专题15 中点模型（一）（平行线夹中点模型、中垂线模型、三线合一模型）（几何模型讲义）数学华东师大版2024八年级上册

专题15 中点模型（一）（平行线夹中点模型、中垂线模型、三线合一模型） 中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。 常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。本专题就中点模型的前三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.垂直平分线模型 5 模型2.等腰三角形的“三线合一”模型 7 模型3.“平行线+中点+对顶角”构造全等模型 10 14 垂直平分线模型和等腰三角形的“三线合一”模型源于垂直平分线定理和等腰三角形的性质定理；垂直平分线定理源于欧几里得《几何原本》中对对称性和等距点的研究，其核心性质与逆定理通过全等三角形证明；等腰三角形的性质定理源于等腰三角形的对称性，其性质在古希腊几何学中已有应用，现代证明通过全等三角形完成。“平行线+中点+对顶角”构造全等模型的核心是通过‌平行线性质‌与‌中点条件‌结合，利用‌对顶角相等‌或‌同位角/内错角相等‌，证明三角形全等。 （2024·四川眉山·中考真题）如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（    ） A．7 B．8 C．10 D．12 （2025·湖南·模拟预测）如图，在中，，平分交于点D，，，则的面积为 ． （24-25七年级下·山东烟台·期末）在等腰中，，点D，E在射线上，，过点E作，交射线于点F．请解答下列问题： (1)如图1，当点E在线段上，是的角平分线时，线段之间存在怎样的数量关系？小颖通过观察、分析、思考，探究出了辅助线的添加方法：延长交于一点．从而很快地解决了问题．请写出本题的证明过程；(2)如图2，当点E在线段的延长线上，是的角平分线时，若，则 ；（请直接写出结果）；(3)如图3，当点E在线段的延长线上，是的外角平分线时，线段之间存在怎样的数量关系？请写出证明过程． 1）垂直平分线模型 条件：如图，在三角形ABC中，DE⊥BC，且D为BC中点，结论：BE=EC。 证明：∵DE⊥BC，∴∠BDE=∠CDE=90°，∵D为BC中点，∴BD=CD， ∵DE=DE，∴，∴BE=CE. 2）等腰三角形的“三线合一”模型 条件：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，结论：①AD为BC边上的中线（即BD=CD）；②AD为∠BAC 的角平分线（即∠BAD =∠CAD）；③AD为BC边上的高线（即AD⊥BC）。 证明：我们不妨以①为结论证明，其他情况证明也是类似的证明全等即可。 由题意知：AB=AC，BD=CD，∵AD=AD，∴，∴∠BAD =∠CAD，AD⊥BC。 注意：其中三个结论已知其一便可证明其他两个结论。 3）“平行线+中点+对顶角”构造全等模型 我们把这种情况叫做平行线间夹中点.处理这种情况的一般方法是：延长过中点的线段和平行线相交，即“延长中线交平行”构造全等；当然有时候也需要自己构造平行线的辅助线求解。 条件：如图，AB//CD，点E是BC的中点，可延长DE交AB于点F。结论：。 证明：∵AB//CD，∴∠C=∠FBE，∠D=∠BFE， ∵点E是BC的中点，∴BE=CE，∴（AAS）。 模型1.垂直平分线模型 例1（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图， 线段的垂直平分线相交于点 O， 若， 则的度数是 ． 例2（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，，观察图中尺规作图的痕迹，则的周长是（   ） A．13 B．11 C．8 D．6.5 例3（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在中，面积是20，的垂直平分线分别交边于点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 例4（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）已知：的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为、．(1)线段和有什么数量关系，为什么？(2)若，，求的长． 模型2.等腰三角形的“三线合一”模型 例1．（24-25上·广西崇左·八年级校联考阶段练习）如图，的垂直平分线为，垂足为点 O，点P在上，则下列结论中， 不一定正确的是（     ） A． B． C．平分 D． 例2（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，是等边的边上的中线，，则的度数为 ． 例3（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，等边中，点是延长线上一点，点是上一点，且．若，，则的长为 ． 例4（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）如图，在中，于E,于D，与交于F，，连接．(1)求证：；(2)若，求的长． 模型3.“平行线+中点+对顶角”构造全等模型 例1（24-25七年级下·重庆大渡口·期末）如图，在中，点是边上一点，点是边的中点，过作，交的延长线于点，若，则的长为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 例2（25-26八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图所示，在四边形中，，，，为的中点，连接，若，则的度数为 ． 例3（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在中，，，动点在射线上，交于，的平分线交于．则当时， ． 例4（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期末）【教材呈现】如图1，平分，．易证是等腰三角形． 【变式探究】（1）如图2，把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？ 【形成经验】当角平分线遇上平行线时一般会产生等腰三角形． 【经验应用】（2）如图3，，平分，平分，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 【拓展提升】（3）如图4，在四边形中，，E为的中点，且平分，连接，则线段和之间的数量关系为__________． 1．（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图，在中，，，点是的中点，过点作交于点E，，则的长度为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（24-25上·辽宁大连·八年级统考阶段练习）如图，中，，，、的中垂线、分别交、、于、、、．若，则的长度是(     ) A．4 B．6 C．7 D．8 3．（2025·山东济宁·统考二模）如图，中，，平分，点E是的中点．若，，则的长是（    ）    A． B． C． D．7 4．（24-25上·浙江绍兴·八年级校考期中）如图，已知点在的边上，，点，在边上．若，，则的长为（    ） A． B．8 C． D．9 5．（24-25上·福建莆田·八年级校考期中）如图，在中，于点D，于点E．若点P是上一动点，连接，则的最小值是等于下列哪条线段的长（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·天津河东·期中）如图，在中，已知，的中垂线交于D，的中垂线交于E，则的周长等于（   ）    A．11 B．13 C．14 D．15 7．（24-25上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，在中，，点在边的垂直平分线上，的周长为15，则的长为（    ）． A．5 B．6 C．7 D．8 8．（24-25七年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，，为的中点，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25上·四川遂宁·八年级校考阶段练习）如图，已知中，为内一点，过点的直线分别交于点．若M在的中垂线上，在的中垂线上，则的度数为（    ） A．​ B．​ C．​ D．​ 10．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）在四边形中，，的平分线与交于点，连接，恰好，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．平分 D． 11．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，已知，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD的中点，连接AE并延长交BC与点F，，．则AE的长为（    ） A． B．6 C．5 D． 12．（24-25八年级上·上海·期中）如图，已知，平分，点E为中点，如果，，那么 ． 13．（24-25八年级上·福建龙岩·期中）如图，已知与相交于点，，点为中点，若，，则 ．    14．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）如图中，为钝角，边，的垂直平分线分别交于点，．若，则 度． 15．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，D为上一点，连接，且，则为 ． 16．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段练习）【问题呈现】用全等三角形研究：“筝形” 如图，在四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．请你自己画一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角、对角线有什么性质，然后用全等三角形的知识证明你的猜想． 请结合上面的内容，解决下列问题： 【概念理解】（1）如图1，在正方形网格中，是网格线交点，请在网格中画出筝形． 【性质探究】（2）小浩得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”，请你帮他将证明过程补充完整． 已知：如图2，在筝形中，，．求证：． 证明： （3）如图3，连接筝形的对角线交于点．请用文字语言写出筝形对角线的一条性质，并给出证明． 【拓展应用】（4）如图4，在中，，，点、分别是边上的动点，当四边形为筝形时，请直接写出的度数． 17．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）如图所示，点M是线段上一点，是过点M的一条直线，连接、，过点B作交于F，且M为中点． (1)若，求的长；(2)若，，求证：． 18．（24-25八年级上·上海·期中）如图，在中，D是的中点，过D的直线交于E，交的延长线于F，且．求证：． 19．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）中，，边的垂直平分线交于、于，边的垂直平分线交于、于、的垂直平分线于，求和的度数． 20．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，中，是高，是中线，，且F是的中点．(1)求证：；(2)若，求的面积． 21．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)【模型呈现】如图，AD为的中线，交AD的延长线于点E，求证：． (2)【模型应用】如图，在四边形ABCD中，，E是BC中点，连接AE，DE，AE平分，求证：DE平分． (3)【拓展探索】如图，在中，，于点D，过点B作交的平分线于点E，过点E作交BC于点F，若，求证：． 22．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）四边形中，点为线段的中点． (1)，平分．①如图1，若，，则_______； ②如图2，若，求证：平分；(2)和不平行时，，求证：． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 中点模型（一）（平行线夹中点模型、中垂线模型、三线合一模型） 中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。 常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。本专题就中点模型的前三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.垂直平分线模型 5 模型2.等腰三角形的“三线合一”模型 7 模型3.“平行线+中点+对顶角”构造全等模型 10 14 垂直平分线模型和等腰三角形的“三线合一”模型源于垂直平分线定理和等腰三角形的性质定理；垂直平分线定理源于欧几里得《几何原本》中对对称性和等距点的研究，其核心性质与逆定理通过全等三角形证明；等腰三角形的性质定理源于等腰三角形的对称性，其性质在古希腊几何学中已有应用，现代证明通过全等三角形完成。“平行线+中点+对顶角”构造全等模型的核心是通过‌平行线性质‌与‌中点条件‌结合，利用‌对顶角相等‌或‌同位角/内错角相等‌，证明三角形全等。 （2024·四川眉山·中考真题）如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（    ） A．7 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【详解】解：由作图知，垂直平分，， 的周长， ，，的周长，故选：C． （2025·湖南·模拟预测）如图，在中，，平分交于点D，，，则的面积为 ． 【答案】15 【详解】解：在中，，平分交于点，，， ，，即的面积为，故答案为：． （24-25七年级下·山东烟台·期末）在等腰中，，点D，E在射线上，，过点E作，交射线于点F．请解答下列问题： (1)如图1，当点E在线段上，是的角平分线时，线段之间存在怎样的数量关系？小颖通过观察、分析、思考，探究出了辅助线的添加方法：延长交于一点．从而很快地解决了问题．请写出本题的证明过程； (2)如图2，当点E在线段的延长线上，是的角平分线时，若，则 ；（请直接写出结果）； (3)如图3，当点E在线段的延长线上，是的外角平分线时，线段之间存在怎样的数量关系？请写出证明过程． 【答案】(1)，见解析(2)(3)，见解析 【详解】（1），理由如下：如图1，延长交于点M．，， ，，，，平分，， ，即，，， ，，， 由得． （2）如图2，延长相交于点N， ，，，， ，，，， 又，，，，， 平分，， ，即，，， ，，， 又，．故答案为：6． （3），理由如下：如图3，延长与相交于点G， ，，，， 又，，，平分，， ，，，， ，，， 由得． 1）垂直平分线模型 条件：如图，在三角形ABC中，DE⊥BC，且D为BC中点，结论：BE=EC。 证明：∵DE⊥BC，∴∠BDE=∠CDE=90°，∵D为BC中点，∴BD=CD， ∵DE=DE，∴，∴BE=CE. 2）等腰三角形的“三线合一”模型 条件：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，结论：①AD为BC边上的中线（即BD=CD）；②AD为∠BAC 的角平分线（即∠BAD =∠CAD）；③AD为BC边上的高线（即AD⊥BC）。 证明：我们不妨以①为结论证明，其他情况证明也是类似的证明全等即可。 由题意知：AB=AC，BD=CD，∵AD=AD，∴，∴∠BAD =∠CAD，AD⊥BC。 注意：其中三个结论已知其一便可证明其他两个结论。 3）“平行线+中点+对顶角”构造全等模型 我们把这种情况叫做平行线间夹中点.处理这种情况的一般方法是：延长过中点的线段和平行线相交，即“延长中线交平行”构造全等；当然有时候也需要自己构造平行线的辅助线求解。 条件：如图，AB//CD，点E是BC的中点，可延长DE交AB于点F。结论：。 证明：∵AB//CD，∴∠C=∠FBE，∠D=∠BFE， ∵点E是BC的中点，∴BE=CE，∴（AAS）。 模型1.垂直平分线模型 例1（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图， 线段的垂直平分线相交于点 O， 若， 则的度数是 ． 【答案】/80度 【详解】解：连接，并延长到P，∵线段、的垂直平分线、相交于点， ∴，，∴， ∵，∴，∵，∴，， ∵，， ∴；故答案为：． 例2（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，，观察图中尺规作图的痕迹，则的周长是（   ） A．13 B．11 C．8 D．6.5 【答案】C 【详解】解：由尺规作图痕迹可知，所作直线为线段的垂直平分线，， ，，，的周长为．故选：C． 例3（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在中，面积是20，的垂直平分线分别交边于点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】12 【详解】解：连接， ∵是等腰三角形，点是边的中点，，，， ∵的面积是20，，解得， 是线段的垂直平分线，， ，的长为的最小值， 的周长最短．故答案为：12． 例4（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）已知：的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为、． (1)线段和有什么数量关系，为什么？(2)若，，求的长． 【答案】(1)，理由见解析(2) 【详解】（1）解：，理由如下：如图，连接、， 平分，，，， 又垂直平分，， 在和中， ，； （2）在和中，， ，设，则， ，，解得，即． 模型2.等腰三角形的“三线合一”模型 例1．（24-25上·广西崇左·八年级校联考阶段练习）如图，的垂直平分线为，垂足为点 O，点P在上，则下列结论中， 不一定正确的是（     ） A． B． C．平分 D． 【答案】D 【详解】解：∵的垂直平分线为，点P在上，∴，∴平分， 根据现有条件无法证明，∴四个选项中只有D选项符合题意，故选D． 例2（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，是等边的边上的中线，，则的度数为 ． 【答案】/15度 【详解】解：∵是等边三角形，∴，． ∵是边上的中线，∴ 平分（等边三角形三线合一）， ∴，． ∵∴ 是等腰三角形，． 在中，，∴， 即，解得． ∵，∴．故答案为：． 例3（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，等边中，点是延长线上一点，点是上一点，且．若，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：过作于点， ，，，设，则， ，，是等边三角形，，， ，，，，即，解得， ，．故答案为：． 例4（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）如图，在中，于E,于D，与交于F，，连接．(1)求证：；(2)若，求的长． 【答案】(1)见解析；(2)． 【详解】（1）证明：于E，， ，， ，， ，； （2）由（1）知：，， 于E，， ，，． 模型3.“平行线+中点+对顶角”构造全等模型 例1（24-25七年级下·重庆大渡口·期末）如图，在中，点是边上一点，点是边的中点，过作，交的延长线于点，若，则的长为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】C 【详解】解：∵，∴，∴， ∵点是边的中点，∴，∵，∴， 在和中，，∴，∴，故选：C． ，，，故答案为： ． 例2（25-26八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图所示，在四边形中，，，，为的中点，连接，若，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：如图，延长交延续于点，∵点为的中点，∴， ∵，∴，， ∵，∴，∴，，， ∵，，∴，∴，∴， ∵ ，， ∴，∴，故答案为：． 例3（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在中，，，动点在射线上，交于，的平分线交于．则当时， ． 【答案】 【详解】解：延长交于点，∵，∴，∴， ∵平分，∴，∴，∴， ∴，∵，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，故答案为：． 例4（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期末）【教材呈现】如图1，平分，．易证是等腰三角形． 【变式探究】（1）如图2，把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？ 【形成经验】当角平分线遇上平行线时一般会产生等腰三角形． 【经验应用】（2）如图3，，平分，平分，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 【拓展提升】（3）如图4，在四边形中，，E为的中点，且平分，连接，则线段和之间的数量关系为__________． 【答案】（1）重合部分是一个等腰三角形，理由见解析；（2），理由见解析；（3） 【详解】解：（1）重合部分是一个等腰三角形，理由： ∵在长方形中，，∴， 由折叠性质可得，∴，∴，∴是等腰三角形； （2），理由：如图，∵，∴． ∵平分，∴，∴，∴． ∵，∴．∵平分，∴， ∴，∴，∴； （3），理由：如图，延长、交于点F． ∵，∴， ∵平分，∴，∴，∴． 在和中，，∴，∴． ∵，∴．故答案为：． 1．（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图，在中，，，点是的中点，过点作交于点E，，则的长度为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【详解】解答∶连接AE，如图∶ 在中， ， 点是的中点，，是线段的垂直平分线， 在中，，， 在中，，，故选∶B 2．（24-25上·辽宁大连·八年级统考阶段练习）如图，中，，，、的中垂线、分别交、、于、、、．若，则的长度是(     ) A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【详解】解：连接，， 中，，，． 是的垂直平分线，，，，，即． 是的垂直平分线，，，， 在中，，，即．故选：D． 3．（2025·山东济宁·统考二模）如图，中，，平分，点E是的中点．若，，则的长是（    ）    A． B． C． D．7 【答案】C 【详解】解：∵，平分， ∴，∴点D为的中点， 在，由勾股定理得， ∵点E是的中点，∴是的中位线，∴，故选C． 4．（24-25上·浙江绍兴·八年级校考期中）如图，已知点在的边上，，点，在边上．若，，则的长为（    ） A． B．8 C． D．9 【答案】C 即可． 【详解】解：过点作于点，如下图， ∵，，∴，∵，∴， ∴在中，， ∴在中，．故选：C． 5．（24-25上·福建莆田·八年级校考期中）如图，在中，于点D，于点E．若点P是上一动点，连接，则的最小值是等于下列哪条线段的长（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图连接， ∵，∴是的垂直平分线，∴，∴， ∵，∴P、C、E共线时，的值最小，最小值为的长度，故选：D． 6．（24-25八年级上·天津河东·期中）如图，在中，已知，的中垂线交于D，的中垂线交于E，则的周长等于（   ）    A．11 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【详解】解：∵在中，，的中垂线交于D，的中垂线交与E， ∴,,∴的周长,故选：B． 7．（24-25上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，在中，，点在边的垂直平分线上，的周长为15，则的长为（    ）． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】解：∵点在边的垂直平分线上，∴， ∵的周长为15，∴，∴，∴， ∵，∴，故选C． 8．（24-25七年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，，为的中点，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，∴， ∵E为的中点，∴，∴，∴， ∵，∴．故选：A． 9．（24-25上·四川遂宁·八年级校考阶段练习）如图，已知中，为内一点，过点的直线分别交于点．若M在的中垂线上，在的中垂线上，则的度数为（    ） A．​ B．​ C．​ D．​ 【答案】C 【详解】解：，​， ​点​在​的中垂线上，点​在​的中垂线上， ，​，​， ​ ​ ​，故选C． 10．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）在四边形中，，的平分线与交于点，连接，恰好，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．平分 D． 【答案】B 【详解】解：延长交的延长线于点，如图 是的角平分线，， ，， ， 平分，故C选项不符合题意； 又 ，，，故A选项不符合题意； ，，故D选项不符合题意；综上，无法得出B选项；故选：B． 11．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，已知，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD的中点，连接AE并延长交BC与点F，，．则AE的长为（    ） A． B．6 C．5 D． 【答案】A 【详解】∵点E是CD的中点∴DE=CE ∵AB⊥BC，AB⊥AD ∴ADBC ∴∠ADE=∠BCE 在△AED与△FEC中∴ ∴∴ ∴在Rt△ABF中， ∴ 故选：A． 12．（24-25八年级上·上海·期中）如图，已知，平分，点E为中点，如果，，那么 ． 【答案】4 【详解】解：如图，延长交于点F， ∵，∴，∵点E为中点，∴， 又∵，∴，∴， ∵平分，∴，∴， ∴，∴， ∵，，∴．故答案为：4． 13．（24-25八年级上·福建龙岩·期中）如图，已知与相交于点，，点为中点，若，，则 ．    【答案】4 【详解】解：，，， 点为中点，， 在和中，，，， ，，故答案为：4． 14．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）如图中，为钝角，边，的垂直平分线分别交于点，．若，则 度． 【答案】 【详解】解：如图所示，连接、， 边，的垂直平分线分别交于点，， ，， ，， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 15．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，D为上一点，连接，且，则为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，作于． ，，，设， 则有：，，解得：， ，故答案为：． 16．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段练习）【问题呈现】用全等三角形研究：“筝形” 如图，在四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．请你自己画一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角、对角线有什么性质，然后用全等三角形的知识证明你的猜想． 请结合上面的内容，解决下列问题： 【概念理解】（1）如图1，在正方形网格中，是网格线交点，请在网格中画出筝形． 【性质探究】（2）小浩得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”，请你帮他将证明过程补充完整． 已知：如图2，在筝形中，，．求证：． 证明： （3）如图3，连接筝形的对角线交于点．请用文字语言写出筝形对角线的一条性质，并给出证明． 【拓展应用】（4）如图4，在中，，，点、分别是边上的动点，当四边形为筝形时，请直接写出的度数． 【答案】问题呈现：，垂直平分，平分和，证明见解析 （1）见解析（2）见解析（3）有一条对角线平分一组对角（答案不唯一），证明见解析（4）或 【详解】解：问题呈现：如图， 猜想筝形的角、对角线有的性质：，垂直平分，平分和， 证明：∵，，，∴， ∴，，， 即平分和， ∴垂直平分． 〖概念理解〗（1）如图1，四边形即为所求； 〖性质探究〗（2）如图2，连接， 在与中，，∴，∴； （3）有一条对角线平分一组对角（答案不唯一）， 证明：在与中，，∴， ∴，，即平分、． 〖拓展应用〗（4）分两种情况：①当筝形中，时，如图4-1， ∴； ②当筝形中，时，如图4-2， ∵， ∴，∴， 综上，当四边形为筝形时， 的度数为或． 17．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）如图所示，点M是线段上一点，是过点M的一条直线，连接、，过点B作交于F，且M为中点． (1)若，求的长；(2)若，，求证：． 【答案】(1)；(2)证明见解析． 【详解】（1）解：∵，∴，，∵M为中点，∴ 在和中，，∴，∴，∵，∴； （2）证明：∵，∴， ∵，∴，∴，∴，由（1）知，， 在和中，，， ，，即：． 18．（24-25八年级上·上海·期中）如图，在中，D是的中点，过D的直线交于E，交的延长线于F，且．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：过点C作交于G， ∴，D是的中点， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴． 19．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）中，，边的垂直平分线交于、于，边的垂直平分线交于、于、的垂直平分线于，求和的度数． 【答案】， 【详解】解：的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点， ，，，， ，，，， ，， 在四边形中，、， ． 20．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，中，是高，是中线，，且F是的中点． (1)求证：；(2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析(2)44 【详解】（1）解：如图，连接， ∵，且F是的中点，∴， ∵中，是高，是中线，∴， ∴，∴； （2）解：∵，∴，，∴， ∴中，， ∴的面积． 21．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)【模型呈现】如图，AD为的中线，交AD的延长线于点E，求证：． (2)【模型应用】如图，在四边形ABCD中，，E是BC中点，连接AE，DE，AE平分，求证：DE平分． (3)【拓展探索】如图，在中，，于点D，过点B作交的平分线于点E，过点E作交BC于点F，若，求证：． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析 【详解】（1）证明：∵，∴ ∵AD为的中线，∴， 在和中， ∴，∴． （2）证明：如图，过点E分别作于点F，于点G，交DC的延长线于点H． 又∵AE平分，∴，∵，∴， ∵，∴，，∴ 在和中，    ∴， ∴，∴，∴DE平分； （3）证明：如图，延长AB交FE延长线于点G，过点G作交CB的延长线于点H． ∵，AE平分，∴， ∵，，∴， ∴，∴，∴， 在和中，        ∴，∴，， 又∵，，∴， ∵，，∴， 在和中，    ∴，∴，， 在和中，        ∴， ∴，∴，即， ∵，∴． 22．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）四边形中，点为线段的中点． (1)，平分．①如图1，若，，则_______； ②如图2，若，求证：平分；(2)和不平行时，，求证：． 【答案】(1)①；②证明见解析；(2)证明见解析 【详解】（1）解：①，，，， ，，点为线段的中点，， 在和中，，， ，，， 平分，， ，， ，故答案为：； ② 如图，延长交的延长线于点，，， 在和中，，，， 平分，，，， 是的中点，平分； （2）证明：如图，延长至点，使得， 在和中，，，， ，，，，． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $