专题02 数轴上的动点、规律及其应用问题17大题型60题（期中专项训练）七年级数学上学期新教材苏科版

专题02 数轴上的动点、规律及其应用 基础·固本强基 题型1 数轴上两点之间的距离 题型2 数轴上点的移动 题型3 关于数轴的说法正误问题 题型4 单动点运动问题 题型5 双动点运动问题 题型6 多动点运动问题 题型7 数轴上单点左右运动规律探究 题型8 数轴上三角形运动规律探究 题型9 数轴上正方形运动规律探究 题型10 数轴上圆形运动规律探究 题型11 数轴上的翻折问题 题型12 有关数轴的新定义问题 题型13 数轴中点有关问题 题型14 数轴上定值不变问题 题型15 数轴的应用问题 提升·进阶突破 题型16 数轴上的动点、规律及其应用进阶练 拔高·压轴破难 题型17 数轴上的动点、规律及其应用培优练 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 数轴上两点之间的距离（共3小题） 【步骤】找出数轴两点对应的数，用两点数值作差再取绝对值，求出两点距离，距离结果恒大于或等于 0。 【易错】不要直接用左数减右数，忘记加绝对值；距离是长度不为负，别混淆两点差与两点距离概念。 1．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，点，位于数轴上原点的两侧，是的中点，点是的三等分点，若点表示的数为，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）如图，在数轴上从左到右有A，B，C三点，其中点到点的距离为3，点到点的距离为8，设点A，B，C所表示的数的和是． （1）若点为原点，则点所表示的数是__________； （2）若点到原点的距离为4，则的值是__________． 3．（25-26七年级上·江苏常州·期中）A、B、C是数轴上的三个点，点A、B表示的数分别是、4，若，则点C表示的数是________． 题型2 数轴上点的移动（共3小题） 【步骤】确定起点表示的数，右移加、左移减，依次代入移动距离列式，算出移动后点对应的有理数。 【易错】极易混淆移动方向，左加右减是常见错误；多步移动不能颠倒运算顺序。 4．（25-26七年级上·江苏南京·期中）点在数轴上表示的数是，将点沿数轴移动5个单位长度后得到点，则点所表示的数是（   ） A．4 B． C．4或 D．4或 5．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）数轴上点A表示的数是，若点A以每秒2个单位长度在数轴上运动，那么t秒后，点A表示的数是______（用含有t的代数式表示）． 6．（25-26七年级上·四川成都·期中）点A在数轴上表示的数是，从A点出发先向右平移7个单位长度，再向左平移3个单位长度到达点B，则点B表示的数是_____． 题型3 关于数轴的说法正误问题（共6小题） 7．（26-27七年级上·四川成都·期中）下列说法错误的是（     ） A．所有的有理数都可以用数轴上的点表示 B．数轴上的原点表示零 C．在数轴上表示的点与表示的点的距离是 D．数轴上表示的点，在原点左边个单位处 8．（24-25七年级上·辽宁大连·期中）如图所示，下列关于，，的说法中正确的个数是（    ） ① ② ③ ④ ⑤ ⑥到原点的距离大于到原点的距离 ⑦在与之间有2个整数 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 9．（25-26七年级下·广东河源·期中）下列说法中正确的是(   ) A．无法用数轴上的点表示，因为不能被整除 B．数轴上距离原点个单位长度的点表示的数是 C．数轴上，在和之间只有一个数 D．数轴上表示的点在原点左侧且距离原点个单位长度 题型4 单动点运动问题（共3小题） 10．（25-26七年级上·重庆南川·期末）如图所示，点是数轴的原点，数轴上的点对应的数是，点对应的数是9．点为数轴上的一动点，其对应的数为．用表示点与点之间的距离，用表示点与点之间的距离，用表示点与点之间的距离． (1)求的值； (2)若，求的值． 11．（25-26七年级上·全国·周测）一个动点M从一水平数轴上距离原点4个单位长度的位置向右运动，到达点A后立即返回，向左运动到达点B．若动点M的运动速度为每秒2.5个单位长度，求此时点B表示的数的相反数． 12．（25-26七年级上·广东肇庆·期末）点Ａ，在数轴上的位置如图所示，点是数轴上的一动点． (1)若，则点表示的是什么数？ (2)若，且点是的中点，求线段的长． (3)是否存在点，使的值最小？若存在，则点在数轴上的什么位置？的最小值是多少？ 题型5 双动点运动问题（共3小题） 13．（25-26七年级上·全国·单元复习）如图，在数轴上点表示的数是8，若动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． (1)当时，求点到原点的距离； (2)当时，求点到原点的距离； 14．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）已知是关于x的方程的解． (1)求k的值； (2)在（1）的条件下，已知线段，点C是线段上一点，且，若点D是的中点，求线段的长． (3)在（2）的条件下，已知点A所表示的数为，点B所表示的数为4，有一动点P从点A开始以2个单位长度每秒的速度沿数轴向左匀速运动，同时另一动点Q从点B开始以4个单位长度每秒的速度沿数轴向左匀速运动，当时间为多少秒时，有？ 15．（25-26七年级上·湖北孝感·期中）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒， （说明：如果A、B两点在数轴上表示的数分别为m、n，我们常用符号“”表示A、B两点的距离，且） (1)当时，求点Q到原点O的距离； (2)当时，求点Q到原点O的距离； (3)当点Q到点A的距离为4时，求点P到点Q的距离． 题型6 多动点运动问题（共3小题） 16．（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图所示，在数轴上点表示的数分别为，，，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为 (1)则______，______，______； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点、点分别以每秒个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问： ①运动秒后，点与点之间的距离为多少？用含t的代数式表示 ②的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变；请求其值； (3)由第（1）小题可以发现，三条线段的长度之间满足的数量关系．若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，三条线段的长度之间又存在怎样的数量关系，请直接写出答案． 17．（25-26七年级上·浙江金华·期中）一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位到达A点，再向右移动7个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B；最后将数轴展开． (1)直接写出A，B，C三点所表示的数； (2)动点P从点C出发，以每秒个单位长度向左运动： ①求15秒后动点P与点B之间的距离； ②动点Q，M分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度从A，B两点同时出发，向右运动．记Q与M两点之间的距离为QM，M与P两点之间的距离为在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使的值始终保持不变，请求出m的值，若不存在，请说明理由． 18．（25-26七年级上·广西南宁·期中）已知数轴上有不重合的三个点，点表示的数为，点与点到原点的距离相等，点在原点的左侧，且到点的距离为7． (1)求点表示的数． (2)假设动点分别从点同时出发，动点的速度为每秒2个单位长度，动点的速度为每秒1个单位长度，当动点与动点距离为1个单位长度时，设运动时间为，求： ①动点与动点应同时向______（填“左”或“右”）运动； ②动点与动点相遇前的时间及此时动点表示的数； ③动点与动点相遇后的时间及此时动点表示的数． (3)在数轴上，有一个动点，从点出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点出发向左运动1个单位长度到点，第二次从点向右运动2个单位长度到点，第三次从点向左运动3个单位长度到点，第四次从点向右运动4个单位长度到点……按照此规律不断地左右运动，当第2025次运动到点时，请直接写出点所对应的数． 题型7 数轴上单点左右运动规律探究（共3小题） 19．（25-26七年级上·河南信阳·期末）在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它第一次向右爬行了1个单位长度，第二次接着向左爬行了2个单位长度，第三次接着向右爬行了3个单位长度，第四次接着向左爬行了4个单位长度，如此进行了2026次，蚂蚁最后在数轴上对应的数是（    ） A．1011 B． C．505 D． 20．（25-26七年级上·山东青岛·单元测试）在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，先向右爬行了4个单位长度到达点A，再向右爬行了2个单位长度到达点B，然后又向左爬行了10个单位长度到达点C． (1)画出数轴并标出A，B，C三点在数轴上的位置； (2)写出点A、B、C三点表示的数； (3)根据点C在数轴上的位置，点C可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬行了几个单位长度得到的？ 21．（江西省南昌市育华中学2025-2620学年七年级上学期10月份月考数学试题）两个小朋友玩跳棋游戏，游戏的规则是：先画一根数轴，棋子落在数轴上点，第一步从点向左跳1个单位到，第二步从点向右跳2个单位到，第三步从点向左跳3个单位到，第四步从向点向右跳4个单位到，…如此跳19步，棋子落在数轴的点，若表示的数是18，则的值为________. 题型8 数轴上三角形运动规律探究（共3小题） 22．（25-26七年级上·广东江门·期中）已知等边三角形在数轴上的位置如图所示，顶点、分别对应的数为0、．将三角形从如图所示的位置沿数轴滚动（滚动一圈指线段再次落在数轴上），向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，每次滚动情况依次记录如下：，，，，，当三角形结束滚动时；点表示的数是______． 23．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）如图①，在数轴上，点O为坐标原点，点A、B、C、D表示的数分别是、6、18、26．动点P、Q同时出发，动点P从点B出发，沿数轴以每秒4个单位的速度向点C运动，当点P运动到点C后，立即按原来的速度返回．动点Q从点C出发，沿数轴以每秒2个单位的速度向终点D运动．当点Q到达点D时，点P也停止运动，设点P的运动时间为t（）秒．    (1)点A与原点O的距离是 ． (2)点P从点B向点C运动过程中，点P与原点O的距离是 （用含t的代数式表示）． (3)点P从点B向点C运动过程中，当点P与原点O的距离恰好等于点P与点Q的距离时，求t的值． (4)在点P、Q的整个运动过程中，若将数轴在点O和点P处各折一下，使点Q与点A重合，如图②所示，当所构成的三角形中恰好有两条边相等时，求t的值． 24．（24-25七年级上·宁夏银川·期中）等边三角形（三条边都相等的三角形是等边三角形）纸板在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为和，若绕着顶点逆时针方向在数轴上连续翻转，翻转第次后，点所对应的数为，则翻转次后，点所对应的数是________． 题型9 数轴上正方形运动规律探究（共3小题） 25．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）如图所示，长方形，长为3，宽为2，如图所示放置在数轴上，点B与表示的点重合，点P是数轴上的一点，规定：表示三角形的面积． (1)若点P表示的数为，则是多少？ (2)若，则点P表示的数为多少？ (3)若长方形原来位置向左以2个单位速度移动，动点P从表示的点以3个单位速度向右移动，当，则点P表示的数是多少？ 26．（25-26七年级上·江苏南京·期中）已知长方形，长为3，宽为2，如图所示放置在数轴上，点B与表示的点重合，点P是数轴上的一点，规定：表示三角形的面积． (1)若点P表示的数为，则是多少？ (2)若，则点P表示的数为多少？ 27．（24-25七年级上·浙江金华·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与2026对应的点是（   ）． A． B． C． D． 题型10 数轴上圆形运动规律探究（共3小题） 28．（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，直径为1个单位长度的圆，从点（点在数轴上表示的数是1）．设数轴向左滚动一周后到达点，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 29．（25-26七年级上·天津·期中）如图，圆的周长为个单位长度，在圆周的四等分点处标上字母、、、，先将点与数轴上的原点重合，再将圆沿着数轴向左滚动，那么数轴上的所对应的点与圆周上字母（    ）所对应的点重合． A． B． C． D． 30．（25-26七年级上·天津南开·期中）如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆上有一点与数轴上原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒个单位，大圆的运动速度为每秒个单位． （1）若大圆沿数轴向左滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是_____（结果保留）； （2）若大圆不动，小圆沿数轴来回滚动，规定小圆向右滚动时间记为正数，向左滚动时间记为负数，依次滚动的情况记录如下（单位：秒）：-1，+2，-4，-2，+3，-8 ①第_____次滚动后，小圆离原点最远； ②当小圆结束运动时，小圆运动的路程共有多少？（结果保留） 题型11 数轴上的翻折问题（共3小题） 【步骤】找到折点（对称中心），两点关于折点对称，则两点之和等于折点的 2 倍，据此列方程求解对应点。 【易错】容易误把折点当成两点差的一半；对称两点到折点距离相等，别混淆和差关系。 31．（24-25七年级上·全国·单元测试）根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题： (1)已知点表示的数分别为，观察数轴，与点之间的距离为3的点表示的数是_____； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，求与点重合的点表示的数； (3)在（2）的情况下，若此数轴上两点间的距离为在的左侧），且当点与点重合时，点与点也恰好重合，求出两点表示的数； (4)若数轴上两点间的距离为在左侧），表示数的点到两点的距离相等，则将数轴折叠，使得点与点重合时，两点表示的数分别为_____，______（用含的式子表示这两个数）． 32．（24-25七年级上·江西九江·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合． 研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 如图，在数轴上，点表示数，点表示数，点表示数，且满足 (1)______，______；两点的距离______； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合． ①点与点的中点表示的数为______； ②若点恰好与原点重合，求点B表示的数的值； (3)假设线段的中点为，线段的中点为，线段的中点为，依次进行这样操作 ①表示的数为______ ②求点与点间的距离．（用含的式子表示） 33．（24-25七年级上·山东青岛·期中）根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题： (1)已知点A，B，C表示的数分别为1，，．观察数轴，与点A的距离为3的点表示的数是__________，A，B两点之间的距离为__________． (2)数轴上，点A关于点B的对称点表示的数是__________． (3)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则与B点重合的点表示的数是__________；若此数轴上M，N两点之间的距离为2026（M在N的左侧），且当 A点与C点重合时，M点与N点也恰好重合，则点M表示的数是__________，点N表示的数是__________； (4)若数轴上P，Q两点间的距离为a（P在Q左侧），表示数b的点到P，Q 两点的距离相等，将数轴折叠，当P点与Q点重合时，点P表示的数是__________，点Q表示的数是__________（用含a、b的式子表示这两个数）． 题型12 有关数轴的新定义问题（共3小题） 34．（25-26七年级上·福建泉州·期末）在数轴上，把原点记作O，表示数2的点记作A，对于数轴上任意一点P（不与点O，A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P的“特征值”，记作，即．已知数轴上两点M，N，，则线段最长为（    ） A． B． C． D． 35．（25-26七年级上·浙江台州·期中）阅读以下材料：我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A，B，若数轴上存在一点M，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点B的“雅中点”．解答下列问题： (1)若点A表示的数为，点B表示的数为1，点M为点A与点B的“雅中点”，则点M表示的数为 ； (2)若A、B两点的“雅中点M”表示的数为2，A、B两点的距离为9（A在B的左侧），则点A表示的数为 ，点B表示的数为 ； (3)点A表示的数为，点O为数轴原点，点C，D表示的数分别是，，且B为线段上一点（点B可与C、D两点重合）． ①设点M表示的数为，若点M可以为点A与点B的“雅中点”，则m可取得整数有 ； ②若点C和点D向数轴正半轴方向移动相同距离，使得点O可以为点A与点B的“雅中点”，则n的所有整数值为 ． 36．（25-26七年级上·福建福州·期中）在数轴上有，两点，点表示的数为．对点给出如下定义：当时，将点向右移动3个单位长度，得到点；当时，将点向左移动个单位长度，得到点．称点为点关于点的“联动点”．如图，点表示的数为．    (1)在图中画出当时，点关于点的“联动点”； (2)点从数轴上表示的位置出发，以每秒1个单位的速度向右运动．点从数轴上表示5的位置同时出发，以相同的速度向左运动，两个点运动的时间为秒． ①点表示的数为__________（用含的式子表示）； ②是否存在，使得此时点关于点的“联动点”佮好与原点重合？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 题型13 数轴中点有关问题（共3小题） 【步骤】若两点表示数为a,b，中点数值等于；借助中点到两点距离相等，列方程求解未知点 【易错】容易误用求中点；区分中点计算公式和两点距离公式，不要混用 37．（25-26七年级上·江西南昌·期中）如图，记数轴上A、B两点之间线段长为，（单位长度），（单位长度），在数轴上，点A在数轴上表示的数是，点D在数轴上表示的数是15． (1)点B在数轴上表示的数是_____，点C在数轴上表示的数是_____，线段BC的长＝_____． (2)若线段以1个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动，当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是多少？ (3)若线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动，设运动时间为t秒，当时，M为中点，N为中点． ①若数轴上两个数为a、b，则它们的中点可表示为．则点M表示的数为_____，点N表示的数为______．（用代数式表示） ②线段MN的长是否为定值，如果是，请求出这个值；如果不是，请说明理由． 38．（26-27七年级上·江苏盐城·期中）如图，数轴上有M，N两点和一条线段，规定：若线段的中点R在线段上（点R能与点P或点Q重合），则称点M与点N关于线段“中线对称”． （注：把一条线段分成相等的两条线段的点，叫作线段的中点） 已知点O为数轴的原点，点A表示的数为，点B表示的数为4，点C表示的数为x，若点A与点C关于线段“中线对称”，则x的最大值为________． 39．（24-25七年级上·湖南娄底·期中）[背景知识]数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点A表示的数为，点B表示的数为6，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点B匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，Q到达A点后，再立即以同样的速度返回B点，当点P到达终点后，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t秒． 【综合运用】 (1)填空：A、B两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)当t为何值时，P、Q两点间距离为3； (3)若点M为的中点，点N为的中点，用含t的代数式表示的长度． 题型14 数轴上定值不变问题（共3小题） 40．（25-26七年级上·北京大兴·期中）我们规定：对于数轴上不同的三个点M，N，P，当点M在点N右侧时，若点P到点M的距离恰好为点P到点N的距离的n倍，且n为正整数，（即），则称点P是“关联点” 如图，已知在数轴上，原点为O，点A，点B表示的数分别为4，． (1)原点O （填“是”或“不是”）“关联点”； (2)若点C是“整2关联点”，则点C所表示的数 ； (3)若点A沿数轴向右运动，每秒运动1个单位长度，同时点B沿数轴向左运动，每秒运动2个单位长度，则运动时间为 秒时，原点O恰好是“关联点”，此时n的值为 ． (4)点Q在A，B之间运动，且不与A，B两点重合，作“关联点”，记为，作“关联点”，记为，且满足，分别在线段和上．当点Q运动时，若存在整数m，n，使得式子为定值，求出m，n满足的数量关系． 41．（17-18七年级上·江苏无锡·期末）如图，O为原点，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足|a+2|＋(3a＋b)2＝0． （1）a＝________，b＝_________； （2）若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动的时间为t（秒）． ①当点P运动到线段OB上，且PO＝2PB时，求t的值； ②先取OB的中点E，当点P在线段OE上时，再取AP的中点F，试探究的值是否为定值？若是，求出该值；若不是，请用含t的代数式表示． ③若点P从点A出发，同时，另一动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点O后立即原速返回向右匀速运动，当PQ＝1时，求t的值． 42．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，在数轴上，点表示，点表示8，点从原点出发，沿数轴负方向以的速度向终点运动，同时，点从点出发沿数轴负方向以的速度向终点运动，运动时间为． (1)求的长； (2)若，，且，求的长； (3)直接写出点、表示的数（用含、、的式子表示）； (4)点为、之间的动点，在、运动过程中，设，，且，始终为定值，直接写出、满足的数量关系． 题型15 数轴的应用问题（共3小题） 43．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）阅读理解：若A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的好点． 如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的好点． (1)知识运用：如图1，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D______【A，B】的好点；（请在横线上填是或不是） (2)如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为﹣2．数______所对应的点是【M，N】的好点（写出所有可能的情况）； (3)拓展提升：如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣20，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以4个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当经过几秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点？（写出所有情况） 44．（25-26七年级·陕西榆林·期中）如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和9的位置上，沿数轴做移动游戏．移动游戏规则：两人先进行“石头、剪刀、布”，而后根据输赢结果进行移动． ①若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； ②若甲赢，则甲向东移动5个单位长度，同时乙向东移动3个单位长度； ③若乙赢，则甲向西移动3个单位长度，同时乙向西移动5个单位长度． 前三局如下表：（提示：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀） 第一局 第二局 第三局… 甲的手势 石头 剪刀 石头 … 乙的手势 石头 布 布 … (1)从如图所示的位置开始，求第一局后甲、乙两人分别在数轴上的位置． (2)从如图所示的位置开始，从前三局看，第几局后甲离原点最近，离原点距离多少？ (3)从如图所示的位置开始，若进行了k局后，甲与乙的位置相距3个单位长度，请直接写出k的值． 45．（25-26七年级上·北京朝阳·期末）在数轴上，点表示的数为1，点表示的数为3，对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作，线段；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作，线段． 例如：点表示的数为4，则点，线段点，线段．    已知点为数轴原点，点为数轴上的动点． (1)（点，线段)=_________，（点，线段）_________； (2)若点表示的数，点表示数(线段，线段，求的值； (3)点C从原点出发，以每秒2个单位长度沿轴正方向匀速运动，点从表示数的点出发，第1秒以每秒2个单位长度沿轴正方向匀速运动，第2秒以每秒4个单位长度沿轴负方向匀速运动，第3秒以每秒6个单位长度沿轴正方向匀速运动，第4秒以每秒8个单位长度沿轴负方向匀速运动，……，按此规律运动，两点同时出发，设运动的时间为秒，若(线段，线段)小于或等于6，直接写出的取值范围（可以等于0）． 提升·进阶突破 题型16 数轴上的动点、规律及其应用进阶练（共10小题） 46．（26-27七年级上·江苏淮安·期中）直径为1个单位长度的圆，圆上的一点A由原点沿数轴向左滚动两周（不滑动）到达点，则点表示的数是_________． 47．（26-27七年级上·吉林松原·期中）如图，数轴上，点与点对应的数分别是，将一根质地均匀的直尺放在数轴上（点在点的左边），若将直尺在数轴上水平移动，当点移动到点的位置时，点与点重合，当点移动到点的位置时，点与点重合． (1)直尺的长为__________个单位长度； (2)若直尺在数轴上，且满足点与点的距离等于点与点距离的倍时，求此时点对应的数； (3)当点对应的数为时，作为起始位置，直尺以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度也沿数轴向右运动，设运动时间为秒． ①若、、三点恰好在同一时刻重合，求的值； ②当时，、、三个点中恰好有一个点到另外两点的距离相等，若点不与点、重合，请直接写出所有满足条件的的值． 48．（26-27七年级上·陕西西安·期中）如图，已知数轴上从左到右有A，B，C，D四个点分别表示不同的数，其中点A，D对应的数分别为，，点C为原点，点B到点A与点D的距离相等． (1)点B表示的数为_________； (2)在数轴上标出点B的位置，并按从小到大的顺序用“”连接这四个数． 49．（24-25七年级上·广东揭阳·期中）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴”：素材1如图，将一条数轴在原点，点，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示12，点表示24，点表示36，点与点在数轴上的距离为45个单位长度，并表示为． 素材2动点从点出发，以2个单位长度／秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的两倍．经过点后立刻恢复初始速度． 问题解决： (1)探索1：动点从点运动至点需要多少时间？ (2)探索2：动点从点出发，运动18秒至点和点之间时，求点表示的数？ (3)探索3：动点从点出发，运动至点的过程中某个时刻满足时，求动点运动的时间． 50．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，将直径为1的圆形纸片上的点A与数轴上表示的点重合，将纸片沿着数轴滚动一周，点A到达了点的位置，则线段的中点表示的数是（    ） A． B．或 C． D．或 51．（25-26七年级上·重庆·期中）数轴上的点A 、B 、C 、D所表示的数如图所示，点M 为线段的中点，线段沿数轴以每秒2个单位长度向右平移，同时，点D沿数轴以每秒m 个单位长度向左平移．当点M 和点C 重合时同时停止运动．若在运动过程中始终满足，则m 的值为（   ） A．2 B． C．4 D．5 52．（25-26七年级上·江西赣州·期中）如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A，B，C把数轴分成①②③④四部分，点A，B，C对应的数分别是a，b，c，已知，设原点为O，若点C表示数3，数轴上一点D表示的数为d，在O、C、D这三点中，当相邻两点的距离相等时，则d的值为________． 53．（25-26七年级上·贵州遵义·期中）【知识储备】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了许多重要的规律： ①若数轴上点，点表示的数分别为，若位置不确定时，则两点之间的距离为：，若点在的右侧，即，则两点之间的距离为：； ②线段的中点表示的数为； ③点向右运动个单位长度（）后，点表示的数为：，点向左运动个单位长度（）后，点表示的数为：． 同学们可以在数轴上取点验证上述规律，并完成下列问题． 【问题情境】 如图：在数轴上点表示数，点表示数1，点表示数9，点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒． 【问题解决】 (1)请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：表示点到点之间的距离，运动之前，的距离为_________，若点与点的中点为，则点表示的数为_________； (2)运动秒后，点表示的数为_________（用含的式子表示）； (3)通过计算说明，当时，三点中是否存在一点为另外两点的中点，若存在，请确定哪个点是哪两个点的中点，若不存在，请说明理由． 54．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）（1）把下列各数填在表示集合的相应大括号中： ，，，25，0，，，，10% 整数集合：{                             …}； 非负数集合：{                             …}； （2）阅读：已知在纸面上有一个数轴（如图），折叠纸面，使数轴上表示数的点与表示数0的点重合，解答下列问题： ①数轴上表示数3的点与表示数______的点重合； ②若点到原点的距离是6个单位长度，并且，两点经折叠后重合，则点表示的数是______； ③若数轴上，两点之间的距离为2026，并且，两点经折叠后重合，如果点表示的数比点表示的数大，则点表示的数是_______． 55．（25-26七年级上·广东清远·期中）【教材呈现】2026年北师大版七年级上册教材中有以下内容： 【联系拓广】 数轴上任意两点，表示的数分别是，． （1）当，分别取下列值时，求，两点间的距离． ，；，；，． （2）用，表示，两点间的距离． 阅读以上内容，回答下面的问题： 【归纳概括】 （1）数轴上表示数3与6的两点之间的距离是________，数轴上表示数与6的两点之间的距离是________； （2）用，表示，两点之间的距离是________； 【解决问题】 （3）的含义是数轴上表示数与________的两点之间的距离，的含义是数轴上表示数与________的两点之间的距离； （4）请你在以下的数轴上表示和3两数的位置，当表示数的点在与3之间移动时，可以发现的值总是一个固定的值，这个值是________； （5）若动点，分别从和3同时出发，沿数轴向左运动，已知点的速度是每秒1个单位长度，点的速度是每秒2个单位长度，设移动时间为秒（）．点表示的数为________，点表示的数为________． 拔高·压轴破难 题型17 数轴上的动点、规律及其应用培优练（共5小题） 56．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）对于数轴上两条线段a，b，给出如下定义：P，Q分别为a，b上任意一点，P，Q两点间距离的最小值记作；P，Q两点间距离的最大值记作．O为原点，线段a，b的长度分别为2和4，表示的点在线段a上． （1）若表示的点也在线段a上，表示6和10的点在线段b上，则 _______ ． （2）若原点O在线段a上，点A也在线段a上，点A表示的数为x．点B在线段b上，点B表示的数为y（x，y均为整数）．当，时，对应的 ______________ ． 57．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）阅读以下材料解决问题，如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是3，若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点、的“格距点”．例如：在图1中，点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“5格距点”． (1)若点表示的数是0，则的值为____________； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点、的“5格距点”，则这样的整点对应的点的值分别是____________； (3)若点在数轴上运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的3倍，且此时点为点、的“格距点”，求点表示的数及的值． 58．（25-26七年级上·云南昆明·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合.研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为. 【问题情境】 如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为．点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动.设运动时间为秒（）. 【综合运用】 （1）填空：秒后，点运动的路程为______；点表示的数为______；（用含的代数式表示） （2）若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长. （3）当点运动到点时立即掉头，速度不变，此时点和点分别从点和点出发，向左运动，点的速度为1个单位长度/秒，点的速度为5个单位长度/秒，设点、、所对应的数分别是、、，点出发的时间为秒，当时，求的值. 59．（25-26七年级上·广东广州·期中）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“祁美点”． 例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“祁美点”． (1)若点A表示数，点B表示数5，点M是点A，B的“祁美点”，点M在A，B之间，且表示一个负数，则点M表示的数为______； (2)点A表示数，点B表示数12，P为数轴上一个动点： 若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“祁美点”，则此时点P表示的数是多少？ 若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“祁美点”，则此时点P表示的数是多少？ 60．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）定义：若，，为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离倍，我们就称点是【，】的美好点．若规定、两点之间的距离为，即当时，我们称点是【，】的美好点． 例如：如图，点表示的数为，点表示的数为．表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是【，】的美好点；又如，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点就不是【，】的美好点，但点是【，】的美好点． 如图2，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为． (1)点，，表示的数分别是，，，其中是【，】美好点的是；写出【，】美好点所表示的数是______． (2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以个单位每秒的速度向左运动．请你写出当为何值时，，和中恰有一个点为其余两点的美好点？ 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 数轴上的动点、规律及其应用 基础·固本强基 题型1 数轴上两点之间的距离 题型2 数轴上点的移动 题型3 关于数轴的说法正误问题 题型4 单动点运动问题 题型5 双动点运动问题 题型6 多动点运动问题 题型7 数轴上单点左右运动规律探究 题型8 数轴上三角形运动规律探究 题型9 数轴上正方形运动规律探究 题型10 数轴上圆形运动规律探究 题型11 数轴上的翻折问题 题型12 有关数轴的新定义问题 题型13 数轴中点有关问题 题型14 数轴上定值不变问题 题型15 数轴的应用问题 提升·进阶突破 题型16 数轴上的动点、规律及其应用进阶练 拔高·压轴破难 题型17 数轴上的动点、规律及其应用培优练 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 数轴上两点之间的距离（共3小题） 【步骤】找出数轴两点对应的数，用两点数值作差再取绝对值，求出两点距离，距离结果恒大于或等于 0。 【易错】不要直接用左数减右数，忘记加绝对值；距离是长度不为负，别混淆两点差与两点距离概念。 1．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，点，位于数轴上原点的两侧，是的中点，点是的三等分点，若点表示的数为，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、线段中点的有关计算，设点表示的数是，根据点是的中点，可知点表示的数是，根据点是的三等分点，即可得到点表示的数是，解方程即可求出的值． 【详解】解：设点表示的数是， 则， 是的中点， ， 点表示的数是， ， 点是的三等分点， ， ， 点表示的数为， ， 解得：， ． 故选：C． 2．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）如图，在数轴上从左到右有A，B，C三点，其中点到点的距离为3，点到点的距离为8，设点A，B，C所表示的数的和是． （1）若点为原点，则点所表示的数是__________； （2）若点到原点的距离为4，则的值是__________． 【答案】 3 或17 【分析】本题主要考查了数轴上点表示有理数，数轴上两点之间距离的计算，掌握数轴上点与有理数的关系，两点之间距离的计算方法是解题的关键． （1）根据数轴特点进行计算即可求解； （2）根据题意，分类讨论：当原点在点B的左边时；当原点在点B的右边时；结合数轴上两点之间距离的计算即可求解． 【详解】解：（1）因为点为原点，且点到点的距离为3，点在点的右侧， 所以点表示的数为3； 故答案为：3； （2）由题意知，①当原点在点左侧时，点表示的数为4， 则点表示的数为1，点表示的数为12， 所以； ②当原点在点右侧时，点表示的数为， 则点表示的数为，点表示的数为4， 所以． 综上，的值为或17； 故答案为：或17． 3．（25-26七年级上·江苏常州·期中）A、B、C是数轴上的三个点，点A、B表示的数分别是、4，若，则点C表示的数是________． 【答案】1或/或1 【分析】本题主要考查数轴；分两种情况：当点C在点A，B之间时，当点C在点A左边时，再根据数轴上两点距离公式，计算求解即可． 【详解】解：当点C在点A，B之间时，， ∴， ∴， ∴， ∴点C表示的数是1； 当点C在点A左边时，， ∴， ∴， ， ∴点C表示的数是． 故答案为：1或． 题型2 数轴上点的移动（共3小题） 【步骤】确定起点表示的数，右移加、左移减，依次代入移动距离列式，算出移动后点对应的有理数。 【易错】极易混淆移动方向，左加右减是常见错误；多步移动不能颠倒运算顺序。 4．（25-26七年级上·江苏南京·期中）点在数轴上表示的数是，将点沿数轴移动5个单位长度后得到点，则点所表示的数是（   ） A．4 B． C．4或 D．4或 【答案】C 【分析】本题主要考查数轴上的动点问题，理解题意，分两种情况分析是解题关键． 点A在数轴上移动5个单位长度，方向不确定，可能向左或向右，因此点B有两个可能的值，即可求解． 【详解】解：∵点A表示的数是， ∵沿数轴移动5个单位长度，方向不确定， ∴可能向右移动：B所表示的数是， 或向左移动：B所表示的数是， ∴点B表示的数是4或， 故选：C． 5．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）数轴上点A表示的数是，若点A以每秒2个单位长度在数轴上运动，那么t秒后，点A表示的数是______（用含有t的代数式表示）． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上的平移，列代数式，点A的初始位置为，以每秒2个单位长度的速度运动，t秒后的位置为初始位置加上位移（速度乘以时间）． 【详解】解：∵点A的初始位置为，运动速度为2个单位长度/秒， ∴当向右移动时，t秒后，点A表示的数是； 当向左移动时，t秒后，点A表示的数是； 故答案为：或． 6．（25-26七年级上·四川成都·期中）点A在数轴上表示的数是，从A点出发先向右平移7个单位长度，再向左平移3个单位长度到达点B，则点B表示的数是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上点的平移规律，熟练掌握“向右平移对应数加，向左平移对应数减”是解题的关键． 根据数轴上点的平移规律“向右平移数加，向左平移数减”，先对起始点进行向右平移操作，再进行向左平移操作，计算最终点表示的数． 【详解】解：∵点表示的数是，向右平移个单位长度， ∴平移后表示的数为， 又∵再向左平移个单位长度， ∴最终点表示的数为， 故答案为：． 题型3 关于数轴的说法正误问题（共6小题） 7．（26-27七年级上·四川成都·期中）下列说法错误的是（     ） A．所有的有理数都可以用数轴上的点表示 B．数轴上的原点表示零 C．在数轴上表示的点与表示的点的距离是 D．数轴上表示的点，在原点左边个单位处 【答案】C 【分析】根据数轴的相关概念逐一判断正误，解题突破口为数轴上两点间距离的计算，可快速锁定错误选项． 【详解】解：、、均符合数轴的相关概念，说法正确． 选项中，数轴上表示的点与表示的点的距离应为，故说法错误． 8．（24-25七年级上·辽宁大连·期中）如图所示，下列关于，，的说法中正确的个数是（    ） ① ② ③ ④ ⑤ ⑥到原点的距离大于到原点的距离 ⑦在与之间有2个整数 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】此题考查了利用数轴比较有理数的大小，由a，b，c在数轴上的位置得到，进而逐项求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴，①正确； ，②错误； ，③错误； ，④正确； ，⑤正确； 到原点的距离小于到原点的距离，⑥错误； 在与之间有2个整数，⑦正确． 正确的有4个． 故选：B． 9．（25-26七年级下·广东河源·期中）下列说法中正确的是(   ) A．无法用数轴上的点表示，因为不能被整除 B．数轴上距离原点个单位长度的点表示的数是 C．数轴上，在和之间只有一个数 D．数轴上表示的点在原点左侧且距离原点个单位长度 【答案】D 【分析】根据有理数与数轴的关系理解判断即可． 【详解】A. 能用数轴上的点表示，故不符合题意； B.数轴上距离原点个单位长度的点表示的数是或，故不符合题意； C.数轴上，在和之间有无数个数，故不符合题意； D. 数轴上表示的点在原点左侧且距离原点个单位长度，符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查了有理数与数轴的关系，熟练掌握二者的关系是解题的关键． 题型4 单动点运动问题（共3小题） 10．（25-26七年级上·重庆南川·期末）如图所示，点是数轴的原点，数轴上的点对应的数是，点对应的数是9．点为数轴上的一动点，其对应的数为．用表示点与点之间的距离，用表示点与点之间的距离，用表示点与点之间的距离． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)12； (2)或； 【分析】（1）本题考查数轴上两点间距离，根据数轴上两点间距离等于两数之差的绝对值求解即可得到答案； （2）本题考查数轴上两点间距离，分点在、之间与点在点右侧两类讨论即可得到答案； 【详解】（1）解：∵M对应的数是，点N对应的数是， ∴， 答：的值是； （2）解：①当点在、之间时， ∵， ∴， 即， ， ②当点在点右侧时， ∵， ∴， ， 答：x的值是5或． 11．（25-26七年级上·全国·周测）一个动点M从一水平数轴上距离原点4个单位长度的位置向右运动，到达点A后立即返回，向左运动到达点B．若动点M的运动速度为每秒2.5个单位长度，求此时点B表示的数的相反数． 【答案】点B表示的数的相反数为6或14 【分析】本题考查了求数轴上数的表示、数轴上点的坐标变化和平移规律，根据点在数轴上移动的规律“左加右减”，列出算式，进行计算即可求出答案． 【详解】解：由题意得，动点M先向右运动（个）单位长度， 再向左运动（个）单位长度， 所以动点M实际向左运动（个）单位长度． 因为动点M运动前距离原点4个单位长度， 所以分两种情况讨论： ①当动点M运动前表示的数为4时，点B表示的数为，所以点B表示的数的相反数为6； ②当动点M运动前表示的数为时，点B表示的数为，所以点B表示的数的相反数为14． 综上所述，点B表示的数的相反数为6或14． 12．（25-26七年级上·广东肇庆·期末）点Ａ，在数轴上的位置如图所示，点是数轴上的一动点． (1)若，则点表示的是什么数？ (2)若，且点是的中点，求线段的长． (3)是否存在点，使的值最小？若存在，则点在数轴上的什么位置？的最小值是多少？ 【答案】(1)3或9 (2)或 (3)存在，P在A、B两点之间，8 【分析】本题主要考查了两点间的距离、数轴的特征等知识点，灵活运用分类讨论思想是解题的关键． （1）分点P在点B的左边和右边两种情况，分别求出点P表示的数即可； （2）先分点P在点B的左边和右边两种情况，先分别的长，再根据点Q是的中点，求得线段的长即可； （3）根据图示，可得当点P在A、B两点之间时，的值最小，据此判断并求解即可． 【详解】（1）解：①点P在点B的左边时， ∵，， ∴点P表示的是3． ②点P在点B的右边时， ∵，， ∴点P表示的是9． 综上，可得点P表示的是3或9． （2）解：∵， ∴线段的长度是8． ①点P在点B的左边时， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴线段的长是． ②点P在点B的右边时， ∵， ∵点是的中点， ∴， ∴线段的长是． 综上，可得线段的长是2.5或5.5． （3）解：如图：当点P在A、B两点之间时，的值最小， 此时， 所以的最小值是8． 题型5 双动点运动问题（共3小题） 13．（25-26七年级上·全国·单元复习）如图，在数轴上点表示的数是8，若动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． (1)当时，求点到原点的距离； (2)当时，求点到原点的距离； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，两点间的距离，在数轴上表示有理数，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键． （1）计算出点Q运动的路程，即可解答； （2）计算出点Q的运动路程，即可解答； 【详解】（1）解：∵动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动， ∴当时，， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为6； （2）解：∵动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动 ∴当时，点运动的距离为， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为2； 14．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）已知是关于x的方程的解． (1)求k的值； (2)在（1）的条件下，已知线段，点C是线段上一点，且，若点D是的中点，求线段的长． (3)在（2）的条件下，已知点A所表示的数为，点B所表示的数为4，有一动点P从点A开始以2个单位长度每秒的速度沿数轴向左匀速运动，同时另一动点Q从点B开始以4个单位长度每秒的速度沿数轴向左匀速运动，当时间为多少秒时，有？ 【答案】(1) (2)线段的长为 (3)当时间为或秒时，有 【分析】本题考查方程的解的定义，线段的和差，数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离． （1）把代入方程，转化为关于k的方程，求解即可； （2）当时，，则，，根据D为的中点，即可求解； （3）同（2）可求得点D表示的数为，当点P和点Q运动x秒时，点P表示的数是，点Q表示的数分别是，根据绝对值的几何意义可得，，由即可得到方程，求解即可． 【详解】（1）∵是关于x的方程的解， ∴， 解得：； （2）如图， 当时，，， ∴，， ∵D为的中点， ∴ 即线段的长为； （3）∵点A所表示的数为，点B表示的数是4， ∴，，， ∵点D是的中点， ∴， ∴点D表示的数为． 当点P和点Q运动x秒时，点P表示的数是，点Q表示的数分别是． ∴，， ∵， ∴， 即或， 解得或 ∴当时间为或秒时，有． 15．（25-26七年级上·湖北孝感·期中）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒， （说明：如果A、B两点在数轴上表示的数分别为m、n，我们常用符号“”表示A、B两点的距离，且） (1)当时，求点Q到原点O的距离； (2)当时，求点Q到原点O的距离； (3)当点Q到点A的距离为4时，求点P到点Q的距离． 【答案】(1)当时，点Q到原点O的距离为6； (2)当时，点Q到原点O的距离为4； (3)点P到点Q的距离为6或10或22 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题、两点间的距离、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键． （1）计算出点Q运动的路程，再用8减去点Q运动的路程即可解答； （2）计算出点Q的运动路程，然后减去8即可解答； （3）分点Q向左运动还没到达原点时、点Q向右运动时且还没经过点A时、点Q向右运动时且经过点A后三种情况，分别求出的长、进而求得运动时间，再求得的长，进而完成解答． 【详解】（1）解：∵动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动， ∴当时，， ∵在数轴上点A表示的数是8， ， ， ∴当时，点Q到原点O的距离为6； （2）解：∵动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动， ∴当时，点Q运动的距离为， ∵在数轴上点A表示的数是8， ， ∴当时，点Q向右运动，， ∴当时，点Q到原点O的距离为4； （3）解：当点Q到点A的距离为4时， 分三种情况讨论： ①点Q向左运动还没到达原点时， ∵在数轴上点A表示的数是8， ， ， 运动时间为（秒）， ∴此时P在数轴上表示的数为，Q在数轴上表示的数为4； ； ②点Q向右运动时且还没经过点A时， ， ， 运动时间为（秒）， ； ∴此时P在数轴上表示的数为，Q在数轴上表示的数为4； ； ③点Q向右运动时且经过点A后， ， ， 运动时间为（秒）， ； ∴此时P在数轴上表示的数为，Q在数轴上表示的数为12； ； 综上，点P到点Q的距离为6或10或22． 题型6 多动点运动问题（共3小题） 16．（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图所示，在数轴上点表示的数分别为，，，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为 (1)则______，______，______； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点、点分别以每秒个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问： ①运动秒后，点与点之间的距离为多少？用含t的代数式表示 ②的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变；请求其值； (3)由第（1）小题可以发现，三条线段的长度之间满足的数量关系．若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，三条线段的长度之间又存在怎样的数量关系，请直接写出答案． 【答案】(1) (2)①；②不变；值为 (3)当时，，当时，，当时， 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题： （1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）①由点以每秒1个单位长度的速度向左运动，点以每秒2个单位长度的速度向右运动，得到运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，再根据两点间的距离公式即可得到答案； ②由点以每秒单位长度的速度向右运动，得到运动秒后，点表示的数为，从而得到，再计算出，即可得到答案； （3）分别表示出的长度，然后分情况讨论得出之间的关系，即可得到答案． 【详解】（1）解：在数轴上点表示的数分别为，，， ，，， 故答案为：； （2）①点以每秒个单位长度的速度向左运动，点以每秒个单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：， 点与点之间的距离为：； ②点以每秒单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：， ， ， 的值不会随着时间的变化而改变； （3）点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：，点表示的数为：， ，，， 当时，， 当时，， 当时，， 随着运动时间的变化，之间存在类似于（1）的数量关系． 17．（25-26七年级上·浙江金华·期中）一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位到达A点，再向右移动7个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B；最后将数轴展开． (1)直接写出A，B，C三点所表示的数； (2)动点P从点C出发，以每秒个单位长度向左运动： ①求15秒后动点P与点B之间的距离； ②动点Q，M分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度从A，B两点同时出发，向右运动．记Q与M两点之间的距离为QM，M与P两点之间的距离为在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使的值始终保持不变，请求出m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)A：，B：，C：4 (2)①点P与点B之间的距离为1； ②由题意知，运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点M表示的数为， 则，， 当时， ， 当时， 解得， ， 当时， ， 当时， 解得， ， 当时， ， 当时， 解得， ， 所以，不存在一个有理数m，使的值始终保持不变． 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，数轴上的点表示数，数轴上点的移动等知识点，解决此题的关键是读懂题意用式子表示出每个点； （1）运用数轴上的点可以用有理数表示和数轴上两点间的距离公式即可得到答案； （2）①根据点的运动规律用有理数表示出运动后点表示的数，再运用数轴上两点间的距离公式即可得到答案； ②先根据点的运动规律表示出运动后点表示的数，根据两点间的距离公式用式子表示运动距离，再根据题意列出整式，根据项无关得到结果进行对比即可得到答案； 【详解】（1）解：∵点从数轴原点开始，向左移动3个单位， ∴点表示的数为，再向右移7个单位， ∴点表示的数为，、C两点间距离为， ∴接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B，那么B点到A、C的距离均为， ∴点表示的数为， 即A：，B：，C：4； （2）解：①动点P从点C出发，速度为每秒个单位长度，运动15秒，移动的距离为， ∵表示的数为4， ∴表示的数为：，又B表示的数为， ∴点P与点B之间的距离为1， 动点Q，M分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度从A，B两点同时出发，向右运动．记Q与M两点之间的距离为QM，M与P两点之间的距离在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使的值始终保持不变，请求出m的值，若不存在，请说明理由． ②略 18．（25-26七年级上·广西南宁·期中）已知数轴上有不重合的三个点，点表示的数为，点与点到原点的距离相等，点在原点的左侧，且到点的距离为7． (1)求点表示的数． (2)假设动点分别从点同时出发，动点的速度为每秒2个单位长度，动点的速度为每秒1个单位长度，当动点与动点距离为1个单位长度时，设运动时间为，求： ①动点与动点应同时向______（填“左”或“右”）运动； ②动点与动点相遇前的时间及此时动点表示的数； ③动点与动点相遇后的时间及此时动点表示的数． (3)在数轴上，有一个动点，从点出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点出发向左运动1个单位长度到点，第二次从点向右运动2个单位长度到点，第三次从点向左运动3个单位长度到点，第四次从点向右运动4个单位长度到点……按照此规律不断地左右运动，当第2025次运动到点时，请直接写出点所对应的数． 【答案】(1)B表示的数为：5；C表示的数为 (2)①左；②6秒，此时点M表示的数为；③8秒，此时点M表示的数为； (3) 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，用数轴表示有理数，有理数的四则运算： （1）根据数轴上两点距离计算公式得到点到原点的距离为，再由点A和点B不重合，点B表示的数为5，再用点B表示的数减去点C到点的距离即可求出点C表示的数，最后在数轴上表示出点A，点B，点C即可； （2）①设运动时间为t，由于，且点M的运动速度大于点N的运动速度，故只有当M、N同时向左运动时，动点M与动点N的距离才可能为1个单位长度；②二者相遇前运动距离为，再算出时间进而可求出M表示的数；③二者相遇后运动距离为，再算出时间进而可求出M表示的数； （3）根据题意可得动点P每相邻的两次运动相当于向右移动1个单位长度，据此求出2026次运动后点P表示的数，再由第2025次点P是向左运动2025个单位长度进行求解即可． 【详解】（1）解：∵点表示的数为，点与点到原点的距离相等， ∴点到原点的距离为， ∵点A和点B不重合， ∴点B表示的数为5， ∵点在原点的左侧，且到点的距离为7， ∴点C表示的数为， （2）解：①设运动时间为t， ∵，且点M的运动速度大于点N的运动速度， ∴只有当M、N同时向左运动时，动点M与动点N的距离才可能为1个单位长度， 故答案为：左 ②当M、N相遇前二者相距1个单位长度时，则，此时点M表示的数为； ③当M、N相遇后二者相距1个单位长度时，则，此时点M表示的数为； （3）解：有一个动点，从点出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点出发向左运动1个单位长度到点，第二次从向右运动2个单位长度到点，第三次从向左运动3个单位长度到点，第四次从向右运动4个单位长度到点……， ∴动点P每相邻的两次运动相当于向右移动1个单位长度， ∴第2026次运动后点P向右运动个单位长度，即此时点P表示的数为， ∵第2025次点P是向左运动2025个单位长度， ∴表示的数为． 题型7 数轴上单点左右运动规律探究（共3小题） 19．（25-26七年级上·河南信阳·期末）在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它第一次向右爬行了1个单位长度，第二次接着向左爬行了2个单位长度，第三次接着向右爬行了3个单位长度，第四次接着向左爬行了4个单位长度，如此进行了2026次，蚂蚁最后在数轴上对应的数是（    ） A．1011 B． C．505 D． 【答案】A 【分析】先得到前四次蚂蚁到达的位置，依此类推得到一般性规律，即可得到结果． 【详解】解：蚂蚁第一次到达的位置为1， 蚂蚁第二次到达的位置为-1， 蚂蚁第三次到达的位置为2， 蚂蚁第四次到达的位置为-2， …… 依此类推，第2n-1次到达n， 第2n次到达-n， 故第2026次到达1011． 故选：A． 【点睛】本题考查了数轴，数轴上两点间的距离，弄清题中的规律是解本题的关键． 20．（25-26七年级上·山东青岛·单元测试）在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，先向右爬行了4个单位长度到达点A，再向右爬行了2个单位长度到达点B，然后又向左爬行了10个单位长度到达点C． (1)画出数轴并标出A，B，C三点在数轴上的位置； (2)写出点A、B、C三点表示的数； (3)根据点C在数轴上的位置，点C可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬行了几个单位长度得到的？ 【答案】(1) 如图所示： (2)A点表示的数是4、B点表示的数是6、C点表示的数是 (3)向左爬行4个单位长度 【分析】（1）画出数轴并标出A，B，C三点即可求解； （2）根据（1）中所画数轴写出即可； （3）根据正负数在轴上的意义“向右为正，向左为负”来解答． 【详解】（1）略 （2）A点表示的数是4、B点表示的数是6、C点表示的数是； （3）∵C点坐标是， ∴可以看作是蚂蚁从原点出发，向左爬行4个单位长度得到的． 【点睛】本题考查了数轴，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点． 21．（江西省南昌市育华中学2025-2620学年七年级上学期10月份月考数学试题）两个小朋友玩跳棋游戏，游戏的规则是：先画一根数轴，棋子落在数轴上点，第一步从点向左跳1个单位到，第二步从点向右跳2个单位到，第三步从点向左跳3个单位到，第四步从向点向右跳4个单位到，…如此跳19步，棋子落在数轴的点，若表示的数是18，则的值为________. 【答案】 【分析】规定向左跳为负数，向右跳为正数，设初始位置表示的数为，可以列方程求解． 【详解】设初始位置表示的数是， 则， 即， 解得：． 故答案为． 【点睛】本题考查了数轴的知识，实际问题中，可以用正负数表示具有相反意义的量，本题中，向左、向右具有相反意义，可以用正负数表示，并列出等量关系． 题型8 数轴上三角形运动规律探究（共3小题） 22．（25-26七年级上·广东江门·期中）已知等边三角形在数轴上的位置如图所示，顶点、分别对应的数为0、．将三角形从如图所示的位置沿数轴滚动（滚动一圈指线段再次落在数轴上），向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，每次滚动情况依次记录如下：，，，，，当三角形结束滚动时；点表示的数是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，绝对值的意义，解题的关键是理解题意． 根据滚动情况求出结束滚动时，点表示的数即可． 【详解】第一次滚动后，点表示的数为：； 第二次滚动后，点表示的数为：； 第三次滚动后，点表示的数为：； 第四次滚动后，点表示的数为：； 第五次滚动后，点表示的数为：； 故答案为：． 23．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）如图①，在数轴上，点O为坐标原点，点A、B、C、D表示的数分别是、6、18、26．动点P、Q同时出发，动点P从点B出发，沿数轴以每秒4个单位的速度向点C运动，当点P运动到点C后，立即按原来的速度返回．动点Q从点C出发，沿数轴以每秒2个单位的速度向终点D运动．当点Q到达点D时，点P也停止运动，设点P的运动时间为t（）秒．    (1)点A与原点O的距离是 ． (2)点P从点B向点C运动过程中，点P与原点O的距离是 （用含t的代数式表示）． (3)点P从点B向点C运动过程中，当点P与原点O的距离恰好等于点P与点Q的距离时，求t的值． (4)在点P、Q的整个运动过程中，若将数轴在点O和点P处各折一下，使点Q与点A重合，如图②所示，当所构成的三角形中恰好有两条边相等时，求t的值． 【答案】(1)16 (2) (3) (4) 【分析】（1）由点A表示的数是，根据两点之间的距离公式即可求解； （2）由，，再根据即可求解； （3）可求得当点P与点C重合时，，所以当点P从点B向点C运动时，，此时点P表示的数是，点Q表示的数是，且点Q在点P右侧，再根据两点间的距离公式代入即可求解； （4）可求得当点Q与点D重合时，，当时，点P表示的数是,则再分六种情况讨论，一是当，且时，则；二是当，且时，则；三是当，且时，由（3）得；四是当，且时，则；五是当，且时，则；六是当，且时，则，解方程求出相应的符合题意的t值即可． 【详解】（1）解：点A表示的数是， ， 故答案为：16． （2）解：∵点B表示的数是6， ， ， ， 故答案为：. （3）解：当点P与点C重合时，则， 解得， 当点P从点B向点C运动时，， 点P表示的数是，点Q表示的数是，且点Q在点P右侧， ， 由，得， 解得：． （4）解：当点Q与点D重合时，则， 解得， 当时，点P表示的数是，即， ， 当，且时，则， 解得：； 当，且时，则， 解得：； 当，且时，由（3）得； 当，且时，则， 解得：，不符合题意，舍去； 当，且时，由（3）得， ， 解得，不符合题意，舍去； 当，且时，则， 解得：，不符合题意，舍去， 综上所述，t的值是． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、数轴与绝对值、一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地用代数式表示点P、点Q所对应的数是解题的关键． 24．（24-25七年级上·宁夏银川·期中）等边三角形（三条边都相等的三角形是等边三角形）纸板在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为和，若绕着顶点逆时针方向在数轴上连续翻转，翻转第次后，点所对应的数为，则翻转次后，点所对应的数是________． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，根据翻转的变化规律确定出每次翻转为一个循环组依次循环是解题的关键．作出草图，不难发现，每次翻转为一个循环组依次循环，用除以，根据余数为可知点在数轴上，然后进行计算即可得解． 【详解】解：如图，每次翻转为一个循环组依次循环， ， 翻转次后点在数轴上， 点对应的数是． 故答案为：． 题型9 数轴上正方形运动规律探究（共3小题） 25．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）如图所示，长方形，长为3，宽为2，如图所示放置在数轴上，点B与表示的点重合，点P是数轴上的一点，规定：表示三角形的面积． (1)若点P表示的数为，则是多少？ (2)若，则点P表示的数为多少？ (3)若长方形原来位置向左以2个单位速度移动，动点P从表示的点以3个单位速度向右移动，当，则点P表示的数是多少？ 【答案】(1)5 (2)或 (3)或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题、两点之间的距离： （1）根据长方形得，点表示的数为，则，再利用三角形的面积公式即可求解； （2）由得，分类讨论：当点在点左侧时，当点在点右侧时，当点在点和点之间时，根据与之间的数量关系即可求解； （3）设经过秒后，，则点C表示的数为，点P表示的数为，，分类讨论：当点在点左侧时，当点在点右侧时，当点在点和点之间时，根据与之间的数量关系求得的值，进而可求解； 熟练掌握两点之间的距离公式及利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：是长方形，长为3，宽为2，点B与表示的点重合， ，，点表示的数为， 点P表示的数为， ， ． （2）是长方形，宽为2， ，， ， ， 即：， 当点在点左侧时，由数轴得：， ， 解得：， 点所表示的数为：； 当点在点右侧时， （不符合题意）， 当点在点和点之间时， 由数轴得：， 即：， ， 解得：， 点所表示的数为：； 综上所述：点所表示的数为或． （3）设经过秒后，， 长方形各个点都向左移动了个单位长度， 则点C表示的数为， 点P向右移动了个单位长度， 则点P表示的数为， ，即：， 当点在点左侧时，由数轴得：， ， 解得：， ， 解得：， 点P表示的数为， 当点在点右侧时， （不符合题意）， 当点在点和点之间时， 由数轴得：， 即：， ， 解得：， ， 解得：， 点P表示的数为，     综上所述：点P表示的数为或． 26．（25-26七年级上·江苏南京·期中）已知长方形，长为3，宽为2，如图所示放置在数轴上，点B与表示的点重合，点P是数轴上的一点，规定：表示三角形的面积． (1)若点P表示的数为，则是多少？ (2)若，则点P表示的数为多少？ 【答案】(1)5 (2)8或 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点间的距离，三角形的面积公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据长方形，长为3，宽为2，得，结合点P表示的数为，得，再把数值代入进行计算，即可作答． （2）先求出，结合，得，即则，则，由（1）得与表示的点重合，再列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，连接，如图所示： ∵长方形，长为3，宽为2， ∴ ∵点B与表示的点重合， ∴ 即与表示的点重合， ∵点P表示的数为， ∴ 此时； （2）解：解：连接，如图所示： ∵长方形，长为3，宽为2， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， ∴， ∴， 由（1）得与表示的点重合， ∴或， ∴点P表示的数为或． 27．（24-25七年级上·浙江金华·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与2026对应的点是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，根据翻转的变化规律确定出每4次翻转为一个循环组是解题的关键．由图可知正方形边长为1，当正方形在转动一周的过程中，点落在，点落在，点落在0，点落在1，可知其四次一循环，由此可确定出2026所对应的点． 【详解】解：当正方形在转动一周的过程中，点落在，点落在，点落在0，点落在1， 每4次翻转为一个循环组， ， 与2026对应的点是点． 故选：B． 题型10 数轴上圆形运动规律探究（共3小题） 28．（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，直径为1个单位长度的圆，从点（点在数轴上表示的数是1）．设数轴向左滚动一周后到达点，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴上的点的关系，求出圆的周长是解题的关键．求出圆的周长，根据数轴与实数的一一对应关系解答即可． 【详解】解：∵直径为1的圆的周长为，A点在数轴上表示的数是1， A点沿数轴向左滚动一周后到达点B， ∴点B表示的数为． 故选：D． 29．（25-26七年级上·天津·期中）如图，圆的周长为个单位长度，在圆周的四等分点处标上字母、、、，先将点与数轴上的原点重合，再将圆沿着数轴向左滚动，那么数轴上的所对应的点与圆周上字母（    ）所对应的点重合． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上的数字在圆滚动过程中的对应规律，由题意可知圆向左滚动一周的长度为个单位长度，进而由即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵圆的周长为个单位长度， ∴圆向左滚动一周的长度为个单位长度， ∵， ∴数轴上的所对应的点与圆周上字母所对应的点重合， 故选：． 30．（25-26七年级上·天津南开·期中）如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆上有一点与数轴上原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒个单位，大圆的运动速度为每秒个单位． （1）若大圆沿数轴向左滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是_____（结果保留）； （2）若大圆不动，小圆沿数轴来回滚动，规定小圆向右滚动时间记为正数，向左滚动时间记为负数，依次滚动的情况记录如下（单位：秒）：-1，+2，-4，-2，+3，-8 ①第_____次滚动后，小圆离原点最远； ②当小圆结束运动时，小圆运动的路程共有多少？（结果保留） 【答案】（1）；（2）①6，② 【分析】（1）该圆与数轴重合的点所表示的数，就是大圆的周长； （2）①分别计算出第几次滚动后，小圆离原点的距离，比较作答；②根据计算总路程即可． 【详解】解：（1）若大圆沿数轴向左滚动一周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是． （2）①第1次滚动后，， 第2次滚动后，， 第3次滚动后，， 第4次滚动后，， 第5次滚动后，， 第6次滚动后，， 则第6次滚动后，小圆离原点最远． ②， ∴当小圆结束运动时，小圆运动的路共有． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，明确向右移动坐标加的关系，向左移动坐标减的关系，是解题的关键． 题型11 数轴上的翻折问题（共3小题） 【步骤】找到折点（对称中心），两点关于折点对称，则两点之和等于折点的 2 倍，据此列方程求解对应点。 【易错】容易误把折点当成两点差的一半；对称两点到折点距离相等，别混淆和差关系。 31．（24-25七年级上·全国·单元测试）根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题： (1)已知点表示的数分别为，观察数轴，与点之间的距离为3的点表示的数是_____； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，求与点重合的点表示的数； (3)在（2）的情况下，若此数轴上两点间的距离为在的左侧），且当点与点重合时，点与点也恰好重合，求出两点表示的数； (4)若数轴上两点间的距离为在左侧），表示数的点到两点的距离相等，则将数轴折叠，使得点与点重合时，两点表示的数分别为_____，______（用含的式子表示这两个数）． 【答案】(1)4或 (2)0.5 (3)点表示的数为点表示的数为 (4) 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，列代数式，熟练掌握数轴上两点间的距离公式，是解题的关键： （1）根据两点间的距离，进行求解即可； （2）根据对称中心到两点之间的距离相等，先求出对称中心，进而求出另一个数即可； （3）同法（2）计算即可； （4）同法（2）列出代数式即可． 【详解】（1）解：观察可知，点之间的距离为3的点表示的数是4或； 故答案为：4或； （2）因为点与点重合， 所以在表示的数为的点处折叠， 所以与点重合的点表示的数是 （3）由（2）得在表示的数为的点处折叠， 所以点表示的数为点表示的数为． （4）因为表示数的点到两点的距离相等，将数轴折叠，使得点与点重合， 所以对称中心为表示的数即为：， 因为两点间的距离为在左侧）， 所以两点表示的数分别为． 32．（24-25七年级上·江西九江·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合． 研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 如图，在数轴上，点表示数，点表示数，点表示数，且满足 (1)______，______；两点的距离______； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合． ①点与点的中点表示的数为______； ②若点恰好与原点重合，求点B表示的数的值； (3)假设线段的中点为，线段的中点为，线段的中点为，依次进行这样操作 ①表示的数为______ ②求点与点间的距离．（用含的式子表示） 【答案】(1)；6；8 (2)①2；②4 (3)①；② 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，熟知上两点距离计算，非负数的性质： （1）先根据非负数的性质求出a、b的值，再根据两点距离计算公式求出即可； （2）①根据两点中点计算公式求解即可；②根据（2）①所求得到折叠点表示的数，再根据题意可得点B和原点到表示2的点的距离相等，据此根据两点距离计算公式求解即可； （3）分别求出，进而总结出规律求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；6；8； （2）解：①点与点的中点表示的数为， 故答案为：2； ②∵将数轴折叠，使得点与点重合． ∴折叠中心即为点与点的中点， ∴折叠中心表示的数为2， ∵点恰好与原点重合， ∴点B和原点到表示2的点的距离相等， ∴点B表示的数为； （3）解：①∵， ∴表示的数为， ∴表示的数为， ∴表示的数为， ∴表示的数为， 故答案为：； ②∵线段的中点为， ∴， ∵线段的中点为， ∴ ∵线段的中点为， ∴， ……， 以此类推可知，． 33．（24-25七年级上·山东青岛·期中）根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题： (1)已知点A，B，C表示的数分别为1，，．观察数轴，与点A的距离为3的点表示的数是__________，A，B两点之间的距离为__________． (2)数轴上，点A关于点B的对称点表示的数是__________． (3)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则与B点重合的点表示的数是__________；若此数轴上M，N两点之间的距离为2026（M在N的左侧），且当 A点与C点重合时，M点与N点也恰好重合，则点M表示的数是__________，点N表示的数是__________； (4)若数轴上P，Q两点间的距离为a（P在Q左侧），表示数b的点到P，Q 两点的距离相等，将数轴折叠，当P点与Q点重合时，点P表示的数是__________，点Q表示的数是__________（用含a、b的式子表示这两个数）． 【答案】(1)4或， (2) (3)，， (4)， 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，折叠的性质，列代数式等知识，解决本题的关键是熟练掌握数轴上两点之间的距离公式． （1）根据数轴上两点之间的距离公式即可求解； （2）根据对称的性质可得对称点的坐标； （3）根据A与C重合表示对称点，可得与B点重合的点表示的数；同理根据折叠后点A与点C重合，点M与点N也重合，即可求解； （4）根据数轴上的点左减，右加，即可求表示数b的点到P、Q两点的距离相等的算式． 【详解】（1）解：观察数轴可知： 与点A的距离为3的点表示的数是或， A、B两点之间的距离为． 故答案为：4或，； （2）解：点A关于点B的对称点表示的数是：， 故答案为：； （3）解：∵将数轴折叠，使得A点与C点重合， ∴对称点表示的数为：； ∴与点B重合的点表示的数是：； M表示的数是：， N表示的数是：， 故答案为：，，； （4）解：根据题意，得 P表示的数为：，Q表示的数为：． 故答案为：，． 题型12 有关数轴的新定义问题（共3小题） 34．（25-26七年级上·福建泉州·期末）在数轴上，把原点记作O，表示数2的点记作A，对于数轴上任意一点P（不与点O，A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P的“特征值”，记作，即．已知数轴上两点M，N，，则线段最长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标轴上两点间的距离，根据新定义推出，点表示的数是，分别当点在点右侧和左侧，两种情况分别求出点表示的数为或，直接代值计算，再比较即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 又因为点A表示的数是2，点O表示的数是0， 所以点是的中点， 所以点表示的数是， 如图，当点在点右侧时， 则，即， 所以，则， 所以点表示的数是， 所以； 如图，当点在点左侧时， 则，即， 所以，则， 所以点表示的数是， 所以； 因为， 所以最长为； 故选：C． 35．（25-26七年级上·浙江台州·期中）阅读以下材料：我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A，B，若数轴上存在一点M，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点B的“雅中点”．解答下列问题： (1)若点A表示的数为，点B表示的数为1，点M为点A与点B的“雅中点”，则点M表示的数为 ； (2)若A、B两点的“雅中点M”表示的数为2，A、B两点的距离为9（A在B的左侧），则点A表示的数为 ，点B表示的数为 ； (3)点A表示的数为，点O为数轴原点，点C，D表示的数分别是，，且B为线段上一点（点B可与C、D两点重合）． ①设点M表示的数为，若点M可以为点A与点B的“雅中点”，则m可取得整数有 ； ②若点C和点D向数轴正半轴方向移动相同距离，使得点O可以为点A与点B的“雅中点”，则n的所有整数值为 ． 【答案】(1) (2)， (3)①，②，， 【分析】（1）根据新定义求解； （2）根据新定义设未知数列方程求解； （3）①依题意，设B表示的数为，根据新定义得，再结合m为整数，即可作答； ②依题意，得点C和点D分别表示的数为，，根据新定义列不等式组求解，结合n为整数，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，得， 所以则点M表示的数为； 故答案为：； （2）解：设点A表示的数为， 因为A、B两点的距离为9（A在B的左侧）， 所以点B表示的数为， 因为A、B两点的“雅中点M”表示的数为2， 故， 解得，那么， 所以点A表示的数为，点B表示的数为， 故答案为：； （3）解：①依题意，设B表示的数为， 因为设点M表示的数为，若点M可以为点A与点B的“雅中点”， 所以， 因为m为整数， 所以为整数， 则或 故整数m的值为：，， 故答案为：； ②因为点C和点D向数轴正半轴方向移动相同距离， 所以点C和点D分别表示的数为，， ∵O可以为点A与点B的“雅中点”， ∴， 故， 因为B为线段上一点（点B可与C、D两点重合）， 所以B表示的数为， 所以， 即， 解得， 因为n为整数， 则，，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数轴，结合数形结合思想、方程思想和不等式思想都是解题的关键． 36．（25-26七年级上·福建福州·期中）在数轴上有，两点，点表示的数为．对点给出如下定义：当时，将点向右移动3个单位长度，得到点；当时，将点向左移动个单位长度，得到点．称点为点关于点的“联动点”．如图，点表示的数为．    (1)在图中画出当时，点关于点的“联动点”； (2)点从数轴上表示的位置出发，以每秒1个单位的速度向右运动．点从数轴上表示5的位置同时出发，以相同的速度向左运动，两个点运动的时间为秒． ①点表示的数为__________（用含的式子表示）； ②是否存在，使得此时点关于点的“联动点”佮好与原点重合？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 当时，将点向右移动3个单位长度，得到点； 表示的数是，如图： (2)①； ②不存在，理由如下： 表示的数是， 当时，， 表示的数是， 此时不存在恰好与原点重合； 当时，表示的数是， 此时不存在恰好与原点重合， 综上所述，不存在恰好与原点重合． 【分析】（1）求出表示的数，再画图即可； （2）①根据已知可得运动后表示的数；②分两种情况：当，表示的数是，当时，表示的数是，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）①点表示的数为， 故答案为：； ② 略 【点睛】本题考查数轴上的动点问题，解题的关键是用含的代数式表示点运动后所表示的数． 题型13 数轴中点有关问题（共3小题） 【步骤】若两点表示数为a,b，中点数值等于；借助中点到两点距离相等，列方程求解未知点 【易错】容易误用求中点；区分中点计算公式和两点距离公式，不要混用 37．（25-26七年级上·江西南昌·期中）如图，记数轴上A、B两点之间线段长为，（单位长度），（单位长度），在数轴上，点A在数轴上表示的数是，点D在数轴上表示的数是15． (1)点B在数轴上表示的数是_____，点C在数轴上表示的数是_____，线段BC的长＝_____． (2)若线段以1个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动，当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是多少？ (3)若线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动，设运动时间为t秒，当时，M为中点，N为中点． ①若数轴上两个数为a、b，则它们的中点可表示为．则点M表示的数为_____，点N表示的数为______．（用代数式表示） ②线段MN的长是否为定值，如果是，请求出这个值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)，14，24 (2)当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是﹣2 (3)①；；②MN的长是定值， 【分析】（1）数轴上点A右边的点B表示的数是点A表示的数加上这两个点的距离，数轴上点D左边的点C表示的数是点D表示的数减去这两个点的距离，依此方法可求出点B和点C表示的数，因为点C在点B的右边，所以用点C表示的数减去点B表示的数即得到线段的长； （2）设运动的时间为t秒，先确定点B表示的数为，点B与点C相距24个单位长度，两个点相向运动，则点B与点C重合时，点B与点C运动的距离和为24，列方程求出t的值再求出点B表示的数即可； （3）①先用t的代数式表示出A、B、C、D四点对应的数，再根据中点公式即可求解； ②用两点间距离公式即可求解． 【详解】（1）解：因为点A表示的数是，点B在点A右侧，且， 所以， 所以点B表示的数是； 因为点D表示的数是15，点C在点D的左侧，且， 所以， 所以点C表示的数是14， 点B与点C的距离是（单位长度）， 所以线段BC的长为24个单位长度， 故答案为：，14，24． （2）设运动的时间为t秒，则点B表示的数是， 根据题意得， 解得， 所以， 答：当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是． （3）①根据题意得，t秒后点A对应的数为：，点C对应的数为：， ∵M为中点， ∴点M对应的数为：， t秒后点B对应的数为：，点D对应的数为：， ∵N为中点， ∴点N对应的数为：， 故答案为：；； ②线段的长为定值， ∵点M对应的数为，点N对应的数为； ∴， ∴线段的长为定值． 【点睛】此题考查数轴上两点的距离的求法、解一元一次方程、列一元一次方程解应用题等知识与方法，解题的关键是正确理解行程问题中相遇问题和追及问题的数量关系并且用代数式和等式表示这些关系． 38．（26-27七年级上·江苏盐城·期中）如图，数轴上有M，N两点和一条线段，规定：若线段的中点R在线段上（点R能与点P或点Q重合），则称点M与点N关于线段“中线对称”． （注：把一条线段分成相等的两条线段的点，叫作线段的中点） 已知点O为数轴的原点，点A表示的数为，点B表示的数为4，点C表示的数为x，若点A与点C关于线段“中线对称”，则x的最大值为________． 【答案】12 【分析】根据“中线对称”的定义，求解即可． 【详解】解：如图，根据题意可知，当点A与点C关于线段“中线对称”，点B为的中点时，x的值最大， ∵点A表示的数为，点B表示的数为4， ∴， ∴， ∴点C表示的数为， ∴x的最大值为12． 39．（24-25七年级上·湖南娄底·期中）[背景知识]数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点A表示的数为，点B表示的数为6，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点B匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，Q到达A点后，再立即以同样的速度返回B点，当点P到达终点后，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t秒． 【综合运用】 (1)填空：A、B两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)当t为何值时，P、Q两点间距离为3； (3)若点M为的中点，点N为的中点，用含t的代数式表示的长度． 【答案】(1)10，1 (2)或或 (3)当时，；当时， 【分析】kkk本题考查数轴上两点间的距离公式、中点坐标公式、动点问题： （1）利用数轴上两点间距离公式和中点公式直接计算； （2）分点Q向左运动和返回运动两种情况，根据两点间距离公式列方程求解； （3）分点向左运动和返回运动两种情况，先求出、表示的数，再利用距离公式计算MN的长度． 【详解】（1）解：表示的数为，点表示的数为6， 中点表示的数是 故答案为：10，1； （2）解：当点与点重合时，； 当点与点重合时，； 当点返回到点时，， 当时，点表示的数是，点表示的数是， ， 或， 解得或； 当时，点表示的数是，点表示的数是， ， 或， 解得或（不符合题意，舍去）， 综上所述，当或或时，两点间距离为3． （3）解：点为的中点，点为的中点， 当时，点表示的数是，点表示的数是， ∵，， ∴， ； 当时，点表示的数是，点表示的数是， ∵，， ∴， ． ∴当时，；当时，． 题型14 数轴上定值不变问题（共3小题） 40．（25-26七年级上·北京大兴·期中）我们规定：对于数轴上不同的三个点M，N，P，当点M在点N右侧时，若点P到点M的距离恰好为点P到点N的距离的n倍，且n为正整数，（即），则称点P是“关联点” 如图，已知在数轴上，原点为O，点A，点B表示的数分别为4，． (1)原点O （填“是”或“不是”）“关联点”； (2)若点C是“整2关联点”，则点C所表示的数 ； (3)若点A沿数轴向右运动，每秒运动1个单位长度，同时点B沿数轴向左运动，每秒运动2个单位长度，则运动时间为 秒时，原点O恰好是“关联点”，此时n的值为 ． (4)点Q在A，B之间运动，且不与A，B两点重合，作“关联点”，记为，作“关联点”，记为，且满足，分别在线段和上．当点Q运动时，若存在整数m，n，使得式子为定值，求出m，n满足的数量关系． 【答案】(1)是 (2)0或 (3)2；1 (4) 【分析】本题是数轴上新定义应用题，主要运用“数轴上表示数、的两点之间的距离为”来解题． （1）根据已知条件及新定义即可判定； （2）根据已知条件及新定义得出等式，再分类讨论点的位置，得出满足条件的值； （3）设运动秒，根据数轴是两点距离的计算方法用含的代数式表示、，再根据新定义得出关于等量关系，由“是正整数”求出、即可； （4）设点表示的数为，根据新定义、已知条件，得出用、、表示的代数式，再由“点运动时，式子为定值”知：关于的代数式中的系数为0，从而得出整数、满足的数量关系． 【详解】（1）解：点A，点B表示的数分别为4，， ，， ， 原点是“，2关联点”， 故答案为：是； （2）点A，点B表示的数分别为4，， ， 若点是“，整2关联点”，则， 当点在线段上时，， 此时，点所表示的数为； 当点在线段的延长线上时，， 此时，点所表示的数为， 综上所述，点所表示的数0或， 故答案为：0或； （3）若点A沿数轴向右运动，每秒运动1个单位长度，同时点B沿数轴向左运动，每秒运动2个单位长度，设运动秒， 则，， 原点O恰好是“[A，B]n关联点”， 是正整数），即有， ， 是正整数， 而，为3的约数， ，即， 即运动时间为2秒时，原点恰好是“，整关联点”，此时的值为1， 故答案为：2；1； （4）点在、之间运动，且不与、两点重合，作“，整2关联点”，记为，作“，整3关联点”，记为，且满足、分别在线段和上， 设点表示的数为，则 ，， ，， ，， ， 当点运动时，若存在整数、，使得式子为定值，则， ． 即整数、满足的数量关系是． 41．（17-18七年级上·江苏无锡·期末）如图，O为原点，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足|a+2|＋(3a＋b)2＝0． （1）a＝________，b＝_________； （2）若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动的时间为t（秒）． ①当点P运动到线段OB上，且PO＝2PB时，求t的值； ②先取OB的中点E，当点P在线段OE上时，再取AP的中点F，试探究的值是否为定值？若是，求出该值；若不是，请用含t的代数式表示． ③若点P从点A出发，同时，另一动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点O后立即原速返回向右匀速运动，当PQ＝1时，求t的值． 【答案】（1）-2，6；（2）①6，②2，③5. 【详解】试题分析：（1）根据非负数的性质即可求出的值； （2）①先表示出运动t秒后P点对应的数为，再根据两点间的距离公式得出 ，，利用建立方程，求解即可； ②根据中点坐标公式分别表示出点E表示的数，点F表示的数，再计算 即可； ③分类讨论. 试题解析： 解得： 故答案为 ① 解得： ②AP的中点F表示的数是 OB的中点E表示的数是 所以 所以 ③ 解得： ,解得： 解得： 42．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，在数轴上，点表示，点表示8，点从原点出发，沿数轴负方向以的速度向终点运动，同时，点从点出发沿数轴负方向以的速度向终点运动，运动时间为． (1)求的长； (2)若，，且，求的长； (3)直接写出点、表示的数（用含、、的式子表示）； (4)点为、之间的动点，在、运动过程中，设，，且，始终为定值，直接写出、满足的数量关系． 【答案】(1)10 (2)7 (3)点表示的数为：，点表示的数为：； (4)． 【分析】本题考查了数轴上的动点问题． （1）直接根据两点间的距离公式计算即可； （2）先求出点P、点Q表示的数，再求的长即可； （3）直接根据两点间的距离公式计算即可； （4）由（3）可知，，则，，即，由，，可知，根据求出，根据始终为定值得到，即可求出、满足的数量关系． 【详解】（1）解：； （2）解：若，，且， 则点P表示的数为：，点Q表示的数为：， ∴； （3）解：∵点从原点出发，沿数轴负方向以的速度向终点运动，运动时间为， ∴点表示的数为； ∵点从点出发沿数轴负方向以的速度向终点运动，运动时间为， ∴点表示的数为； （4）解：∵点表示的数为：， ∴， ∵点表示的数为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵始终为定值， ∴， ∴． 题型15 数轴的应用问题（共3小题） 43．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）阅读理解：若A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的好点． 如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的好点． (1)知识运用：如图1，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D______【A，B】的好点；（请在横线上填是或不是） (2)如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为﹣2．数______所对应的点是【M，N】的好点（写出所有可能的情况）； (3)拓展提升：如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣20，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以4个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当经过几秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点？（写出所有情况） 【答案】(1)不是 (2)0或 (3)当经过5秒或或秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点 【分析】（1）根据好点的定义验证即可； （2）分好点在线段上及在点N的左侧两种情况，由好点的定义进行解答即可； （3）分四种情况考虑：P是【A，B】的好点；P是【B，A】的好点；B是【A，P】的好点；A是【B，P】的好点；再由好点的定义解答即可． 【详解】（1）解：如图1，∵点D到点A的距离是1，到点B的距离是2， 根据好点的定义得：， 那么点D不是【A，B】的好点； （2）解：如图2，，， 即距离点M为4个单位，距离点N为2个单位的点就是所求的好点0； ∴数0所表示的点是【M，N】的好点； ，， 同理：数所表示的点也是【M，N】的好点； ∴数0或所表示的点是【M，N】的好点； （3）解：如图3，由题意得：，，， 点P走完所用的时间为：（秒）， 分四种情况： ①当时，即，（秒），P是【A，B】的好点， ②当时，即（秒），P是【B，A】的好点， ③当时，即（秒），B是【A，P】的好点， ④当时，即（秒），A是【B，P】的好点， ∴当经过5秒或或秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点； 【点睛】本题是新定义问题，考查了数轴上用点表示有理数，数轴上动点问题，线段的和差倍运算，关键是理解题中的新定义，注意分类讨论． 44．（25-26七年级·陕西榆林·期中）如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和9的位置上，沿数轴做移动游戏．移动游戏规则：两人先进行“石头、剪刀、布”，而后根据输赢结果进行移动． ①若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； ②若甲赢，则甲向东移动5个单位长度，同时乙向东移动3个单位长度； ③若乙赢，则甲向西移动3个单位长度，同时乙向西移动5个单位长度． 前三局如下表：（提示：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀） 第一局 第二局 第三局… 甲的手势 石头 剪刀 石头 … 乙的手势 石头 布 布 … (1)从如图所示的位置开始，求第一局后甲、乙两人分别在数轴上的位置． (2)从如图所示的位置开始，从前三局看，第几局后甲离原点最近，离原点距离多少？ (3)从如图所示的位置开始，若进行了k局后，甲与乙的位置相距3个单位长度，请直接写出k的值． 【答案】(1)甲在数轴上的位置为，乙在数轴上的位置为8 (2)从前三局看，第二局后甲离原点最近，离原点距离为0 (3)6或9 【分析】（1）根据第一局平局，根据规则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度；得出甲位置在-6+1=-5，乙位置在9-1=8； （2）第一局平局，甲的位置在-6+1=-5；第二局甲胜，甲的位置在-5+5=0；第三局乙胜，甲的位置在0-3=-3．从前三局看，第二局后甲离原点最近，离原点距离为0； （3）第一局平局，甲乙相向而行，甲乙之间距离缩短1+1=2；第二局甲胜，甲乙同向东而行，甲乙之间距离缩短5-3=2；第三局乙胜，甲乙同向西而行，甲乙之间距离缩短-3+5=2；无论谁胜或平局，两人之间是距离总是缩短2．∵甲乙之间原来的距离为9+6=15，∴当甲乙之间的距离缩短到3时，或． 【详解】（1）解：∵第一局为平局， ∴甲向东移动1个单位长度，甲在数轴上的位置为， 同时乙向西移动1个单位长度，乙在数轴上的位置为8． （2）解：∵第二局甲赢， ∴甲向东移动5个单位长度，甲在数轴上的位置为0， ∵第三局乙赢， ∴甲向西移动3个单位长度，甲在数轴上的位置为， ∴从前三局看，第二局后甲离原点最近，离原点距离为0． （3）解：k的值为6或9． 由题意可得刚开始两人之间的距离为15个单位长度， ∵若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度， ∴若平局，移动后甲、乙之间的距离缩小2个单位长度． ∵若甲赢，则甲向东移动5个单位长度，同时乙向东移动3个单位长度， ∴若甲赢，移动后甲、乙之间的距离缩小2个单位长度． ∵若乙赢，则甲向西移动3个单位长度，同时乙向西移动5个单位长度， ∴若乙赢，移动后甲、乙之间的距离缩小2个单位长度． ∴甲、乙每移动一次，甲、乙之间的距离缩小2个单位长度． ∵最终甲与乙的位置相距3个单位长度， ∴共需缩小12个单位长度或18个单位长度． ∵，， ∴k的值为6或9． 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点，数轴上两点之间的距离等，解决问题的关键是熟练掌握数轴上动点表示的数等于原来表示的数加上或减去动点移动的距离，左移减，右移加，数轴上两点之间的距离一般取两点表示的数的差，用较大的数减去较小的数． 45．（25-26七年级上·北京朝阳·期末）在数轴上，点表示的数为1，点表示的数为3，对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作，线段；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作，线段． 例如：点表示的数为4，则点，线段点，线段．    已知点为数轴原点，点为数轴上的动点． (1)（点，线段)=_________，（点，线段）_________； (2)若点表示的数，点表示数(线段，线段，求的值； (3)点C从原点出发，以每秒2个单位长度沿轴正方向匀速运动，点从表示数的点出发，第1秒以每秒2个单位长度沿轴正方向匀速运动，第2秒以每秒4个单位长度沿轴负方向匀速运动，第3秒以每秒6个单位长度沿轴正方向匀速运动，第4秒以每秒8个单位长度沿轴负方向匀速运动，……，按此规律运动，两点同时出发，设运动的时间为秒，若(线段，线段)小于或等于6，直接写出的取值范围（可以等于0）． 【答案】(1)1，3 (2)或 (3)或 【分析】（1）根据目中所给定义进行计算即可； （2）分为线段在线段左侧或线段在线段右侧两种情况进行讨论即可； （3）分别分析出每一秒的情况，再进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵点O到线段AB的最小距离为：， ∴（点，线段)=1， ∵点O到线段AB的最小距离为：， ∴（点，线段)=3， 故答案为：1，3． （2）当线段在线段左侧时： （线段，线段）， 解得：， 当线段在线段右侧时： （线段，线段）， 解得：， 综上：或． （3）当时，点C表示的数为0，点D表示的数为-2，则， 当时，点C表示的数为2t,点D表示的数为,则，成立； 当时，点C表示：2，点D表示：， 此时：（线段，线段），符合题意； 当时，点C表示：4，点D表示：， 此时：（线段，线段），不符合题意； 当时，点C表示：，点D表示：， ∴此时：（线段，线段）， 解得：， ∴， ∵时，点C表示：6，点D表示：， ∴（线段，线段），符合题意； 当时，点C表示：，点D表示：， ∴此时：（线段，线段）， 解得：， ∵当时，点C表示：8，点D表示：， ∴（线段，线段），不符合题意； 当时，点C表示：，在6和8之间；点D表示：，在2和6之间， ∴此时：（线段，线段）， 或（线段，线段）， 解得：， ∴， 当时，点C表示：10，点D表示：， 此时：（线段，线段），不符合题意； 当时，点C表示：，在8和10之间；点D表示：，在和4之间， ∴此时，，则当时，（线段，线段）， 综上：或． 【点睛】本题主要考查了数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离，熟练掌握计算数轴上两点间的距离的方法，正确理解题意，进行分类讨论是解题的关键． 提升·进阶突破 题型16 数轴上的动点、规律及其应用进阶练（共10小题） 46．（26-27七年级上·江苏淮安·期中）直径为1个单位长度的圆，圆上的一点A由原点沿数轴向左滚动两周（不滑动）到达点，则点表示的数是_________． 【答案】 【分析】先计算圆的周长，再计算滚动距离，最后根据点和原点的位置和距离得出所表示的数． 【详解】解：直径为1个单位长度的圆的周长为， 滚动两周的长度为， 圆上的一点A由原点沿数轴向左滚动两周（不滑动）到达点，即点位于原点左侧， 因此点表示的数是． 47．（26-27七年级上·吉林松原·期中）如图，数轴上，点与点对应的数分别是，将一根质地均匀的直尺放在数轴上（点在点的左边），若将直尺在数轴上水平移动，当点移动到点的位置时，点与点重合，当点移动到点的位置时，点与点重合． (1)直尺的长为__________个单位长度； (2)若直尺在数轴上，且满足点与点的距离等于点与点距离的倍时，求此时点对应的数； (3)当点对应的数为时，作为起始位置，直尺以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度也沿数轴向右运动，设运动时间为秒． ①若、、三点恰好在同一时刻重合，求的值； ②当时，、、三个点中恰好有一个点到另外两点的距离相等，若点不与点、重合，请直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1) (2)或 (3)①；②或或 【分析】（）根据题意可得，进而即可求解； （）分点在上和点的左侧两种情况解答即可求解； （）①求出、、三点重合的时间，再表示出点在数轴上对应的数，进而列出方程解答即可求解；②当时，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，再分点是两点中点，点是两点中点，点是两点中点三种情况解答即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴或， ∵， ∴或， ∴点对应的数是或， 即点对应的数是或； （3）解：①当点对应的数为时，点运动前表示的数是， ∵直尺以个单位秒的速度沿数轴匀速向右运动， ∴两点重合时秒， ∵点从点出发，以个单位秒的速度也沿数轴匀速向右移动， ∴点在数轴上对应的数为， 若三点恰好在同一时刻重合，则， 解得； ②当时，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，点对应的数为， 当点是两点中点时，则， 解得； 当点是两点中点时，则， 解得； 当点是两点中点时，则， 解得； 综上，的值为或或． 48．（26-27七年级上·陕西西安·期中）如图，已知数轴上从左到右有A，B，C，D四个点分别表示不同的数，其中点A，D对应的数分别为，，点C为原点，点B到点A与点D的距离相等． (1)点B表示的数为_________； (2)在数轴上标出点B的位置，并按从小到大的顺序用“”连接这四个数． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）数轴上到两点距离相等的点就是这两点的中点，利用中点坐标公式直接计算。 （2）在数轴上标出点，根据数轴上数的大小规律，左边数更小，直接依次排列。 【详解】（1）解：∵点到点、的距离相等，点A，D对应的数分别为，， ∴点B表示的数是， （2）解：数轴表示略， 用“”号把它们连接起来：． 49．（24-25七年级上·广东揭阳·期中）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴”：素材1如图，将一条数轴在原点，点，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示12，点表示24，点表示36，点与点在数轴上的距离为45个单位长度，并表示为． 素材2动点从点出发，以2个单位长度／秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的两倍．经过点后立刻恢复初始速度． 问题解决： (1)探索1：动点从点运动至点需要多少时间？ (2)探索2：动点从点出发，运动18秒至点和点之间时，求点表示的数？ (3)探索3：动点从点出发，运动至点的过程中某个时刻满足时，求动点运动的时间． 【答案】(1)秒 (2)表示的数为18 (3)动点运动的时间为秒或秒 【分析】（1）首先求出，，然后根据点P在段和段的速度求解即可； （2）求出，然后结合点B表示的数求解即可； （3）设秒后，根据题意分三种情况讨论，分别列式求解即可． 【详解】（1）解：点表示，点表示， ∴，， 在段初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的一半， ∴在段速度为个单位长度/秒， ∴从点运动至点的时间为：（秒）； （2）解：∵的初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的两倍， ∴在段速度为个单位长度/秒， 由（1）可得：在段运动时间为：（秒）， ∴， 点表示， ∴表示的数为：； （3）解：设秒后， ①当在上时， ∴， ， ∴， ∴， ， ∴（秒）； ②当在上时， ， ∴， ， ∴， ∴（秒）， ③当在上时， 此时不可能等于16，不符合题意舍去． 综上：动点运动的时间为秒或秒． 50．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，将直径为1的圆形纸片上的点A与数轴上表示的点重合，将纸片沿着数轴滚动一周，点A到达了点的位置，则线段的中点表示的数是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】题目未指定滚动方向，需分向左滚动和向右滚动两种情况讨论，分别求出点表示的数，再利用中点公式求解． 【详解】解：∵圆的直径为， ∴圆的周长为， ∵点与数轴上表示的点重合，将纸片沿着数轴滚动一周到达点， ∴需分两种情况讨论： ①当圆向右滚动时，点表示的数为， ∴线段的中点表示的数为； ②当圆向左滚动时，点表示的数为， ∴线段的中点表示的数为． 综上所述，线段的中点表示的数是或． 故选：B． 51．（25-26七年级上·重庆·期中）数轴上的点A 、B 、C 、D所表示的数如图所示，点M 为线段的中点，线段沿数轴以每秒2个单位长度向右平移，同时，点D沿数轴以每秒m 个单位长度向左平移．当点M 和点C 重合时同时停止运动．若在运动过程中始终满足，则m 的值为（   ） A．2 B． C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上点的平移（动点问题），由题意得：开始运动前，点M 表示的数为：，，推出开始运动后，，即可求解． 【详解】解：由题意得：开始运动前，点M 表示的数为：，， 开始运动后，， ∵， ∴，整理得：； ∵在运动过程中始终满足， ∴，解得：， 故选：C． 52．（25-26七年级上·江西赣州·期中）如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A，B，C把数轴分成①②③④四部分，点A，B，C对应的数分别是a，b，c，已知，设原点为O，若点C表示数3，数轴上一点D表示的数为d，在O、C、D这三点中，当相邻两点的距离相等时，则d的值为________． 【答案】6或或 【分析】分点C是的中点、点D是的中点、点O是的中点三种情况求解即可． 【详解】解：∵原点为O，点C表示数3，数轴上一点D表示的数为d， ∴①当点C是的中点时，， ，即； ②当点D是的中点时，，即； ③当点O是的中点时，，即． 综上所述，d的值为6或或． 53．（25-26七年级上·贵州遵义·期中）【知识储备】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了许多重要的规律： ①若数轴上点，点表示的数分别为，若位置不确定时，则两点之间的距离为：，若点在的右侧，即，则两点之间的距离为：； ②线段的中点表示的数为； ③点向右运动个单位长度（）后，点表示的数为：，点向左运动个单位长度（）后，点表示的数为：． 同学们可以在数轴上取点验证上述规律，并完成下列问题． 【问题情境】 如图：在数轴上点表示数，点表示数1，点表示数9，点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒． 【问题解决】 (1)请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：表示点到点之间的距离，运动之前，的距离为_________，若点与点的中点为，则点表示的数为_________； (2)运动秒后，点表示的数为_________（用含的式子表示）； (3)通过计算说明，当时，三点中是否存在一点为另外两点的中点，若存在，请确定哪个点是哪两个点的中点，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4，5 (2) (3)当时，不存在一点为另外两点的中点，理由： 解：三点中不存在一点为另外两点的中点， 当时， 点A表示的数为， 点B表示的数为， 点C表示的数为， ∴，，， ∵， ∴三点中不存在一点为另外两点的中点． 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系． （1）根据数轴两点间的距离，即可求解； （2）根据题意得：t秒钟过后，点A表示的数为； （3）点B表示的数为，点C表示的数为，分三种情况讨论，结合线段的中点表示的数为，即可求解； 【详解】（1）解：点A表示数，点B表示数1，点表示数9， ∴的距离为； B点与C点的中点D表示的数为； 故答案为：4，5； （2）点以每秒2个单位长度的速度在数轴上同时向左运动， 运动t秒后，点A表示的数为； 故答案为：； （3）略 54．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）（1）把下列各数填在表示集合的相应大括号中： ，，，25，0，，，，10% 整数集合：{                             …}； 非负数集合：{                             …}； （2）阅读：已知在纸面上有一个数轴（如图），折叠纸面，使数轴上表示数的点与表示数0的点重合，解答下列问题： ①数轴上表示数3的点与表示数______的点重合； ②若点到原点的距离是6个单位长度，并且，两点经折叠后重合，则点表示的数是______； ③若数轴上，两点之间的距离为2026，并且，两点经折叠后重合，如果点表示的数比点表示的数大，则点表示的数是_______． 【答案】（1）； （2）①；②或；③． 【分析】本题考查了有理数的分类与数轴的折叠问题，解题的关键是明确整数、非负数的定义，以及数轴折叠时对称中心的确定方法． （1）根据整数（正整数、0、负整数）和非负数（正数与0）的定义，对各数进行分类． （2）先确定折叠的对称中心为，再利用“对称点到对称中心的距离相等”分别求解各问． 【详解】（1）解：整数集合：； 非负数集合： （2）①解：折叠对称中心为，设与3重合的点为，则，解得 故答案为：． ②解：点表示的数为或， 当时，，解得； 当时，，解得． 故答案为：或． ③解：设表示的数为，表示的数为，则，且， 解得， 故答案为：． 55．（25-26七年级上·广东清远·期中）【教材呈现】2026年北师大版七年级上册教材中有以下内容： 【联系拓广】 数轴上任意两点，表示的数分别是，． （1）当，分别取下列值时，求，两点间的距离． ，；，；，． （2）用，表示，两点间的距离． 阅读以上内容，回答下面的问题： 【归纳概括】 （1）数轴上表示数3与6的两点之间的距离是________，数轴上表示数与6的两点之间的距离是________； （2）用，表示，两点之间的距离是________； 【解决问题】 （3）的含义是数轴上表示数与________的两点之间的距离，的含义是数轴上表示数与________的两点之间的距离； （4）请你在以下的数轴上表示和3两数的位置，当表示数的点在与3之间移动时，可以发现的值总是一个固定的值，这个值是________； （5）若动点，分别从和3同时出发，沿数轴向左运动，已知点的速度是每秒1个单位长度，点的速度是每秒2个单位长度，设移动时间为秒（）．点表示的数为________，点表示的数为________． 【答案】（1），； （2）； （3），； （4）如图， ； （5）①； 【分析】（1）根据数轴两点距离，用较大的数减去较小的数，即可解答； （2）根据绝对值的意义，即可求解； （3）根据绝对值的意义，即可求解； （4）根据表示到与的距离和，即可求解； （5）根据题意列出代数式即可求解． 【详解】解：（1）数轴上表示数3与6的两点之间的距离是，数轴上表示数与6的两点之间的距离是； 故答案为：，． （2）用，表示，两点之间的距离是， 故答案为：． （3）的含义是数轴上表示数与的两点之间的距离，的含义是数轴上表示数与的两点之间的距离； 故答案为：，． （4）表示到与的距离和，数的点在与3之间移动时， 故答案为：． （5）依题意，秒时，点表示的数为；点表示的数为 故答案为：；． 【点睛】本题考查的是数轴的定义及数轴上两点之间的距离公式，绝对值的意义，列代数式．用有理数表示数轴上的点．利用分类讨论和数形结合的思想是解答本题的关键． 拔高·压轴破难 题型17 数轴上的动点、规律及其应用培优练（共5小题） 56．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）对于数轴上两条线段a，b，给出如下定义：P，Q分别为a，b上任意一点，P，Q两点间距离的最小值记作；P，Q两点间距离的最大值记作．O为原点，线段a，b的长度分别为2和4，表示的点在线段a上． （1）若表示的点也在线段a上，表示6和10的点在线段b上，则 _______ ． （2）若原点O在线段a上，点A也在线段a上，点A表示的数为x．点B在线段b上，点B表示的数为y（x，y均为整数）．当，时，对应的 ______________ ． 【答案】 22 或或2或4 【分析】（1）先根据线段a、b长度和已知点，确定两条线段的端点表示的数，再计算和，最后代入计算即可； （2）如图，先确定线段a的端点表示的数，再由及分情况得线段b的端点表示的数，得出x、y的值，最后计算即可． 【详解】解：（1）∵表示的点在线段a上，表示的点也在线段a上，表示6和10的点在线段b上，线段a，b的长度分别为2和4， 又∵，， ∴线段a两个端点表示的数分别为、，线段b两个端点表示的数分别为6、10， ∴，， ∴； （2）如图， ∵线段a的长度为2，表示的点在线段a上，原点在线段a上， ∴线段，其中点C、O表示的数分别为、0， ∵，，点在线段a上，点A表示的数为x，点B在线段b上，点B表示的数为y（x，y均为整数）， 分两种情况：①线段，其中点E、F表示的数分别为1、5， 当时，，则； 当时，，则； ②线段，其中点G、H表示的数分别为、， 当时，，则； 当时，，则； 综上所述，对应的或或2或4． 【点睛】题目给出线段长度和经过的点，必须先算出两条线段准确端点，理解新定义概念及算法：：两线段上点的最小距离（通常是右线段左端点左线段右端点），：两线段上点的最大距离（通常是右线段右端点左线段左端点），第二问中线段b位置不确定，必须分左右两种情况讨论，算出线段b的准确端点，对每种情况，用两点距离为6，找出符合条件的整数x、y，注意不漏解、不重解． 57．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）阅读以下材料解决问题，如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是3，若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点、的“格距点”．例如：在图1中，点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“5格距点”． (1)若点表示的数是0，则的值为____________； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点、的“5格距点”，则这样的整点对应的点的值分别是____________； (3)若点在数轴上运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的3倍，且此时点为点、的“格距点”，求点表示的数及的值． 【答案】(1)5 (2)，，0，1，2，3； (3)点P表示的数为： ，此时；点P表示的数为：，此时 【分析】本题考查了新定义，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，理解题意，利用数形结合的思想是解题关键． （1）由题意可求出点到点的距离与点到点的距离之和为5，即可求解； （2）根据题意可得出，即说明点在线段上，从而得出整点所表示的数即可； （3）分两种情况讨论，当在之间时和当在点的左边时，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵点P表示的数为0， ∴点P到点A距离与点P到点B的距离之和为， ∴点P为点A、B的“5格距点”， ∴ ， 故答案为：5； （2）∵整点P为点A、B的“5格距点”， ∴ ，即P在线段上， ∴整点P所表示的数是，，0，1，2，3， 故答案为：，，0，1，2，3； （3）①当P在之间时，， ∵点到点的距离等于点到点的距离的3倍， ∴， ，点P表示的数为：，此时； ②当P在点A左边时，，， 点P表示的数为：，此时． 综上所述，点P表示的数为： ，此时；点P表示的数为：，此时． 58．（25-26七年级上·云南昆明·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合.研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为. 【问题情境】 如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为．点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动.设运动时间为秒（）. 【综合运用】 （1）填空：秒后，点运动的路程为______；点表示的数为______；（用含的代数式表示） （2）若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长. （3）当点运动到点时立即掉头，速度不变，此时点和点分别从点和点出发，向左运动，点的速度为1个单位长度/秒，点的速度为5个单位长度/秒，设点、、所对应的数分别是、、，点出发的时间为秒，当时，求的值. 【答案】（1）；； （2）线段的长度不变，长度为7； （3）0 【分析】本题考查了数轴上两点的距离公式，线段的中点，以及线段的和差，找出线段之间的数量关系是解题关键，注意分类讨论． （1）根据题意，t秒后，点运动的路程为，点表示的数为； （2）分两种情况讨论：①当点P在线段上；②当点P在线段的延长线上时，根据线段的和差关系，结合线段中点分别求解即可； （3）当点P追上T的时间．当Q追上T的时间．当Q追上P的时间，推出当时，位置如图，利用绝对值的性质即可解决问题． 【详解】解：（1）根据题意，秒后，点运动的路程为；点表示的数为； 故答案为：；； （2）线段的长度不变，理由如下： ①当点P在线段上时， ∵点M为的中点，点N为的中点， ∴； ②当点P在线段的延长线上时， ∵点M为的中点，点N为的中点， ∴； 所以线段的长度不变，是7． （3）当点P追上T的时间， 当Q追上T的时间， 当Q追上P的时间， ∴当时，位置如图， ∴． 59．（25-26七年级上·广东广州·期中）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“祁美点”． 例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“祁美点”． (1)若点A表示数，点B表示数5，点M是点A，B的“祁美点”，点M在A，B之间，且表示一个负数，则点M表示的数为______； (2)点A表示数，点B表示数12，P为数轴上一个动点： 若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“祁美点”，则此时点P表示的数是多少？ 若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“祁美点”，则此时点P表示的数是多少？ 【答案】(1)； (2)或0或6；30或48或21． 【分析】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，弄清题中关于“祁美点”定义，按照定义表示线段倍数关系，分类讨论是解题的关键． （1）设M点表示的数是x，由题意可得或，求出符合题意的x的值即可； （2）设点P表示的数是x，由题意可得或，求出符合条件的x的值即可； 设点P表示的数是x，分三种情况讨论：当P点是点A，B的“祁美点”；当A点是P，B的“祁美点”；当B点是A，P的“祁美点”；列方程，求出P点表示的数即可得到答案． 【详解】（1）解：点M是点A，B的“祁美点”， 或， 设M点表示的数是x，点M在A，B之间，， ∴或 解得：或 点M表示一个负数， 点M表示的数为； （2）点P是点A，B的“祁美点”， 或， 设点P表示的数是x，由题意可得： 或， 解得：或或或， 点P在点B的左侧， 或或， 故答案为：或0或6； 设点P表示的数是x， 当点P是点A，B的“祁美点”时， 则或， 由题意可得： 或， 解得：或或或， 点P在点B的右侧， ， 当A点是P，B的“祁美点”时， 则或， 由题意可得： 或， 解得：或或或， 点P在点B的右侧， 当B点是A，P的“祁美点”时， 则或， 由题意可得： 或， 解得：或或或， 点P在点B的右侧， 或； 综上：点P表示的数是30或48或21． 60．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）定义：若，，为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离倍，我们就称点是【，】的美好点．若规定、两点之间的距离为，即当时，我们称点是【，】的美好点． 例如：如图，点表示的数为，点表示的数为．表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是【，】的美好点；又如，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点就不是【，】的美好点，但点是【，】的美好点． 如图2，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为． (1)点，，表示的数分别是，，，其中是【，】美好点的是；写出【，】美好点所表示的数是______． (2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以个单位每秒的速度向左运动．请你写出当为何值时，，和中恰有一个点为其余两点的美好点？ 【答案】(1)；或 (2)，，，，，． 【分析】本题考查数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离、点是【M，N】的美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据美好点的定义，结合图，直观考察点，，到点，的距离，只有点符合条件．结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化． （2）根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点分种情况，须区分各种情况分别确定点的位置，进而可确定的值． 【详解】（1）解：根据美好点的定义，，，，只有点G符合条件， 故答案是：． 结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和之间靠近点一侧应该有满足条件的点，进而可以确定符合条件．点的左侧距离点M的距离等于点和点的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是． 故答案为：或； （2）解：根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点分种情况， 第一情况：当为【，】的美好点，点在，之间，如图， 当时，则， 因此秒； 第二种情况，当为【，】的美好点，点在，之间，如图2， 当时，则， 因此秒； 第三种情况，为【N，M】的美好点，点在左侧，如图3， 当时，则， 因此秒； 第四种情况，M为【P，N】的美好点，点在左侧，如图4， 当时，则，点对应的数为， 因此秒； 第五种情况，M为【N，P】的美好点，点在左侧，如图5， 当时，则，点对应的数为， 因此秒； 第六种情况，M为【N，P】的美好点，点在，左侧，如图， 当时，则， 因此秒； 第七种情况，为【，】的美好点，点在左侧， 当时，则， 因此秒， 第八种情况，N为【M，P】的美好点，点在右侧， 当时，则， 因此秒， 综上所述，的值为：，，，，，． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $