1.1.2 空间向量的数量积运算同步练（能力提升）—2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.1.2空间向量的数量积运算 1.a,b,c是空间向量，其中a⊥b,c与a,b的夹角都是60°，且aF1,b=2,|c卡3，则 la+b-cF() A.5 B.V5 C.4 D.2 2.己知MN是棱长为2的正方体ABCD-ABCD的内切球的一条直径，则AM.AN=() A.-1 B.1 C.-2 D.2 3.如图，棱长为1的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则BACE=() 5 √5 A.4 B.4 C.4 D 4 4.关于空间向量a,b,c,下列运算错误的是() A.ab=b.a B.(a+b).c=a.c+b.c C.(Aa).b=a(a.b) D.(a·b)e=a(b.c) 5.在正三棱锥P-ABC中，O是△ABC的中心，PA=AB=2,则P0:(PA+PB)=() 4v6 16 16W2 A.3 B.3 C.3 D.3 b 6.已知a,b是两个空间单位向量，且向量2a+b在向量b上的投影向量为3，则向量a与向 量b的夹角的余弦值为() 2W2 22 1 A.3 B.3 C.3 D.3 7.已知正四棱锥P-ABCD的所有棱长均为1，O为底面ABCD内一点，且 PO-1PA+1PB+LPC 4 4 2,则P0.PB=() 5 7 5 4 A.12 B.12 C.8 D.3 OB=3 OC 8.三棱锥O-ABC中，OA,OB,OC两两垂直， 2 3 ,则OA+OB与CA的 夹角的余弦值为() 215 5 5 √ A.15 B.5 C.6 D.2 9.(多选)正四面体ABCD的棱长为2V2,若点P满足PA+PB上2，则AP.AD() A.最小值为4-2v2 B.最大值为2+2W2 C最小值为2-2√2 D.最大值为4+2√2 10.(多选)如图，在平行六面体BCD-ABCD中，以顶点A为端点的三条棱长都是2，且 它们彼此的夹角都是60，P为AD与AD的交点，若AB=a,AD=b,A4=C,则下列结 论正确的是() D B CP=-a- b+ 2 B.AC=a+b-c cc-9 D.BD的长为2N5 11.(多选)在四面体P-ABC中，下列说法正确的是() AD-14C+24B A.若 3 3,则BC=2BD B.若9为△ABC的重心，则3PO=PA+PB+PC C.若PA·BC=0,PC·AB=0,则AC·PB=0 D.若四面体P-ABC的棱长都为a,点M,N分别为PA,BC的中点，则 9 12.如图，已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°，PA=AB=BC=6,则向量PC在BC上的投 影向量等于 13.如图，已知A,B,C是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点P为平面ABC 外一点，且〈AP,AB)=(A亚，AC)=120°，AP=4,若40=AB+AC,则10P= P 14.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD,PA=AB=2,AD=4,E 为PC的中点，则PD与BE的夹角余弦值为 15.如图，在平行六面体ABCD-ABCD中，底面4BCD是边长为1的正方形， 2BA=DA-骨，4=4. A B (1)求AC的长： (2)M,N分别为DC,CB的中点，求AC与MN的夹角余弦值， 答案以及解析 1.答案：B 解析：因为uLb,e与a,b的夹角都是60°，且a=1,Ib2,cF3, 所以ab=0, u:c=3c0s60°=2h-c=2x3x1=3 则a+b-cf=m+b+c+2ab-2a:c-2b:c=1+4+9-3-6=5,所以a+b-c=V5 2.答案：D 解析：不妨设该正方体内切球的球心为O,由题意得球O的半径为1， |40=V2+2+2 2 方法-：AM·A=(40+0M)(40+0=A0°+A0.(OM+O+OM.ON=3+0-1=2 方法二： 3.答案：A 解析：因为CE=CA+AE,所以BACE=BA(CA+AE)=BACA+BAAE,又BHCA1, ,C-骨，，孤- 12π1 B4.CE=1x1xcos +1x-xcos 3,所以 3 2 34.故选A. 4.答案：D 解析：根据空间向量数量积的运算律可知ab=ba,(a+b)c=ac+bc,(2a)b=(ab) 均成立，即A,B,C正确；(a~b)c为与c共线的向量，a(bc)为与a共线的向量，所以 (ab)c与a(bC)不一定相等，故D错误.故选D. 5.答案：C 解析：方法一：取AB的中点M,连接PM,OM,则PA+PB=2PM,PO⊥OM,所以PM在 Po上的投影为PO,所以P0.(PA+PB)=2PO·PM=2PO连接OA,则PO⊥OA,所以 2 P02=PA-0A2=22 2W3 8 3 3 Po.(pA+PE)=2x8-_16 ,所 33 PAPB月PC=2,PA.PB=PB.PC=PA.PC=2×2×cos60°=2.因为O 方法二：由已知得 PO=-(P4+PB+PC) 为△ABC的中心，所以 3 所以 PO.(P4+PB)=(PA+PB+PC)(P4+PB) P+2m-P丽+P丽+Pm-Pc+P历P风)吉x44+4+2+2)=9 6.答案：D -b 解析：：a,b是两个单位向量，a曰b=1向量2a+b在向量b上的投影向量为3”， :2a+b)-b.b_1 =q+qz=q(g+z),q|=9(9+z)·。2 1b11b13, ,即 1 cos(a,.0s.6) 1 2ab+1= a.b=- 3,即 3, 3, 3故选D. 7.答案：C 解析：如图所示，由正四棱锥P-ABCD的所有棱长均为1，可知 PA,PB)=(PB,PC)= 3， 且PAHPBHPCH1,所以 PA.PB-PC.PB=cos-1 32,PBPB=1,所以 而西-网++风列西-区西+网+号西-+ 0 B 8.答案：C 解析：不妨设OA=1,则OB=V2,OC=3.因为OA,OB,OC两两垂直，所以 (04+0B).CA=(04+0B)(0A-0C)=04-04.0C+0B.04-OB.OC=04P=1. 10A+OB(04+-OB2=VOi+OB+20A.0B=V5,在Rt△A0C中，1CA (OA+0B):CA_15 CA=VP+(W3)=2,所以c0sOA+0B,CAO1+0 CAI3x26 9.答案：BC PO=1PA+IPB 解析：设AB的中点为O,则2 +2PB,即2 POHPA+-PB,PB+PA=2,所 以P0=1,即点P落在以O为球心，以1为半径的球上.因为AP=A0+OP,所以 AP·AD=(A0+OP)·AD=A0·AD+OPAD.由正四面体ABCD的棱长为2V2,得A0=V2, 0-011w60-5x25×兮2设0m0=8,则 所以 AP.AD=2+|OP川AD1cos0=2+2V2c0s0,又-1≤cos0≤1，所以 2-2V2≤2+22c0s0≤2+2V2,即AP.AD的最大值为2+2V2,最小值为2-2W2 10.答案：AC 架新。0---0网：0-顶-号0}-，小 正确：AC=AB+BC+CC=B+D+AM=a+b+c,B错误：a2=b=2=4, ab=b-c=c:a=2×2×cos60°=2，DC=a,|DC=2,AC=a+b+c, AC=Va+b+c)2=Va2+b+c2+2a-b+2b-c+2a~c=V4+4+4+4+4+4=2N6,DC. AC=a.(a+b+c)=a2+a.b+a.c=4+2+2=8,..cos(DC,AC)= DC·AC IDCIA 72x269c 86 正确 :BD=-a+b+c,BD=(-a+b+c)2=a2+b2+c2-2a.b+2b.c-2c.a =√4+4+4-4+4-4=2V2,:.D错误.故选AC 11.答案：BC 解析：对于A: ·D= 31 3 ,:.3AD=AC+24B,:2AD-24B=AC-AD, 2BD=DC,∴3BD=BD+DC,即BC=3BD,故A错误；对于B:若Q为△ABC的重心， 则QA+QB+QC=0,3PD=3P0+QA+QB+QC=PA+PB+PC,故B正确：对于C: .PA.BC=0,PC.AB=0,PA.BC+PC.AB=PA.BC+PC.(AC-BC)=PA.BC+ PC.AC-PC.BC=(PA-PC).BC +PC,AC=CABC+PC.AC=AC.CB+PC·AC=AC(CB+PC)=AC·PB=0,故C正确； 对于D: MN=PN-PM-(PB+PC)-PA-(PB+PC-PA)MN PBPC-Pl PB+PC-PAI=P4+PB+PC2-2PA.PB-2PA.PC+2PB.PC -yo+o+a-2-qaxJ-2-a-uxj+2-a-a 2=2a,mk2。 a “,故D错误故选BC. 12.答案：2 解析：PA⊥平面ABC,.PAL BC,.PC·BC=(PA+AB+BCBC -PA-BC+BC+BC.BC0+6x6x+6=54 2 ,“向量PC在BC上的投影向量为 PC·BC.BC-4BC=2BC BCBC 36 2 3BC .故答案为 13.答案：7 解析：由题图可知AB2,ACF3,且AB⊥AC,则AB·AC=0.由题意可得 AP,AB=4×2×c0s120°=-4，AP·AC=4×3×c0s120°=-6」 因为0P=亚-A0=D-瓜-AC,所以0P-(P-B-AC =AP2+AB+AC2-2AB.AP-2AP.AC+2AB.AC=16+4+9+8+12+0=49,所以0P卡7 V30 14.答案：10 解析：由于PA⊥底面ABCD,AD,ABC平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD,而底面 ABCD是矩形，所以AB⊥AD,PD=AD-AP,1PD=VAD-A=V6+4=25, E-n+0-而-丽+0，所以配+2P-0+0-号4+46=6 而.正-而-(D-丽+D分×6-=6所以PD与正的夹角杂弦值为 6 s30 V30 25×√610故答案为10. 15.答案：(1)V26 (2)0 解折：(1)|BHAD1,网=4，且.D=0,B.A4=AD.A4=1x4×c0s60°=2 因为AC=AB+AD+AA, AC-(4B+AD+4)-ABP+ADP++2(B.AD+B+AD4) 所以 =1+1+16+2×(0+2+2)=26 所以AC=V26 瓜=丽--丽++号而而++号-而， (2)因为 MN.AC=(4B-AD)(4B+D+) =0B+BD+丽4-孤D--D=0+0+2-0-1-2)=0 所以M1AC故4C与M不的夹角余弦值为0，