专题12.2 三角形全等的判定（高效培优讲义）数学新教材华东师大版八年级上册

专题12.2 三角形全等的判定 教学目标 1.通过画图、叠合比较等方式探索三角形全等的条件，理解全等判定条件的含义。 2.能灵活运用"SAS""ASA""AAS""SSS"判定两个三角形全等，会用"HL"判定两个直角三角形全等。 3.能利用尺规作三角形，掌握规范的语言描述作图步骤。 4.能综合运用全等三角形的判定和性质解决线段相等或角相等的问题，并解决简单的实际问题。 教学重难点 1.重点 （1）掌握五种判定三角形全等的方法并会正确选用 （2）能根据已知条件灵活运用判定定理证明三角形全等 （3）利用全等三角形的判定与性质进行边角关系的转化 2.难点 （1）准确辨识并灵活选择判定方法，避免"边边角"等误区 （2）挖掘隐含条件（公共边、公共角、对顶角等） （3）综合利用判定与性质解决线段、角度的计算与证明问题 知识点01：三种基本判定方法（SAS、ASA、AAS） 1."边角边"（SAS）：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；书写时按"边→角→边"顺序，夹角写在中间，注意"边边角"不能判定全等。 2."角边角"（ASA）：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，其中的边必须是两对应相等角的夹边。 3."角角边"（AAS）：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，是ASA的推论。 4.找等角的常用方法：公共角相等；对顶角相等；等角加（减）等角其和（差）仍相等；同角或等角的余角相等；由角平分线定义得出。 【即学即练】 1．已知：如图，，．求证：． 【答案】证明：，， ，即， 在和中， ， ． 【分析】利用证明，根据全等三角形的性质可证结论成立． 【详解】略 2．如图，在中，D是上一点，，交于点E，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：在和中， ， ； (2)2 【分析】（1）根据定理即可证得结论； （2）根据全等三角形的性质得到，即可求出． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ． 知识点02："边边边"与"斜边、直角边" 1."边边边"（SSS）：三边分别相等的两个三角形全等，常用于已知三边或通过线段和差得出三边相等的情形。 2."斜边、直角边"（HL）：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，HL只适用于直角三角形，使用前要先说明或判定是直角三角形。 【即学即练】 1．如图，已知，D．求证： (1)； (2)是等腰三角形． 【答案】(1) 证明：在和中， ∵，，， ∴； (2) 证明：∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质以及等腰三角形的判定． （1）考查三角形全等的判定，关键是识别全等的三边条件； （2）等腰三角形的判定(等角对等边)，关键是利用全等三角形的性质得到 【详解】（1）略 （2）略 2．如图，，，垂足分别为A，B，，相交于点O，． (1)求证：； (2)若，求证：是等边三角形． 【答案】(1) 证明：∵，， ． 在和中， ． (2) 证明：， ， ， ． ． ． 是等边三角形． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，解题的关键是： （1）根据证明即可； （2）根据全等三角形的性质得出，则可求，，然后根据等边三角形的判定即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 知识点03：三角形的稳定性与尺规作图 1.三角形的稳定性：若三角形三边的长度确定，其形状和大小就完全确定；常用于房屋人字形支架、电线杆支架、斜拉桥架等建筑中。 2.尺规作图：已知两边及其夹角、两角及其夹边、三边时，可用尺规作出唯一确定的三角形，这与全等判定条件一致。 【即学即练】 1．如图，在中，． (1)利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为E，交于点D（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别以为圆心，大于为半径画弧，得到两弧的交点，再过两弧的交点作直线交于，交于即可； （2）由可得，根据垂直平分线的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，再进一步可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵的垂直平分线交于D， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 知识点04：判定思路与易错汇总 已知条件 可选择的方法 已知两边 找第三边用SSS；找夹角用SAS；找直角用HL 已知一边一角（角与邻边） 找另一邻角用ASA；找另一邻边用SAS；找对角用AAS；若是直角找对边用HL 已知一边一角（角与对边） 找一角用AAS；若是直角找一边用HL 已知两角 找夹边用ASA；找夹边外任意一边用AAS 易错点 易错说明 边边角 把"SAS"误用为"两边及一边对角"，SSA不能判定全等 夹边与夹角 ASA中边须是两角夹边，SAS中角须是两边夹角 HL适用范围 HL仅适用于直角三角形，一般三角形不能用 对应顶点 书写全等时未按对应顶点顺序书写，导致对应关系错误 隐含条件 忽略公共边、公共角、对顶角等隐含相等条件 【即学即练】 1．如图，在和中，已知，添加下列一个条件后，仍不能判定的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴添加，根据能判定，选项A不符合题意； 添加，根据能判定，选项B不符合题意； 添加，根据不能判定，选项C符合题意； 添加，则，根据能判定，选项D不符合题意． 题型01 全等三角形性质与对应元素的识别 找对应边、对应角时，按对应顶点的顺序对应；平移、旋转、轴对称得到的全等图形可先确定对应点。 【典例1】. （25-26八年级上·广东东莞·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形的周长和面积分别相等 C．面积相等的两个三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的定义，全等三角形的判定与性质，根据能够完全重合的两个三角形是全等三角形，全等三角形的周长和面积分别相等，再结合等边三角形的定义，进行分析，即可作答． 【详解】解：A、全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，故原说法是错误的； B、全等三角形的周长和面积分别相等，故原说法是正确的； C、面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，故原说法是错误的； D、所有的等边三角形不一定是全等三角形，故原说法是错误的； 故选：B． 【变式1】. （2026八年级上·江苏淮安·专题练习）下列几种说法：全等三角形的对应边相等；面积相等的两个三角形全等；周长相等的两个三角形全等；全等的两个三角形的面积相等．其中正确的是______． 【答案】 【分析】根据全等三角形的概念和性质，逐个判断各说法的正误． 【详解】解：全等三角形能够完全重合，对应边相等，说法正确； 面积相等的两个三角形形状不一定相同，不一定全等，说法错误，例如底为高为的三角形和底为高为的三角形面积相等，但不全等； 周长相等的两个三角形形状不一定相同，不一定全等，说法错误，例如边长为的三角形和边长为的三角形周长均为，但不全等； 全等三角形能够完全重合，因此全等的两个三角形面积相等，说法正确； 综上，正确的是． 【变式2】. （25-26八年级上·全国·期中）如图，已知．写出对应边、对应角． 【答案】对应边：与，与，与；对应角：与，与，与． 【分析】本题考查全等三角形的对应边与对应角．把两个全等的三角形重叠到一起时，重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边，重合的角叫作对应角．据此即可解答． 【详解】解：略． 【变式3】. （24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，解答的关键是熟记全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等． 根据全等三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，则的对应角为． 故选：A． 题型02 直接应用"SSS"判定全等 先找出两组或三组对应边相等的条件，再按"边边边"书写证明，注意公共边也要写出。 【典例2】. （26-27八年级上·河南安阳·阶段检测）如图，下列三角形中，与已知三角形全等的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：只有选项C中三角形和题干三角形的三边分别相等，可以根据证明两个三角形全等． 【变式1】. （26-27八年级上·全国·课后作业）如图，，为上两点，已知，，．求证：． 【答案】证明：， ，即． 在和中， ， ． 【详解】略 【变式2】. （26-27八年级上·全国·课后作业）按如图所示的尺规作图的作法，证明． 【答案】证明：由作法可知，在与中， ∴， ∴． 即． 【分析】根据作法分别得到三对边分别相等，从而可证明两个三角形全等，再根据全等三角形的性质得出结论． 【详解】略． 【变式3】. （26-27八年级上·全国·课后作业）如图，．求证：． 【答案】证明：在和中， ∵， ∴， ∴； 在和中， ∵， ∴， ∴． 【分析】根据已知条件，且为公共边，即可由得到和全等，再由全等三角形对应边相等可得；由得到和全等，再由全等三角形对应角相等即可得出结论． 【详解】略． 题型03 直接应用"SAS"判定全等 先证两组边相等，再证这两边夹角相等，按"边→角→边"顺序书写；勿用"边边角"。 【典例3】. （26-27八年级上·甘肃平凉·阶段检测）如图，在和中，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， 即， ∵在和中， ， ∴． 【分析】先证明，再根据“”证明即可． 【详解】略 【变式1】. （26-27八年级上·贵州·期中）如图，，表示两根长度相同的木条，若O是，的中点，经测量，则容器的内径为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由线段中点的定义得到，，再利用证明，即可得到． 【详解】解：∵是，的中点， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 【变式2】. （26-27八年级上·江西·期中）如图，将两根钢条，的中点O钉在一起，使，能绕点O自由转动，就做成一个测量工具， 测的长即等于内槽宽， 那么判定的理由是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据判定全等即可得出，从而可确定判定的理由． 【详解】解：如图， ∵O是、的中点， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴那么判定的理由是． 【变式3】. （26-27八年级上·全国·单元复习）如图，四边形的对角线相交于点，，点是延长线上一点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：， ， ∴． 在和中， ， ； (2)． 【分析】（1）利用全等三角形的判定证明即可； （2）利用直角三角形的两个锐角互余可得，再利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：根据题意得，． ， ， ． ， ． 题型04 直接应用"ASA"或"AAS"判定全等 找两角及夹边用ASA；找两角及其中一角的对边用AAS；找准对应的夹边或对边。 【典例4】. （26-27八年级上·全国·课后作业）已知和线段，用尺规作，使，，，则全班同学用尺规作图作出的三角形都是全等的，其根据是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定方法，即可求解． 【详解】解：∵ 在中，为和的夹边， 又∵，，， ∴ 三角形全等的依据为． 【变式1】. （26-27八年级上·天津·期中）如图，在和中，点，，，在同一条直线上，已知，，，，求的度数． 【答案】 【分析】先由三角形内角和得出，再通过证明,进而得出． 【详解】解： ，， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【变式2】. （26-27八年级上·广东东莞·阶段检测）如图，点，，，在同一条直线上，点，分别在直线两侧，，，．求证：． 【答案】证明：∵， （两直线平行，内错角相等）． ， ， 得到， ∵， （）， ． 【分析】因为，所以根据平行线的性质可得．因为，所以对等式两边同时加上，可推出．结合已知，利用全等判定定理证明和全等，再根据全等三角形对应边相等即可得证． 【详解】略 【变式3】. （26-27七年级上·山东淄博·阶段检测）如图，平分，于，于，．求证：． 【答案】证明：平分， ． ，， ． 在和中， ， ． ． 又，， ． 在和中， ， ． ． 【分析】先利用证明，推出；再结合垂直条件与，证明，得到结论． 【详解】略 题型05 利用"HL"判定直角三角形全等 先说明或证明两个三角形是直角三角形，再证斜边和一条直角边分别相等，用HL判定。 【典例5】. （2026·山西晋中·一模）用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知的两边上分别取点，，使，再过点画的垂线，过点画的垂线，两垂线交于点，那么射线就是的平分线．验证这一结论的过程中，与全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂线的性质得到和都是直角三角形，根据全等直角三角形的判定定理解答即可． 【详解】解：根据题意得：、 在和中 ． 【变式1】. （26-27八年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，于，于，若，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)证明：，， ， 在和中， ， ， ； (2) 【分析】（1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出； （2）根据全等三角形的性质得出，由线段的和差关系求出答案． 【详解】（1）略 （2）解：，，， ， 在和中， ， ， ． 【变式2】. （26-27八年级上·全国·课后作业）如图，，，于点，于点．若，，则的长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据“”，证明得出相等的边，最后利用线段的和差即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式3】. （26-27八年级上·云南昆明·阶段检测）如图，在中，，点、分别在边、上，连接、，，，在边上截取，连接． (1)求证：． (2)求证：平分． 【答案】(1)证明：在和中， ， ． (2)证明：， ． ， ， ． 在和中， ， ， ， 平分． 【分析】（1）根据全等三角形的判定即可求解． （2）由（1）可得，，再根据角平分线的判定定理可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 题型06 添加条件使三角形全等 根据已给条件确定缺口，结合选定判定方法（SAS/ASA/AAS/SSS/HL）补上对应的边或角条件。 【典例6】. （26-27八年级上·四川·期中）如图，已知，下列条件中，添加后仍不能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、∵，，， ∴不能证明，故该选项是符合题意的； B、∵，，， ∴能证明，故该选项是不符合题意的； C、∵，，， ∴能证明，故该选项是不符合题意的； D、∵，，， ∴能证明，故该选项是不符合题意的． 【变式1】. （26-27八年级上·广东·期中）如图，已知，补充下列条件中的一个后，仍不能判定的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，，据此根据全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、添加条件，结合，，可利用证明，故此选项不符合题意； B、添加条件，结合，，可利用证明，故此选项不符合题意； C、添加条件，结合，，不可利用证明，故此选项符合题意； D、添加条件，结合，，可利用证明，故此选项不符合题意； 【变式2】. （26-27八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，点B、E、C、F在一条直线上，，请添加一个条件______，可利用得到． 【答案】 【分析】由得，由得，根据判定定理，需补充夹角的另一边相等． 【详解】解：， ， ， ， 即， 要利用证明， 已知，，是与的夹角，是与的夹角， 需添加． 【变式3】. （25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，，，若要使，需添加一个条件，请从“条件：”，“条件：”，“条件：”中选择添加一个你认为正确的条件，并写出相应的证明过程． 【答案】 解：选择条件：，证明如下： ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 选择条件：，证明如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴ ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，选择条件，可利用证明；选择条件，可利用证明，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】略 题型07 挖掘隐含条件证明全等 公共边、公共角、对顶角、等角的和差等都是隐含的相等条件，先在图中标记再书写证明。 【典例7】. （26-27八年级上·福建厦门·阶段检测）如图，点在线段上，，，求证： 【答案】证明：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 【分析】先证明，则，即可证明． 【详解】略 【变式1】. （25-26八年级下·贵州毕节·期末）如图，相交于点，且是和的中点．和全等吗？请说明理由． 【答案】解：， 理由： 是和的中点， ， 在和中， ， ． 【分析】根据线段中点特点，对顶角性质，结合“”即可证明和全等． 【详解】略 【变式2】. （26-27八年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，，，，与相交于点O． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：在和中， ． (2) 【分析】（1）根据证明两个三角形全等即可． （2）设与交于点，根据三角形的内角和与对顶角相等，推导出，由得，可求出，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：设与交于点，如图 ，， ， ， 由得 ， ， ． 【变式3】. （26-27八年级上·河南安阳·阶段检测）如图，已知． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：， ， ． (2)3 【分析】（1）由全等说明，根据内错角相等，两直线平行即可证明； （2）由全等说明，从而，即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：， ， ，即， ，， ， ． 题型08 尺规作图与全等的联系 按规范步骤用尺规作三角形，体会"两边及夹角、两角及夹边、三边"作图的唯一性，与全等判定对应。 【典例8】. （24-25八年级上·河北承德·期中）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 一个缺角的三角形残片如图所示，请你利用尺规作一个和原三角形全等的三角形．并说出作图依据． 【答案】 如图所示，即为所求： 根据作图可得，， ∴是和原三角形全等的三角形． 依据的是 【分析】本题考查了作三角形，全等三角形的判定定理；根据题意作，，则即为所求． 【详解】略 【变式1】. （26-27八年级上·全国·课后作业）如图，，，，是直线上的四点，，，． (1)将沿直线翻折得到，用直尺和圆规在图中作出；（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：． 【答案】(1)如图即为所求， (2)证明：如图，设与交于点， ， ， ， ， 在和中， ， ， 由（1）可得， ． 【分析】（1）分别以点B和C为圆心，以长为半径画弧，交于点，分别连接即可； （2）根据题意得出，再由全等三角形的判定证明即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：略． 【变式2】. （25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，为等腰三角形，，请用尺规作图的方法在上找一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】如图所示，点即为所求．（作法不唯一，合理即可） 【分析】作的角平分线，则，又因为，，根据“”即可得到． 【详解】略 【变式3】. （25-26七年级下·山东青岛·期末）已知：如图，，点在边上．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．求作：，使，并满足点在的延长线上，． 【答案】即为所求， 【分析】先作，再分别截取线段，使得，，则即为所求． 【详解】略． 题型09 多次全等（二次证明） 先用某判定方法证出第一对三角形全等，再由所得对应边、对应角相等作为新的条件，证明第二对三角形全等。 【典例9】. （25-26八年级上·陕西渭南·阶段检测）如图，已知，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) 解：与全等，理由如下： ∵， ∴，即， 在与中， ， ∴； (2) 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由证明即可； （2）由全等三角形的性质得，再由三角形内角和定理得，然后由平行线的性质得，即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：由()可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即的度数为． 【变式1】. （26-27八年级上·全国·单元复习）如图，，，点在同一条直线上，那么与平行吗？请说明理由． 【答案】解：平行，理由如下： ， ，． 在与中， ， ， ， ， ． 【分析】先证明，再由全等三角形的性质结合平行线的判定证明即可． 【详解】略 【变式2】. （26-27八年级上·甘肃平凉·阶段检测）如图，在中，是边上的高，且，点E为上的一点，连接交于点F，且． (1)求证：； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：∵是边上的高， ∴， 在和中， ， ∴ (2) 解：理由如下： ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）由可证； （2）由全等三角形的性质可得，由余角的性质可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 【变式3】. （26-27八年级上·河南安阳·阶段检测）教材第一章的数学活动提到了多边形，在此基础上结合全等的知识对四边形进行研究，其中，． (1)如图1，连接，若， ①的度数是__________； ②求证：． (2)如图2，点、分别在线段、上，满足，探究、，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①； ②证明：∵， ，都是直角三角形， 在和中， ， ， ． (2)解：． 理由：如图，延长至点，使，连接， ，， ， 在和中， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ． ，， ． 【分析】（1）①根据角的和差计算即可； ②证明即可； （2）延长至点，使，连接，证明，得到，，进而证明，得到，根据可知． 【详解】（1）①解：∵，， ； ②略 （2）略 题型10 判定与性质综合求线段或角 先判定三角形全等，再由对应边相等、对应角相等转化求解；必要时多次全等逐步推进。 【典例10】. （26-27八年级上·广东东莞·阶段检测）如图，在中，，是边上的一点，，过作交于点，连接、，交于点． (1)求证：； (2)若点为的中点，求的度数． 【答案】(1)证明：∵，， ∴与都是直角三角形． 在与中 ∴ ∴ (2) 【分析】（1）直接证明，即可解决问题． （2）首先证明，进而证明，即可解决问题． 【详解】（1）略； （2）解：∵， ∴． ∵点D为的中点， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵∠， ∴． 【变式1】. （26-27八年级上·全国·课后作业）如图①，已知． (1)若，，求的度数． (2)如图②，连接，与交于点． （Ⅰ）求证：； （II）若四边形的面积为15，，请直接写出的长． 【答案】(1)48° (2) （Ⅰ）证明：， ，， 在和中， ， ， 又， ，即； （II）． 【分析】（1）利用三角形内角和定理与全等三角形的性质，通过等量代换逐步推导角度； （2）（Ⅰ）利用证明全等，再借助角的和差关系完成证明； （2）（II）将四边形面积转化为三角形面积之和，建立方程求解． 【详解】（1）解：， ，，． ， ． ， ， 在中，． （2）（Ⅰ）略． （II）解：的长为6．   ， ， ，， ， 解得． 【变式2】. （26-27八年级上·云南昆明·阶段检测）问题情境：如图1，在四边形中．，，是上一点，连接，，，． 问题探究： (1)判断的形状并证明： (2)“创新小组”在图1的基础上变为图2，已知点，，在直线上，，．若，，求的长． 【答案】(1)为等腰直角三角形； 证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； (2) 【分析】（1）先证明，得出，，再得出，即可得出结论； （2）证明，得出，，再根据线段间数量关系，求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 【变式3】. （2026八年级上·全国·专题练习）中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 如图，在中，是边上的中点，连接，点在的延长线上． (1)若，．求证：平分． (2)若将（1）中的“，”更改为“平分，”，试探究线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：如图①，延长至点，使，连接． 是边上的中点， ． 在和中， ， ，． ， ． ， ． 在和中， ， ， 即平分． (2)解：．理由如下： 如图②，延长至点，使，连接． ． 由（1）可知，， ． ， ． 平分， ． ， ， ， ． 【分析】（1）延长至点，使，连接．在和中，用SAS证，得、．使用了三角形外角定理，在和中，由SAS证，得，则问题可证． (2)延长至点使，连接，由SAS证，得．在和中，由AAS证，得． 【详解】（1）略 （2）略 题型11 生活中的实际测量问题 把实际测量问题转化为构造全等三角形，利用对应边相等间接测量不可直接量的线段（如河宽）。 【典例11】. （26-27八年级上·全国·单元测试）数学兴趣小组来到某公园与美丽的花海合影．如图，小荷和小柳在花海围栏旁的点处拍了一张照片．小荷设计了一个方案测量花海的边缘点与围栏旁点之间的距离．小荷先从点处沿方向走2.5至点处，又沿着与垂直的方向走了3至点处并放置了一个标记物，接着往前再走3至点处，最后从点处向左沿着与垂直的方向走了一定距离至点处．此时，她看到标记物正好遮住了花海边缘的点处，经过测量，，图中所有点均在同一平面内，请你帮兴趣小组求出花海的边缘点与围栏旁点之间的距离． 【答案】花海的边缘点与围栏旁点之间的距离是1.5 【分析】利用“”证明，由全等三角形的性质可得，然后根据求解即可． 【详解】解：根据题意，得，，，， 且点，，在同一条直线上， 在和中， ， ， ， ． 答：花海的边缘点与围栏旁点之间的距离是1.5． 【变式1】. （26-27八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，某建筑测量队为了测量一栋垂直于地面的居民楼的高度，在大树与居民楼之间的地面上选了一点C，使得点B，C，D在一条直线上，同时测得垂直于地面的大树顶端A的视线与居民楼顶端E的视线的夹角为（即），已知，．若米，米，请你帮助建筑测量队计算出该居民楼的高度． 【答案】米 【分析】证明，可得到，根据线段的和差关系求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵米，米， ∴米， ∴米， 答：该居民楼的高度为米． 【变式2】. （25-26七年级下·陕西西安·期末）小明周末在小区玩耍时，准备利用所学数学知识测量对面楼的高．如图．小明在距离楼米的点处利用测角仪看点．此时的度数为，点到的距离为20米．之后小明向前走一定的距离到达点．并利用测角仪看点，此时的度数为，看点时的的度数为，并且．已知楼高20米，求楼的高． 【答案】13米 【分析】根据题意证明，得到，设，由线段和差计算得到，由此列式求解即可． 【详解】解：根据题意得，米，米，， ∴， ∵，即， ∴， ∵米，米， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴，则， ∴，， ， 解得， ∴楼的高为13米． 【变式3】. （25-26七年级下·广东佛山·期末）利用三角形全等测距离． (1)任务1：目测出操场上与你距离相等的两个点 方案：第一步：在C点处面向B点的方向站好，调整帽子，使视线从A点通过帽檐正好落在B点； 第二步：转过一个角度，保持刚才的姿态，视线从D点通过帽檐正好落在F点． 示意图： 原理： ，，． 又，，（______），______． (2)任务2：测量输电线路长度 任务简介：如图，一条输电线路需跨越一个池塘，池塘两侧A、B处各立有一根电线杆，但利用现有皮尺无法直接量出A、B间的距离，请你设计一个方案，测出A、B间的距离，并作出示意图． 方案：第一步：________________________； 第二步：________________________； （可适当添加步骤）…… 示意图（请按方案补充完整） 【答案】(1)，， (2)在池塘外取可同时到达、的点，连接AC并延长至点，使；连接并延长至点，使； 测量的长度，的长度就是、两点间的距离． 【分析】（1）由 ， 可得两个直角相等，根据条件可以看出两角夹一边，即判定两个三角形全等，进而得到三角形对应边相等； （2）通过构造 ，得到，通过测量的长度即可． 【详解】（1）∵ ， ， ∴， ∵，， （）， （2）第一步：在池塘外取可同时到达、的点，连接并延长至点，使；连接并延长至点，使； 第二步：测量的长度，的长度就是、两点间的距离． 在和中， ， ，， ∴ ， ∴ 图略 题型12 全等三角形的动态问题 用时间t表示点的运动路程，分情况讨论对应边相等，列方程求解，检验是否符合题意。 【典例12】. （26-27八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在中，，，，点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发，分别过P、Q两点作于E，于F，设运动时间为t，当与全等时，求t的值． 【答案】1秒或3.5秒或12秒 【分析】由已知可得与都是直角三角形，则当与全等时，，分当P在上，Q在上时；当P、Q在上重合时；当Q到达A点后，点P运动到上时三种情况分别求解即可． 【详解】解：∵于E，于F， ∴， ∴与都是直角三角形， ∴当与全等时，， 当P在上，Q在上时， ∵，，，， ∴，， ∴，解得； 当P、Q在上重合时，，， ∴，解得； 当Q到达A点后，点P运动到上时，，， ∴，解得． 综上，当与全等时，满足条件的t值为1秒或3.5秒或12秒． 【变式1】. （26-27八年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图（1），，，，．点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．它们运动的时间为． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，______，与是否全等，请说明理由； (2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“，其他条件不变，设点Q的运动速度为，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，与全等，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． (2)存在，或 【分析】（1）结合题意可得，，，利用即可证明结论； （2）结合题意可得，，，，利用全等三角形的判定与性质定理分两种情况讨论：当，时；当，时；分别列方程组即可求解． 【详解】（1）解：． 与全等，说明理由略． （2）解：存在x，使得与全等， 由题意可得，，，， ∵ 当，时，由可得， ∴， ∴； 当，时，由可得， ∴， ∴； 综上所述，或． 【变式2】. （25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）综合与探究 如图，在长方形中，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为． (1)________（用含的代数式表示）； (2)若点的运动速度为，是否存在的值，使得与全等？若存在求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，的值为或 【分析】（1）根据总长度减去运动的长度即可得到结果； （2）分两种情况，根据两个三角形全等，对应边相等可求得结果． 【详解】（1）解：∵点E在线段上以的速度由点B向点C运动， ∴ ， ∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴t最大取到， 即． 当时，此时， ∴点、点速度相同，即， 当，此时， 即， 解得：， ， 解得：， ∴存在v的值，使得与全等，此时的值为或． 【变式3】. （26-27八年级上·天津南开·阶段检测）如图1，，，，垂足分别为，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在射线上运动．它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； (2)如图2，若“，”改为“”，点的运动速度为，其他条件不变，当点，运动到何处时，有与全等？求出相应的的值． 【答案】(1)解：，，理由如下： ， ， ∵点与点的运动速度相等，且， ∴， ， ， ； ， ， ， ， ； (2)的值为或 【分析】（1）利用，，可根据“”证明；则，然后证明，从而得到； （2）分两种情况：①若，则，，即，；②若，则，，即，，然后分别求出即可． 【详解】（1）略 （2）解：①∵， ∴，， 又∵点的运动速度为， ∴，， 解得，； ②∵， ∴，， 同理可得，，， 解得，． 综上所述，当与全等时，的值为或． 一、单选题 1．如图，已知，若添加下列条件，则，以下判断中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故选项不符合题意； B、，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故选项符合题意； C、，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故选项不符合题意； D、，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故选项不符合题意． 2．如图，已知，点与点是对应点，下列结论中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，则此项正确，不符合题意； B、，则此项正确，不符合题意； C、，，则此项错误，符合题意； D、，则此项正确，不符合题意． 3．如图，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ， 由图可知， ． 二、填空题 4．如果，，，，则______． 【答案】 【分析】根据全等三角形的对应角相等以及三角形的内角和是求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 5．如图，已知，请添加一个条件使与全等的是__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】要使，已知，，具备了两组边相等，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可，答案不唯一． 【详解】解：添加条件是， 在和中， ∵， ∴． 6．如图，，点共线，与交于点．若，，则线段的长度为___________． 【答案】 【分析】根据全等三角形的性质先求出，再结合的长度和线段之间的和差关系即可得到答案． 【详解】解： ，点、、、共线， ， ， ． 三、解答题 7．如图，已知点是的中点，，且．若，，求的度数． 【答案】 【分析】证明，可得，即可求解． 【详解】解：是的中点， ． ， ， 在和中， ， ， ，， ， ． 8．如图，在中，点在边上，且，，的延长线交于点．求证：． 【答案】证明：， ， 在和中， ， ． 【分析】根据平行线的性质可得，进而可证明，即可得到结论． 【详解】见答案处． 9．如图，是的中线，且，延长至点，使，连接． (1)求证：； (2)若，，求的取值范围． 【答案】(1)证明：是的中线， ， 在和中，， ． (2) 【分析】（1）先证，再根据“”即可求证； （2）根据全等三角形的性质，可得，再根据三角形的三边关系，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，， ，即． ，即， ． 1．如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图： 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．在中，，，直线经过点，且于，于．当直线绕点旋转到如图所示的位置时，，，线段的长为________． 【答案】3 【分析】证明，由全等三角形的性质得出，，最后由线段的和差关系求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 3．如图，在中，，是上一点，且，过点作交于点，连接，如果，则________． 【答案】3 【分析】首先利用“”证明，由全等三角形的性质可得，然后根据，即可获得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，即， ∴． 4．如图，某数学小组的同学为了测量湖宽，先在的延长线上选定点；再在的下方选一适当的点，分别连接，，延长至点，使得，延长至点，使得，连接；最后在的延长线上找一点，使得点在同一直线上，这时，只要测出线段的长度就可知湖宽，你能说明其中的道理吗？ 【答案】证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即只要测出线段的长度就可知湖宽． 【分析】先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据平行线的判定与性质可得，然后证出，根据全等三角形的性质即可得． 【详解】证明：略． 5．如图1，中，，，为边上的点（不与两端点、重合），过点作的延长线于点，交的延长线于点． (1)猜想与的数量关系，并说明理由； (2)若，，点从点出发，沿射线以每秒5个单位长度的速度运动，设点的运动时间为． ①用含的代数式表示点的运动路程：_________； ②求为何值时，的面积为10； (3)在（2）的条件下，点从点出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向点运动，，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动．点是射线上的一点，若，问是否存在值，使得以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的值． 【答案】(1)解：，理由如下： ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； (2)①；②1或 (3)或 【分析】（1）只需要证明，即可证明； （2）①根据路程等于速度乘以时间可得答案；②求出的长，则可得到的长，再求出的长，最后根据三角形的面积公式建立方程求解即可； （3）分两种情况：当点P在线段上时，点F在的延长线上时，当点P在的延长线上时，点F在线段上时，根据全等三角形的性质建立方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①由题意得，点的运动路程为； ②∵，， ∴， 由（1）得，， ∴，； ∵， ∴， ∵的面积为10， ∴， ∴， ∴或； （3）解：由（2）得， ∴； 如图所示，当点P在线段上时，点F在的延长线上时， ∵， ∴ 又∵， ∴此时只存在这种情况， ∴， ∴， 解得； 如图所示，当点P在的延长线上时，点F在线段上时， 同理可得此时只存在这种情况， ∴， ∴， 解得； 综上所述，符合题意的t的值为或． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12.2 三角形全等的判定 教学目标 1.通过画图、叠合比较等方式探索三角形全等的条件，理解全等判定条件的含义。 2.能灵活运用"SAS""ASA""AAS""SSS"判定两个三角形全等，会用"HL"判定两个直角三角形全等。 3.能利用尺规作三角形，掌握规范的语言描述作图步骤。 4.能综合运用全等三角形的判定和性质解决线段相等或角相等的问题，并解决简单的实际问题。 教学重难点 1.重点 （1）掌握五种判定三角形全等的方法并会正确选用 （2）能根据已知条件灵活运用判定定理证明三角形全等 （3）利用全等三角形的判定与性质进行边角关系的转化 2.难点 （1）准确辨识并灵活选择判定方法，避免"边边角"等误区 （2）挖掘隐含条件（公共边、公共角、对顶角等） （3）综合利用判定与性质解决线段、角度的计算与证明问题 知识点01：三种基本判定方法（SAS、ASA、AAS） 1."边角边"（SAS）： 的两个三角形全等；书写时按"边→角→边"顺序，夹角写在中间，注意"边边角"不能判定全等。 2."角边角"（ASA）： 的两个三角形全等，其中的边必须是两对应相等角的夹边。 3."角角边"（AAS）： 的两个三角形全等，是ASA的推论。 4.找等角的常用方法：公共角相等；对顶角相等；等角加（减）等角其和（差）仍相等；同角或等角的余角相等；由角平分线定义得出。 【即学即练】 1．已知：如图，，．求证：． 2．如图，在中，D是上一点，，交于点E，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 知识点02："边边边"与"斜边、直角边" 1."边边边"（SSS）： 的两个三角形全等，常用于已知三边或通过线段和差得出三边相等的情形。 2."斜边、直角边"（HL）： 的两个直角三角形全等，HL只适用于直角三角形，使用前要先说明或判定是直角三角形。 【即学即练】 1．如图，已知，D．求证： (1)； (2)是等腰三角形． 2．如图，，，垂足分别为A，B，，相交于点O，． (1)求证：； (2)若，求证：是等边三角形． 知识点03：三角形的稳定性与尺规作图 1.三角形的稳定性：若三角形三边的 ，其 就完全确定；常用于房屋人字形支架、电线杆支架、斜拉桥架等建筑中。 2.尺规作图：已知两边及其夹角、两角及其夹边、三边时，可用尺规作出唯一确定的三角形，这与全等判定条件一致。 【即学即练】 1．如图，在中，． (1)利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为E，交于点D（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 知识点04：判定思路与易错汇总 已知条件 可选择的方法 已知两边 找第三边用SSS；找夹角用SAS；找直角用HL 已知一边一角（角与邻边） 找另一邻角用ASA；找另一邻边用SAS；找对角用AAS；若是直角找对边用HL 已知一边一角（角与对边） 找一角用AAS；若是直角找一边用HL 已知两角 找夹边用ASA；找夹边外任意一边用AAS 易错点 易错说明 边边角 把"SAS"误用为"两边及一边对角"，SSA不能判定全等 夹边与夹角 ASA中边须是两角夹边，SAS中角须是两边夹角 HL适用范围 HL仅适用于直角三角形，一般三角形不能用 对应顶点 书写全等时未按对应顶点顺序书写，导致对应关系错误 隐含条件 忽略公共边、公共角、对顶角等隐含相等条件 【即学即练】 1．如图，在和中，已知，添加下列一个条件后，仍不能判定的是（   ）    A． B． C． D． 题型01 全等三角形性质与对应元素的识别 找对应边、对应角时，按对应顶点的顺序对应；平移、旋转、轴对称得到的全等图形可先确定对应点。 【典例1】. （25-26八年级上·广东东莞·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形的周长和面积分别相等 C．面积相等的两个三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 【变式1】. （2026八年级上·江苏淮安·专题练习）下列几种说法：全等三角形的对应边相等；面积相等的两个三角形全等；周长相等的两个三角形全等；全等的两个三角形的面积相等．其中正确的是______． 【变式2】. （25-26八年级上·全国·期中）如图，已知．写出对应边、对应角． 【变式3】. （24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 题型02 直接应用"SSS"判定全等 先找出两组或三组对应边相等的条件，再按"边边边"书写证明，注意公共边也要写出。 【典例2】. （26-27八年级上·河南安阳·阶段检测）如图，下列三角形中，与已知三角形全等的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】. （26-27八年级上·全国·课后作业）如图，，为上两点，已知，，．求证：． 【变式2】. （26-27八年级上·全国·课后作业）按如图所示的尺规作图的作法，证明． 【变式3】. （26-27八年级上·全国·课后作业）如图，．求证：． 题型03 直接应用"SAS"判定全等 先证两组边相等，再证这两边夹角相等，按"边→角→边"顺序书写；勿用"边边角"。 【典例3】. （26-27八年级上·甘肃平凉·阶段检测）如图，在和中，，，．求证：． 【变式1】. （26-27八年级上·贵州·期中）如图，，表示两根长度相同的木条，若O是，的中点，经测量，则容器的内径为（     ） A． B． C． D． 【变式2】. （26-27八年级上·江西·期中）如图，将两根钢条，的中点O钉在一起，使，能绕点O自由转动，就做成一个测量工具， 测的长即等于内槽宽， 那么判定的理由是（     ） A． B． C． D． 【变式3】. （26-27八年级上·全国·单元复习）如图，四边形的对角线相交于点，，点是延长线上一点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 题型04 直接应用"ASA"或"AAS"判定全等 找两角及夹边用ASA；找两角及其中一角的对边用AAS；找准对应的夹边或对边。 【典例4】. （26-27八年级上·全国·课后作业）已知和线段，用尺规作，使，，，则全班同学用尺规作图作出的三角形都是全等的，其根据是（     ） A． B． C． D． 【变式1】. （26-27八年级上·天津·期中）如图，在和中，点，，，在同一条直线上，已知，，，，求的度数． 【变式2】. （26-27八年级上·广东东莞·阶段检测）如图，点，，，在同一条直线上，点，分别在直线两侧，，，．求证：． 【变式3】. （26-27七年级上·山东淄博·阶段检测）如图，平分，于，于，．求证：． 题型05 利用"HL"判定直角三角形全等 先说明或证明两个三角形是直角三角形，再证斜边和一条直角边分别相等，用HL判定。 【典例5】. （2026·山西晋中·一模）用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知的两边上分别取点，，使，再过点画的垂线，过点画的垂线，两垂线交于点，那么射线就是的平分线．验证这一结论的过程中，与全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【变式1】. （26-27八年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，于，于，若，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【变式2】. （26-27八年级上·全国·课后作业）如图，，，于点，于点．若，，则的长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3】. （26-27八年级上·云南昆明·阶段检测）如图，在中，，点、分别在边、上，连接、，，，在边上截取，连接． (1)求证：． (2)求证：平分． 题型06 添加条件使三角形全等 根据已给条件确定缺口，结合选定判定方法（SAS/ASA/AAS/SSS/HL）补上对应的边或角条件。 【典例6】. （26-27八年级上·四川·期中）如图，已知，下列条件中，添加后仍不能判定的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】. （26-27八年级上·广东·期中）如图，已知，补充下列条件中的一个后，仍不能判定的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】. （26-27八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，点B、E、C、F在一条直线上，，请添加一个条件______，可利用得到． 【变式3】. （25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，，，若要使，需添加一个条件，请从“条件：”，“条件：”，“条件：”中选择添加一个你认为正确的条件，并写出相应的证明过程． 题型07 挖掘隐含条件证明全等 公共边、公共角、对顶角、等角的和差等都是隐含的相等条件，先在图中标记再书写证明。 【典例7】. （26-27八年级上·福建厦门·阶段检测）如图，点在线段上，，，求证： 【变式1】. （25-26八年级下·贵州毕节·期末）如图，相交于点，且是和的中点．和全等吗？请说明理由． 【变式2】. （26-27八年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，，，，与相交于点O． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【变式3】. （26-27八年级上·河南安阳·阶段检测）如图，已知． (1)求证：； (2)若，求的长． 题型08 尺规作图与全等的联系 按规范步骤用尺规作三角形，体会"两边及夹角、两角及夹边、三边"作图的唯一性，与全等判定对应。 【典例8】. （24-25八年级上·河北承德·期中）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 一个缺角的三角形残片如图所示，请你利用尺规作一个和原三角形全等的三角形．并说出作图依据． 【变式1】. （26-27八年级上·全国·课后作业）如图，，，，是直线上的四点，，，． (1)将沿直线翻折得到，用直尺和圆规在图中作出；（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：． 【变式2】. （25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，为等腰三角形，，请用尺规作图的方法在上找一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式3】. （25-26七年级下·山东青岛·期末）已知：如图，，点在边上．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．求作：，使，并满足点在的延长线上，． 题型09 多次全等（二次证明） 先用某判定方法证出第一对三角形全等，再由所得对应边、对应角相等作为新的条件，证明第二对三角形全等。 【典例9】. （25-26八年级上·陕西渭南·阶段检测）如图，已知，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【变式1】. （26-27八年级上·全国·单元复习）如图，，，点在同一条直线上，那么与平行吗？请说明理由． 【变式2】. （26-27八年级上·甘肃平凉·阶段检测）如图，在中，是边上的高，且，点E为上的一点，连接交于点F，且． (1)求证：； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 【变式3】. （26-27八年级上·河南安阳·阶段检测）教材第一章的数学活动提到了多边形，在此基础上结合全等的知识对四边形进行研究，其中，． (1)如图1，连接，若， ①的度数是__________； ②求证：． (2)如图2，点、分别在线段、上，满足，探究、，之间的数量关系，并说明理由． 题型10 判定与性质综合求线段或角 先判定三角形全等，再由对应边相等、对应角相等转化求解；必要时多次全等逐步推进。 【典例10】. （26-27八年级上·广东东莞·阶段检测）如图，在中，，是边上的一点，，过作交于点，连接、，交于点． (1)求证：； (2)若点为的中点，求的度数． 【变式1】. （26-27八年级上·全国·课后作业）如图①，已知． (1)若，，求的度数． (2)如图②，连接，与交于点． （Ⅰ）求证：； （II）若四边形的面积为15，，请直接写出的长． 【变式2】. （26-27八年级上·云南昆明·阶段检测）问题情境：如图1，在四边形中．，，是上一点，连接，，，． 问题探究： (1)判断的形状并证明： (2)“创新小组”在图1的基础上变为图2，已知点，，在直线上，，．若，，求的长． 【变式3】. （2026八年级上·全国·专题练习）中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 如图，在中，是边上的中点，连接，点在的延长线上． (1)若，．求证：平分． (2)若将（1）中的“，”更改为“平分，”，试探究线段与的数量关系，并说明理由． 题型11 生活中的实际测量问题 把实际测量问题转化为构造全等三角形，利用对应边相等间接测量不可直接量的线段（如河宽）。 【典例11】. （26-27八年级上·全国·单元测试）数学兴趣小组来到某公园与美丽的花海合影．如图，小荷和小柳在花海围栏旁的点处拍了一张照片．小荷设计了一个方案测量花海的边缘点与围栏旁点之间的距离．小荷先从点处沿方向走2.5至点处，又沿着与垂直的方向走了3至点处并放置了一个标记物，接着往前再走3至点处，最后从点处向左沿着与垂直的方向走了一定距离至点处．此时，她看到标记物正好遮住了花海边缘的点处，经过测量，，图中所有点均在同一平面内，请你帮兴趣小组求出花海的边缘点与围栏旁点之间的距离． 【变式1】. （26-27八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，某建筑测量队为了测量一栋垂直于地面的居民楼的高度，在大树与居民楼之间的地面上选了一点C，使得点B，C，D在一条直线上，同时测得垂直于地面的大树顶端A的视线与居民楼顶端E的视线的夹角为（即），已知，．若米，米，请你帮助建筑测量队计算出该居民楼的高度． 【变式2】. （25-26七年级下·陕西西安·期末）小明周末在小区玩耍时，准备利用所学数学知识测量对面楼的高．如图．小明在距离楼米的点处利用测角仪看点．此时的度数为，点到的距离为20米．之后小明向前走一定的距离到达点．并利用测角仪看点，此时的度数为，看点时的的度数为，并且．已知楼高20米，求楼的高． 【变式3】. （25-26七年级下·广东佛山·期末）利用三角形全等测距离． (1)任务1：目测出操场上与你距离相等的两个点 方案：第一步：在C点处面向B点的方向站好，调整帽子，使视线从A点通过帽檐正好落在B点； 第二步：转过一个角度，保持刚才的姿态，视线从D点通过帽檐正好落在F点． 示意图： 原理： ，，． 又，，（______），______． (2)任务2：测量输电线路长度 任务简介：如图，一条输电线路需跨越一个池塘，池塘两侧A、B处各立有一根电线杆，但利用现有皮尺无法直接量出A、B间的距离，请你设计一个方案，测出A、B间的距离，并作出示意图． 方案：第一步：________________________； 第二步：________________________； （可适当添加步骤）…… 示意图（请按方案补充完整） 题型12 全等三角形的动态问题 用时间t表示点的运动路程，分情况讨论对应边相等，列方程求解，检验是否符合题意。 【典例12】. （26-27八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在中，，，，点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发，分别过P、Q两点作于E，于F，设运动时间为t，当与全等时，求t的值． 【变式1】. （26-27八年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图（1），，，，．点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．它们运动的时间为． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，______，与是否全等，请说明理由； (2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“，其他条件不变，设点Q的运动速度为，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 【变式2】. （25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）综合与探究 如图，在长方形中，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为． (1)________（用含的代数式表示）； (2)若点的运动速度为，是否存在的值，使得与全等？若存在求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式3】. （26-27八年级上·天津南开·阶段检测）如图1，，，，垂足分别为，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在射线上运动．它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； (2)如图2，若“，”改为“”，点的运动速度为，其他条件不变，当点，运动到何处时，有与全等？求出相应的的值． 一、单选题 1．如图，已知，若添加下列条件，则，以下判断中错误的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，已知，点与点是对应点，下列结论中错误的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如果，，，，则______． 5．如图，已知，请添加一个条件使与全等的是__________． 6．如图，，点共线，与交于点．若，，则线段的长度为___________． 三、解答题 7．如图，已知点是的中点，，且．若，，求的度数． 8．如图，在中，点在边上，且，，的延长线交于点．求证：． 9．如图，是的中线，且，延长至点，使，连接． (1)求证：； (2)若，，求的取值范围． 1．如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．在中，，，直线经过点，且于，于．当直线绕点旋转到如图所示的位置时，，，线段的长为________． 3．如图，在中，，是上一点，且，过点作交于点，连接，如果，则________． 4．如图，某数学小组的同学为了测量湖宽，先在的延长线上选定点；再在的下方选一适当的点，分别连接，，延长至点，使得，延长至点，使得，连接；最后在的延长线上找一点，使得点在同一直线上，这时，只要测出线段的长度就可知湖宽，你能说明其中的道理吗？ 5．如图1，中，，，为边上的点（不与两端点、重合），过点作的延长线于点，交的延长线于点． (1)猜想与的数量关系，并说明理由； (2)若，，点从点出发，沿射线以每秒5个单位长度的速度运动，设点的运动时间为． ①用含的代数式表示点的运动路程：_________； ②求为何值时，的面积为10； (3)在（2）的条件下，点从点出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向点运动，，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动．点是射线上的一点，若，问是否存在值，使得以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的值． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $