专题12.4 逆命题和逆定理（高效培优讲义）数学新教材华东师大版八年级上册

专题12.4 逆命题和逆定理 教学目标 1.了解互逆命题、互逆定理的概念，会识别互逆命题、互逆定理，能正确写出一个命题的逆命题，并判断原命题及其逆命题的真假。 2.探索并证明线段垂直平分线的性质定理及其逆定理。 3.探索并证明角平分线的性质定理及其逆定理。 4.能运用这些定理证明线段相等、垂直或角相等，发展推理能力。 教学重难点 1.重点 （1）互逆命题、互逆定理的概念及逆命题的写法 （2）线段垂直平分线的性质定理及其逆定理 （3）角平分线的性质定理及其逆定理 2.难点 （1）区分逆命题与逆定理，判断定理是否有逆定理 （2）灵活运用垂直平分线、角平分线性质定理及其逆定理进行证明 （3）角平分线判定定理中"点在角的内部"的前提条件 知识点01：互逆命题 1.定义：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫作互逆命题。 2.如果把其中一个命题叫作原命题，那么另一个命题就叫作它的逆命题。 3.任何命题都有逆命题；互逆命题是两个命题之间的关系，与命题的真假无关。 4.写一个命题的逆命题的步骤： （1）分清原命题的条件和结论，将命题写成"如果……，那么……"的形式，可适当添加词语使语句通顺； （2）交换原命题的条件和结论，写成命题的形式。 【即学即练】 1．已知命题“等腰三角形的两个底角相等”，其逆命题是_____． 【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形 【分析】将原命题的条件与结论互换，即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：由题意得，原命题的逆命题为：有两个角相等的三角形是等腰三角形． 知识点02：互逆定理 1.定义：如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫作互逆定理，其中的一个定理叫作另一个定理的逆定理。 2.互逆定理是一种特殊的互逆命题，其特殊之处在于原命题和逆命题都是真命题，且都是定理。 3.注意：每一个命题都有逆命题，但并不是每一个定理都有逆定理（只有当逆命题也为真命题时才成为互逆定理）。 【即学即练】 1．写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理：__________． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】将原定理的题设与结论交换位置即可得到原定理的逆定理． 【详解】解：定理“两直线平行，同位角相等”中，题设为两直线平行，结论为同位角相等，故原定理的逆定理为“同位角相等，两直线平行”． 知识点03：线段垂直平分线的性质定理及其逆定理 1.线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线。 2.性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 3.性质定理的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 4.应用：性质定理用于证明线段相等；逆定理用于确定点在垂直平分线上。 5.判断一条直线是不是某条线段的垂直平分线时，需证明该直线上有两个点到这条线段两个端点的距离分别相等。 6.三角形三边的垂直平分线相交于一点，且这个点到三角形三个顶点的距离相等；该交点在锐角三角形内、直角三角形斜边上、钝角三角形外。 【即学即练】 1．如图，在中，的垂直平分线分别交、于点E、D，，，那么的周长_______． 【答案】18 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到即可解答． 【详解】解：∵的垂直平分线分别交、于点E、D，， ∴， ∵， ∴的周长． 知识点04：角平分线的性质定理及其逆定理 1.性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 2.性质定理的逆定理（角平分线的判定定理）：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 3.角平分线可以看成为角的两边距离相等的所有点的集合。 4.注意：逆定理的前提条件是点必须在角的内部，因为角的外部也存在到角两边距离相等的点，但这些点不在角的平分线上。 5.三角形的三条角平分线相交于一点，且该交点一定在三角形的内部。 6.角平分线的性质定理为证明线段相等提供了新方法；其逆定理为证明角相等提供了新方法。 【即学即练】 1．如图，在中，，的平分线交于，若，则点到的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，即可求解． 【详解】解：过点作于，如图： ∵是的平分线，，， ∴， 即点到的距离是． 题型01 写出一个命题的逆命题 先将原命题改写成"如果……那么……"的形式，再交换条件与结论，注意适当添词使语句通顺。 【典例1】. （25-26八年级下·湖南湘西·期中）命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是：_______________ 【答案】两直线平行，同位角相等 【分析】交换原命题的题设和结论即可得到逆命题，先找出原命题的题设和结论，再交换得到结果． 【详解】解：原命题“同位角相等，两直线平行”中，题设为“同位角相等”，结论为“两直线平行”， 交换题设和结论，得到逆命题为“两直线平行，同位角相等”． 【变式1】. （25-26七年级下·江苏连云港·期末）命题“直角三角形两锐角相等”的逆命题______． 【答案】两锐角相等的三角形是直角三角形 【分析】先确定原命题的条件与结论，再将条件和结论互换即可得到原命题的逆命题． 【详解】原命题“直角三角形两锐角相等”的逆命题为：两个锐角相等的三角形是直角三角形． 【变式2】. （25-26七年级下·江苏无锡·期末）请写出命题“若，则”的逆命题：__________． 【答案】 若，则 【分析】根据逆命题的定义，交换原命题的条件与结论，即可得到原命题的逆命题 【详解】解：原命题的条件是，结论是， 交换原命题的条件和结论，可得逆命题为：若，则 【变式3】. （25-26七年级下·上海普陀·期末）命题“等边三角形的三条边相等”的逆命题是：如果_____________________，那么_____________________． 【答案】 一个三角形的三条边相等 这个三角形是等边三角形 【分析】明确逆命题的构造方法，交换原命题的题设与结论即可得到所求逆命题． 【详解】将原命题“等边三角形的三条边相等”改写为“如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形的三条边相等”，可得原命题的题设为“一个三角形是等边三角形”，结论为“这个三角形的三条边相等”，交换原命题的题设与结论，即可得到该命题的逆命题．因此如果后横线处填一个三角形的三条边相等，那么后横线处填这个三角形是等边三角形． 题型02 判断逆命题的真假 写出逆命题后用推理或举反例判断；逆命题真假与原命题真假无关，需单独判断。 【典例2】. （26-27九年级上·浙江温州·开学考试）下列命题的逆命题是假命题的是（     ） A．等腰三角形的两个底角相等 B．全等三角形的面积相等 C．两直线平行，内错角相等 D．直角三角形两个锐角互余 【答案】B 【分析】将原命题的题设和结论互换位置，得到的新命题就是原命题的逆命题，再判断新命题是否为假命题即可． 【详解】解：A选项逆命题为“有两个角相等的三角形是等腰三角形”，是真命题． B选项逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题． C选项的逆命题为“内错角相等，两直线平行”，是真命题． D选项的逆命题为“两个锐角互余的三角形是直角三角形”，是真命题． 【变式1】. （21-22七年级下·山东泰安·阶段检测）已知命题“如果一个三角形是钝角三角形，那么这个三角形的两个内角是锐角”，则该命题的逆命题是______命题．（填真或假） 【答案】假 【分析】交换原命题的条件和结论得到逆命题，再通过举反例即可判断逆命题的真假． 【详解】解：交换条件和结论，可得逆命题：如果一个三角形的两个内角是锐角，那么这个三角形是钝角三角形． 举反例：若三角形的三个内角分别为，，，这个三角形有两个内角是锐角，但它是锐角三角形，不是钝角三角形， 故该逆命题是假命题． 【变式2】. （26-27八年级上·全国·课后作业）写出下列命题的逆命题，并判断它们是真命题还是假命题： (1)如果，那么； (2)如果一个三角形有一个角是钝角，那么它的另外两个角是锐角． 【答案】(1) 逆命题：如果，那么．是假命题 (2) 逆命题：如果一个三角形有两个角是锐角，那么它的第三个角是钝角．是假命题 【分析】将原命题的题设与结论互换得到逆命题，通过举反例判断逆命题的真假． 【详解】（1）解： 原命题的题设为，结论为， 将题设与结论互换，得逆命题：如果，那么， 取，，满足，但， 故该逆命题是假命题． （2）解：原命题的题设为一个三角形有一个角是钝角，结论为它的另外两个角是锐角， 将题设与结论互换，得逆命题：如果一个三角形有两个角是锐角，那么它的第三个角是钝角， 若三角形的两个锐角分别为和，则第三个角为，是锐角， 故该逆命题是假命题． 【变式3】. （26-27八年级上·山东聊城·开学考试）写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立． (1)三角形的内角和等于； (2)互为相反数的两个数的绝对值相等； (3)若，则； (4)钝角三角形有两个锐角． 【答案】(1)逆命题：内角和等于的多边形是三角形，成立； (2)逆命题：绝对值相等的两个数互为相反数，不成立； (3)逆命题：若，则，成立； (4)逆命题：有两个锐角的三角形是钝角三角形，不成立． 【分析】先得出命题的逆命题，判断逆命题是否成立即可． 【详解】（1）原命题结构：原命题的题设为“一个多边形是三角形”，结论为“它的内角和等于”； 改写命题：题设和结论互换后得到命题“内角和等于的多边形是三角形”； 判断命题：根据多边形内角和规律，仅三角形的内角和是，故该逆命题成立． （2）原命题结构：原命题的题设为“互为相反数的两个数”，结论为“这两个数绝对值相等”； 改写命题：题设和结论互换后得到命题“绝对值相等的两个数互为相反数”； 判断命题：绝对值相等的两个正数，绝对值相等但不互为相反数，如1和1，故该逆命题不成立． （3）原命题结构：原命题的题设为“”，结论为“”； 改写命题：题设和结论互换后得到命题“若，则”； 判断命题：对于任意一个实数，它仅有一个立方根与之对应，故该逆命题成立． （4）原命题结构：原命题的题设为“一个三角形为钝角三角形”，结论为“它有两个锐角”； 改写命题：题设和结论互换后得到命题“有两个锐角的三角形是钝角三角形”； 判断命题：直角三角形有两个锐角，但直角三角形不是钝角三角形，故该逆命题不成立． 题型03 识别互逆定理 先写逆命题，再判断逆命题是否为真命题；原命题、逆命题均为真命题的定理才构成互逆定理。 【典例3】. （25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）下列定理没有逆定理的是（    ） A．两直线平行，同旁内角互补 B．直角三角形的两锐角互余 C．全等三角形的对应角相等 D．等边三角形的每一个内角都等于 【答案】C 【分析】判断定理是否有逆定理，需先写出原定理的逆命题，再判断逆命题是否为真命题，逆命题为真则原定理有逆定理，逆命题为假则原定理没有逆定理． 【详解】解： A选项，原定理的逆命题为“同旁内角互补，两直线平行”，逆命题是真命题，因此该定理有逆定理． B选项，原定理的逆命题为“两锐角互余的三角形是直角三角形”，逆命题是真命题，因此该定理有逆定理． C选项，原定理的逆命题为“对应角相等的三角形是全等三角形”，对应角相等的三角形不一定全等，逆命题是假命题，因此该定理没有逆定理． D选项，原定理的逆命题为“三个内角都等于的三角形是等边三角形”，逆命题是真命题，因此该定理有逆定理． 【变式1】. （25-26八年级下·江西吉安·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．一个真命题的逆命题可能是真命题 B．一个定理不一定有逆定理 C．任何一个定理都有逆定理 D．若，则的逆命题是若，则 【答案】C 【详解】解：∵选项A中，真命题的逆命题可能为真，例如“两直线平行，同位角相等”的逆命题也为真，∴A说法正确． ∵“对顶角相等”是定理，其逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，该定理没有逆定理，∴一个定理不一定有逆定理，B说法正确． ∵举例“对顶角相等”是定理，其逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，该定理没有逆定理，因此不是任何定理都有逆定理，∴C说法错误． ∵原命题“若，则”交换条件和结论得到逆命题“若，则”，与D描述一致，∴D说法正确． 【变式2】. （2025八年级上·全国·专题练习）已知定理：如果一个三角形是等边三角形，那么它的三个内角都等于．与其互逆的定理是（   ） A．如果一个三角形的三个内角都等于，那么它是等边三角形 B．等边三角形的内角都是 C．三个内角不相等的三角形不是等边三角形 D．有一个角是的三角形是等边三角形 【答案】A 【分析】本题考查了互逆定理，互逆定理是通过交换原定理的条件和结论而形成的．原定理的条件是“三角形是等边三角形”，结论是“三个内角都等于”，因此互逆定理应为“如果一个三角形的三个内角都等于，那么它是等边三角形”． 【详解】解：∵原定理：如果一个三角形是等边三角形，那么它的三个内角都等于， ∴互逆定理：如果一个三角形的三个内角都等于，那么它是等边三角形， 故选：A． 【变式3】. （25-26八年级下·河南开封·期中）写出一对互逆定理：__________． 【答案】两直线平行，同位角相等；同位角相等，两直线平行(答案不唯一) 【分析】本题考查了互逆定理的概念：如果一个定理的逆命题能被证明为真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理． 根据互逆定理的定义，找出原命题和逆命题都为真命题的一对定理即可． 【详解】解：举例：原定理为“两直线平行，同位角相等”，其逆命题为“同位角相等，两直线平行”， 该逆命题已被证明为真命题，因此二者是一对互逆定理． 题型04 根据垂直平分线的性质求长度 垂直平分线上的点到两端点距离相等，将待求线段转化为已知线段，利用等量代换求周长或边长。 【典例4】. （26-27八年级上·广西南宁·阶段检测）如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线，交于点．若的周长为15，，则的长为（     ） A．11 B．12 C．7 D．6 【答案】A 【详解】解：由作图过程可知，垂直平分， ， 的周长为15， ， ， ， ． 【变式1】. （25-26七年级下·广东河源·期末）如图，在中，点是边上的点，垂直平分，若与的周长之差为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，再根据与的周长之差为列式计算即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵与的周长之差为， ∴， ∴， ∴． 【变式2】. （26-27八年级上·全国·单元测试）如图，在中，是的垂直平分线，连接，若的周长为，的周长为，则的长为________． 【答案】3 【分析】根据线段的垂直平分线的性质，得，设，分别表示两个三角形的周长，根据算式，解答即可． 【详解】解：根据题意，得，设， 的周长为，的周长为， ， ， 解得． 【变式3】. （26-27八年级上·江苏南京·单元测试）如图，在与中，，过点C作，交于E，交于点F，连结，交于H． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求证：平分． (3)若，求的长． 【答案】(1)解：是等边三角形，理由如下； ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形； (2)证明：∵， ∴是的垂直平分线， 即， ∵， ∴平分； (3)4 【分析】（1）先证明是等边三角形，可得，由平行线的性质可得，可得结论； （2）根据，，推出直线是线段的垂直平分线，再根据等腰三角形的性质即可得证； （3）由等边三角形的性质和平行线的性质可求，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 题型05 根据垂直平分线的性质求角度 由垂直平分线得等腰三角形（等边对等角），结合三角形内角和与外角性质求角度。 【典例5】. （26-27八年级上·吉林·期中）如图，在中，，通过尺规作图，得到直线，仔细观察作图痕迹，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据作图得出是的垂直平分线，得出，推出，再根据垂直的定义得出，求出，最后可得出答案． 【详解】解：根据作图可知，是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】. （24-25八年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，中，的垂直平分线交于点，垂足为，若，，则的度数是______ ． 【答案】/度 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，进而得到，结合，即可求解． 【详解】解： 的垂直平分线交于点，垂足为， ， ， ， ． 【变式2】. （25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，中，，分别是、边上的垂直平分线，、相交于点，连接、、，已知，则的度数为_____°． 【答案】25 【分析】根据垂直平分线的性质得到，再根据等边对等角，得到，求出，继而根据垂直平分线的性质与等边对等角进行求解即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴． 【变式3】. （2026八年级上·全国·专题练习）在等腰三角形中，，边的垂直平分线交边于点，连接，若为等腰三角形，求的度数． 【答案】的度数为或 【分析】分两种情况：当时，当时，分别画出图形，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，进行求解即可． 【详解】解：， ， 设， 是边的垂直平分线， ， ． 当时，如图①， 则， ， ， ， 即， 当时，如图②， 则， ， ， ， ， ， 即． 综上，的度数为或． 题型06 根据垂直平分线的性质求最值 利用垂直平分线转化线段，把折线化为直线上的两点间距离，结合"两点之间线段最短"求最值。 【典例6】. （26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，，，，垂直平分边，是直线上一点，则的最小值为____． 【答案】 【分析】连接，由垂直平分线的性质得，推出，即可求解． 【详解】解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴当点A，P，C三点共线时，取得最小值，即的长度， ∵， ∴的最小值是． 【变式1】. （2026八年级上·全国·专题练习）如图，在等边三角形中，是边的中点，于点，是上的动点，若，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，由等边三角形的性质可得，，，则，故当三点共线时，的最小值为的长，然后通过等面积法即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ∵是等边三角形， ∴， ∵于点，是边的中点， ∴，， ∴， ∴当三点共线时，的最小值为的长，如图， ∵， ∴，即的最小值为． 【变式2】. （2026八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，两点关于直线对称，，的周长是16，若点在直线上，则的最大值为________． 【答案】6 【分析】由对称得直线垂直平分，由垂直平分线的性质得，进而求出，则，当，B，C三点共线时等号成立． 【详解】解： ，两点关于直线对称， 直线垂直平分， ， 的周长是16，， ， ， 点在直线上， ， ，当，B，C三点共线时等号成立，如图： 的最大值为6． 【变式3】. （26-27八年级上·福建厦门·阶段检测）如图，等腰的底边长为6，面积是36，腰的垂直平分线分别交边于点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（     ） A．6 B．10 C．12 D．15 【答案】D 【分析】连接，由等腰三角形可得，，根据线段垂直平分线可得，则的周长，再由三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图：    连接 等腰的底边长为6，点为边的中点， ，， 是腰的垂直平分线， ， 此时的周长， ， ， ， ， ∴的周长最小值为． 题型07 根据角平分线的性质求长度、面积 角平分线上的点到角两边距离相等，作垂线段转化线段，用面积公式或割补法求值。 【典例7】. （26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，点是，的平分线的交点，，过作于点，且，则的面积是（     ） A．15 B．18 C．30 D．36 【答案】A 【分析】作于点，作于点，连接，由角平分线的性质定理可得，，再结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，作于点，作于点，连接， ∵在中，点是，的平分线的交点，， ∴，， ∴ ． 【变式1】. （26-27八年级上·全国·单元复习）如图，在中，和的平分线交于点，，，的面积为，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作三边的垂线，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，得出点到、的距离相等，先求出该距离，再计算的面积即可求解． 【详解】解：过点作于点，于点，于点，如图所示： 平分，，， ， 平分，，， ， ， 在中，，， ，即， ， ， ， ． 【变式2】. （26-27八年级上·福建厦门·阶段检测）如图，在中，垂直平分，平分，则的长为__________． 【答案】 【分析】利用角平分线的性质和垂直平分线的性质解答即可． 【详解】垂直平分， ， 平分、、， ， ． 【变式3】. （26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵，是的平分线，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； (2)1 【分析】（1）由是的平分线，利用角的平分线的性质定理得到，再由得到，利用全等三角形对应边相等即可得证； （2）利用得到，利用全等三角形对应边相等得到，由，及（1）中等量代换即可求的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故的长为1． 题型08根据角平分线的性质求角度 利用角平分线得角相等，结合三角形内角和、外角性质及平行线性质求角度。 【典例8】. （26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，把其中一把直尺边缘和射线重合，而另一把直尺的下边缘与射线重合，记两把尺的接触点为点．上边缘与射线相交于点，连接．若，则的大小为____． 【答案】/度 【分析】根据直尺对边平行且宽度相等的性质，得点P到的距离相等，所以是的角平分线，可求出的度数．利用直尺对边平行的性质，得，根据平行线的同位角相等，得到的大小． 【详解】解：∵两把直尺完全相同， ∴点P到的距离和点P到的距离相等（都等于直尺的宽度）． ∴平分． ∵， ∴， ∴． ∵下方直尺的上下边缘互相平行，也就是， ∴． 【变式1】. （26-27八年级上·青海·期中）如图，，，若，，，则的度数为______． 【答案】/29度 【分析】根据角平分线的判定定理（到角的两边的距离相等的点在该角的角平分线上）得到平分，再由角平分线的定义可得答案． 【详解】解：∵，且， ∴平分， ∴． 【变式2】. （2026八年级上·全国·专题练习）如图，为的平分线，点为上一点，点，分别为射线，上的点，且，若，求的度数． 【答案】的度数为或 【分析】此题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点．首先求出，如图所示，过作于点，于点，然后能证明出，得到，根据题意分两种情况讨论，当在点时，由角平分线的性质得到；当在点时，易得． 【详解】解：如图，过点作于点，于点， 平分，，， ， ， ， 在和中， ， ， ． 当点在点的上方时，， ∴是等边三角形， ∴． 综上所述，的度数为或． 【变式3】. （26-27八年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，在中，，，点D在边上，连接，若，点D到的距离为3，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点E，证明平分，即可得到． 【详解】解：过点作于点E， ∵点D到的距离为3， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴平分， ∴． 题型09 角平分线的判定与证明 证明角内部一点到角两边的距离相等，利用逆定理判定该点在角平分线上，从而得角相等。 【典例9】. （26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，，，垂足分别为，，，相交于点．求证：平分． 【答案】证明：，， ． 在和中， ， ． ， ∴， ． 又，， 平分． 【分析】证明，得到，则可证明，再根据到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上可证明平分． 【详解】略 【变式1】. （26-27八年级上·江苏宿迁·阶段检测）在中，，，点是射线上一点，连接，过点作于点直线、交于点E． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当点D在线段BC上时，求证：平分； 【答案】(1)证明：∵，点是射线上一点， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； (2)证明：如图所示，过点C作于H，于K， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分， 【分析】（1）先证明，，再利用证明，可得到，则； （2）过点C作于H，于K，证明，得到，则可证明平分，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 【变式2】. （26-27七年级上·山东淄博·阶段检测）如图，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作正和正，与交于点，与交于点，与交于点，连接． (1)证明； (2)连接，同学认为平分，同学认为平分，你认为哪个是正确的？请说明理由． 【答案】(1)证明：∵在线段上， ， ∵和是等边三角形， ，，， ， ，， ， ∵在和中， ， ， ， ∵在和中， ， ． (2)同学正确，平分， 理由如下：如图，连接，过点作，， 据（1）可知， 则，， 即， 可得， 故平分． 【分析】（1）先利用等边三角形性质，证明得到对应角相等，再证，进而证得； （2）过点向角两边作垂线段，借助全等三角形面积相等推导出两条垂线段相等，利用角平分线判定定理得到平分． 【详解】（1）略 （2）略 【变式3】. （25-26八年级上·广东汕头·期中）如图，在中，，点D是的中点，于点E，于点F． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)证明：∵，点D是的中点， ∴平分（等腰三角形底边上的中线与顶角平分线重合，三线合一）． (2)证明：∵平分，，， ∴（角平分线上的点到角两边的距离相等）． 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一进行证明即可； （2）根据角平分线的性质证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 题型10 垂直平分线与角平分线性质的综合 综合运用两种定理的判定与性质，证明线段相等、垂直或角相等，注意选择恰当的判定与性质。 【典例10】. （26-27八年级上·江苏南京·阶段检测）尺规作图：（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)在已知的内部求作一点，使得点到三角形三个顶点的距离相等； (2)在已知边上求作一点，使点到的距离等于的长． 【答案】(1)如图，点即为所求， (2)如图，点D即为所求， 作，交的延长线于E，作的平分线，交于点D， 则点D是求作的点． 【分析】（1）线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等，作边、的垂直平分线交于一点O，点到三角形三个顶点的距离相等； （2）角平分线上的点到角的两边距离相等，从而作，交的延长线于E，作的平分线，交于点D． 【详解】（1）略 （2）略 【变式1】. （26-27八年级上·北京·阶段检测）阅读材料： 我们曾经解决过如下问题：“如图1，点，分别在直线同侧，在直线上，使得最小？” 我们可以经过如下步骤解决这个问题： 画草图（或目标图）分析思路：在直线上任取一点，连接，根据题目需要，作点关于直线的对称点，“化曲为直”寻找的最小值； 根据阅读材料解决下列两个问题： (1)如图2，在中，，，，，垂直且平分，在直线上，直接写出的最小值，回答：的最小值是____________，取最小值时点的位置是（在图中标出来）； (2)如图3，点，分别在直线两侧，在直线上，使得．要求画图，并简要叙述确定点位置的步骤．（无需尺规作图，保留画图痕迹，无需证明） 解：确定点位置的简要步骤：________________________． 【答案】(1)4，如图所示，线段与直线的交点 (2)先画点M关于直线的对称点，射线与直线的交点即为点P， 如图所示； 【分析】（1）根据题意知点B关于直线的对称点为点C，记，的交点为，连接，此时的值最小即的长． （2）先画点M关于直线的对称点，射线与直线的交点即为点P． 【详解】（1）解：∵在中，，，，， 如图，记，的交点为，连接， ∵垂直平分， ∴B、C关于对称， ∴， ∴，此时的值最小，最小值为4． 画图略 （2）解：先画点M关于直线的对称点，射线与直线的交点即为点P． 理由如下： ∵由作图可得：是的垂直平分线， ∴，， ∴． 【变式2】. （26-27八年级上·全国·课后作业）如图①，在中，是的中点，于，于，． (1)求证：平分； (2)如图②，连接，求证：垂直平分． 【答案】(1)证明：是的中点， ， ，， 在和中， ， ， 点在的平分线上， 平分． (2)证明：由（1）知， 在和中， ， ， 又， 垂直平分． 【分析】（1）由是的中点，可得，利用可证，可得，利用角平分线的判定定理可证平分； （2）根据垂直平分线的判定方法，证明，即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式3】. （25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点（点在点右侧），直线与直线相交于点，过点作于点，连接，，，，． (1)若，求的度数； (2)若的周长为24，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据垂直平分线的性质可得，，进而可得，，根据三角形内角和定理确定，易得，进而求解即可； （2）首先根据垂直平分线的性质可得，，，结合“的周长为24”可得，进而可得，即，然后根据等腰三角形“三线合一”的性质，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵直线垂直平分，直线垂直平分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）∵直线垂直平分，直线垂直平分， ∴，，， ∵的周长为24， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 一、单选题 1．下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．七边形是多边形 C．两个全等三角形的面积相等 D．若，，则 【答案】A 【详解】解：A．原命题为“两直线平行，同位角相等”，逆命题为“同位角相等，两直线平行”，该逆命题是真命题； B．原命题为“七边形是多边形”，逆命题为“多边形是七边形”，多边形包含多种边数的图形，该逆命题是假命题； C．原命题为“两个全等三角形的面积相等”，逆命题为“面积相等的两个三角形全等”，面积相等的三角形形状不一定相同，不一定全等，该逆命题是假命题； D．原命题为“若，，则”，逆命题为“若，则，，举例，，满足，但，该逆命题是假命题． 2．如图，，点是内一点，于点，于点，且，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的判定定理可得平分，据此可得答案． 【详解】解：∵，，且， ∴平分， ∵， ∴． 3．命题“如果，那么”的逆命题是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】将原命题的条件和结论互换位置即可得到逆命题． 【详解】解：由题意得，原命题的逆命题为如果，那么． 二、填空题 4．请你写出一个真命题，使其逆命题为假命题．真命题是______，它的逆命题是______命题．（填“真”或“假”） 【答案】 对顶角相等 假 【分析】写出一个真命题，交换命题的条件与结论得到逆命题，再判断逆命题的真假即可． 【详解】解：命题“对顶角相等”是真命题； 交换原命题的条件和结论，得到逆命题：相等的角是对顶角； 等腰三角形的两个底角相等，但这两个角不是对顶角，因此该逆命题不成立，是假命题． 5．如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，F，若，的周长为7，则的周长为_________． 【答案】13 【分析】首先根据垂直平分线的定义和性质可得，，再由的周长为7，易得，然后计算的周长即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ∴，， ∴， ∵的周长为7，即， ∴， ∴的周长． 6．如图，的边，的垂直平分线，相交于点，点，在边上．若，则________． 【答案】/80度 【分析】由垂直平分线得到等腰三角形，可得，，利用三角形内角和求出，再在直角三角形中求出，最后在中算出． 【详解】解： 垂直平分，垂直平分， ，， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ． 三、解答题 7．如图，在中，是的垂直平分线，，为的中点．求证：． 【答案】证明：如图，连接， 是的垂直平分线， ． ，为的中点， 是的垂直平分线， ， ， ． 【分析】根据垂直平分线的性质推出，利用垂直平分线的判定和性质推出，通过等量代换即可证明． 【详解】略 8．如图，在中，是上的一点，连接，作于点，于点，且平分，连接，证明：垂直平分． 【答案】证明：∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴垂直平分． 【分析】利用角平分线的性质和全等三角形的判定，再结合线段垂直平分线的判定定理即可得出结论． 【详解】略 9．证明题 (1)如图①，在四边形中，，，平分．求证：． (2)如图②，在等腰三角形中，，平分．求证：． 【答案】(1)证明：如图①，过作，交延长线于点，于点，则， 平分，，， ． ，， ． ， ， (2)如图②，在上截取，，连接，． ，， ． 平分， ． ， ． ∴， ， ． ，，， ， ，， ， ， ， ． 【分析】（1）过作延长线于，于，由角平分线性质得；再由及邻补角关系推出，由证，得． （2）在上截取、，连接、；先由等腰三角形性质及外角定理推出；再由证，得、，进而得；故，即． 【详解】（1）略 （2）略 1．已知：如图，点C为线段上一点，、是等边三角形．下列说法：①；②；③平分；④；⑤，正确的有几个？（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】先利用手拉手模型证，即可得，①正确；再证，说明⑤正确，根据全等三角形的性质可得，，，证明是等边三角形，得出，根据平行线的判定说明②正确；过点C作于点P，于点Q，证明，说明点C在的角平分线上，可得③正确；无法证明④正确． 【详解】解：和是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， ，故①正确； ， ， 即， 点C为线段上一点， 且， ∴， ， 在和中， ， ，故⑤正确； ，，， ，且， 是等边三角形， ， ，故②正确； 过点C作于点P，于点Q，如图所示： ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴点C在的角平分线上， ∴平分，故③正确； 无法证明，故④错误； 综上，正确的是①②③⑤共4个． 2．如图，在和中，，，，直线，交于点M，连接，下列结论：①，②，③，④平分，其中正确结论的个数是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据条件利用，证明，即判定出①②；再利用三角形的内角和定理判定③；构造全等三角形对应边上的高，利用证明直角三角形全等，即可判定④． 【详解】解：∵， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴， ∴①，②正确； ③如图所示，与相交于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故③正确； ④如图所示，过点作于点，过点作于点， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即平分， 故④正确； 综上，正确的结论有个． 3．观察与判断：如图，经过已知直线外一点，按图中的作图痕迹，得到直线．根据作图，判断以下五个结论：①；②点与点既关于直线对称，也关于点对称；③若，则；④若，则四边形的周长为；⑤四边形的面积为．其中正确结论的序号为___________． 【答案】②④⑤ 【分析】根据尺规作图痕迹可知是线段的垂直平分线，利用垂直平分线的性质、轴对称与中心对称的定义、直角三角形边角关系及四边形面积公式逐一判断． 【详解】解：由作图痕迹可知，是线段的垂直平分线， ，，，， 对于①：， ，不一定为， ①错误； 对于②：垂直平分， 点与点关于直线对称， 是的中点， 点与点关于点对称， ②正确； 对于③：在直角中，， ， ， ∴不是等边三角形，则， 故 ③错误 对于：④四边形的周长， ，， 周长, , 周长， ， 周长， ④正确 对于⑤：， 四边形的面积， ⑤正确， 综上所述，正确的结论是②④⑤． 4．【教材呈现】以下是老版人教版八年级上册数学教材第53页的部分内容． 如图1，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”． 【性质探究】 (1)如图1，连接筝形的对角线、交于点O，试探究筝形的性质，并填空：对角线、的关系是：___________；图中、的大小关系是：___________． 【概念理解】 (2)如图2，在中，，垂足为，与关于所在的直线对称，与关于所在的直线对称，延长，相交于点．请写出图中所有的“筝形”； 【应用拓展】 (3)如图3，在（2）的条件下，连接，分别交、于点、．求证：． 【答案】(1)， (2)四边形、四边形、四边形 (3)证明：由轴对称的性质可知： ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）根据垂直平分线的判定和性质得到，再根据三线合一得到； （2）根据“筝形”的定义判断，利用轴对称的性质证明即可； （3）利用轴对称的性质得到相等的线段和角，证明，利用等量代换得到． 【详解】（1）解：∵， ∴垂直平分， ∴， ∴； （2）解：图中的“筝形”有：四边形、四边形、四边形； 证明四边形是筝形： 由轴对称的性质可知； ∴四边形是筝形． 同理：； ∴四边形是筝形． 连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是筝形； （3）略 5．问题探究： (1)古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线．如图1是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点和，使得，连接，以为边作等边，则就是的平分线．请证明平分； 类比迁移： (2)小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图2，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点，重合，则过角尺顶点的射线是的平分线，请说明此做法的理论依据是_______； 拓展实践： (3)小明将研究应用于实践．如图3，校园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯到岔路口的距离和休息椅到岔路口的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请在对应的示意图4中画出路灯的位置．（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴平分； (2)三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等 (3)如图，点为路灯的位置，即为所求． 【分析】（1）结合已知条件，，加上公共边，用判定和全等，根据全等三角形对应角相等得到，即可证明平分； （2）结合已知条件，，加上公共边，用判定和全等，根据全等三角形对应角相等得到，即可证明是的平分线； （3）路灯到两条小路亮度相同即到、距离相等，所以在的角平分线上，再满足，所以先作的角平分线，再在角平分线上截取即可． 【详解】（1）略 （2）解：在和中， ， ∴（三边分别相等的两个三角形全等）， ∴（全等三角形的对应角相等）， ∴是的平分线； （3）略 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12.4 逆命题和逆定理 教学目标 1.了解互逆命题、互逆定理的概念，会识别互逆命题、互逆定理，能正确写出一个命题的逆命题，并判断原命题及其逆命题的真假。 2.探索并证明线段垂直平分线的性质定理及其逆定理。 3.探索并证明角平分线的性质定理及其逆定理。 4.能运用这些定理证明线段相等、垂直或角相等，发展推理能力。 教学重难点 1.重点 （1）互逆命题、互逆定理的概念及逆命题的写法 （2）线段垂直平分线的性质定理及其逆定理 （3）角平分线的性质定理及其逆定理 2.难点 （1）区分逆命题与逆定理，判断定理是否有逆定理 （2）灵活运用垂直平分线、角平分线性质定理及其逆定理进行证明 （3）角平分线判定定理中"点在角的内部"的前提条件 知识点01：互逆命题 1.定义：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的 ，而第一个命题的结论是第二个命题的 ，那么这两个命题叫作 。 2.如果把其中一个命题叫作 ，那么另一个命题就叫作它的 。 3.任何命题都有逆命题；互逆命题是两个命题之间的关系，与命题的真假无关。 4.写一个命题的逆命题的步骤： （1）分清原命题的条件和结论，将命题写成"如果……，那么……"的形式，可适当添加词语使语句通顺； （2）交换原命题的条件和结论，写成命题的形式。 【即学即练】 1．已知命题“等腰三角形的两个底角相等”，其逆命题是_____． 知识点02：互逆定理 1.定义：如果一个定理的逆 也是 ，那么这两个定理叫作 ，其中的一个定理叫作另一个定理的 。 2.互逆定理是一种特殊的互逆命题，其特殊之处在于原命题和逆命题都是真命题，且都是定理。 3.注意：每一个命题都有逆命题，但并不是每一个定理都有逆定理（只有当逆命题也为真命题时才成为互逆定理）。 【即学即练】 1．写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理：__________． 知识点03：线段垂直平分线的性质定理及其逆定理 1.线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且 于这条线段的直线，叫作这条线段的 。 2.性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的 。 3.性质定理的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 4.应用：性质定理用于证明线段相等；逆定理用于确定点在垂直平分线上。 5.判断一条直线是不是某条线段的垂直平分线时，需证明该直线上有两个点到这条线段两个端点的距离分别相等。 6.三角形三边的垂直平分线相交于一点，且这个点到三角形三个顶点的距离相等；该交点在锐角三角形内、直角三角形斜边上、钝角三角形外。 【即学即练】 1．如图，在中，的垂直平分线分别交、于点E、D，，，那么的周长_______． 知识点04：角平分线的性质定理及其逆定理 1.性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 2.性质定理的逆定理（角平分线的判定定理）：角的内部到角两边 的点在角的平分线上。 3.角平分线可以看成为角的两边距离相等的所有点的集合。 4.注意：逆定理的前提条件是点必须在角的内部，因为角的外部也存在到角两边距离相等的点，但这些点不在角的平分线上。 5.三角形的三条角平分线相交于一点，且该交点一定在三角形的内部。 6.角平分线的性质定理为证明线段相等提供了新方法；其逆定理为证明角相等提供了新方法。 【即学即练】 1．如图，在中，，的平分线交于，若，则点到的距离是（     ） A． B． C． D． 即点到的距离是． 题型01 写出一个命题的逆命题 先将原命题改写成"如果……那么……"的形式，再交换条件与结论，注意适当添词使语句通顺。 【典例1】. （25-26八年级下·湖南湘西·期中）命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是：_______________ 【变式1】. （25-26七年级下·江苏连云港·期末）命题“直角三角形两锐角相等”的逆命题______． 【变式2】. （25-26七年级下·江苏无锡·期末）请写出命题“若，则”的逆命题：__________． 【变式3】. （25-26七年级下·上海普陀·期末）命题“等边三角形的三条边相等”的逆命题是：如果_____________________，那么_____________________． 题型02 判断逆命题的真假 写出逆命题后用推理或举反例判断；逆命题真假与原命题真假无关，需单独判断。 【典例2】. （26-27九年级上·浙江温州·开学考试）下列命题的逆命题是假命题的是（     ） A．等腰三角形的两个底角相等 B．全等三角形的面积相等 C．两直线平行，内错角相等 D．直角三角形两个锐角互余 【变式1】. （21-22七年级下·山东泰安·阶段检测）已知命题“如果一个三角形是钝角三角形，那么这个三角形的两个内角是锐角”，则该命题的逆命题是______命题．（填真或假） 【变式2】. （26-27八年级上·全国·课后作业）写出下列命题的逆命题，并判断它们是真命题还是假命题： (1)如果，那么； (2)如果一个三角形有一个角是钝角，那么它的另外两个角是锐角． 【变式3】. （26-27八年级上·山东聊城·开学考试）写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立． (1)三角形的内角和等于； (2)互为相反数的两个数的绝对值相等； (3)若，则； (4)钝角三角形有两个锐角． 题型03 识别互逆定理 先写逆命题，再判断逆命题是否为真命题；原命题、逆命题均为真命题的定理才构成互逆定理。 【典例3】. （25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）下列定理没有逆定理的是（    ） A．两直线平行，同旁内角互补 B．直角三角形的两锐角互余 C．全等三角形的对应角相等 D．等边三角形的每一个内角都等于 【变式1】. （25-26八年级下·江西吉安·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．一个真命题的逆命题可能是真命题 B．一个定理不一定有逆定理 C．任何一个定理都有逆定理 D．若，则的逆命题是若，则 【变式2】. （2025八年级上·全国·专题练习）已知定理：如果一个三角形是等边三角形，那么它的三个内角都等于．与其互逆的定理是（   ） A．如果一个三角形的三个内角都等于，那么它是等边三角形 B．等边三角形的内角都是 C．三个内角不相等的三角形不是等边三角形 D．有一个角是的三角形是等边三角形 【变式3】. （25-26八年级下·河南开封·期中）写出一对互逆定理：__________． 题型04 根据垂直平分线的性质求长度 垂直平分线上的点到两端点距离相等，将待求线段转化为已知线段，利用等量代换求周长或边长。 【典例4】. （26-27八年级上·广西南宁·阶段检测）如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线，交于点．若的周长为15，，则的长为（     ） A．11 B．12 C．7 D．6 【变式1】. （25-26七年级下·广东河源·期末）如图，在中，点是边上的点，垂直平分，若与的周长之差为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】. （26-27八年级上·全国·单元测试）如图，在中，是的垂直平分线，连接，若的周长为，的周长为，则的长为________． 【变式3】. （26-27八年级上·江苏南京·单元测试）如图，在与中，，过点C作，交于E，交于点F，连结，交于H． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求证：平分． (3)若，求的长． 题型05 根据垂直平分线的性质求角度 由垂直平分线得等腰三角形（等边对等角），结合三角形内角和与外角性质求角度。 【典例5】. （26-27八年级上·吉林·期中）如图，在中，，通过尺规作图，得到直线，仔细观察作图痕迹，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式1】. （24-25八年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，中，的垂直平分线交于点，垂足为，若，，则的度数是______ ． 【变式2】. （25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，中，，分别是、边上的垂直平分线，、相交于点，连接、、，已知，则的度数为_____°． 【变式3】. （2026八年级上·全国·专题练习）在等腰三角形中，，边的垂直平分线交边于点，连接，若为等腰三角形，求的度数． 题型06 根据垂直平分线的性质求最值 利用垂直平分线转化线段，把折线化为直线上的两点间距离，结合"两点之间线段最短"求最值。 【典例6】. （26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，，，，垂直平分边，是直线上一点，则的最小值为____． ∵垂直平分， ∴， ∴， 【变式1】. （2026八年级上·全国·专题练习）如图，在等边三角形中，是边的中点，于点，是上的动点，若，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【变式2】. （2026八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，两点关于直线对称，，的周长是16，若点在直线上，则的最大值为________． 【变式3】. （26-27八年级上·福建厦门·阶段检测）如图，等腰的底边长为6，面积是36，腰的垂直平分线分别交边于点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（     ） A．6 B．10 C．12 D．15 题型07 根据角平分线的性质求长度、面积 角平分线上的点到角两边距离相等，作垂线段转化线段，用面积公式或割补法求值。 【典例7】. （26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，点是，的平分线的交点，，过作于点，且，则的面积是（     ） A．15 B．18 C．30 D．36 【变式1】. （26-27八年级上·全国·单元复习）如图，在中，和的平分线交于点，，，的面积为，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式2】. （26-27八年级上·福建厦门·阶段检测）如图，在中，垂直平分，平分，则的长为__________． 【变式3】. （26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型08根据角平分线的性质求角度 利用角平分线得角相等，结合三角形内角和、外角性质及平行线性质求角度。 【典例8】. （26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，把其中一把直尺边缘和射线重合，而另一把直尺的下边缘与射线重合，记两把尺的接触点为点．上边缘与射线相交于点，连接．若，则的大小为____． 【变式1】. （26-27八年级上·青海·期中）如图，，，若，，，则的度数为______． 【变式2】. （2026八年级上·全国·专题练习）如图，为的平分线，点为上一点，点，分别为射线，上的点，且，若，求的度数． 【变式3】. （26-27八年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，在中，，，点D在边上，连接，若，点D到的距离为3，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型09 角平分线的判定与证明 证明角内部一点到角两边的距离相等，利用逆定理判定该点在角平分线上，从而得角相等。 【典例9】. （26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，，，垂足分别为，，，相交于点．求证：平分． 【变式1】. （26-27八年级上·江苏宿迁·阶段检测）在中，，，点是射线上一点，连接，过点作于点直线、交于点E． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当点D在线段BC上时，求证：平分； 【变式2】. （26-27七年级上·山东淄博·阶段检测）如图，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作正和正，与交于点，与交于点，与交于点，连接． (1)证明； (2)连接，同学认为平分，同学认为平分，你认为哪个是正确的？请说明理由． 【变式3】. （25-26八年级上·广东汕头·期中）如图，在中，，点D是的中点，于点E，于点F． (1)求证：平分； (2)求证：． 题型10 垂直平分线与角平分线性质的综合 综合运用两种定理的判定与性质，证明线段相等、垂直或角相等，注意选择恰当的判定与性质。 【典例10】. （26-27八年级上·江苏南京·阶段检测）尺规作图：（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)在已知的内部求作一点，使得点到三角形三个顶点的距离相等； (2)在已知边上求作一点，使点到的距离等于的长． 【变式1】. （26-27八年级上·北京·阶段检测）阅读材料： 我们曾经解决过如下问题：“如图1，点，分别在直线同侧，在直线上，使得最小？” 我们可以经过如下步骤解决这个问题： 画草图（或目标图）分析思路：在直线上任取一点，连接，根据题目需要，作点关于直线的对称点，“化曲为直”寻找的最小值； 根据阅读材料解决下列两个问题： (1)如图2，在中，，，，，垂直且平分，在直线上，直接写出的最小值，回答：的最小值是____________，取最小值时点的位置是（在图中标出来）； (2)如图3，点，分别在直线两侧，在直线上，使得．要求画图，并简要叙述确定点位置的步骤．（无需尺规作图，保留画图痕迹，无需证明） 解：确定点位置的简要步骤：________________________． 【变式2】. （26-27八年级上·全国·课后作业）如图①，在中，是的中点，于，于，． (1)求证：平分； (2)如图②，连接，求证：垂直平分． 【变式3】. （25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点（点在点右侧），直线与直线相交于点，过点作于点，连接，，，，． (1)若，求的度数； (2)若的周长为24，求的长． 一、单选题 1．下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．七边形是多边形 C．两个全等三角形的面积相等 D．若，，则 2．如图，，点是内一点，于点，于点，且，则的度数是（     ） A． B． C． D． 3．命题“如果，那么”的逆命题是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 二、填空题 4．请你写出一个真命题，使其逆命题为假命题．真命题是______，它的逆命题是______命题．（填“真”或“假”） 5．如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，F，若，的周长为7，则的周长为_________． 6．如图，的边，的垂直平分线，相交于点，点，在边上．若，则________． 三、解答题 7．如图，在中，是的垂直平分线，，为的中点．求证：． 8．如图，在中，是上的一点，连接，作于点，于点，且平分，连接，证明：垂直平分． 9．证明题 (1)如图①，在四边形中，，，平分．求证：． (2)如图②，在等腰三角形中，，平分．求证：． 1．已知：如图，点C为线段上一点，、是等边三角形．下列说法：①；②；③平分；④；⑤，正确的有几个？（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．如图，在和中，，，，直线，交于点M，连接，下列结论：①，②，③，④平分，其中正确结论的个数是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．观察与判断：如图，经过已知直线外一点，按图中的作图痕迹，得到直线．根据作图，判断以下五个结论：①；②点与点既关于直线对称，也关于点对称；③若，则；④若，则四边形的周长为；⑤四边形的面积为．其中正确结论的序号为___________． 4．【教材呈现】以下是老版人教版八年级上册数学教材第53页的部分内容． 如图1，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”． 【性质探究】 (1)如图1，连接筝形的对角线、交于点O，试探究筝形的性质，并填空：对角线、的关系是：___________；图中、的大小关系是：___________． 【概念理解】 (2)如图2，在中，，垂足为，与关于所在的直线对称，与关于所在的直线对称，延长，相交于点．请写出图中所有的“筝形”； 【应用拓展】 (3)如图3，在（2）的条件下，连接，分别交、于点、．求证：． 5．问题探究： (1)古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线．如图1是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点和，使得，连接，以为边作等边，则就是的平分线．请证明平分； 类比迁移： (2)小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图2，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点，重合，则过角尺顶点的射线是的平分线，请说明此做法的理论依据是_______； 拓展实践： (3)小明将研究应用于实践．如图3，校园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯到岔路口的距离和休息椅到岔路口的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请在对应的示意图4中画出路灯的位置．（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $