精品解析：北京市丰台区第十八中学2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

北京市第十八中学高三年级10月检测 数学 一、单选题（10*4=40） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用列举法得到集合，然后利用代入法验证其中哪些元素在集合中，从而得到交集. 【详解】易得，而， 所以， 所以， 故选：D. 2. 在复平面内，复数，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数运算法则及复数的几何意义即可求解. 【详解】原式=， 对应复平面的点为，在第四象限. 故选：D 3. 的展开式中的系数是（ ） A. B. 35 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据二项式定理得到展开式的通项，求出其三次项与四次项的系数，根据多项式乘法运算法则，求得最后的结果. 【详解】展开式的通项是， 所以展开式中的系数是，项的系数是， 所以的展开式中项的系数是， 故选:A. 4. 等差数列的首项为1，公差不为0，若成等比数列，则的前6项和为（ ） A. 51 B. 66 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，列式求出公差，进而求出前6项和. 【详解】设等差数列的公差为，由成等比数列，得， 又，解得，所以的前6项和. 故选：A 5. 若，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，得，结合数量积的运算律求出，再根据向量的夹角公式即可得解. 【详解】因为，所以， 即，所以， 所以， 又， 所以向量与的夹角为. 故选：B. 6. 历史上，在5月27日曾有多次地震记录．例如：2006年5月27日，印尼爪哇发生里氏6.3级地震，2024年5月27日，四川木里县发生里氏5.0级地震，经过科学家的研究发现，地震时释放出来的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．印尼爪哇地震所释放出来的能量约是四川木里地震的（ ）倍．（精确到1．参考数据：） A. 87 B. 88 C. 89 D. 90 【答案】 【解析】 【分析】设印尼地震的能量 ，震级，四川地震的能量 ，震级，利用对数计算 的值，根据参考数据，利用对数函数的单调性估计得到答案. 【详解】设印尼地震的能量 ，震级，四川地震的能量 ，震级. 因为地震时释放出来的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为， 所以， 且， 所以， 根据精确度要求精确到1，所以， 故选：C. 7. 在中，“”是“为锐角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用和角的余弦公式，充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】在中，， 因此是钝角，是锐角，没有条件判断都是锐角，则不能确定为锐角三角形； 反之，为锐角三角形，则是锐角，是钝角，成立， 所以“”是“为锐角三角形”的必要不充分条件. 故选：B 8. 若函数的图像如图所示，则实数的值可能为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为当时，，若取时，与题设中提供的图像不符，故应排除答案A；因为当时，，若取时，，与题设中提供的图像不符，故应排除答案C；因为当时，，若取时，，与题设中提供的图像不符，故应排除答案D，应选答案B． 点睛：本题在求解时，充分利用题设中提供的函数的图像信息，没有直接运用所学知识分析求解，而是巧妙借助单项选择题的问题特征，独出心裁的运用了答案排除法使得问题的求解简捷、巧妙而获解． 9. 如图所示，弧是以O为圆心，为半径的圆的一部分，满足，，是的中点，在弧上运动，则的最小值为（ ） A. 2 B. -2 C. D. -1 【答案】C 【解析】 【分析】直接应用向量数量积的定义和余弦函数的单调性即可得出答案. 【详解】由题意可知，，， 则， 因为点在弧上运动，所以， 而余弦函数在内单调递减， 所以当时，取得最小值. 故答案为：C. 10. 已知函数，在下列结论中： ①是的一个周期； ②的图象关于直线对称； ③在区间上无最大值 正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】①②根据周期性和对称性满足的关系式判断；③利用换元法求函数在的最值情况. 【详解】因为， 所以不是的一个周期，故①错误； ，所以的图象不关于直线对称，故②错； ，， 令，则，， ，在上单调递增，所以无最大值，即函数在上无最大值，故③正确. 故选：B. 二、填空题（5*5=25） 11. 在平面直角坐标系中，已知点，将线段绕原点顺时针旋转得到线段，则点B的横坐标为____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角函数定义可知，射线对应的角满足，再利用任意角的关系和两角差的余弦公式即可得点B的横坐标为. 【详解】易知在单位圆上，记终边在射线上的角为，如下图所示： 根据三角函数定义可知，； 绕原点顺时针旋转得到线段，则终边在射线上的角为， 所以点B的横坐标为. 故答案为： 12. 已知是公比为的等比数列，各项符号相同，且成等差数列，则___________. 【答案】1 【解析】 【详解】由题意知是公比为的等比数列且成等差数列，所以， 且，两边同时除以，得，解得， 已知数列各项符号相同，因此公比，故. 13. 使成立的一组a，b的值为__________，__________. 【答案】 ①. 2（答案不唯一） ②. 2（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意结合对数运算分析可得，取特值检验即可. 【详解】若，则，可得， 例如符合上式. 故答案为：2；2.（答案不唯一） 14. 已知为奇函数，则实数的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据奇偶函数的定义域关于原点对称建立的方程，解之即可求解. 【详解】由题意知，，得， 令，解得或， 又该函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称， 所以，解得. 经检验，符合题意， 所以. 故答案为： 15. 已知函数，（），（），给出下列四个命题，其中真命题有________．（写出所有真命题的序号） ①存在实数k，使得方程恰有一个根； ②存在实数k，使得方程恰有三个根； ③任意实数a，存在不相等的实数，使得； ④任意实数a，存在不相等的实数，使得． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】①②画出函数图象，结合经过定点，数形结合进行判断；③转化为两函数的交点问题，可以举出反例；④转化为两函数交点问题，能够得到一组二次函数，均过原点，且开口向下，利用图象，数形结合得以证明. 【详解】画出的函数图象，如图： 经过定点，从图中可以看出存在实数k，使得方程恰有一个根；①正确； 存在实数k，使得方程恰有三个根，②正确； 要想对任意实数a，存在不相等的实数，使得，只需函数，（）始终有两个交点，当时，，开口向上，且最小值为，此时图象如图所示：由于指数函数的增长速度高于二次函数，显然此时两函数只有一个交点，故③错误； 要想对任意实数a，存在不相等的实数，使得，即，只需与，无论a取何值，都有两个交点，其中开口向下，且有最大值为，且恒过，画出两函数图象如下，其中为一组抛物线，用虚线表示： 无论a取何值，都有两个交点，④正确； 故答案为：①②④ 【点睛】利用函数图象研究函数零点是很重要的方法，需要数形结合进行求解，结合函数单调性，极值，最值，有时候需要用到导函数的方法. 三、解答题 16. 已知为数列的前项和，，且成等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对前项和关系分别写出与，相减得到数列的递推关系，再结合等差数列条件确定首项． （2）先由的通项求出，再利用等差数列求和公式求． 【小问1详解】 当 时，由及，得， 所以，数列 是公比为 的等比数列． 由，，成等差数列，得． 又，所以，从而 ． 故． 【小问2详解】 由（1）得，所以． 于是． 17. 已知函数． （1）若，求的值； （2）若在一个周期内的部分取值如下表，： x 0 m 求的解析式及单调增区间． 【答案】（1）； （2），. 【解析】 【分析】（1）代入求出的值. （2）利用表格中数据求出对称轴及可能对称中心，进而求出，再利用正弦函数单调性求出增区间. 【小问1详解】 由，得，而， 所以. 【小问2详解】 函数， 由表格中数据知，是函数图象的对称轴，对称中心可能为或， 又所给取值在函数的一个周期内，则周期，， 则或，解得或， 则或，而，因此，， 由，得，又，则， 所以的解析式是； 由，得， 所以的单调递增区间是. 18. 在中，， （1）求的值. （2）从以下三个条件中选一个作为已知，使得满足条件的存在，求的面积. ①边上的高为7； ②； ③边上的中线长5. 【答案】（1） （2）选①无解；选②或；选③ 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦公式可得； （2）选①，由三角形中边长数据分析可得不合题意；选②，利用正弦定理，余弦定理及三角形面积公式即得；选③，由，利用余弦定理可求得，再由余弦定理可求得，进而求得，由三角形面积公式即得. 【小问1详解】 在中，， 又， 由正弦定理得，， 即， 即，由正弦定理得，， 又，所以. 【小问2详解】 选①边上的高为7， 过作于，如图， 由已知，在中，，， 显然这样的三角形不存在，所以无解. 选②，即， 又，，则由正弦定理得，即， 则， 由余弦定理，得， 即，解得或， 当时， 的面积， 当时， 的面积. 选③边上的中线长5， 设的中点为，由（1）知，则， 又， 在中，由余弦定理，， 在中，由余弦定理，， 因为，所以， 则，解得， 在中，由余弦定理，， 则， 所以的面积. 19. 已知二次函数为常数，且 满足条件：， 且方程有等根. （1）求的解析式； （2）是否存在实数、，使定义域和值域分别为［m，n］和［4m，4n］，如果存在，求出m、n的值；如果不存在，说明理由. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）由方程有等根，则，得，又由知此函数图象的对称轴方程为，得，从而求得；（2）由，知，即，由对称轴知当时，在为增函数．所以有，最后看是否满足即可. 试题解析：（1）∵方程有等根， ∴，得b=2 ． 由知， 此函数图象的对称轴方程为，得， 故 （2），∴4n1，即 而抛物线的对称轴为 ∴时，在［m，n］上为增函数. 若满足题设条件的m，n存在，则， 即解得 又， ∴， 这时定义域为［–2，0］，值域为［–8，0］. 由以上知满足条件的m、n存在， ． 20. 已知函数（）. （1）若，求函数的单调区间； （2）若函数在区间和上各恰有一个零点，分别记为和， （ⅰ）证明：函数在两点，处的切线平行； （ⅱ）记曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为S，求的最大值. 【答案】（1）单调递增区间为，无单调递减区间 （2）（ⅰ）证明：当时，， 根据题意，零点分别在区间和内，不等于1，因此是方程的两个根， 故，，则，， 且有，则， ， 则， 同理 ， 故函数在两点，处的切线平行； （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）求导后因式分解，再构造函数，从而结合单调性讨论其正负，从而得到的正负，即可得单调性； （2）（ⅰ）由题意可得和是的零点，结合韦达定理与导数的几何意义计算即可得解；（ⅱ）借助导数的几何意义求切线方程，求出交点坐标，从而可表示出，结合、的关系计算即可得. 【小问1详解】 当时，， 则， 令，则，故在上递增， 又，则时，，又，故， 当时，，又，故， 故恒成立，故在上单调递增， 即函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）由（ⅰ）知， 故在点处的切线为，， 令，则， 又，故， 故，又，且， 所以， 令，则，又， 当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，则， 所以的最大值为. 21. 设是正整数，数列满足:， 且其任意两项互不相同. 对满足条件的数列，若，定义为，对正整数，定义为. （1）若，数列，直接写出； （2）证明:对任意满足条件的数列，都存在正整数，使得的首项为1； （3）若. 是否存在满足条件的数列，使得的首项不为1？请说明理由. 【答案】（1） ；； ；. （2） 下面用数学归纳法证明. 证明：①当时，数列或满足条件； 显然，对数列：经过任意（为正整数）次变换均为数列本身，即首项恒为； 对数列，有，故经过次变换，的首项为， 故当时，存在正整数，使得的首项为； ②假设（）时， 对数列，其中， 都存在正整数，使得的首项为1， 为便于理解，下面叙述为：经过有限次变换，可使首项为； 自然经过有限次变换，也可使首项变为数列的任意项，. 当时，对，其中， （i）若，则是数列的前项中的项，，且， 由题意，的首项也不等于，且经过任意次变换后首项均不为， 即变换仅对前项产生顺序调整，相当于对数列的变换， 故由归纳假设可知，经过有限次变换，可使首项为； (ii)若，设，，， 由题意，经过任意变换，只要没有变换至首项位置，则相当于对数列的变换， 则由归纳假设，经过有限次（设为次）变换，可使首项为， 当时，即，则的首项为，即经过次变换，可使首项为； 当时，即，则的最后一项变换为，则转化为新数列满足，即（i）的情况，故经过有限次变换，也可使首项为； 故对数列，都存在正整数，使得的首项为1； 综合①②可知，对任意满足条件的数列，都存在正整数，使得的首项为1. （3） 不存在满足条件的数列，使得的首项不为1. 原因如下： 以上结论可转化为：任意数列，的首项均为. 由变换的可逆性，又可转化为：任意首项为的数列，均可经过不多于步的逆向变换，可转化为任意原数列. 不妨设原数列为. 首先，定义逆变换：设是正整数，对数列， 若存在，，定义逆变换为， 对正整数，定义为. 由（2）可知，任意数列，要使首项为，当数列中任意项，时，数列才可能取到最大变换次数. 故结论还可转化为，数列，可经过不多于步的逆变换，可使数列中任意项均不在原位置.下面用数学归纳法证明该结论. ①当时，数列，经过一次逆变换得. 由， ②假设（）时，数列可经过不多于步的逆变换，可使数列中任意项均不在原位置. 则当时，对数列， 先将前项即数列：，作逆变换， 由归纳假设，可经过不多于步的逆变换，使数列的前项均不在原位置，记为； 再作一次逆变换可得数列，其中第项， （假设，） 故后面的变换只与前项有关，可经过不多于步的逆变换，使数列的前项均不在原位置， 故共不超过步逆变换. 【解析】 【分析】（1）根据定义直接求解即可； （2）证明时的情形，然后由数学归纳法证明（）时的情形即可； （3）原题条件等价转换为任意首项为的数列，均可经过不多于步的逆向变换，可转化为任意原数列，结合数学归纳法即可证明. 【小问1详解】 数列，由题意得数列；； ；. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第十八中学高三年级10月检测 数学 一、单选题（10*4=40） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 的展开式中的系数是（ ） A. B. 35 C. 5 D. 4. 等差数列的首项为1，公差不为0，若成等比数列，则的前6项和为（ ） A. 51 B. 66 C. D. 6 5. 若，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 历史上，在5月27日曾有多次地震记录．例如：2006年5月27日，印尼爪哇发生里氏6.3级地震，2024年5月27日，四川木里县发生里氏5.0级地震，经过科学家的研究发现，地震时释放出来的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．印尼爪哇地震所释放出来的能量约是四川木里地震的（ ）倍．（精确到1．参考数据：） A. 87 B. 88 C. 89 D. 90 7. 在中，“”是“为锐角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 若函数的图像如图所示，则实数的值可能为 A. B. C. D. 9. 如图所示，弧是以O为圆心，为半径的圆的一部分，满足，，是的中点，在弧上运动，则的最小值为（ ） A. 2 B. -2 C. D. -1 10. 已知函数，在下列结论中： ①是的一个周期； ②的图象关于直线对称； ③在区间上无最大值 正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（5*5=25） 11. 在平面直角坐标系中，已知点，将线段绕原点顺时针旋转得到线段，则点B的横坐标为____________. 12. 已知是公比为的等比数列，各项符号相同，且成等差数列，则___________. 13. 使成立的一组a，b的值为__________，__________. 14. 已知为奇函数，则实数的值是_________． 15. 已知函数，（），（），给出下列四个命题，其中真命题有________．（写出所有真命题的序号） ①存在实数k，使得方程恰有一个根； ②存在实数k，使得方程恰有三个根； ③任意实数a，存在不相等的实数，使得； ④任意实数a，存在不相等的实数，使得． 三、解答题 16. 已知为数列的前项和，，且成等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和． 17. 已知函数． （1）若，求的值； （2）若在一个周期内的部分取值如下表，： x 0 m 求的解析式及单调增区间． 18. 在中，， （1）求的值. （2）从以下三个条件中选一个作为已知，使得满足条件的存在，求的面积. ①边上的高为7； ②； ③边上的中线长5. 19. 已知二次函数为常数，且 满足条件：， 且方程有等根. （1）求的解析式； （2）是否存在实数、，使定义域和值域分别为［m，n］和［4m，4n］，如果存在，求出m、n的值；如果不存在，说明理由. 20. 已知函数（）. （1）若，求函数的单调区间； （2）若函数在区间和上各恰有一个零点，分别记为和， （ⅰ）证明：函数在两点，处的切线平行； （ⅱ）记曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为S，求的最大值. 21. 设是正整数，数列满足:， 且其任意两项互不相同. 对满足条件的数列，若，定义为，对正整数，定义为. （1）若，数列，直接写出； （2）证明:对任意满足条件的数列，都存在正整数，使得的首项为1； （3）若. 是否存在满足条件的数列，使得的首项不为1？请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $