2026-2027学年人教版上册九年级数学期中考试模拟题

2026—2027学年九年级数学期中考试模拟题 （满分 120 分　考试时间 120 分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．回答非选择题时，用 0.5 毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1．用配方法解一元二次方程 ，配方后得到的方程为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 2．已知抛物线 ，下列说法正确的是（　　） A．开口向上　　B．顶点坐标为 　　C．与 轴的交点为 　　D．当 时， 随 的增大而减小 3．若关于 的方程 有实数根，则 的取值范围是（　　） A．　　B． 且 　　C．　　D． 且 4．下列函数中，当 时， 随 的增大而减小，且图象在第一、三象限的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 5．二次函数 的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④当 时，．其中正确结论的序号是（　　） A．①②③④　　B．①②③　　C．②③④　　D．①③④ 6．某市参加全民健身运动的人数逐年增多，从 2021 年的 20 万人增加到 2023 年的 32 万人．若这两年人数的年平均增长率相同，则 2024 年该市参加全民健身运动的人数约为（　　）（结果保留一位小数，单位：万人） A．　　B．　　C．　　D． 7．二次函数 与反比例函数 的图象有几个交点（　　） A．0个　　B．1个　　C．2个　　D．3个 8．如图，点 是反比例函数 图象上一点，过点 分别向 轴、 轴作垂线，垂足分别为 ，则四边形 的面积为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 9．在同一平面直角坐标系中，二次函数 和一次函数 的图象可能是（　　） A．B．C．D． 10．如图，抛物线 与 轴交于点 ，其对称轴为直线 ．结合图象，下列说法：①；②；③；④对于任意实数 ，都有 ；⑤若顶点坐标为 ，则方程 没有实数根．其中正确的有（　　） A．2个　　B．3个　　C．4个　　D．5个 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11．点 是反比例函数 图象上一点，过点 分别向 轴、 轴作垂线，垂足分别为 、，则四边形 的面积为________． 12．已知点 ，， 都在抛物线 上，则将 用“”连接为________． 13．设 是方程 的两个不相等的实数根，则 的值为________． 14．已知反比例函数 的图象经过点 ，则 ________． 15．点 ， 在反比例函数 的图象上，则 满足_________ 三、解答题：本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解下列方程： （1）； （2）． 17．如图，直线 与反比例函数 的图象交于 、 两点，直线 分别与 轴、 轴交于点 、． （1）求点 、 的坐标； （2）求点 、 的坐标； （3）求 的面积． 18．已知关于 的一元二次方程 ． （1）求证：无论 取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为 ，且 ，求 的值． 19．现有一台乒乓球发球器，球台中点处球网（ 点）到发球器下方（ 点）的距离为 ，高度 约为 ．乒乓球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线的一部分，从第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线的一部分．如图是发球器 （ 为发球口）．以球台所在直线为 轴，发球器所在直线为 轴，建立平面直角坐标系，得到直线 和抛物线．已知乒乓球第一次接触台面（ 点）到发球器下方（ 点）的距离为 ，第二次接触台面（ 点）到发球器下方（ 点）的距离为 ，且乒乓球在 段运动的最高点距乒乓球台面的距离 ． （1）求抛物线的解析式； （2）当乒乓球运动到 点正上方时，求乒乓球距 点的距离． 20．现有一些矩形硬纸板，每一块纸板长和宽分别为 ，（如图①），将纸板的四个角各剪裁去一个大小相同的小正方形（如图②），围成一个无盖的方形收纳盒（如图③）． （1）若纸盒底面积为 ，则纸盒的高是多少 ？ （2）工厂将这些硬纸板全部做成无盖的收纳盒出售．已知每块矩形纸板的成本为 元，若无盖收纳盒的售价为 元/个，则每天可售出 个．在销售过程中发现，无盖收纳盒价格每降低 元，平均每天可多售出 个． ①若每个无盖收纳盒的售价降价 元，请完成下表： ②要使每天获利最大，则每个无盖收纳盒应降价多少元？最大利润是多少？ 21．如图，反比例函数 与边长为 的等边三角形 相交于 、 两点，边 与 轴重合，． （1）求点 的坐标； （2）求 的值． 22．已知二次函数 ． （1）若点 在该函数图象上，求此函数图象的对称轴； （2）在（1）的基础上，若 ，当 时，求二次函数的最大值； （3）若该函数在 时， 随 的增大而减小；在 时， 随 的增大而增大，请求出 的取值范围． 23．已知二次函数 ． （1）若点 与点 都在该函数图象上，求 的值； （2）在（1）的条件下，求该抛物线的顶点坐标； （3）当 时，求 的取值范围． 参考答案与详细解析 一、选择题　解析 【第1题】【答案】A 【分析】本题考查配方法．移项后加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方形式． 【详解】解：， 移项得：， 两边同加 ，得：， 即 ， 故选：A． 【第2题】【答案】D 【分析】本题考查 的图象与性质．由顶点式直接读出顶点与对称轴，再由 的符号判断开口与增减性． 【详解】解：∵抛物线 ， ∴顶点坐标为 ，对称轴为直线 ， ∵， ∴抛物线开口向下，故A错误； 顶点为 ，不是 ，故B错误； 当 时，， ∴与 轴的交点为 ，不是 ，故C错误； ∵抛物线开口向下，对称轴为 ， ∴当 时， 随 的增大而减小，故D正确． 故选：D． 【第3题】【答案】A 【分析】本题考查根的判别式．由 求出参数范围，注意二次项系数不为零时无须另加限制． 【详解】解：∵关于 的方程 有实数根，且二次项系数为 ， ∴， 解得 ， 故选：A． 【第4题】【答案】B 【分析】反比例函数 在每个象限内 随 的增大而减小； 时图象在第一、三象限． 【详解】解：A． 是二次函数， 时 随 的增大而增大，不符合题意； B． 是反比例函数，，图象在第一、三象限， 且在每个象限内 随 的增大而减小，符合题意； C． 是一次函数， 随 的增大而增大，不符合题意； D． 是二次函数，当 时 随 的增大而增大，不符合题意． 故选：B． 【第5题】【答案】B 【分析】由抛物线的开口方向、对称轴位置、与两坐标轴的交点判断各结论． 【详解】解：∵图象开口向上， ∴； ①当 时，，图象与 轴交于正半轴， ∴，故①正确； ②图象与 轴交于原点两侧，对称轴在 轴右侧， ∴，故②正确； ③由图象可知抛物线与 轴交于点 与 ， ∴设 ， 展开得 ， ∴， 又图象与 轴交于点 ，即 ， ∴， ∴， ∴，故③正确； ④由图象可知当 时，抛物线在 轴上方， 即 ，故④错误． 综上，正确的有①②③． 故选：B． 【第6题】【答案】B 【分析】考查增长率模型．设年平均增长率为 ，则 2022 年为 ，2023 年为 ． 【详解】解：设年平均增长率为 ， 则 ， 即 ， ，故 ， ， ∴2024 年人数约为 万人． 故选：A． 【第7题】【答案】C 【分析】联立方程组，把反比例函数化为整式方程，由判别式与根的情况判断交点个数． 【详解】解：由题意得 ， 消去 ，得 ， 两边同乘 （），得 ， 因式分解得 ， ∵ 的判别式为 ，无实数根， ∴， 把 代回 检验：，成立， ∴两个函数图象只有一个交点． 故选：B． 【第8题】【答案】B 【分析】反比例函数 上一点向两坐标轴作垂线所围矩形的面积等于 ． 【详解】解：∵点 在 的图象上， ∴， ∵，，且 ， ∴． 故选：B． 【第9题】【答案】D 【分析】本题结合一次函数与二次函数的图象与性质，利用图象确定参数符号，逐项排除矛盾情形． 【详解】解：A．由抛物线可得 ，由直线可得 ，即 ，一致，符合题意； B．由抛物线可得 ，由直线可得 ，即 ，一致，符合题意； C．由抛物线可得 ，由直线可得 ，即 ，与 矛盾，不合题意； D．由抛物线可得 ，由直线可得 ，即 ，与 矛盾，不合题意． 故选：A． 【第10题】【答案】C 【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子的符号，二次函数与一元二次方程的关系．逐项判断即可． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线 ， ∴， ∴， ∵抛物线与 轴交于负半轴， ∴， ∴，故①错误； 由 得 ，故②正确； 当 时，，即 ， ∴， 此时 ，故③错误； 当 时， 取最小值， ∴当 时，， 整理得 ，故④正确； 若顶点坐标为 ，则抛物线 与直线 没有交点， ∴方程 没有实数根，故⑤正确． 综上，正确的有②④⑤，共3个． 故选：B． 二、填空题　解析 【第11题】【答案】 【分析】反比例函数 上一点向两坐标轴作垂线所围矩形的面积等于 ． 【详解】解：∵点 在 上， ∴， 解得 ， ∵，， ∴四边形 的面积 ， 即该面积等于 ． 故答案为：． 【第12题】【答案】 【分析】抛物线 的对称轴为 ，开口向上；离对称轴越远，函数值越大． 【详解】解：∵抛物线 ， ∴对称轴为直线 ，开口向上， 点 、、 到对称轴的距离分别为 、、， ∴， 故答案为：． 【第13题】【答案】 【分析】由根与系数的关系得 与 ，再用完全平方公式求平方和． 【详解】解：∵ 是方程 的两个不相等的实数根， ∴由根与系数的关系得 ，， ∴． 故答案为：． 【第14题】【答案】 【分析】反比例函数只需代入一个点即可用待定系数法求 ． 【详解】解：∵反比例函数 的图象经过点 ， ∴． 故答案为：． 【第15题】【答案】B 【分析】把两点坐标代入解析式求出 再比较． 【详解】解：∵点 在 上， ∴， ∵点 在 上， ∴， ∵， ∴， 当 时 ，即 ； 当 时 ，即 ； 因此 的大小与 的符号有关， 而题目未给出 的符号，故无法确定． 故选：D． 三、解答题　解析 【第16题】 【分析】（1）用因式分解法；（2）用配方法．注意配方法每一步都要两边同时加减同一个数． 【小问1详解】 解：， ， 得 或 ， 即 ． 【小问2详解】 解：， 移项得 ， 两边同加 ，得 ， 即 ， ， ∴． 【第17题】 【分析】（1）分别令 、 求交点；（2）联立方程组，用因式分解法求 ；（3）用三角形面积公式． 【小问1详解】 解：当 时，，得 ， ∴点 的坐标为 ； 当 时，， ∴点 的坐标为 ． 【小问2详解】 解：由题意得 ， 两边同乘 （），得 ， 整理得 ， 因式分解得 ， 解得 或 ． 当 时，，点 ； 当 时，，点 ． 【小问3详解】 解：，， ∴． 【第18题】 【分析】（1）用根的判别式证明；（2）用根与系数的关系把 表示成 的代数式，再解方程并检验． 【小问1详解】 证明：∵一元二次方程 ， ∴，，， ∴， ∴无论 取何值，此方程总有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 解：由（1）知方程总有两个不相等的实数根， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得 或 ， ∴ 或 ． 【第19题】 【分析】（1）由题意确定 的坐标，用顶点式结合待定系数法求解析式；（2）求出 时的函数值，再减去 ． 【小问1详解】 解：由题意得 ，， ∴， ∵， ∴， 设抛物线的解析式为 ， 把 代入，得 ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为 ． 【小问2详解】 解：由题意可知 ， 当 时， ， ∵， ∴． 答：乒乓球距 点的距离为 ． 【第20题】 【分析】（1）设纸盒的高为 ，由底面积列方程求解，注意舍去不符合实际的根；（2）②设每天获利 元，列出二次函数求最值． 【小问1详解】 解：设纸盒的高为 ，根据题意得， ， 整理得 ， 解得 （不合题意，舍去）， 答：纸盒的高度为 ． 【小问2详解】 解：①降价 元时，售价为 元，每天售出 个，故 　　　售价　　　 元／个 　　　销量　　　 个 ②设每天获利 元，根据题意得 ， ∵， ∴当 时， 最大， ∴（元）． 答：每个无盖收纳盒应降价 元，每天获利最大为 元． 【第21题】 【分析】（1）由等边三角形的性质确定点 坐标；（2）由 与 求出 ，再用 的几何意义求解． 【小问1详解】 解：∵ 是边长为 的等边三角形，边 与 轴重合， ∴，， ∴点 到 轴的距离为 ， 且 在 轴右侧， ∴点 的坐标为 ． 【小问2详解】 解：∵△OAB是等边三角形，边长为10， ∴∠AOB=∠ABO=60°，OB=10， ∴点B的坐标为(−10,0)． 设BD=a， ∵BD:OC=1:3， ∴OC=3a． 过点C作CM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N， ∴在中，∠AOB=60o ∴， ∴， ∴点C的坐标为． ∵在中，， ， ∴， ∴点D的坐标为， ∵点C，D都在反比例函数的图象上， ∴， 整理得， ∵a≠0， ∴， 解得a=2， ∴． 【第22题】 【分析】（1）先由 得图象过点 ，再利用两个点横坐标的中点即对称轴位置； （2）由（1）得对称轴与 的关系，结合开口方向与区间到对称轴的距离求最值； （3）由增减性确定对称轴的范围，进而求 的范围． 【小问1详解】 解：∵二次函数 ， ∴当 时，， 即二次函数过点 ， 又点 在该函数图象上， ∴对称轴为直线 ． 【小问2详解】 解：由（1）知对称轴为直线 ， ∴，又 ， ∴， ∵二次函数开口向上，对称轴 在区间 内， ∴当 时，二次函数有最小值 ； ∵， ∴当 时，二次函数有最大值， 最大值为 ， ∴当 时，二次函数的最大值为 ． 【小问3详解】 解：∵二次函数 ， ∴对称轴为直线 ， ∵二次函数开口向上， ∵在 时， 随 的增大而减小， ∴，解得 ， ∵在 时， 随 的增大而增大， ∴，解得 ， ∴． 【第23题】 【分析】（1）两点代入列方程组；（2）用配方求顶点；（3）由开口方向、对称轴与区间端点的距离判断最值． 【小问1详解】 解：由点 在 上，得 ，即 ； 由点 在图象上，得 ，即 ； 两式相减得 ， 解得 ， 代回 得 ． ∴，． 【小问2详解】 解：由（1）知该函数为 ， 配方得 ， ∴顶点坐标为 ． 【小问3详解】 解：由（2）知 ， 对称轴为直线 ，开口向上， 当 时， 在范围内， ∴当 时， 取最小值 ； ∵，， ∴当 时， 取最大值 ． ∴当 时，． 学科网（北京）股份有限公司 $