的处接住她，妈妈用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到秋千起始位置的水平距离分别为 和． (1)与全等吗？ 请说明理由； (2)爸爸在距离地面多高的地方接住乐乐？ 【答案】(1)，理由如下： ， ， ； ， ； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，证明是解答本题的关键． （1）由直角三角形的性质得出，根据可证明； （2）由全等三角形的性质得出，求出的长则可得出答案； 【详解】 （2）解：∵， ； ∵分别为和， ， ； ∵妈妈在距地面 高的处，且， ∴爸爸在距离地面高的地方接住乐乐． 21．某乡村规划山地休闲游园，如图，地块形如三角形的山地，中间有湖泊，三边划分功能区：边为绿地，长为4千米，边为临溪护栏，长为2千米，边为山间土路．在土路的中点处修建观景驿站，同时修建索道，连接地块顶点与驿站． (1)直接写出山间土路边长的取值范围_________； (2)在中，延长到点，使，连接，与全等吗？请说明理由； (3)在（2）的条件下，求索道长度的取值范围． 【答案】(1) (2)，理由如下： ∵点是的中点， ∴， 在与中， ， ； (3) 【分析】（1）根据三角形三边关系确定第三边范围即可； （2）利用证明三角形全等即可； （3）先求出，在中，根据得出结论即可； 【详解】（1）解：∵在中，， ∴，即； （3）解：∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）． 22．已知：如图，与中，，，． (1)如图1，，相交于点M，连接． ①求证：； ②求的度数（用含n的式子表示）； (2) 如图2，当时，分别取，的中点P，Q，连接，和，判断的形状，并加以证明． 【答案】(1) ①证明：∵ ∴ ∴ 在与中 ∴ ∴ ② (2) 是等腰直角三角形，证明如下： 由（1）得， ∴，， ∵P，Q分别为，的中点， ∴， 在与中 ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形. 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理； （1）①由，可得，进而可证明，结论即可得证； ②由可得，再由三角形内角和定理可得，即可求解； （2）由（1）可得，，又因为P，Q分别为，的中点，可得，进而可证明，可得，，由，可得，即可得出的形状. 【详解】（1） ②解：如图所示： 由①得， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴. 23．【问题背景】 在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是______． 【探索延伸】 （2）在四边形中如图2，，，、分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． ． 【答案】（1）； （2）结论仍然成立； 理由：如图，延长到点，使，连接， ，， ， 在和中 ， ， ，， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，通过添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）先证明，推出，，再证明，推出，可得； （2）延长到点G使，连接，同（1），先证明推出，，再证明，推出，可得． 【详解】解：（1）， ， 在和中 ， ， ，， ∵，， ∴， ∴ ， 在和中 ， ， ， ， ； 故答案为：． 2 / 20 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $