精品解析：山东德州市同济中学等校2026-2027学年上学期九年级数学10月份素养检测

九年级数学10月份素养检测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（共10小题，每题4分） 1. 下列函数中，一定是关于的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程，以下变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于抛物线，下列说法正确的是( ) A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 可由抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度得到 4. 一元二次方程根的情况为（ ） A. 有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 5. 已知三个二次函数的图象如图所示，那么、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 某区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2022年投入3000万元，预计2024年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 7. 抛物线过三点，则大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 已知实数，满足，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 设关于的方程，有两个不相等的实数根、，且，那么实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 二、填空题（共5小题，每题4分） 11. 一元二次方程的一个解为，则的值为_____． 12. 天衢新区各中学要进行篮球比赛，规定每两个中学之间只比一场，最终比赛场次为36场，则该地区共有________个中学． 13. 已知m，n是方程的两个根，则的值为______． 14. 已知二次函数的图象与x轴的两个交点之间的距离为2，则的值为________． 15. 已知二次函数及直线，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是________． 三、解答题（共7小题，共86分） 16. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） 17. 已知抛物线． （1）将化成的形式； （2）写出抛物线的开口方向和增减性． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根，，且，求值． 19. 已知二次函数（，，是常数，且）的函数值与自变量的部分对应值如表： … 0 2 3 … … 5 0 … （1）该函数图象的对称轴为直线 ； （2）关于的一元二次方程的根是 ； （3）关于的一元二次不等式的解集是 ； （4）若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有实数根，请直接写出的取值范围 ． 20. 某公司生产一种产品供应市场，每件产品的制造成本为元．市场调研发现，每月销售量（单位：万件）与销售单价（单位：元）之间的关系满足． （1）写出公司每月获得的利润 （万元）关于销售单价的函数解析式； （2）当销售单价为多少时，公司每月获得的利润为万元？ （3）若公司每月的制造成本不超过万元，当销售单价为多少时，公司每月获得的利润最大？最大利润为多少？ 21. 综合实践与探究——新能源汽车刹车性能研究 【设计实验方案】 某探究小组围绕新能源汽车水平路面刹车过程中，速度、路程随刹车时间的变化规律开展探究． 设计实验：让新能源汽车在平直水平路面匀速行驶至点时启动刹车，从汽车到达点开始，用测速仪、计时器测量并记录汽车刹车后的运动时间、瞬时速度、刹车路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 瞬时速度 12 10 8 6 4 2 … 刹车路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 （1）【猜想和验证】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想： ①v与t之间的关系可以近似看作 函数表示．（填：“一次”或“二次”），v与t的函数关系式为 ． ②y与t之间的关系可以近似看作 函数表示．（填：“一次”或“二次”），y与t之间的函数关系式为 ． （2）【拓展与运用】 ①若某段水平测试路面的长度为，通过计算判断这辆新能源汽车在刹车过程中是否会超出该路面范围？ ②当新能源汽车到达水平路面A点时，前方B点处有另一辆电动车以的速度在匀速向前直线运动，若新能源汽车不能追尾电动车，那么AB的最小值是多少？ 22. 在平面直角坐标系中，已知抛物线 （为常数）， （1）若抛物线经过点，求该抛物线的解析式． （2）将抛物线向上平移个单位长度，得到的新抛物线的顶点纵坐标为，求的最大值． （3）当 时，该二次函数的最小值为，求的值． 23. 某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现配方法可以求二次三项式的最值：他们对最值问题产生了浓厚兴趣，决定进行深入的研究．下面是该学习小组收集的素材，汇总如下，请根据素材帮助他完成相应任务： 关于最值问题的探究 素材1 “主元法”是指在有多个字母的代数式或方程中，选取其中一个字母为主元（未知数），将其它字母看成是常数，这样可以把一些陌生的代数式或方程转化为我们熟悉的代数式或方程．例如：当时，方程可以看作关于的一元二次方程．但若把看成“主元”，看作常数，则原方程可化为：，这就是一个关于的一元一次方程了． 素材2 对于一个关于的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的最值外，还有其他的方法，比如：令，然后移项可得：再利用根的判别式来确定的取值范围，这一方法称为判别式法． 问题解决 任务1 感受新知：用判别式法求的最小值． 任务2 探索新知：若实数、满足，求的最大值．对于这一问题，该小组的同学有大致的思路，请你帮助他们完成具体计算：首先令，则，将代入原式得_____．若将新得到的等式看作关于字母的一元二次方程，利用判别式可得的最大值为_____． 任务3 应用新知：如图，在平行四边形中，，，记，，当最大时，求此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学10月份素养检测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（共10小题，每题4分） 1. 下列函数中，一定是关于的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的识别，需根据二次函数的定义：形如（为常数且）的函数，逐一分析各选项判断． 【详解】解：A．当时，，是常数函数，不是二次函数； B．满足，符合二次函数的定义，是二次函数； C．中的次数为1，是一次函数，不是二次函数； D．是反比例函数，不是二次函数； 故选：B． 2. 用配方法解一元二次方程，以下变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，将左边整理为完全平方式即可得到正确结果． 【详解】解：∵ ， 移项，得 ， ∵ 一次项系数为，其一半的平方为， ∴ 等式两边同时加，得 ， 整理得 ． 3. 关于抛物线，下列说法正确的是( ) A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 可由抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度得到 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质及平移规律，关键是掌握抛物线()的相关性质：的正负决定开口方向，对称轴为直线，顶点坐标为；平移遵循“左加右减，上加下减”的规律． 【详解】解：∵抛物线中， ∴抛物线开口向下，A选项错误； 抛物线的对称轴为直线，此抛物线中， ∴对称轴是直线，B选项错误； ∵抛物线的顶点坐标为，此抛物线中，， ∴顶点坐标是，C选项正确； 抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度得到的抛物线为，与不符，D选项错误； 故选：C． 4. 一元二次方程根的情况为（ ） A. 有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可得出一元二次方程有两个相等的实数根． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴一元二次方程有两个相等的实数根． 5. 已知三个二次函数的图象如图所示，那么、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；越大，图象的开口越小． 【详解】解：函数的图象开口向上，函数和的图象开口向下，且函数的开口更大， ，，，， ． 6. 某区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2022年投入3000万元，预计2024年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据增长率问题的公式列式即可．增长率问题的公式：，其中a是增长前的量，b是增长后的量，x是增长率，n是增长的次数． 【详解】解：教育经费的年平均增长率为x， 根据题意，得：． 7. 抛物线过三点，则大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：在二次函数中， 对称轴为直线，开口向上， 在图象上的三点， ∵， ∴点离对称轴的距离最远，点离对称轴的距离最近， ∴． 8. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与y轴的位置关系，即可得出a、b的正负性，由此即可得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论． 【详解】A. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误； B. ∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧， ∴a>0，b<0， ∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，故本选项错误； C. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项正确； D. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误． 故选C． 【点睛】本题主要考查二次函数图象与一次函数图象的综合，掌握二次函数与一次函数系数与图象的关系，是解题的关键． 9. 已知实数，满足，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】将变形为，根据二次函数图象的性质即可判断的最大值． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴的最大值为， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的顶点式和二次函数图象的性质，熟练应用二次函数图象的性质是解答本题的关键． 10. 设关于的方程，有两个不相等的实数根、，且，那么实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识，难度较大﹒ 根据关于的方程有两个不相等的实数根得到或﹒根据二次函数与方程关系得到关于的方程可以看作求二次函数与x轴交点坐标，进而得到当时，，当时，﹒当时，根据二次函数开口向上，，得到，求出，不合题意；当时，根据二次函数开口向下，，得到，求出，即可得到﹒ 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴，并且， ∴， 解方程得， ∵， ∴当时，， ∴或﹒ ∵关于的方程可以看作求二次函数与x轴交点坐标， ∴当时，， 当时，﹒ 当时，二次函数开口向上， ∵， ∴， 解不等式组得，不合题意； 当时，二次函数开口向下， ∵， ∴， 解不等式组得， 又∵， ∴﹒ 故选：D﹒ 二、填空题（共5小题，每题4分） 11. 一元二次方程的一个解为，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】把代入原一元二次方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个解， ∴将代入方程， 得， 整理得， 解得． 12. 天衢新区各中学要进行篮球比赛，规定每两个中学之间只比一场，最终比赛场次为36场，则该地区共有________个中学． 【答案】9 【解析】 【详解】解：设该地区共有个中学， 根据题意，可得， 整理可得， 解得，（舍去）， 所以，该地区共有9个中学． 13. 已知m，n是方程的两个根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程解的定义得到，根据一元二次方程根与系数的关系得到，再由进行求解即可． 【详解】解：∵m，n是方程的两个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，一元二次方程根与系数的关系，灵活运用所学知识是解题的关键． 14. 已知二次函数的图象与x轴的两个交点之间的距离为2，则的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】设出二次函数图象与轴的两交点横坐标，，根据根与系数的关系可得，，由题意可知二次函数与轴两交点的距离，进而求解即可． 【详解】解：设二次函数图象与轴两交点的横坐标分别为，， 则，为方程的两个解， ∴，， 则：二次函数与轴两交点的距离， 即：， 解得：． 15. 已知二次函数及直线，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出对应的图象，先解方程得，，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，然后求出直线经过该抛物线的顶点C时的坐标，从而得到m的值，进而得出m的取值范围． 【详解】解：如图，在x轴下方作直线，将直线向下平移到恰在点C处相切，此时点C为翻折抛物线的顶点，则直线在x轴与切线的两条直线之间，两个图象有4个交点， 令，解得：或2，即，， ∴翻折抛物线的表达式为：， ∴顶点C的坐标为， 当直线与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是． 三、解答题（共7小题，共86分） 16. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【小问1详解】 解：整理得， 因式分解得， 则或， 解得，； 【小问2详解】 解：，，， ， ， 解得，． 17. 已知抛物线． （1）将化成的形式； （2）写出抛物线的开口方向和增减性． 【答案】（1） （2）开口方向向下；当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小 【解析】 【分析】（1）由配方法恒等变形即可； （2）由抛物线的图象与性质求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：由可知，、对称轴为， 抛物线的开口方向向下； 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根，，且，求值． 【答案】（1）证明： 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）的值为 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程实数根与的关系及实数根和方程的系数关系． （1）当时，方程有两个不相等的实数根； （2）当方程为，，，根据其关系可列方程计算值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据题意得， ， ， 解得， 的值为． 19. 已知二次函数（，，是常数，且）的函数值与自变量的部分对应值如表： … 0 2 3 … … 5 0 … （1）该函数图象的对称轴为直线 ； （2）关于的一元二次方程的根是 ； （3）关于的一元二次不等式的解集是 ； （4）若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有实数根，请直接写出的取值范围 ． 【答案】（1） （2）， （3）或 （4） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称性进行求对称轴； （2）由表格数据可得方程的一个根，再根据抛物线的对称性求出另一个根； （3）根据表格数据确定抛物线的开口方向，然后借助抛物线求不等式解集； （4）求出临界点的函数值，然后利用待定系数法求出函数解析式，求出最低点纵坐标，利用数形结合的思想即可求解． 【小问1详解】 解：由表格数据可得， 当时，；当时，，根据抛物线的对称性可得， 该抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：由表格数据可得， 当时，， ∴关于的一元二次方程的一个根是， 由抛物线的对称轴，得， 解得， ∴关于的一元二次方程的根是，； 【小问3详解】 解：由表格数据可得，该抛物线开口向上， 当时，， 由抛物线的对称轴，得， 解得， ∴当时，， ∴关于的一元二次不等式的解集为或； 【小问4详解】 解：由（2）可知，当时，； 由（3）可知，当时，， 将代入得， ， 解得， ∴， 当时，， ∴若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有实数根，则直线与抛物线有交点， ∴． 20. 某公司生产一种产品供应市场，每件产品的制造成本为元．市场调研发现，每月销售量（单位：万件）与销售单价（单位：元）之间的关系满足． （1）写出公司每月获得的利润 （万元）关于销售单价的函数解析式； （2）当销售单价为多少时，公司每月获得的利润为万元？ （3）若公司每月的制造成本不超过万元，当销售单价为多少时，公司每月获得的利润最大？最大利润为多少？ 【答案】（1），其中 （2）或 （3）当销售单价为元时，获得最大利润，最大利润为万元 【解析】 【分析】（1）根据题意求出单件利润，进而求出总利润，同时结合实际意义求出销售单价范围． （2）由（1）可知，根据题意可知，解方程即可． （3）根据题意求出总的制造成本，从而求出，然后在此范围内求出最大值即可． 【小问1详解】 解：根据题意，单件利润为元，每月销售量为万件， 总利润， 整理得， 结合实际意义销售单价大于制造成本为元，即 且每月销售量，即解得， ∴函数解析式，其中． 【小问2详解】 解：根据题意，公司每月获得的利润为万元， ∴，即， 整理得， ， 或， 解得，， 由（1）可知，符合题意， ∴当销售价格为元或元时，公司每月获得的利润为万元． 【小问3详解】 解：每件产品的制造成本为元，每月销售量， ∴每月制造成本为， ∵公司每月的制造成本不超过万元， ∴， 解得， 由（1）可知， ∴， ， ， 二次函数开口向下，对称轴， 当范围内，随着增大而减小， 当时，该范围在对称轴右侧，随着增大而减小， ∴当时，取最大值， ， 答：当销售单价为元时，公司每月获得的利润最大，最大利润为万元． 21. 综合实践与探究——新能源汽车刹车性能研究 【设计实验方案】 某探究小组围绕新能源汽车水平路面刹车过程中，速度、路程随刹车时间的变化规律开展探究． 设计实验：让新能源汽车在平直水平路面匀速行驶至点时启动刹车，从汽车到达点开始，用测速仪、计时器测量并记录汽车刹车后的运动时间、瞬时速度、刹车路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 瞬时速度 12 10 8 6 4 2 … 刹车路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 （1）【猜想和验证】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想： ①v与t之间的关系可以近似看作 函数表示．（填：“一次”或“二次”），v与t的函数关系式为 ． ②y与t之间的关系可以近似看作 函数表示．（填：“一次”或“二次”），y与t之间的函数关系式为 ． （2）【拓展与运用】 ①若某段水平测试路面的长度为，通过计算判断这辆新能源汽车在刹车过程中是否会超出该路面范围？ ②当新能源汽车到达水平路面A点时，前方B点处有另一辆电动车以的速度在匀速向前直线运动，若新能源汽车不能追尾电动车，那么AB的最小值是多少？ 【答案】（1） ①一次 ，②二次， （2）①不会超出测试路面范围② 【解析】 【分析】（1）①观察图象可知，随的变化而均匀变化，所以是一次函数，再用待定系数法设，代入和，求函数表达式即可； ②观察图象可知，随的变化而变化，但不是均匀变化，近似于二次函数．再用待定系数法设二次函数，求函数表达式即可； （2）①汽车停止时，即，解得时间值，把时间值代入，再将求出的值与测试路面的长度为进行比较即可； ②两车速度相等时，是刚好不追尾的临界时刻，令，即，解得，再回代分别算出电动车行驶路程和新能源汽车行驶路程，它们的差值即为AB的最小值． 【小问1详解】 解：平面直角坐标系中描点、连线、作图略． ①观察图象可知，随的变化而均匀变化，所以是一次函数． 设，代入和得 ，解得， ∴； ②观察图象可知，随的变化而变化，但不是均匀变化，近似于二次函数． 设二次函数，代入和得 ，解得， ∴； 【小问2详解】 ①汽车停止时，即，解得， 把代入，得， 即刹车总距离， ∴不会超出测试路面范围； ②电动车的速度为 ，电动车的行驶路程为：， 新能源汽车速度为， ∵两车速度相等时，是刚好不追尾的临界时刻， ∴令，即， 解得， 此时电动车行驶路程为， 新能源汽车行驶路程为， ∴AB的最小值为：． 22. 在平面直角坐标系中，已知抛物线 （为常数）， （1）若抛物线经过点，求该抛物线的解析式． （2）将抛物线向上平移个单位长度，得到的新抛物线的顶点纵坐标为，求的最大值． （3）当 时，该二次函数的最小值为，求的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）把点代入，即可求解； （2）根据平移的性质可得新抛物线的解析式，从而得到新抛物线的顶点纵坐标为，再根据二次函数的性质解答即可； （3）根据二次函数的性质，分三种情况解答即可． 【小问1详解】 解：把点代入得： ， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴将抛物线向上平移个单位长度，得到的新抛物线的解析式为， ∴新抛物线的顶点纵坐标为， ∵新抛物线的顶点纵坐标为， ∴， ∵， ∴当时，n取得最大值，最大值为； 【小问3详解】 解：∵，， ∴当时，二次函数取得最小值，最小值为，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， 当，即时，二次函数的最小值为， 此时， 解得：或2，均不符合题意； 当，即时，y随x的增大而增大，则有 当时，二次函数取得最小值，最小值为， 此时， 解得：； 当，即时，y随x的增大而减小，则有 当时，二次函数取得最小值，最小值为， 此时， 解得：； 综上所述，m的值为或． 23. 某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现配方法可以求二次三项式的最值：他们对最值问题产生了浓厚兴趣，决定进行深入的研究．下面是该学习小组收集的素材，汇总如下，请根据素材帮助他完成相应任务： 关于最值问题的探究 素材1 “主元法”是指在有多个字母的代数式或方程中，选取其中一个字母为主元（未知数），将其它字母看成是常数，这样可以把一些陌生的代数式或方程转化为我们熟悉的代数式或方程．例如：当时，方程可以看作关于的一元二次方程．但若把看成“主元”，看作常数，则原方程可化为：，这就是一个关于的一元一次方程了． 素材2 对于一个关于的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的最值外，还有其他的方法，比如：令，然后移项可得：再利用根的判别式来确定的取值范围，这一方法称为判别式法． 问题解决 任务1 感受新知：用判别式法求的最小值． 任务2 探索新知：若实数、满足，求的最大值．对于这一问题，该小组的同学有大致的思路，请你帮助他们完成具体计算：首先令，则，将代入原式得_____．若将新得到的等式看作关于字母的一元二次方程，利用判别式可得的最大值为_____． 任务3 应用新知：如图，在平行四边形中，，，记，，当最大时，求此时的值． 【答案】任务1：；任务2：，；任务3：． 【解析】 【分析】任务1：令，将其看作关于x的一元二次方程，利用判别式列出不等式求解即可； 任务2：令，将代入，将其看作关于字母的一元二次方程，利用判别式求的k得范围，即可确定的最大值； 任务3：过点B作，根据题意可得，，，利用勾股定理得，令，则有，将其看成关于a的一元二次方程，利用判别式求得y得范围，可知最大值，则有，结合代入消元法求解即可． 【详解】任务1： 解：根据素材中的判别式法，令．整理得． 关于x的一元二次方程，， 解得：．故y的最小值为． 任务2： 解：∵， 令，则． 将代入，得． 把看作是关于x的一元二次方程，则， 解得 则 的最大值为． 任务3： 如图，过点B作，点E为垂足． 根据题意，，，，． 在，， 在中， 即 整理得，， 令，则，代入上式得到一个关于b的一元二次方程：． 解不等式得，则k的最大值为26，即的最大值为26． 把代入得． 解方程得，， 故当最大时，． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的判别式、解一元一次不等式、勾股定理、含度角的直角三角形以及解一元二次方程，锐角三角函数的应用，解题的关键是理解题目给定的求解方式，并利用解不等式和解方程的思想进行作答． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $