第3章反比例函数（单元自测卷）数学新教材鲁教版五四制九年级上册

2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第三章 反比例函数 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列函数中，是的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：反比例函数的一般形式为（为常数，）， A、分母为，不符合反比例函数形式，不是关于的反比例函数； B、符合反比例函数形式； C、是正比例函数； D、是二次函数． 2.对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．当时，随的增大而减小 B．图象位于第二、四象限 C．图象经过点 D．当时，随的增大而增大 【答案】A 【分析】由反比例函数解析式确定的正负，结合其图象性质与点坐标验证判断各选项． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴图象位于第一、三象限，故B错误． ∵时，在每个象限内随的增大而减小， ∴当时，随的增大而减小，A正确； 当时，随的增大而减小，D错误． ∵当时，， ∴图象不经过点，故C错误． 3.在某闭合电路中，经过电路的电流（单位：）与电阻（单位：）的数据如表所示．已知是的反比例函数，则表格中的值为（     ） I/A … 4 5 6 … R/Ω … 30 a 20 … A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，关键是求出函数解析式．根据待定系数法求出与的函数关系式，再计算的值． 【详解】解：∵是的反比例函数， ∴设（为常数，）， 将，代入， 得， ∴， 当时，， 解得， ∴． 故答案是： 4.双曲线上有两点，若，则的值为（     ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【详解】解：∵点，在双曲线上， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 5.对于反比例函数，当，且时，自变量x的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】结合反比例函数的图象与性质，分和两种情况讨论自变量的取值范围. 【详解】解：∵ 反比例函数中， ∴ 图象位于第一、三象限，在每个象限内随的增大而减小. 当时，对应第一象限的图象， 当时，， ∵随增大而减小， ∴. 当时，对应第三象限的图象， 当时，， ∵随增大而减小， ∴. ∴的取值范围是或. 6.若，互为相反数，则函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得，异号，分两种情况，根据一次函数与反比例函数的性质分析即可． 【详解】解：∵，互为相反数，且根据反比例函数的定义得， ∴，异号且均不为零， 当时，函数的图象过第一、三、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项符合； 当时，函数的图象过第一、二、四象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项． 7.如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来．在中点的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点的距离（单位：）及弹簧秤的示数（单位：）满足．若弹簧秤的示数F不超过，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据杠杆平衡条件得到，进而求出的取值范围． 【详解】解：由题意，木杆水平平衡，根据杠杆平衡条件：， 代入，， 得：， ， 由题意，弹簧秤示数，即：， ，不等式两边同乘，不等号方向不变， ， ， 又木杆长，为中点， 右侧最大力臂， 的取值范围是：． 8.如图，过点作两条直线，分别交函数，的图象于点，点，连接，若轴，则的面积是（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【分析】连接，，设交轴于点，根据平行线的性质和等底等高的两个三角形面积相等得到 ，再根据反比例函数比例系数k的几何意义得到， ，进而求解即可． 【详解】连接，，设交轴于点． ∵轴，点在轴上， ∴． ∵轴， ∴轴． ∵点在图象上，点在图象上， ∴，． ∴． 9.如图，在中，平分，，反比例函数的图象经过、两点，点在轴上，若的面积为6，则的值为（     ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用角平分线性质得出与的面积比，结合反比例函数的几何意义及梯形面积公式建立方程求解. 【详解】解：过点作于，作于，过点作于 平分， ， ， ， ，， ， 即， 设，，则， 点在反比例函数图象上， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， . 10.如图，在中，，．动点分别在直线上运动，且始终保持．设，则与之间的函数关系用图象大致可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，得，即，由，得，由此可得，同理可证，从而证明，利用相似比求函数关系式即可求解． 【详解】解：∵， ，即， 又， ， ， 同理可证， ， ， ， ， ， 故该函数图象是位于第一象限的反比例函数的一支．选项A符合题意． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.已知点，都在反比例函数图象上，则 ． 【答案】 【分析】将点B坐标代入表达式，求出k值，再将点A坐标代入，可得a值． 解：将代入中，得， ∴，将代入，得：， ∴， 故答案为：． 12.对于函数，当，的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】当时，，根据函数的图象和性质即可求解． 解：当时，， 则于函数，图象在第一、三象限内，在每个象限内,y随x的增大而减小， ∴当，的取值范围是：， 当时，的取值范围是：． 故答案为：或 13.已知反比例函数，当时，随增大而减小，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质，当时，随增大而减小，可得比例系数，据此列不等式求解的范围． 【详解】解：∵反比例函数，当时，随增大而减小， ∴图象分布在一三象限， ∴ 解得． 14.如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于、两点，点在轴上，且，若，则为________． 【答案】 【分析】根据正比例函数和反比例函数交于、两点，得出两点的坐标关于原点对称，求出，过点作于点，由等腰三角形的性质可得，进而求出k的值． 【详解】解：如图， 根据正比例函数和反比例函数交于、两点， 两点关于原点对称， ∴． ∵，， ， ， ， 是等腰三角形， 过点作于点，根据等腰三角形的三线合一可得， ， ∴， ∵反比例函数的图象位于二、四象限 ． 15.如图，在平面直角坐标系中，点，分别在函数和的图象上，若，且，则___________． 【答案】 【分析】根据建立等式，通过因式分解逐步求解即可． 【详解】解：由题意，，， ， ， 移项得，， ， ， ， ，且， ， ， ， 又，， ， ． 16.如图，在轴的正半轴上依次截取 ，过，，，，，分别作轴的垂线，与反比例函数的图象交于点，，，，，，并设，，，的面积分别为，，，，按此作法进行下去，则的值为_____________________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的系数k的几何意义解答． 【详解】解：∵在反比例函数的图象上，轴于 ∴， 连接，， ， 同理， ∵ ， ∴， ， … ∴， ∴当时，． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）已知点在反比例函数的图象上． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)判断点和点是否在这个反比例函数的图象上． 【分析】（1）将代入求解即可； （2）分别将和代入判断即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴这个反比例函数的表达式为； （2）解：将代入，得， ∴点在该反比例函数的图象上； 将代入，得， ∴点不在该反比例函数的图象上． 18.（6分）已知与成反比例关系，且当时，． (1)求与之间的函数表达式； (2)当时，求的值． 【分析】（1）根据反比例函数的定义设出函数解析式，再代入已知的x、y值求出比例系数，进而得到函数关系式； （2）把代入（1）中所求的函数解析式即可求得y的值． 【详解】（1）解：设， ∵当时， ∴， 解得． ； （2）解：当时，． 19．（8分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (2)将一次函数的图象向上平移3个单位长度，求平移后的一次函数图象与反比例函数图象的交点坐标． 【分析】（1）将点代入反比例函数可得，再令得到点，然后代入即可得一次函数解析式； （2）根据平移得到平移后的解析式为，再联立求交点即可． 【详解】（1）解：点在反比例函数上， ，解得， 反比例函数， 令，则，解得， 故， 把，代入一次函数， 联立得， 解得， 所以一次函数； （2）一次函数的图象向上平移3个单位长度得， ， 解得或， 则平移后的一次函数图象与反比例函数图象的交点坐标，． 20.（8分）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于点A，其中点A的横坐标为2，点C是双曲线上点A右侧的一点（不与点A重合），过点C分别作，轴，垂足分别为点D，点E． (1)求反比例函数的表达式； (2)如果，求点D的坐标． 【分析】（1）根据点A在上，且横坐标为2，求出点，再代入即可求解． （2）根据题意求出点，在中，求出，设，表示出，，在中，根据，列出方程求出，即可求解． 【详解】（1）解：点A在上，且横坐标为2， ， 把代入得， ， 反比例函数的表达式为； （2）轴，且， 点的横坐标为4， 在中，令，则， 在中，， ． 点在直线上，设， ， 在中，， 即，整理得， 解得：（舍去，不符合题意），， ， 点的坐标为． 21.（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与反比例函数的图象相交于点． (1)求和的值； (2)若以上两个函数图象上有三个不同的点，，，求证：． 【分析】（1）利用待定系数法求函数表达式即可． （2）根据已知条件设，两点在二次函数的图象上，根据二次函数图象的对称性得到，再利用在反比例函数的图象上，代入坐标即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，二次函数图象与反比例函数的图象相交于点． ∴将点代入中， ∴， 可得， 将点代入中， ， 解得． （2）证明：设，两点在二次函数的图象上， 在反比例函数的图象上， ∵，两点纵坐标相同，则，关于轴对称， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴． 22.（10分）心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学生的注意力指数y随时间（分）的变化规律如图所示（其中、为线段，为双曲线的一部分）． (1)上课后的第6分钟与第30分钟相比较，第______分钟时学生的注意力更集中． (2)分别求出线段和双曲线的函数关系式． (3)一道数学题，需要讲15分钟，为了学生听课效果较好，要求学生的注意力指数不低于40，那么经过适当的时间安排，教师能否在学生注意力达到所需状态下讲完这道题？ 【分析】本题结合分段函数的图像性质分步求解，先根据图像给出的特殊点坐标求出各段函数解析式，再通过等式计算即可． （1）分别计算第6分钟和第30分钟对应的注意力指数数值，比较两个数值的大小即可； （2）根据待定系数法即可求得一次函数和反比例函数的解析式； （3）分别在段和段计算注意力指数的时间点，再求得时长，将该时长与需要讲题的15分钟进行比较即可． 【详解】（1）解：设线段的函数关系式为， 将点代入，得， 解得， 线段的函数关系式为， 设双曲线的函数关系式为， 将点代入，得， 解得， 双曲线的函数关系式为， 把代入，得， 把代入，得， ， 第6分钟时学生的注意力更集中； （2）解：设线段的函数关系式为， 将点代入，得， 解得， 线段的函数关系式为， 设双曲线的函数关系式为， 将点代入，得， 解得， 双曲线的函数关系式为； （3）解：由题意得， 在线段段时，， 解得， 在双曲线段，， 解得， 注意力指数不低于40的总时长为（分钟）， ， 教师能在学生注意力达到所需状态下讲完这道题． 23.（12分）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质，其探究过程如下： (1)绘制函数图象，如图． 列表：如表是与的几组对应值，其中________； 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整． … … … … (2)通过观察图象，当时，随着的增大而________．（填“增大”或“减小”） (3)已知点在函数的图象上，在函数的第一象限内的图象上，是否存在点，使得的面积为，若存在求出点的坐标，若不存在请说明理由． 【分析】（1）将代入求解，根据表格所给点作图． （2）观察图象即可得出函数的性质． （3）把代入得，，求得，设，分情况根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：将代入得， . 画图如下： （2）解：通过观察图象，当时，随着的增大而增大． （3）解：把代入得，， ， 设，如图，当在的左边时，过作轴于，过作轴于， 的面积为， ， 解得或（舍去）， ． 设，如图，当在的右边时，过作轴于，过作轴于， 的面积为， ， 解得或（舍去）， ． 综上：或. 24．（12分）如图，在矩形中，，，点是边上的点且，反比例函数的图像经过点，交边于点，作直线． (1)直接写出点 、 的坐标：（____，____），（____，____），直接写出反比例函数的解析式：________．连接， 直接写出的面积：_______． (2)在轴上找一点，使的周长最小，求出此时点的坐标； (3)若点在反比例函数的图像上，点在轴上，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据矩形的性质及可得点的坐标，从而得出反比例函数的解析式，再把代入可得点的坐标，然后利用矩形的面积公式和三角形的面积公式可得的面积； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于，此时的周长最小，求出直线的解析式，再令可求出点的坐标； （3）分类讨论：①当，为对角线时，②当，为对角线时，③当，为对角线时，利用中点坐标公式建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接，， ∵在矩形中，，， ∴轴，轴，，， ∵点是边上的点且， ∴， ∴， ∵反比例函数的图像经过点，交边于点， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， ∴， ∴，， ∴ ， ∴，，反比例函数的解析式为，的面积， 故答案为：；；；；；； （2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于， 由（1）知：， ∴，， ∴，当点、、共线时取“”， 此时取得最小值，即的周长取得最小值，最小值为， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，得， ∴； （3）设，， ∵，， ①当，为对角线时，得： ，解得：， ∴； ②当，为对角线时，得： ，解得：， ∴； ③当，为对角线时，得： ，解得：， ∴（不符合题意，舍去）； 综上所述，存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第三章反比例函数（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 5 6 > 10 B A A B D B D C C A 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 2 11.-3 12.y<-1或y>0 13.m<1 14.-9 15.-4 16.99 三、解答题（共8小题，共72分） 17.(6分) 山解：点P(6在反比刹函数y的图象上， .:8=k -6 .k=-48. ·这个反比例函数的表达式为y=- x;(2分) ②解：将：4代入=8符8-12 4 点M(4-12) 在该反比例函数的图象上：(4分) 将x=2代入y=-48 ，三42424 1/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点 (2,24)不在该反比例函数的图象上.(6分) 186分)山解设车=0， 当x=5时，y=-3 =-3,(2分) .5+1 解得k=-18」 ys、18 +1:(4分) ②解：当=3时，=-9.6纷 19,（8分)山)解：点441)在反比例函数-e≠0)上， 1=C 4,解得c=4 反比例函数》=，(2分) 4 令y=4,则4= =x,解得x=-1, 故8(4) 3分) 把44，B4)代入-次函数=ar+ba+0) [4a+b=1 联立得-a+b=-4, [a=1 解得b=-3, 所以一次函数y=x-3；(5分) 2/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)一次函数y=x-3的图象向上平移3个单位长度得y=x-3+3=x, y=x 4 y= x' x=-2「x=2 解得y=-2或y=2, 则平移后的一次函数图象与反比例函数图象的交点坐标 -2,-2).(2,2).(8分) 20.(8分)(1)解：点A在y=x上，且横坐标为2， A(2,2） ,(1分) 把A2,2)代入y=k≠0)得. k=xy=2×2=4, 4 反比例函数的表达式为y=:(3分) (2)CE⊥x轴，且OE=4, ∴.点C的横坐标为4， 4 在y x中，令x=4,则y=1,C(4,1),(4分) 在RtAOCE中，OE=4,CE=1, :0C=0B2+CE2=4+=17.5分) “点D在直线'=x上，设 D(m,m) 0D2=(m-0)2+(m-0)2=2m2,CD2=(m-4)2+(m-1)2 ,(6分) 在RtAOCD中，OD2+CD2=OC2, 3/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即2m+m-4+m-=17,整理得2m-5m=0, 5 解得：m=0（舍去，不符合题意)，m=2 2 5 m=2,(7分) 55 点D的坐标为2'2， (8分) 21.(10分)(1)解：根据题意可知，二次函数图象与反比例函数的图象相交于点 P(1,1) 将点 P1代入y=ar中， .1=a×12, 可得a=1,(2分) 将点P,1)代入y=。 中， 1=k 1, 解得k=1.(4分) (2)证明：设1(，m）B(3,m 两点在二次函数y=ax 的图象上， C(:,m)在反比例函数y=的图象上， A,B两点纵坐标相同，则A,B关于y轴对称， :古+书0 ,(6分) C(s,m)在反比例函数图象上， m,(8分) 11 .+x2+x3=0+1= mm·(10分) 4/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 22.(10分)(1)解：设线段4B的函数关系式为 y=kx+b [b=30 将点A(0,30)小、B(10,50)代入y=kx+b,得10k+b=50, [k=2 解得b=30, 线段AB的函数关系式为y=2x+30(0≤x≤10， 设双曲线CD的函数关系式为y= x，得50s专 将点C(20,50)代入y= 20 2=1000 解得 “双曲线CD的函数关系式为y=10020≤X≤40。 把x=6代入y=2x+30(0≤x≤10，得y=2×6+30=42, 1000 把x=30代入y=100020≤x≤40.得=30， y= :4231000 30, .第6分钟时学生的注意力更集中；(2分) (②)解：设线段1B的函数关系式为'=+b b=30 将点A(0,30)小、B(10,50)代入y=kx+b,得10k+b=50, [k=2 解得b=30, .线段AB的函数关系式为y=2x+300≤x≤10，(4分) 5/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设双曲线CD的函数关系式为y=。 x 将点C(20.50)代入y= t,得50= 20 3=1000 解得 双庙线CD的函数关系式为y=100120≤X≤40，(6分) X (3)解：由题意得y≥40， 在线段AB段时，2x+30≥40， 解得x≥5，(7分) 1000z40, 在双曲线CD段， 解得x≤25，(8分) “注意力指数不低于40的总时长为25-5=20（分钟），(9分) .20>15. .教师能在学生注意力达到所需状态下讲完这道题.(10分) 2 y= 23.(12分)(1)解：将x=2代入x得y=1, .m=1.(2分) 画图如下： 6/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 3 2 1 (4分) -5-4-3219 2345 2 =4 5 (2)解：通过观察图象，当x<0时，y随着x的增大而增大.(7分) 2 y= (3)解：把x=2代入x得，y=1, .P(2,1) 设(a,白)(a>0),如图，当Q在p的左边时，过Q作QE⊥x轴于E,过p作PF⊥x轴于F, Y 5-4-3-2 -10 的面积为， 2345 X 2 3 4 △OPQ 3-2 ×2x1=3 2 解得a=1或a=-4(舍去)， .01,2) (9分) 7/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设Qa,己(a>0),如图，当O在p的右边时，过Q作QE1r轴于E:过p作PF1x轴于F, 4 3 2 的面积为， 5-4-3-2-10 1F2.3.4E5x -2 -3 4 5 △OPQ 3-2 2×2x1=3 -2 解得a=4或a=-1(舍去)， ∴04.(11分) 综上：Q0,2)或(4.(12分) 24.(12分)(1)解：如图，连接0D,OE, D A ,在矩形OABC中，AB=3,BC=6, .BC⊥x轴，BA⊥y轴，OC=AB=3,AO=BC=6, AD 1 :点D是边AB上的点且BD2, 8/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 AD=AB=5×3=1, 3 3 .D(1,6) 1分) :反比例函数y=(k>0)的图像经过点D,交BC边于点E' .k=1×6=6, ·反比例函数的解析式为y x,(3分) 62 当x=3时，y= 32) (4分) ..BD=AB-AD=3-1=2,BE=BC-EC=6-2=4. :.SaaE=5eB0c-Sa0D-S2ocE-SamE -AB-RC-240-AD-OC-EC-BPBE 2 1 入3×6=5×6×1=万 3x2-x2×4 =18-3-3-4 =8,(6分) 6 D(1,6),E3,2),反比例函数的解析式为'=x,AODE的面积g: (2)解：如图，作点E关于y轴的对称点E',连接DE'交y轴于P, E 0 E(3,2) 由(1)知： 9/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E(-3,2).PE=PE. ∴，DE+PD+PE=DE+PD+PE'≥DE+DE',当点D、P、E'共线时取“=”， 此时DE+PD+PE取得最小值，即△PDE的周长取得最小值，最小值为DE+DE',(7分) 设直线DE的解析式为'=r+b,过点D D(1,6)E'(-3,2) a+b=6 .-3a+b=2, a=1 解得1b=5: .直线DE的解析式为y=x+5, 当x=0时，得y=5, :P(0,s) (9分) 6 Mm,二 (3)设m, N(0,n). .D(06)E3,2) ①当MN,DE为对角线时，得： [m+01+3 2 6 m=4 +n 6+2:解得： 13 2 2 (10分) ②当MD,NE为对角线时，得： 10/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 m+10+3 2 2 6 .+6 n+2'解得：∫m=2: 2 2 n=7 ,M(2,3) (11分) ③当ME,ND为对角线时，得： m+30+1 2 2 6 +2 m一 n+6’ 解得： m=-2, 2 2 n=-7 ,M(-2,-3) (不符合题意，舍去)： 3 综上所述，存在以D、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标为4)威23)。（12 分) 11/11 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第三章 反比例函数 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列函数中，是的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2.对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．当时，随的增大而减小 B．图象位于第二、四象限 C．图象经过点 D．当时，随的增大而增大 3.在某闭合电路中，经过电路的电流（单位：）与电阻（单位：）的数据如表所示．已知是的反比例函数，则表格中的值为（     ） I/A … 4 5 6 … R/Ω … 30 a 20 … A． B． C． D． 4.双曲线上有两点，若，则的值为（     ） A．-1 B．0 C．1 D．2 5.对于反比例函数，当，且时，自变量x的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 6.若，互为相反数，则函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象是（     ） A． B． C． D． 7.如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来．在中点的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点的距离（单位：）及弹簧秤的示数（单位：）满足．若弹簧秤的示数F不超过，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8.如图，过点作两条直线，分别交函数，的图象于点，点，连接，若轴，则的面积是（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 9.如图，在中，平分，，反比例函数的图象经过、两点，点在轴上，若的面积为6，则的值为（     ） A．3 B． C． D． 10.如图，在中，，．动点分别在直线上运动，且始终保持．设，则与之间的函数关系用图象大致可以表示为（    ） A． B． C． D． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.已知点，都在反比例函数图象上，则 ． 12.对于函数，当，的取值范围是 ． 13.已知反比例函数，当时，随增大而减小，则的取值范围是________． 14.如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于、两点，点在轴上，且，若，则为________． 15.如图，在平面直角坐标系中，点，分别在函数和的图象上，若，且，则___________． 16.如图，在轴的正半轴上依次截取 ，过，，，，，分别作轴的垂线，与反比例函数的图象交于点，，，，，，并设，，，的面积分别为，，，，按此作法进行下去，则的值为_____________________． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）已知点在反比例函数的图象上． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)判断点和点是否在这个反比例函数的图象上． 18.（6分）已知与成反比例关系，且当时，． (1)求与之间的函数表达式； (2)当时，求的值． 19．（8分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (2)将一次函数的图象向上平移3个单位长度，求平移后的一次函数图象与反比例函数图象的交点坐标． 20.（8分）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于点A，其中点A的横坐标为2，点C是双曲线上点A右侧的一点（不与点A重合），过点C分别作，轴，垂足分别为点D，点E． (1)求反比例函数的表达式； (2)如果，求点D的坐标． 21.（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与反比例函数的图象相交于点． (1)求和的值； (2)若以上两个函数图象上有三个不同的点，，，求证：． 22.（10分）心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学生的注意力指数y随时间（分）的变化规律如图所示（其中、为线段，为双曲线的一部分）． (1)上课后的第6分钟与第30分钟相比较，第______分钟时学生的注意力更集中． (2)分别求出线段和双曲线的函数关系式． (3)一道数学题，需要讲15分钟，为了学生听课效果较好，要求学生的注意力指数不低于40，那么经过适当的时间安排，教师能否在学生注意力达到所需状态下讲完这道题？ 23.（12分）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质，其探究过程如下： (1)绘制函数图象，如图． 列表：如表是与的几组对应值，其中________； 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整． … … … … (2)通过观察图象，当时，随着的增大而________．（填“增大”或“减小”） (3)已知点在函数的图象上，在函数的第一象限内的图象上，是否存在点，使得的面积为，若存在求出点的坐标，若不存在请说明理由． 24．（12分）如图，在矩形中，，，点是边上的点且，反比例函数的图像经过点，交边于点，作直线． (1)直接写出点 、 的坐标：（____，____），（____，____），直接写出反比例函数的解析式：________．连接， 直接写出的面积：_______． (2)在轴上找一点，使的周长最小，求出此时点的坐标； (3)若点在反比例函数的图像上，点在轴上，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第三章 反比例函数 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列函数中，是的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2.对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．当时，随的增大而减小 B．图象位于第二、四象限 C．图象经过点 D．当时，随的增大而增大 3.在某闭合电路中，经过电路的电流（单位：）与电阻（单位：）的数据如表所示．已知是的反比例函数，则表格中的值为（     ） I/A … 4 5 6 … R/Ω … 30 a 20 … A． B． C． D． 4.双曲线上有两点，若，则的值为（     ） A．-1 B．0 C．1 D．2 5.对于反比例函数，当，且时，自变量x的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 6.若，互为相反数，则函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象是（     ） A． B． C． D． 7.如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来．在中点的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点的距离（单位：）及弹簧秤的示数（单位：）满足．若弹簧秤的示数F不超过，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 第7题图 第8题图 第9题图 8.如图，过点作两条直线，分别交函数，的图象于点，点，连接，若轴，则的面积是（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 9.如图，在中，平分，，反比例函数的图象经过、两点，点在轴上，若的面积为6，则的值为（     ） A．3 B． C． D． 10.如图，在中，，．动点分别在直线上运动，且始终保持．设，则与之间的函数关系用图象大致可以表示为（    ） A． B． C． D． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.已知点，都在反比例函数图象上，则 ． 12.对于函数，当，的取值范围是 ． 13.已知反比例函数，当时，随增大而减小，则的取值范围是________． 14.如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于、两点，点在轴上，且，若，则为________． 第14题图 第15题图 第16题图 15.如图，在平面直角坐标系中，点，分别在函数和的图象上，若，且，则___________． 16.如图，在轴的正半轴上依次截取 ，过，，，，，分别作轴的垂线，与反比例函数的图象交于点，，，，，，并设，，，的面积分别为，，，，按此作法进行下去，则的值为_____________________． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）已知点在反比例函数的图象上． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)判断点和点是否在这个反比例函数的图象上． 18.（6分）已知与成反比例关系，且当时，． (1)求与之间的函数表达式； (2)当时，求的值． 19．（8分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (2)将一次函数的图象向上平移3个单位长度，求平移后的一次函数图象与反比例函数图象的交点坐标． 20.（8分）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于点A，其中点A的横坐标为2，点C是双曲线上点A右侧的一点（不与点A重合），过点C分别作，轴，垂足分别为点D，点E． (1)求反比例函数的表达式； (2)如果，求点D的坐标． 21.（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与反比例函数的图象相交于点． (1)求和的值； (2)若以上两个函数图象上有三个不同的点，，，求证：． 22.（10分）心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学生的注意力指数y随时间（分）的变化规律如图所示（其中、为线段，为双曲线的一部分）． (1)上课后的第6分钟与第30分钟相比较，第______分钟时学生的注意力更集中． (2)分别求出线段和双曲线的函数关系式． (3)一道数学题，需要讲15分钟，为了学生听课效果较好，要求学生的注意力指数不低于40，那么经过适当的时间安排，教师能否在学生注意力达到所需状态下讲完这道题？ 23.（12分）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质，其探究过程如下： (1)绘制函数图象，如图． 列表：如表是与的几组对应值，其中________； 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整． … … … … (2)通过观察图象，当时，随着的增大而________．（填“增大”或“减小”） (3)已知点在函数的图象上，在函数的第一象限内的图象上，是否存在点，使得的面积为，若存在求出点的坐标，若不存在请说明理由． 24．（12分）如图，在矩形中，，，点是边上的点且，反比例函数的图像经过点，交边于点，作直线． (1)直接写出点 、 的坐标：（____，____），（____，____），直接写出反比例函数的解析式：________．连接， 直接写出的面积：_______． (2)在轴上找一点，使的周长最小，求出此时点的坐标； (3)若点在反比例函数的图像上，点在轴上，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 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