精品解析：北京市第二十四中学2026-2027学年第一学期高三年级10月月考数学试卷

北京二十四中学2026—2027学年度第一学期高三年级10月月考试卷 数学 命题人： 刘莉莉 　审核人： 周恬尔 一、单选题：本题共10小题，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. （1，3） C. D. 2. 在复平面上，复数所对应的点在第（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 3. 展开式中含项的系数是（ ） A. B. C. D. 4. 为了得到的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 5. 已知边长为2的正方形中，点，分别为，的中点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 记等差数列的前n项和为，已知，，则（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 7. 函数的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 在中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则“”是“是直角三角形”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于0.1%.经测定，刚下课时教室内空气中含有0.25%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间(单位：分钟)的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为( ) (参考数据) A. 11分钟 B. 12分钟 C. 13分钟 D. 14分钟 10. 已知函数的定义域为，存在常数，使得对任意，都有，当时，．若在区间上单调递减，则t的最小值为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域是______． 12. 等比数列的各项均为正数，且，则_____. 13. 已知角终边过点，角终边与角终边关于轴对称，则______；______． 14. 已知函数，且，若两个不等的实数满足且，则__________. 15. 已知函数，，给出下列结论： ①函数的值域为 ②函数在上是增函数； ③对任意，方程在内恒有解； ④若存在，，使得成立，则实数的取值范围是. 其中所有正确结论的序号是___________. 三、解答题：本题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在中，，. （1）求； （2）再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的周长. 条件①：的面积为；条件②：；条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 17. 已知函数，. （1）求的值； （2）求在区间上的最大值和最小值及相应的值． 18. 为了迎接北京冬奥会，弘扬奥林匹克精神，某学校组织全体高一学生开展了冬奥知识竞赛活动．从参加该活动的学生中随机抽取了12名学生的竞赛成绩，数据如下表： 男生 81 84 86 86 88 91 女生 72 80 84 88 92 97 （1）从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率； （2）从该校的高一学生中，随机抽取3人，记成绩为优秀分的学生人数为X，求X的分布列和数学期望； （3）表中男生和女生成绩的方差分别记为，，现在再从参加活动的男生中抽取一名学生，成绩为86分，组成新的男生样本，方差计为，试比较、、的大小．只需写出结论 19. 四棱锥中，平面平面，，，，，O是AB的中点 （1）求证：CD平面POC （2）求二面角C-PD-O的平面角的余弦值 （3）在侧棱PC上是否存在点M，使得平面POD，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 20. 已知函数（）图象在点处的切线与直线垂直． （1）求实数a的值； （2）若存在，使得恒成立，求实数k的最大值． 21. 设为正整数，集合，对于集合中个元素，若，则称具有性质. 记，为中的最小值. （1）当时，若，判断是否具有性质. 如果是，求出；如果不是，说明理由； （2）当时，若具有性质，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京二十四中学2026—2027学年度第一学期高三年级10月月考试卷 数学 命题人： 刘莉莉 　审核人： 周恬尔 一、单选题：本题共10小题，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. （1，3） C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合B，然后再求两集合的并集即可. 【详解】由，得，解得或， 所以或， 因为， 所以， 故选：C 2. 在复平面上，复数所对应的点在第（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 所以复数所对应的点为，在第二象限. 3. 展开式中含项的系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据二项式定理，其展开式通项公式为， 要求含项的系数，则令，解得， 所以系数为. 4. 为了得到的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数图象变换规律可得答案. 【详解】将函数的图象向左平移个单位，得到的图象，故A不正确； 将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，故B不正确； 将函数的图象向左平移个单位，得到的图象，故C正确； 将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，故D不正确； 故选：C 5. 已知边长为2的正方形中，点，分别为，的中点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合数量积的几何意义运算求解. 【详解】因为点，分别为，的中点， 则，且在方向上的投影数量为2， 所以. 故选：B. 6. 记等差数列的前n项和为，已知，，则（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用题给条件列出关于首项公差d的方程组，解之即可求得的值. 【详解】设等差数列的首项为，公差为d， 则，解之得 故选：D 7. 函数的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】化简得，再利用二次函数的图象和性质求解. 【详解】解：函数 ， 由于， 故，由于函数的对称轴为， 当时，取得最大值， 故选：B 8. 在中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则“”是“是直角三角形”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理化简，结合三角函数恒等变形，即可判断选项. 【详解】由正弦定理可知，， 即， 得，因为， 所以，，则， 但是反过来，是直角三角形，不一定， 所以“”是“是直角三角形”充分不必要条件. 故选：B 9. 按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于0.1%.经测定，刚下课时教室内空气中含有0.25%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间(单位：分钟)的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为( ) (参考数据) A. 11分钟 B. 12分钟 C. 13分钟 D. 14分钟 【答案】D 【解析】 【分析】首先设当和时分别为、，然后通过指数与对数运算即可求解. 【详解】由题意，不妨设当时，；当时，， 即， 从而，化简整理得，， 解得，. 故选：D. 10. 已知函数的定义域为，存在常数，使得对任意，都有，当时，．若在区间上单调递减，则t的最小值为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的周期性和绝对值型函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为存在常数，使得对任意，都有， 所以函数的周期为， 当时，函数在单调递减， 所以当时，函数在上单调递减， 因为在区间上单调递减， 所以有， 故选：B 【点睛】关键点睛：根据函数的周期的性质，结合绝对值型函数的单调性是解题的关键. 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域是______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据对数的真数大于零，开偶数次方，根号里的数大于等于零，列出不等式组，即可的解. 【详解】解：由函数， 可知，解得， 即函数的定义域是. 故答案为： 12. 等比数列的各项均为正数，且，则_____. 【答案】. 【解析】 【详解】试题分析：由题意知，且数列的各项均为正数，所以， ， ． 考点：1．考查等比数列的基本性质；2．对数的基本运算． 13. 已知角终边过点，角终边与角终边关于轴对称，则______；______． 【答案】 ①. ②. ##0.6 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出角的正切值，得到点关于轴的对称点，即可求得，再结合余弦的差角公式即可得到结果. 【详解】由题意，角终边过点，由三角函数定义知：， ，， 由角终边与角终边关于轴对称得角的终边过点， 所以，， 故. 故答案为：，. 14. 已知函数，且，若两个不等的实数满足且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由辅助角公式可得，其中，结合题意可得，是函数的一条对称轴，进而可得，再根据正切诱导公式求值即可． 【详解】，其中， 又两个不等的实数满足且， ，解得， 则， ， 是函数的一条对称轴， 则，， ． 15. 已知函数，，给出下列结论： ①函数的值域为 ②函数在上是增函数； ③对任意，方程在内恒有解； ④若存在，，使得成立，则实数的取值范围是. 其中所有正确结论的序号是___________. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】对于①，根据解析式求出函数的值域，可知①不正确； 对于②，由的范围推出的范围，结合正弦函数的单调性可知②正确； 对于③，求出两个函数在上的值域，利用两个函数的值域的交集可能为空集可知③不正确； 对于④，求出两个函数在上的值域，利用两个函数的值域的交集不为空集可求出结果. 【详解】对于①，当时，为增函数， 所以，即； 当时，为减函数， 所以，即， 所以的值域为，故①正确； 对于②，当时，， 所以为增函数，又， 所以在上为增函数，故②正确； 对于③，由①知，的值域为， 由②知，在上为增函数，所以， 所以，即在内的值域为， 当或，即或时，在内无解，故③不正确； 对于④，若存在，，使得成立， 则， 由③知，当或时，， 所以当时，， 所以实数的取值范围是，故④正确. 故答案为：①②④ 【点睛】关键点点睛：对于③和④，利用两个函数在上的值域进行求解是解题关键. 三、解答题：本题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在中，，. （1）求； （2）再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的周长. 条件①：的面积为；条件②：；条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2） 选条件①：的周长为. 选条件②：的周长为. 选条件③：此时不唯一，条件③不合要求 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，利用辅助角公式结合角的范围即可求解； （2）若选条件①，利用正弦定理面积公式求出，再利用余弦定理求出即可求解；若选条件②，先利用等腰三角形性质求出，再利用三角形内角和公式求出，最后余弦定理确定即可求解；若选条件③，先利用已知条件结合余弦定理求出，发现三角形不唯一不合要求. 【小问1详解】 因为， 由辅助角公式有：， 即，因为，所以， 所以，解得. 【小问2详解】 选条件①：的面积为， 由正弦定理有：， 即，， 由余弦定理有：，即， 解得：，所以的周长为. 选条件②：， 因为，由，所以为等腰的三角形，所以， 因为，所以， 由余弦定理有：，即， 解得，所以的周长为. 选条件③：， 由由余弦定理有：，即， 整理得：，解得或， 此时不唯一，所以条件③不合要求. 17. 已知函数，. （1）求的值； （2）求在区间上的最大值和最小值及相应的值． 【答案】（1） （2）时，取得最大值；时，取得最小值； 【解析】 【分析】（1）由，代入计算得，结合即可求解； （2）先求得，再结合正弦函数的性质求最值及相应的值即可． 【小问1详解】 ， ，解得， 又，则； 【小问2详解】 ， ， ， 则当，即时，取得最大值； 当，即时，取得最小值． 18. 为了迎接北京冬奥会，弘扬奥林匹克精神，某学校组织全体高一学生开展了冬奥知识竞赛活动．从参加该活动的学生中随机抽取了12名学生的竞赛成绩，数据如下表： 男生 81 84 86 86 88 91 女生 72 80 84 88 92 97 （1）从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率； （2）从该校的高一学生中，随机抽取3人，记成绩为优秀分的学生人数为X，求X的分布列和数学期望； （3）表中男生和女生成绩的方差分别记为，，现在再从参加活动的男生中抽取一名学生，成绩为86分，组成新的男生样本，方差计为，试比较、、的大小．只需写出结论 【答案】（1） （2）分布列为 0 1 2 3 （3） 【解析】 【小问1详解】 设“从抽出的男生和女生中，男生成绩高于女生成绩”为事件 由表格可得：从抽出的12名学生中，男生和女生各随机选取一人，即样本空间； 其中男生成绩高于女生成绩的有 ，事件A包含17个样本点， 因此． 【小问2详解】 由数据可知，在抽取的12名学生中，成绩为优秀（分）的有3人，即从该校参加活动的高一学生中随机抽取1人， 该学生成绩优秀的概率为． 因此从该校高一学生中随机抽取3人， 这3人中成绩优秀人数可取，且， 所以 ， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 数学期望或者，所以 . 【小问3详解】 男生的平均成绩为，则； 女生的平均成绩为，则； 由于从参加活动的男生中抽取成绩为86分的学生组成新的男生样本， 所以， 则；所以 19. 四棱锥中，平面平面，，，，，O是AB的中点 （1）求证：CD平面POC （2）求二面角C-PD-O的平面角的余弦值 （3）在侧棱PC上是否存在点M，使得平面POD，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 【答案】（1）证明:因为，O是AB的中点，故， 而平面平面，平面，平面平面， 故平面，而平面，故. 在中，，故，同理. 在直角梯形中，， 故即，而， 故平面. （2） （3）在侧棱PC上存在点M，使得平面POD，此时. 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直可得平面，从而可得，又可证，从而可证平面. （2）可建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面、平面的法向量后再求出它们的夹角的余弦值，从而可得二面角的余弦值. （3）设，则可求的坐标，再求出平面的法向量后可求的值，从而可得的值. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 在平面中，过作，则， 而由（1）可得平面，而平面，故， 故可建立如图所示的内角直角坐标系，其中轴在上， 则 故， 设平面的法向量为， 则 ，故，取，则， 故， 设平面的法向量为，而， 故，则，取，故，故. 故，而二面角C-PD-O的平面角为锐角， 故二面角C-PD-O的平面角的余弦值为. 【小问3详解】 设，则，故， 故. 若平面POD，则，故即， 故在侧棱PC上存在点M，使得平面POD，此时. 20. 已知函数（）图象在点处的切线与直线垂直． （1）求实数a的值； （2）若存在，使得恒成立，求实数k的最大值． 【答案】（1）1 （2）-1 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求得答案； （2）将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，求出函数导数，判断其函数值正负，判断函数单调性，利用“隐零点”求得函数最小值的表达式，结合二次函数性质即可求得答案. 【小问1详解】 ∵，∴， ∵切线与直线垂直，∴切线的斜率为3， ∴，即，故. 【小问2详解】 由（1）知，， ， 令，，则，， 由对恒成立，故在上单调递增， 又∵，而， ∴存在，使， ∵在上单调递增， ∴当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； ∴在处取得最小值， ∵恒成立，所以； 由得，，所以， ∴ ， 又，∴， ∵，∴k的最大值为． 【点睛】关键点睛：解答第二问根据不等式恒成立求解参数的最大值，关键在于要求出函数的最小值或取值范围，解答时要注意“隐零点”问题的解决方法. 21. 设为正整数，集合，对于集合中个元素，若，则称具有性质. 记，为中的最小值. （1）当时，若，判断是否具有性质. 如果是，求出；如果不是，说明理由； （2）当时，若具有性质，求的最大值. 【答案】（1）具有性质， （2）1 【解析】 【分析】（1）根据定义，计算，即可判断具有性质；再分别计算出，即可求得； （2）方法1：由已知得出，结合，得出，进而得出，并取验证的最大值可以取到；方法2：用反证法假设，由已知得出与题设矛盾，即可说明. 【小问1详解】 因为，所以具有性质； 因为， 所以． 【小问2详解】 方法1：由性质得，所以， 因为， 所以， 则，，， 所以， 所以， 又因为当时， 具有性质， 且， 所以的最大值为1． 方法2：先用反证法证明， 假设，由，则， 所以，同理，所以， 由，所以， 与已知矛盾，假设不成立，所以， 当时，，此时， 所以的最大值为1． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $