精品解析：辽宁省大连市金普新区 2026-2027学年上学期九年级10月学情自测数学卷

九年级（上）十月学情调查 数学试卷 （本试卷共23道题满分120分考试时长120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：抛物线（）的顶点坐标是 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的二次项系数是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 1 3. 将二次函数的图像沿轴方向向右平移2个单位长度，平移后的二次函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 若二次函数的图象与轴只有一个交点，则实数的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 0 5. 如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，此时点恰在边上，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 如图，与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（ ） A. 点与点是对称点 B. C. D. 7. 二次函数的图象与轴的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的顶点坐标为 C. 当时，随的增大而减小 D. 抛物线与轴没有交点 9. 如图，将绕顶点顺时针方向旋转后得到，此时点恰好落在边上．若，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 10. 二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论：①；②；③．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 二次函数的最小值为________． 12. 如图，绕点O逆时针旋转得到，若，的度数是______． 13. 若二次函数（）的部分图象如图所示，对称轴为直线，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点P的坐标为．如果将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，点的坐标为________． 15. 某型号飞机着陆后滑行的距离（米）关于滑行的时间（秒）的函数关系式是．则飞机滑行________秒停下． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解决下列问题： （1）求二次函数的图象与轴的公共点坐标； （2）已知抛物线的顶点为，求，的值． 17. 如图，平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）作出与关于原点对称的，与关于轴对称的，其中点的对应点分别为点，； （2）直接写出点，的坐标，及点与点之间的关系． 18. 二次函数（，，是常数，）的与的部分对应值如下表． … 0 1 2 3 … … 3 0 0 3 … （1）求二次函数的表达式； （2）①在平面直角坐标系中，描出上表中的，画出函数图象； ②当时，的取值范围是________；当时，的取值范围是________． 19. 小明是一名篮球爱好者，他想知道自己每次投进的篮球在空中运行达到最高点时离地面的高度．当学习到二次函数内容的时候，老师说篮球的运行弧线可以近似看成是一条抛物线，他受到了启发，想好了解决问题的思路并且和几位队友开展了探究与实践活动，记录如下： 活动主题 测量某一次投进篮筐的篮球在空中运行达到最高点时离地面的高度 活动准备 1．查询操场上国际标准篮球架上面篮筐的离地高度； 2．准备皮尺、三角板等测量工具． 设计方案 如图1，小明负责把篮球投进篮筐，同时安排第一位队友负责手持三角板确定篮球到最高点对应的地面位置，安排第二位队友用皮尺测量位置与小明投篮站立位置点的水平距离，第三位队友负责手持三角板确定篮筐中心与地面对应点，并测量水平距离． 采集数据 经测量，小明的出手高度，，．经查询篮筐的高，且、、在一条直线上，和都垂直于． 确定思路 小组成员经过讨论确定，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图2的平面直角坐标系，则抛物线的顶点在轴上，可设抛物线解析式为，分析数据得、两点的坐标，进而求出抛物线的解析式，再利用解析式求出点的坐标，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： （1）求抛物线的表达式； （2）求这次投进篮筐的篮球在空中运行达到最高点时离地面的高度． 20. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，使点C的对应点E落在上，连接． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 21. 如图，某校劳动实践基地在一道长为的墙一侧，用长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为（单位：），与墙平行的一边长为（单位：），面积为（单位：）． （1）分别求与，与之间的函数解析式，并求出自变量的取值范围； （2）当的值是多少时，矩形实验田的面积最大？最大面积是多少？ 22. 如图，是等边的中线，点在线段上运动（点不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转，使点的对应点落在射线上． （1）如图1，当点与点重合时，求的度数； （2）如图2，当点在的延长线上时，求的度数； （3）如图3，当点在边上时，若，求的值． 23. 已知抛物线的对称轴为直线． （1）若抛物线经过点． ①求这条抛物线的表达式； ②将抛物线向右平移（）个单位得到抛物线，当时，抛物线对应的函数值的最大值为16，求的值； ③过点的直线与抛物线交于不同的两点，，设点的横坐标为，点的横坐标为，求的值； （2）已知点，，若抛物线与线段只有一个交点，直接写出的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级（上）十月学情调查 数学试卷 （本试卷共23道题满分120分考试时长120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：抛物线（）的顶点坐标是 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确． 2. 二次函数的二次项系数是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的基本概念，解题的关键在于明确二次函数一般式中各项系数的定义． 【详解】解：在二次函数中，可得，，， 所以该二次函数的二次项系数是． 故选：A． 3. 将二次函数的图像沿轴方向向右平移2个单位长度，平移后的二次函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移规律“左加右减，上加下减”求解． 【详解】解：将函数图象沿x轴向右平移2个单位长度， ∴平移后解析式为：． 4. 若二次函数的图象与轴只有一个交点，则实数的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线与x轴有且只有一个交点，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴只有一个交点， ∴， 解得． 5. 如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，此时点恰在边上，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】解：由旋转可知，，， ． 6. 如图，与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（ ） A. 点与点是对称点 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题围绕中心对称的两个三角形的性质展开，解题的关键是熟练应用中心对称的定义与对应点、对应边、对应角的关系，逐一验证每个选项是否成立． 【详解】解：选项，根据中心对称的定义，与关于点成中心对称，点的对应点就是，因此点与点是对称点，该结论成立； 选项，点与点是一组对应的对称点，根据中心对称的性质，对应点连线被对称中心平分，因此，该结论成立； 选项，根据中心对称的两个三角形全等，得到对应角相等，即，而的对应角是，因此，和不一定相等，该结论不成立； 选项，根据中心对称的性质，对应点连线被对称中心平分，所以，，又因为对顶角，因此和全等，可得，根据内错角相等两直线平行，可推出，该结论成立． 7. 二次函数的图象与轴的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：令，将其代入二次函数中， 解得， 所以，当时，， 即二次函数的图象与y轴的交点坐标是． 8. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的顶点坐标为 C. 当时，随的增大而减小 D. 抛物线与轴没有交点 【答案】D 【解析】 【分析】根据顶点式的特点，分别判断开口方向、顶点坐标、对称轴和增减性即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ， ∴抛物线开口向上，故A错误； 顶点坐标为，故B错误； 对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，故 C 错误； ∵抛物线开口向上，顶点坐标为，顶点在第一象限， ∴抛物线与轴没有交点，故D正确． 9. 如图，将绕顶点顺时针方向旋转后得到，此时点恰好落在边上．若，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 由平行线的性质可得、，根据旋转的性质可得、，由等边对等角可得，则，由三角形内角和定理可得，最后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∵将绕顶点顺时针方向旋转后得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 10. 二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论：①；②；③．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【详解】解：①∵抛物线的开口向上， ∴， ∵， ∴， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴， ∴，故①错误； ②∵对称轴为直线， ∴， ∴，故②正确； ③∵时，， ∴，③正确． 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 二次函数的最小值为________． 【答案】1 【解析】 【详解】解：二次函数，即， 因为， 所以抛物线开口向上，函数有最小值， 当时，函数取得最小值． 12. 如图，绕点O逆时针旋转得到，若，的度数是______． 【答案】##35度 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质，首先根据旋转的性质得到，然后利用角的和差求解即可．解题的关键是熟练掌握旋转的性质． 【详解】∵绕点O逆时针旋转得到， ∴ ∵ ∴． 故答案为：． 13. 若二次函数（）的部分图象如图所示，对称轴为直线，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解________． 【答案】 【解析】 【分析】根据根与系数的关系有：，对称轴，即可作答． 【详解】解：根据题意有：，对称轴， ∴， ∴， ∵， ∴． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点P的坐标为．如果将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、点的坐标等知识．过点作于点，过点作于点，证明，则，则，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∴， ∴， ∵点A的坐标为，点P的坐标为． ∴， ∵将线段AP绕点A逆时针旋转， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为： 15. 某型号飞机着陆后滑行的距离（米）关于滑行的时间（秒）的函数关系式是．则飞机滑行________秒停下． 【答案】20 【解析】 【分析】将函数解析式化为顶点式，根据题意可知，当飞机停止运动，s取得最大值，从而求解即可． 【详解】解：， ∴当时，s取到最大值，即飞机着陆后滑行20秒才能停下来， 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解决下列问题： （1）求二次函数的图象与轴的公共点坐标； （2）已知抛物线的顶点为，求，的值． 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【分析】（1）令，解方程即可解答； （2）根据顶点坐标得，进而化为一般式即可求解． 【小问1详解】 解：令，则， 解得， 二次函数的图象与轴的公共点坐标为，； 【小问2详解】 解：由题意得， ； 17. 如图，平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）作出与关于原点对称的，与关于轴对称的，其中点的对应点分别为点，； （2）直接写出点，的坐标，及点与点之间的关系． 【答案】（1） （2），，关于轴对称 【解析】 【分析】（1）根据原点对称坐标变换公式，由，，求出，描点连线画出；再根据轴对称坐标变换公式求出，描点连线画出。 （2）根据坐标变换得到，，对比两点横、纵坐标，得出两点关于轴对称。 【小问1详解】 解：作出与如图所示； ； 【小问2详解】 解：，， 点与点关于轴对称． 18. 二次函数（，，是常数，）的与的部分对应值如下表． … 0 1 2 3 … … 3 0 0 3 … （1）求二次函数的表达式； （2）①在平面直角坐标系中，描出上表中的，画出函数图象； ②当时，的取值范围是________；当时，的取值范围是________． 【答案】（1）； （2）①如图， ②时，的取值范围为或，时，的取值范围为 【解析】 【分析】（1）利用二次函数图象的对称性来确定对称轴，再选取合适的点代入二次函数的一般式求解即可． （2）①根据数据进行绘制即可． ②根据二次函数图象与轴的交点以及函数图象的开口方向来确定值正负时自变量的取值范围即可． 【小问1详解】 解：由表中与的对应值得，二次函数的图象过点， ， 将代入得， 解得． ； 【小问2详解】 解：①略； ②时，的取值范围为或， 时，的取值范围为． 19. 小明是一名篮球爱好者，他想知道自己每次投进的篮球在空中运行达到最高点时离地面的高度．当学习到二次函数内容的时候，老师说篮球的运行弧线可以近似看成是一条抛物线，他受到了启发，想好了解决问题的思路并且和几位队友开展了探究与实践活动，记录如下： 活动主题 测量某一次投进篮筐的篮球在空中运行达到最高点时离地面的高度 活动准备 1．查询操场上国际标准篮球架上面篮筐的离地高度； 2．准备皮尺、三角板等测量工具． 设计方案 如图1，小明负责把篮球投进篮筐，同时安排第一位队友负责手持三角板确定篮球到最高点对应的地面位置，安排第二位队友用皮尺测量位置与小明投篮站立位置点的水平距离，第三位队友负责手持三角板确定篮筐中心与地面对应点，并测量水平距离． 采集数据 经测量，小明的出手高度，，．经查询篮筐的高，且、、在一条直线上，和都垂直于． 确定思路 小组成员经过讨论确定，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图2的平面直角坐标系，则抛物线的顶点在轴上，可设抛物线解析式为，分析数据得、两点的坐标，进而求出抛物线的解析式，再利用解析式求出点的坐标，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： （1）求抛物线的表达式； （2）求这次投进篮筐的篮球在空中运行达到最高点时离地面的高度． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）分析数据得、两点的坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）根据抛物线解析式求出顶点坐标，即可得解． 【小问1详解】 解：由题意得，，， 将点、的坐标代入得，， 解得 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：抛物线的顶点在轴上，当时，， 抛物线的顶点坐标， 这次投进篮筐的篮球在空中运行达到最高点时离地面的高度为． 20. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，使点C的对应点E落在上，连接． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，也考查了勾股定理： （1）先根据旋转的性质得到，，，则可计算出，再根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理计算出，然后计算即可； （2）先利用勾股定理计算出，再根据旋转的性质得到，，，所以，然后在中利用勾股定理可计算出的长． 【小问1详解】 解：∵绕点A顺时针旋转得到使点C的对应点E落在上， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：在中， ∵， ∴， ∵绕点A顺时针旋转得到使点C的对应点E落在上， ∴，，， ∴， 在中，． 21. 如图，某校劳动实践基地在一道长为的墙一侧，用长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为（单位：），与墙平行的一边长为（单位：），面积为（单位：）． （1）分别求与，与之间的函数解析式，并求出自变量的取值范围； （2）当的值是多少时，矩形实验田的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1），，； （2）当时，矩形实验田的面积最大，最大面积是 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，则，再由建立与之间的函数解析式，然后根据解不等式组求解自变量的取值范围； （2）根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得， ， ， 又，即 ， ； 【小问2详解】 解： ， 抛物线的对称轴为直线 ，抛物线的开口向下，自变量的取值范围为，在对称轴右侧，随的增大而减小， 当时，取最大值， 当时，， 答：当时，矩形实验田的面积最大，最大面积是 22. 如图，是等边的中线，点在线段上运动（点不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转，使点的对应点落在射线上． （1）如图1，当点与点重合时，求的度数； （2）如图2，当点在的延长线上时，求的度数； （3）如图3，当点在边上时，若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据三线合一可得，再根据等腰三角形的性质即可解答； （2）连接，可得，则为等腰三角形，即可解答； （3）过点作，垂足为，过点作，垂足为，设，则，利用勾股定理可得，即可解答． 【小问1详解】 解：是等边三角形， ， 是等边的中线， 平分 ． 线段绕点顺时针旋转得到线段，点与点重合， ． ， ，即； 【小问2详解】 解：如图，连接， 是等边三角形，是中线， ，即是的垂直平分线， ， ， ． 旋转得到， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为， 设， ， 在中，， ，， ， 在中，根据勾股定理得，， 在中，， ， 根据勾股定理得，． 由旋转得， 在中，根据勾股定理得，， ， ． 23. 已知抛物线的对称轴为直线． （1）若抛物线经过点． ①求这条抛物线的表达式； ②将抛物线向右平移（）个单位得到抛物线，当时，抛物线对应的函数值的最大值为16，求的值； ③过点的直线与抛物线交于不同的两点，，设点的横坐标为，点的横坐标为，求的值； （2）已知点，，若抛物线与线段只有一个交点，直接写出的范围． 【答案】（1）①；②1或5；③； （2），或 【解析】 【分析】（1）①利用对称轴公式，先求，再把代入，求出即可；②根据平移可得，根据性质可求对称轴，根据与对称轴的位置关系分类讨论，利用最值，列出关于的方程，求解即可；③设过点的直线解析式为，易得，根据函数与方程的关系，可得、是联立方程的两个实数根，最后根据一元二次方程根与系数的关系，化简求解即可； （2）利用待定系数法求出直线的解析式，当，当方程有两个相等的实数根时，可求，满足题意；再分别讨论抛物线过临界点，，求出c的值并判断是否符合条件，最后根据抛物线平移的性质，即可求出范围． 【小问1详解】 解：①抛物线的对称轴为直线， ，即1，解得， 将代入中，得，解得， ； ②， 将抛物线向右平移个单位得到抛物线， 抛物线的开口向上，对称轴为直线， ， ． 当时，即，在对称轴左侧，随的增大而减小， 当时，抛物线对应的函数值最大为， ，解得，， ， 均不符合，舍去； 当时，即，若，则， 当时，时，抛物线对应的函数值最大为16， ，解得，（舍去）， 当时，时，抛物线对应的函数值最大为16， ，解得（舍去）， 综上所述，的值为1或5； ③设过点的直线解析式为， 则， ， ， 联立得，整理得， 由题意得，、是这个方程的两个实数根， ，， ； 【小问2详解】 ，或． 设直线的解析式为，代入，， ，解得， ， 令，整理得， 当时，， 此时，解得，符合，抛物线与线段只有一个交点； 当抛物线过点时，，此时， 当时，， ， 此时抛物线与线段只有一个交点； 当抛物线过点时，，解得，此时抛物线与线段有两个交点，不符合题意； ． 综上所述，的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $