1.1.2 空间向量的数量积运算 课时同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.1.2 空间向量的数量积运算 课时同步练习 2026-2027学年高二数学同步备课系列【提升题】——原卷版 一、选择题（共8小题） 1.（2024-2025·湖南衡阳高二上期末）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（） A. B. C. D. 2.（2025-2026·湖南衡阳高二下期末）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.三棱锥P－ABC中，△PAB和△ABC都是等边三角形，AB＝2，PC＝1，D为棱AB上一点，则·的值为(　　) A.   B.1 C.   D.与D点位置有关系 4.已知向量，则（ ） A. 1 B. C. D. 5 5.在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别是棱BC，AD的中点，则·＝(　　) A.0 B.－2 C.2 D.－3 6.已知，，为原点，则与的夹角是（） A.0 B. C. D. 7.若直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，则直线所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 8.（2025-2026·湖南株洲高二下期末）在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为，且，则对角线长为（） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题） 9.已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积为零的是(　　) A.与 B.与 C.与 D.与 10.（2024-2025·甘肃高二下期中）已知是棱长为的正方体，与相交于点，则下列结论正确的是（） A. B. C. D. 11.（2025-2026·江苏南通高二上期中）下面四个结论正确的是（ ） A.空间向量，若，则 B.若空间四个点，，则三点共线 C.已知向量，若，则为钝角 D.任意向量满足 三、填空题（共3小题） 12.（2024-2025·湖南长沙高二上期末）已知向量，则在上的投影向量为                   . 13.如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是                  ． 14.（2025-2026·湖南岳阳高二上期中）已知向量与的夹角为，，，则                  ，                   四、解答题（共2小题） 15.（2025-2026·湖南长沙高二下期末）已知向量，，． (1)求； (2)若，求，的值． 16.（2025-2026·湖南岳阳高二上月考）如图，在空间四边形中，为的中点，点满足，设，，． (1) （2025-2026·湖南岳阳高二上月考）试用向量，，表示向量； (2) （2025-2026·湖南岳阳高二上月考）若，，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.2 空间向量的数量积运算 课时同步练习 2026-2027学年高二数学同步备课系列【提升题】——解析版 一、选择题（共8小题） 1.（2024-2025·湖南衡阳高二上期末）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】向量在向量上的投影向量公式为. 先计算. 再计算. 将结果代入公式，得投影向量为. 将乘以,得投影向量为. 2.（2025-2026·湖南衡阳高二下期末）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由直线方向向量与平面法向量的定义，得，充分性成立. ，必要性成立. 因此”“是”“的充分必要条件. 故选：C. 3.三棱锥P－ABC中，△PAB和△ABC都是等边三角形，AB＝2，PC＝1，D为棱AB上一点，则·的值为(　　) A.   B.1 C.   D.与D点位置有关系 【答案】A 【解析】如图所示， 取AB的中点E，连接PE，CE， ∵△PAB和△ABC都是等边三角形， ∴PE⊥AB，CE⊥AB， ∵PE∩CE＝E，PE，CE⊂平面PEC， ∴AB⊥平面PEC， ∵PC⊂平面PEC， ∴AB⊥PC，在△APC中，AP＝AC＝2，PC＝1， 由余弦定理得，cos∠APC＝＝＝， ∴·＝(＋)·＝·＋·＝·＝2×1×＝.故选A. 4.已知向量，则（ ） A. 1 B. C. D. 5 【答案】C 【解析】由空间向量模长公式可知.所以选择C. 5.在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别是棱BC，AD的中点，则·＝(　　) A.0 B.－2 C.2 D.－3 【答案】B 【解析】如图所示． 在棱长为2的正四面体ABCD中，因为E，F分别是棱BC，AD的中点，所以·＝(＋)·(＋)＝(·＋·＋·＋·)＝×(2×2×cos 120°＋2×2×cos 90°＋2×2×cos 180°＋2×2×cos 120°)＝×(－2＋0－4－2)＝－2.故选B. 6.已知，，为原点，则与的夹角是（） A.0 B. C. D. 【答案】B 【解析】由,为原点,得; 由,得, 故. ,, . 由向量夹角公式,. 因为, 所以. 由,得. 故选:B. 7.若直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，则直线所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】令两条直线夹角为 所以， 所以，所以选择B. 8.（2025-2026·湖南株洲高二下期末）在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为，且，则对角线长为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题得，，平行六面体中. 对等式两边取模平方得，展开后结合数量积定义得. 代入已知棱长和角度值化简得， 从而得. 故选：A. 二、多选题（共3小题） 9.已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积为零的是(　　) A.与 B.与 C.与 D.与 【答案】BCD 【解析】因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD，故·＝0；因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AD，又AD⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以AD⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，所以AD⊥PB，故·＝0；同理·＝0.对于A，因为PC在平面ABCD上的投影为AC，而AC不垂直于BD，故PC不垂直于BD，即·≠0.所以选BCD. 10.（2024-2025·甘肃高二下期中）已知是棱长为的正方体，与相交于点，则下列结论正确的是（） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】建立空间直角坐标系, 则. 对于选项A: 由,得,故A正确. 对于选项B: 由, 得,故B错误. 对于选项C: 由,得,故C正确. 对于选项D: 由,得,故D正确. 故选:ACD 11.（2025-2026·江苏南通高二上期中）下面四个结论正确的是（ ） A.空间向量，若，则 B.若空间四个点，，则三点共线 C.已知向量，若，则为钝角 D.任意向量满足 【答案】AB 【解析】对选项A，非零空间向量垂直， 由垂直定义得， 故A正确. 对选项B， 由，移项整理得， 即，与有公共点， 故三点共线，B正确. 对选项C， 计算得，为钝角等价于且与不共线， 由得， 由得， 解得， 故仅当且时为钝角，C错误. 对选项D，是与共线的向量，是与共线的向量，与方向不一定相同，等式不恒成立， 故D错误. 故选：AB. 三、填空题（共3小题） 12.（2024-2025·湖南长沙高二上期末）已知向量，则在上的投影向量为                   . 【答案】 【解析】由向量投影的定义可知，向量在上的投影向量为， 先计算,得， 再计算,得， 将结果代入公式，得， 因此，投影向量为. 13.如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是                  ． 【答案】90° 【解析】不妨设正三棱柱棱长为2，则＝－，＝＋，cos〈，〉＝＝＝＝0，故AB1与BM所成的角为90°. 14.（2025-2026·湖南岳阳高二上期中）已知向量与的夹角为，，，则                  ，                   【答案】2； 【解析】已知，，，则. 可得，由于. ，，代入得， 所以. 答案为. 四、解答题（共2小题） 15.（2025-2026·湖南长沙高二下期末）已知向量，，． (1)求； (2)若，求，的值． 【答案】解：(1)由向量夹角余弦公式得， 代入，的坐标计算得. (2)因为， 故存在实数满足， 即， 由此得方程组， 解得. 16.（2025-2026·湖南岳阳高二上月考）如图，在空间四边形中，为的中点，点满足，设，，． (1) （2025-2026·湖南岳阳高二上月考）试用向量，，表示向量； (2) （2025-2026·湖南岳阳高二上月考）若，，求的值． 【答案】(1) 解：为中点，得， 由得， 整理得， 代入化简得. (2) 解：由题意得，展开点积得 . 由，，得，， 代入计算得. 学科网（北京）股份有限公司 $