精品解析：山东聊城市东昌府区东昌教育集团2026-2027学年第一学期九年级数学学情自测试题

2026——2027学年第一学期第一次巩固练习九年级数学试题 时间：120分钟 分值：120分 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 3. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 4. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若，则的面积是（ ） A. B. C. 4 D. 5. 如图，中，、两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍，设点的横坐标是（），则点的对应点的横坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 7. 在中，，设，，所对的边分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 2024年8月2日，第八届广西万村篮球赛暨广西社区运动会县级赛在柳州市鱼峰区白沙镇举行开赛仪式，据了解，本次鱼峰区比赛采用单循环制（每两支球队之间都进行一场比赛），如果比赛共进行了78场，则一共有多少支球队参加比赛？设一共有x支球队参加比赛，根据题意可列方程是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为时，标准视力表中最大的“E”字高度为，当测试距离为时，最大的“E”字高度为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，按如下步骤作图： ①在和上分别截取，，使，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点；②分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，交于点．根据以上作图，若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11. 在中，，，，则___________． 12. 若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为_____． 13. 若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则的值为 _____． 14. 2026年高端新材料产业加速国产替代，某精密制造企业利用数控加工技术，将航空航天用高性能碳纤维复合材料的三角形余料进行二次加工，打造适配低空经济装备的精密矩形配件．如图，该三角形余料边，高，现在要把它加工成长与宽的比为的矩形零件，要求一条长边在上，其余两个顶点分别在，上，则矩形的周长为_____． 15. 如图，在矩形中，，，点E在边上，且，连接，过点C作于点F，交于点P，交于点Q，则的长为_________． 16. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，△ADE的顶点D在BC上运动，且∠DAE＝90°，∠ADE＝∠B，F为线段DE的中点，连接CF，在点D运动过程中，线段CF长的最小值为_____． 三．解答题（共7小题，共72分） 17. 解方程 （1）．（用公式法） （2）．（用因式分解法） 18. 已知，在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为， ，． 与 是以点P为位似中心的位似图形． （1）直接写出点P的坐标； （2）以点O为位似中心，在y轴左侧画出的位似图形，使与相似比为； （3）若点为内一点，则点M在内的对应点的坐标为___________． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）在第（1）问的条件下，若，是一元二次方程的两个实数根，当时，求的值． 20. 为响应绿色环保、居家便捷的生活理念，家居清洁类器材需求持续增长．某电商店铺专门经营某品牌扫地机器人专用边刷套装，近期该产品销量呈稳步上升趋势．店铺统计了该款边刷套装的销售情况：月份售出套，月份售出套． （1）若月增长率相同，求该品牌边刷套装两个月销售量的月均增长率； （2）该品牌边刷套装每套进货价为元．调查发现，当销售价为元时，月均销售量为套；而当销售价每上涨元时，月均销售量将减少套．为使月均销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌边刷套装的销售价应定为多少元？ 21. 如图，，动点，分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点从点出发，沿边一直移到点为止，点从点出发沿边一直运动到点为止（点到达点后，点继续运动） （1）请直接用含的代数式表示的长和的长，并写出的取值范围； （2）当等于何值时，与相似？ 22. 如图，在菱形中，点E、F分别在上，连接，且，延长交于点G． （1）若，求证：； （2）连接，交于点H，若，，求的长． 23. 某班数学课题学校小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程，请你按要求完成相应的证明和计算． 【初步发现】 （1）他们初步研究发现，如图1，在矩形中，时，如果交于点交于点，那么______（填“”、“”或“”）． 【深入探究】 （2）如图2，在矩形中，分别交于点分别交于点．求证：． 【尝试应用】 （3）如图3，在矩形中，在满足上面（1）中的条件下，点分别在边上，，若，求的值． 【联系拓展】 （4）如图4，若，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026——2027学年第一学期第一次巩固练习九年级数学试题 时间：120分钟 分值：120分 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2次的整式方程叫做一元二次方程”是解题的关键． 【详解】解：A、是一元二次方程，故此选项符合题意； B、不是整式方程，故此选项不符合题意； C、当时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 故选：A． 2. 如图，在中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理． 根据相似三角形的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A.该选项两个三角形不相似，符合题意； B.根据两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似，得该选项两个三角形相似，不符合题意； C.根据两个角相等的两个三角形相似，得该选项两个三角形相似，不符合题意； D. 根据两个角相等的两个三角形相似，得该选项两个三角形相似，不符合题意； 故选：A． 3. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】结合一元二次方程的定义和根的判别式求解，一元二次方程要求二次项系数不为0，方程有实数根要求判别式，联立不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴二次项系数，得， ∵方程有实数根， ∴根的判别式，即 解得， 综上，k的取值范围是且． 4. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若，则的面积是（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由图可得，，，， ∵， ∴， 即， ∴， 故选：． 5. 如图，中，、两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍，设点的横坐标是（），则点的对应点的横坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由位似图形的性质知、、三点共线，且；再由两个三角形分居位似中心的两侧，确定点在点的左侧，用点的横坐标表示点的横坐标． 【详解】解：∵以点为位似中心作的位似图形，且把的边长放大到原来的倍， ∴、、三点共线，且， ∵点、都在轴的上方，在轴的下方，点在轴上， ∴点与点分居位似中心的两侧， ∴点在点的左侧，且点与点的水平距离是点与点的水平距离的倍， ∵点的横坐标为（），点的横坐标为， ∴点与点的水平距离为， ∴点的横坐标为， ∴点的横坐标是． 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根据判别式来判断即可，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根． 【详解】解：∵一元二次方程， ， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 7. 在中，，设，，所对的边分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算，解题的关键在于正确掌握正弦、余弦、正切的定义．根据题意画出草图，结合正弦、余弦、正切的定义逐项判断，即可解题． 【详解】解：由题意，可画图如下： A、，选项结论错误，不符合题意； B、，选项结论错误，不符合题意； C、，选项结论正确，符合题意； D、，选项结论错误，不符合题意； 故选：C． 8. 2024年8月2日，第八届广西万村篮球赛暨广西社区运动会县级赛在柳州市鱼峰区白沙镇举行开赛仪式，据了解，本次鱼峰区比赛采用单循环制（每两支球队之间都进行一场比赛），如果比赛共进行了78场，则一共有多少支球队参加比赛？设一共有x支球队参加比赛，根据题意可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据比赛采用单循环制（每两支球队之间都进行一场比赛），比赛共进行了78场，列出方程即可． 【详解】解：设一共有x支球队参加比赛，由题意，得：； 故选D． 9. 如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为时，标准视力表中最大的“E”字高度为，当测试距离为时，最大的“E”字高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解．根据条件可得，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：由题意可得：，，， ， ， 当测试距离为时，最大的“E”字高度为， ， ， 解得：， ∴当测试距离为时，最大的“E”字高度为； 故选：C． 10. 如图，在中，按如下步骤作图： ①在和上分别截取，，使，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点；②分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，交于点．根据以上作图，若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由作图方法可知平分，垂直平分，可证明，推出，证明，得到，据此求出，再求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， 由作图方法可知平分，垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 二．填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11. 在中，，，，则___________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据正弦的概念，即可解答． 【详解】解：，， ， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了已知正弦值求边长，熟知概念是解题的关键． 12. 若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：把代入方程，得， 解得. 13. 若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则的值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意可以把a、b看做是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系得到a+b=4，ab=3，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0， ∴可以把a、b看做是一元二次方程的两个实数根， ∴a+b=4，ab=3， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的求值，一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 14. 2026年高端新材料产业加速国产替代，某精密制造企业利用数控加工技术，将航空航天用高性能碳纤维复合材料的三角形余料进行二次加工，打造适配低空经济装备的精密矩形配件．如图，该三角形余料边，高，现在要把它加工成长与宽的比为的矩形零件，要求一条长边在上，其余两个顶点分别在，上，则矩形的周长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出，进而得出，的长，即可得出答案． 【详解】解：矩形中，，， ∴， ， ， ∵， ， ， ∵矩形零件的长与宽的比为， ∴设，，则，， ， 解得：， ，， 矩形的周长为：． 15. 如图，在矩形中，，，点E在边上，且，连接，过点C作于点F，交于点P，交于点Q，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质证明和，根据相似三角形的性质列出比例式，求解即可． 【详解】∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴． 16. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，△ADE的顶点D在BC上运动，且∠DAE＝90°，∠ADE＝∠B，F为线段DE的中点，连接CF，在点D运动过程中，线段CF长的最小值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】连接CE，利用相似进行转化先得出∠DCE=90°，F是DE的中点，可得CF=DE，再根据当AD⊥BC时，AD最短，此时DE最短，根据直角三角形的面积以及相似三角形的性质，求得DE的最小值，即可得出CF的最小值． 【详解】解：连接CE，如图所示： BC＝＝＝5， ∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ADE＝∠B， ∴△ABC∽△ADE， ∴＝，∠ACD＝∠AEG， ∵∠AGE＝∠DGC， ∴△AGE∽△DGC， ∴＝， ∵∠AGD＝∠EGC， ∴△AGD∽△EGC， ∴∠ADG＝∠ECG， ∵Rt△ADE中，∠ADG+∠AEG＝90°， ∴∠ECG+∠ACD＝90°，即∠DCE＝90°， ∵F是DE的中点， ∴CF＝DE， ∵△ABC∽△ADE， ∴当AD⊥BC时，AD最短，此时DE最短， 当AD⊥BC时，△ABC的面积＝AD•BC＝AB•AC， ∴AD＝＝＝， ∵＝，即＝， 解得：DE＝4， ∴CF＝×4＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上中线的性质、三角形面积的计算等知识，解决问题的关键是利用垂线段最短得到线段的最小值． 三．解答题（共7小题，共72分） 17. 解方程 （1）．（用公式法） （2）．（用因式分解法） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 解得，． 18. 已知，在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为， ，． 与 是以点P为位似中心的位似图形． （1）直接写出点P的坐标； （2）以点O为位似中心，在y轴左侧画出的位似图形，使与相似比为； （3）若点为内一点，则点M在内的对应点的坐标为___________． 【答案】（1） （2） 如图，即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题考查位似变换，坐标与图形，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）利用位似图形的性质得到位似中心的位置即可求解； （2）根据点O为位似中心，相似比为作图即可； （3）利用位似图形的性质求解即可； 【小问1详解】 解：如图，连接，并延长相交于点P， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意得，点M在内的对应点的坐标为； 故答案为：． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）在第（1）问的条件下，若，是一元二次方程的两个实数根，当时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式大于0，计算判别式后解不等式即可得到m的取值范围； （2）先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再利用完全平方公式变形，结合已知条件得到关于m的方程，求解后结合第一问的范围舍去不合理的解，即可得到m的值． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程为有两个不相等的实数根， ∴，其中，，，     ， 解得； 【小问2详解】 解：∵，是方程的两个实数根， ∴根据根与系数的关系得，， ∵， ∴， 代入得：， 解得，， ∵由（1）知，，不符合要求，舍去， ∴． 20. 为响应绿色环保、居家便捷的生活理念，家居清洁类器材需求持续增长．某电商店铺专门经营某品牌扫地机器人专用边刷套装，近期该产品销量呈稳步上升趋势．店铺统计了该款边刷套装的销售情况：月份售出套，月份售出套． （1）若月增长率相同，求该品牌边刷套装两个月销售量的月均增长率； （2）该品牌边刷套装每套进货价为元．调查发现，当销售价为元时，月均销售量为套；而当销售价每上涨元时，月均销售量将减少套．为使月均销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌边刷套装的销售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）销售价应定为元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用（增长率问题），以及销售利润问题的实际应用． （1）设该品牌边刷套装两个月销售量的月均增长率为，根据两次增长后的销售量列方程并解方程即可. （2）设该品牌边刷套装的销售价应定为元，根据涨价后的销售利润列方程并解方程, 并根据尽可能让顾客得到实惠选择最优解即可. 【小问1详解】 解：设该品牌边刷套装两个月销售量的月均增长率为， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该品牌边刷套装两个月销售量的月均增长率为； 【小问2详解】 解：设该品牌边刷套装的销售价应定为元，则每套的销售利润为元，月均销售量为套， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 又要尽可能让顾客得到实惠， 取， 答：该品牌边刷套装的销售价应定为元． 21. 如图，，动点，分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点从点出发，沿边一直移到点为止，点从点出发沿边一直运动到点为止（点到达点后，点继续运动） （1）请直接用含的代数式表示的长和的长，并写出的取值范围； （2）当等于何值时，与相似？ 【答案】（1）AP=2tcm（），AQ=（16-t）cm（） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意求解即可； （2）分两种情况：当时，当6≤t≤16时，利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题可知：AP=2tcm（），AQ=（16-t）cm（） 【小问2详解】 解：当时 ①若QP∥BC，则有△AQP∽△ABC． ∴ 又∵AB=16cm，AC=12cm，AP=2tcm， ∴ 解得：； ②由∠A=∠A，若∠AQP=∠C，则有△AQP∽△ACB． ∴， ∴ 解得：t=6.4（不合题意，舍去） 当6≤t≤16时，点P与点C重合， ∵∠A=∠A，只有当∠AQC=∠ACB，有△AQP∽△ACB． ∴ ∴ 解得： 综上所述：或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的性质是解题的关键． 22. 如图，在菱形中，点E、F分别在上，连接，且，延长交于点G． （1）若，求证：； （2）连接，交于点H，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质可得，从而得到，进而得到，可证得，可得到，再由，即可求证； （2）根据菱形的性质可证得，，从而得到，进而得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形ABCD是菱形， ∴， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∴． 解得． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，菱形的性质是解题的关键． 23. 某班数学课题学校小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程，请你按要求完成相应的证明和计算． 【初步发现】 （1）他们初步研究发现，如图1，在矩形中，时，如果交于点交于点，那么______（填“”、“”或“”）． 【深入探究】 （2）如图2，在矩形中，分别交于点分别交于点．求证：． 【尝试应用】 （3）如图3，在矩形中，在满足上面（1）中的条件下，点分别在边上，，若，求的值． 【联系拓展】 （4）如图4，若，直接写出的值． 【答案】（1）； （2）证明：如图，分别过点作，垂足分别为，则四边形和四边形都是矩形，且交于点， ． ， ． ， ， ， ， ． ， ． （3）； （4） 【解析】 【分析】（1）由两个角对应相等得到即可证明结论． （2）分别过点作，垂足分别为，则四边形和四边形都是矩形，且交于点，证明即可； （3）由（1）（2）结论可知，得到答案． （4）过点作，交的延长线于点，过点作，交直线于点，证明，设，则，由（1）结论即可得到答案． 【详解】解：（1）矩形， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：=． （2）略 （3）由（1）（2）结论可知，， ． （4）． 如图，过点作，交的延长线于点，过点作，交直线于点． 在中，， ， ． ， ， ． ， 四边形是矩形， ． 设，则． 于是， 解得． 根据（1）中结论可知，． 【点睛】本题属于相似三角形综合题，主要考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解方程等知识点，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $