22.1 成比例线段 期中专项复习训练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

22.1 成比例线段 期中专项复习训练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册 【利用比例的性质证明或求值】 1．已知且． (1)求证：； (2)求证：． 2．已知．求证：． 3．已知，且，求证：． 4．已知为的三边长，且满足． (1)求的值； (2)若，求的面积． 5．已知，且． (1)求的值． (2)若，求的值． 【黄金分割】 6．定义：某点把某条线段分成两部分，若较长线段的平方等于较短线段与整条线段的乘积，则这个点就叫做这条线段的黄金分割点．例如：如图1，点C是线段上一点，，且，则点C是线段的黄金分割点． (1)如图1，若线段，求线段的长．（不能直接使用黄金分割数） (2)如图2，线段，C，D是线段的黄金分割点．（可以使用黄金分割数）用黄金分割的概念证明点D是线段的黄金分割点． 7．如图，在矩形中，对角线与相交于点，，，，垂足为，是延长线上一点，且． (1)求，的长； (2)试判断点是否为线段的黄金分割点，并证明你的结论． 8．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段、，若，则把这种分割叫做黄金分割，点P叫做线段的黄金分割点，这个比值叫做黄金比． (1)如图①，点P是线段的黄金分割点，设，，求黄金比x的值． (2)如图②，在中，，，是的角平分线．求证：点D是线段的黄金分割点． (3)如图③，点E是正方形的边的中点，以点E为圆心以长为半径画弧，交射线于点F，过点F作交射线于点G．若，请求出的长． 9．如图1，一般地，点把线段分成两条线段和，如果，那么称线段被点白银分割，点叫做线段的白银分割点，与的比叫做白银比．在《中国古代木结构建筑比例与尺度研究》中记载了我国古建筑如：山西晋祠献殿、山西平遥文庙大成殿都具有这个比例． 小景用不带刻度的直尺和圆规通过如下作图步骤确定了一条线段的白银分割点： 已知：射线，，． ①以点为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点，； ②分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； ③以点为圆心，长为半径画弧交射线于点． 则点是线段的白银分割点． 根据以上信息完成下列问题： (1)如图，请你根据小景的作图步骤，用不带刻度的直尺和圆规完成以上作图； (2)证明：点是线段的白银分割点． 10．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段，，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点C叫作线段的黄金分割点． (1)如图1，已知点C为线段的黄金分割点（），求黄金比． 解：设，，则． ∵， ∴…… 请补全以上解题过程； (2)如图2，在中，，，，请作出的黄金分割点．（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） 11．已知线段，点是线段的黄金分割点（）． (1)求线段的长； (2)以为三角形的一边作，使得，连接，若平分，求的长． 【利用平行线分线段成比例去求值或证明】 12．如图，直线，分别交直线m于点A，B，C，交直线n于点D，E，F． (1)若，，，求的长； (2)若，，求的长． 13．如图，已知直线、、，分别交直线于点、、，交直线，于点，且． (1)若，，，求的长； (2)若，，求的长． 14．如图，在△ABC中，直线DN平行于BC的中线AF，交AB于点D，交AC的延长线于点E，交边BC于点N， 求证：＝． 15．如图1，已知，是上一点，交于点，交于点，连接，与交于．求证：． 16．如图，在中，点在边上，过点作交边于点，过点作，交边于点．    (1)求证：； (2)若，，，求的值． 17．如图，在矩形中，若，求的长度． 18．如图，点D是边上一点，连接，过上点E作，交于点F，过点F作交于点G，已知，，求的长． 19．如图①所示，在△ABC中，点O是AC上一点，过点O的直线与AB，BC的延长线分别相交于点M，N. 【问题引入】 (1)若点O是AC的中点，，求的值； 温馨提示：过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G. 【探索研究】 (2)若点O是AC上任意一点(不与A，C重合)，求证：； 【拓展应用】 (3)如图②所示，点P是△ABC内任意一点，射线AP，BP，CP分别交BC，AC，AB于点D，E，F.若，，求的值． 20．请解决以下问题： (1)如图①，在矩形中，点E为边的中点，，点P，Q分别在矩形的边、上，连接交于点M． 求证：． (2)如图②，在（1）的基础上，点R在边上（不与点Q重合） ①若，则线段的长为______； ②当点Q与点B重合，点R与点C重合时，如图③，，，连接，则周长最小值为______． (3)如图④，在中，D为边上的中点，点E为边上一点，交于点G，当时，求的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 22.1 成比例线段 期中专项复习训练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册 【利用比例的性质证明或求值】 1．已知且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：∵ ， ∴ ， ∴ ； (2) 证明：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 将两边取倒数，得 ， 两边同时加1，得 ， ∴ ． 【分析】（1）对已知比例式两边同时加1，通分即可得证； （2）对已知比例式两边先减1，再取倒数后加1，结合分母不为0的条件即可得证． 【详解】（1）证明：略； （2）证明：略． 2．已知．求证：． 【答案】 证明：设， 则，. ∵，， 若，则，的分母为，分式无意义， ∴； ∴； ∵， ∴. 【分析】利用设参法，即可得出结论. 【详解】略 3．已知，且，求证：． 【答案】 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 【分析】由得到，则利用等式的基本性质得到，，则，利用比例的基本性质即可得到结论． 【详解】略 【点睛】此题考查了比例的基本性质，等式的基本性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 4．已知为的三边长，且满足． (1)求的值； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了比例的性质，勾股定理的逆定理，熟知比例的性质是解题的关键． （1）设，则，据此计算求解即可； （2）同（1）得，再根据建立关于k的方程，解方程求出k的值，进而求出的值，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，据此求解即可． 【详解】（1）解：设，则， ∴； （2）解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且两直角边的长为10，24， ∴． 5．已知，且． (1)求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1)2 (2)2.5 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，，代入所求式子计算即可得解； （2）由题意可得，，，结合计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴． （2）解：∵， ∴，，． ∵， ∴， ∴． 【黄金分割】 6．定义：某点把某条线段分成两部分，若较长线段的平方等于较短线段与整条线段的乘积，则这个点就叫做这条线段的黄金分割点．例如：如图1，点C是线段上一点，，且，则点C是线段的黄金分割点． (1)如图1，若线段，求线段的长．（不能直接使用黄金分割数） (2)如图2，线段，C，D是线段的黄金分割点．（可以使用黄金分割数）用黄金分割的概念证明点D是线段的黄金分割点． 【答案】(1) (2)证明：，是线段的黄金分割点， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点D是线段的黄金分割点． 【分析】（1）根据黄金分割点的定义列一元二次方程求解即可； （2）根据黄金分割数分别求，，的长，根据黄金分割点的定义进行验证即可． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）略 7．如图，在矩形中，对角线与相交于点，，，，垂足为，是延长线上一点，且． (1)求，的长； (2)试判断点是否为线段的黄金分割点，并证明你的结论． 【答案】(1)， (2)点为线段的黄金分割点，理由见解析 【分析】（1）先证明，可得；再由直角三角形的性质可得，从而得到，再由勾股定理求出，即可求解； （2）先分别求出，再根据黄金分割的定义，即可求解． 【详解】（1）解：在矩形中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：点为线段的黄金分割点，理由如下： 在矩形中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点为线段的黄金分割点． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，黄金分割，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，矩形的性质，黄金分割是解题的关键． 8．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段、，若，则把这种分割叫做黄金分割，点P叫做线段的黄金分割点，这个比值叫做黄金比． (1)如图①，点P是线段的黄金分割点，设，，求黄金比x的值． (2)如图②，在中，，，是的角平分线．求证：点D是线段的黄金分割点． (3)如图③，点E是正方形的边的中点，以点E为圆心以长为半径画弧，交射线于点F，过点F作交射线于点G．若，请求出的长． 【答案】(1)黄金比x的值为； (2) 解：∵，， ∴． ∵是的角平分线， ∴． ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴点D是线段的黄金分割点； (3)的长为． 【分析】本题考查黄金分割，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的判定和性质： （1）根据黄金比的定义列方程，解方程即可求解； （2）先通过等角对等边证明，再证，根据相似三角形对应边成比例可得，等量代换后得，即可证明点D是线段的黄金分割点； （3）设，则，，根据勾股定理求出，进而可得，再证四边形是矩形，根据列方程，求出x的值即可． 【详解】（1）解：根据题意得，． 解得，（舍），； 答：黄金比x的值为； （2）略 （3）解：∵四边形是正方形，点E是边的中点， ∴设，则，， 在中，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ∴， 解得， ∴的长为． 9．如图1，一般地，点把线段分成两条线段和，如果，那么称线段被点白银分割，点叫做线段的白银分割点，与的比叫做白银比．在《中国古代木结构建筑比例与尺度研究》中记载了我国古建筑如：山西晋祠献殿、山西平遥文庙大成殿都具有这个比例． 小景用不带刻度的直尺和圆规通过如下作图步骤确定了一条线段的白银分割点： 已知：射线，，． ①以点为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点，； ②分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； ③以点为圆心，长为半径画弧交射线于点． 则点是线段的白银分割点． 根据以上信息完成下列问题： (1)如图，请你根据小景的作图步骤，用不带刻度的直尺和圆规完成以上作图； (2)证明：点是线段的白银分割点． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】（）按题中步骤画图即可； （）连接， 可证四边形是正方形，设，则， 得，即得，再计算的值即可求证； 本题考查白银分割点的定义，正方形的判定和性质，勾股定理，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：画图如下： （2）证明：连接， 由作图知：， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴点是线段的白银分割点． 10．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段，，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点C叫作线段的黄金分割点． (1)如图1，已知点C为线段的黄金分割点（），求黄金比． 解：设，，则． ∵， ∴…… 请补全以上解题过程； (2)如图2，在中，，，，请作出的黄金分割点．（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1) 解：设，，则． ∵， ∴， 解得，， 经检验，，是原分式方程的解。 ∵线段的长度不能为负数， ∴， ∴， ∴黄金比为． (2) 如图，点P即为的黄金分割点． 【分析】本题考查了解一元二次方程，黄金分割的定义，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）代入数据，再解一元二次方程即可； （2）以点为圆心，为半径画弧交于点，再以为圆心，为半径画弧与相交，交点记为点，点即为黄金分割点．由勾股定理可得，由作图可得，那么，则，则，而，故，故点即为黄金分割点 【详解】（1）略 （2）略 11．已知线段，点是线段的黄金分割点（）． (1)求线段的长； (2)以为三角形的一边作，使得，连接，若平分，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了黄金分割的意义及角平分线的性质，解题时要熟练掌握并灵活运用． （1）依据题意，根据黄金比值计算即可得解； （2）依据题意，由若平分，可得到、的距离相等，从而，又由（1），再结合，即可得解． 【详解】（1）解：∵点是线段的黄金分割点，， ∴ （2）解：∵平分， ∴到、的距离相等． ∴． 又由（1）， ∵， ∴． ∴． 【利用平行线分线段成比例去求值或证明】 12．如图，直线，分别交直线m于点A，B，C，交直线n于点D，E，F． (1)若，，，求的长； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据平行线分线段成比例定理进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， 即， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 13．如图，已知直线、、，分别交直线于点、、，交直线，于点，且． (1)若，，，求的长； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果； （2）根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 14．如图，在△ABC中，直线DN平行于BC的中线AF，交AB于点D，交AC的延长线于点E，交边BC于点N， 求证：＝． 【答案】 证明：∵直线DN∥AF， ∴＝，＝， ∵在△ABC中，AF是BC边上的中线， ∴FB＝FC， ∴＝． 【分析】由DN∥AF可得：，，结合FB＝FC即可证明． 【详解】略 【点睛】根据平行线分线段成比例定理和三角形中线的定义，熟练应用平行线分线段成比例是解答本题的关键. 15．如图1，已知，是上一点，交于点，交于点，连接，与交于．求证：． 【答案】 证明：， ，， ，． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解决问题的关键是熟练地变换比例式．根据，可证得，，从而，进而得出． 【详解】略． 16．如图，在中，点在边上，过点作交边于点，过点作，交边于点．    (1)求证：； (2)若，，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得出，证明，得出，则可得出结论； （2）由相似三角形的性质求出，则可得出答案． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 又， ； （2）解：，， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，证明是解题的关键． 17．如图，在矩形中，若，求的长度． 【答案】1 【分析】根据矩形的性质得到，，根据平行线分线段成比例定理得到，根据勾股定理求出的值，即可得到的长度． 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．如图，点D是边上一点，连接，过上点E作，交于点F，过点F作交于点G，已知，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理先得到，进而得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 19．如图①所示，在△ABC中，点O是AC上一点，过点O的直线与AB，BC的延长线分别相交于点M，N. 【问题引入】 (1)若点O是AC的中点，，求的值； 温馨提示：过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G. 【探索研究】 (2)若点O是AC上任意一点(不与A，C重合)，求证：； 【拓展应用】 (3)如图②所示，点P是△ABC内任意一点，射线AP，BP，CP分别交BC，AC，AB于点D，E，F.若，，求的值． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3） . 【分析】(1)作AG∥MN交BN延长线于点G,证△ABG∽△MBN得, 即,同理可证△ACG∽△OCN得,结合AO=CO,得NG=CN,从而由进行求解, (2)由,可知:, (3)由(2)可知,在△ABD中有, 在△ACD中有, 从而,因此可得:. 【详解】(1)过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G. ∴∠G=∠BNM， 又∠B=∠B， ∴△ABG∽△MBN， ∴， ∴， ∴， 即， 同理，△ACG∽△OCN，∴， ∴， 又∵AO=CO， ∴NG=CN， ∴； (2)证明：由(1)可知，，∴＝1； (3)在△ABD中，点P是AD上一点，过点P的直线与AB，BD的延长线分别相交于点F，C.由(2)可得， 在△ACD中，过点P的直线与AC，CD的延长线分别相交于点E，B. 由(2)可得， ∴， ∴. 【点睛】本题主要考查相似三角形的综合问题，熟练掌握相似三角形的判定与性质及比例式的基本性质是解题的关键． 20．请解决以下问题： (1)如图①，在矩形中，点E为边的中点，，点P，Q分别在矩形的边、上，连接交于点M． 求证：． (2)如图②，在（1）的基础上，点R在边上（不与点Q重合） ①若，则线段的长为______； ②当点Q与点B重合，点R与点C重合时，如图③，，，连接，则周长最小值为______． (3)如图④，在中，D为边上的中点，点E为边上一点，交于点G，当时，求的值． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ， ， ， ， 为中点， ， ； (2)8；18 (3) 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理证明即可； （2）①根据矩形的性质得到，根据平行线分线段成比例定理得到，根据三角形中位线定理即可得到结论； ②连接，根据矩形的性质和平行线的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，当三点共线时，的值最小，的最小值的长，根据勾股定理得到，于是得到结论． （3）取的中点，连接，先由三角形中位线定理证明，再由平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①∵四边形是矩形， ， ， ， ， 为中点， ， ， 是的中位线， ， ， ； ②连接，    ∵四边形是矩形， ，， ， ， ， 为中点， 垂直平分， ， ， ∴当三点共线时，的最小值的长， ∵在中， ， 周长的最小值为； （3）解：取的中点，连接， ∵D为边上的中点， ∴， ∵，设，则，， ∵点是的中点， ∴， ∴ ∵ ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $