第27章反比例函数（单元自测卷）数学人教版新教材九年级上册

**基本信息** 2025-2026学年九年级上册数学第27章反比例函数单元检测卷，满分120分，覆盖反比例函数定义、图像性质、实际应用等核心知识，通过基础巩固与创新应用结合的命题设计，培养抽象能力、推理意识与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|反比例函数定义（题1）、图像增减性（题2）、实际情境应用（题3电路问题）|结合图像辨析（题7面积关系），体现几何直观| |填空题|5/15|解析式确定（题11）、取值范围（题12）、图像交点（题13）|创新定义“伴点”（题15），发展创新意识| |解答题|9/75|实际应用（题17圆锥漏斗、题21浮力密度计）、函数与几何综合（题22矩形对称中心）、跨知识结合（题23不等式求最值）|注重真实情境建模（密度计测量），培养应用意识与推理能力|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第27章 反比例函数 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列关系式中，是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2．反比例函数的图象如图所示，随着值的增大，的值（     ）． A．减小 B．增大 C．不变 D．先减小后不变 3．下列数量关系中，成反比例关系的是（     ） A．橘子的单价一定，购买橘子的数量与总价 B．圆柱的体积一定，它的底面积与高 C．学校计划种植500棵树，已植的棵数与未植的棵数 D．速度一定，路程与时间 4．已知与成反比例关系，且当时，，则关于的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 5．关于反比例函数，下列说法错误的是（     ） A．函数图象在第一、三象限 B．当时，y的值随x的增大而减小 C．当时， D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上 6．已知点、、在反比例函数（）的图象上，那么、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． 7．如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B、C为反比例函数上不同的三点，连接、、，过点A作y轴于点D，过点B、C分别作，垂直x轴于点E、F，与相交于点M，记、、四边形的面积分别为、、，则（     ） A． B． C． D． 8．一定电压（单位：V）下电流和电阻之间近似成反比例关系，东东用一个蓄电池作为电源组装了一个电路如图1所示，通过实验，发现电流随着电阻值的变化而变化的一组数据如表格所示． … 2 3 4 6 12 … … 23.9 15.8 12.1 a 4.1 … 下列说法不正确的是（     ） A．表中 B．这个蓄电池的电压值大约是 C．图2中图象可以表示电流I和电阻R之间的函数关系 D．若该电路的最小电阻值为，该电路能通过的最大电流是 9．已知函数与的图象如图所示，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 10．在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，下列结论中正确的是（     ） A． B．若，则 C． D．若，则 2、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．在平面直角坐标系中，若反比例函数（为常数，）的图象的两支分别位于第一、第三象限，则的值为____________．（写出一个符合条件的值即可） 12．已知反比例函数的图象经过点，若，则的取值范围为____． 13．如图，一次函数与反比例的图象相交于A、B两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围是________． 14．如图，反比例函数，的图象在平面直角坐标系中，点为的图象上一点，过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为，，线段被的图象上一点分成两部分，且，连接，则的值为_______． 15．我们约定：在平面直角坐标系中，点的“伴点”是点（其中，不同时为0）．例如，点的“伴点”是点．下列结论：①点的“伴点”是点；②存在点，使点与它的“伴点”均在反比例函数的图象上；③存在点，使点与它的“伴点”均在一次函数的图象上；④有且只有一个点，使点与它的“伴点”均在二次函数的图象上．正确的是__________（填写序号）． 三、解答题（共9小题，共75分） 16．已知反比例函数（为常数）． (1)若点在这个函数的图象上，求的值； (2)若在这个函数图象的每一支上，随的增大而减小，求的取值范围； (3)若，试判断点，是否在这个函数的图象上，并说明理由． 17．制作容积为的圆锥形漏斗，漏斗口面积为S，高为，圆锥体积． (1)求S关于的函数解析式； (2)若漏斗口面积不超过，求高的最小值． 18．如图，在平面直角坐标系中，直线，与y轴交于点A，与x轴交于点B，反比例函数与直线l交于点C，且． (1)求反比例函数的解析式； (2)根据函数图象，直接写出的x的取值范围． 19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)直接写出当时，的取值范围； (3)点是轴上一点，若的面积为6，求点的坐标． 20．有这样一个问题：探究函数的图象和性质． 小石根据学习函数的经验，对此函数的图象和性质进行了探究． 下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是_____________； (2)下表是与的几组对应值． … … … … 求的值； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对应值为坐标的点．根据描出的点，画出此函数的图象； (4)进一步探究，结合函数的图象，写出此函数的性质（一条即可）：___________________________________________________________． 21．浮力式密度计是测量液体密度的仪器（如图1），通常是一个密封的玻璃管，底部有重物，上部有刻度，把它放入液体中，它会竖直漂浮．密度计上与液面平齐的刻度为浸没深度h（单位：），且液体密度（单位：）是浸没深度h（单位：）的反比例函数．小明在家里制作简易浮力式密度计（如图2），经过测量与查阅资料得到浸没深度h与液体密度的对应关系（如下表）． 酒精 水 蜂蜜 浸没深度h（） 17.5 14 10 液体密度（） m 1 n (1)求出关于h的函数解析式； (2)________，________； (3)如果该简易密度计能竖直漂浮的最小浸没深度为，最大浸没深度为，求该密度计能测量的液体密度的范围． 22．如图，点P是矩形的对称中心，点P在y轴正半轴上，反比例函数的图象经过点A，反比例函数的图象经过点C，求矩形的面积． 23．【阅读理解】 对于任意正实数、，∵，∴，∴，只有当时，等号成立． 【数学认识】 在（、均为正实数）中，若为定值，则，只有当时，有最小值． 【解决问题】 (1)若时，有最小值为 ，此时 ； (2)对于，若，则当 时，该式取最小值，最小值为 ．（直接写出答案） (3)学校准备在图书馆后面的场地上建一个面积为平方米的长方形自行车棚．图书馆的后墙只有米长可以利用，其余部分由铁围栏建成，如图是小尧同学设计的图纸，设所需铁围栏米，自行车棚长为米．是否存在最小值，如果存在，那么当为何值时，最小，最小为多少米？如果不存在，请说明理由． (4)如图，已知直线：与轴交于点，若点为双曲线（）上任意一点，作轴交直线于点，试求当线段最短时，求面积． 24．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点A在x轴上，点B在y轴上，且，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点D． (1)求反比例函数的关系式； (2)求将正方形沿x轴向左平移多少个单位长度时，点C恰好落在反比例函数的图象上； (3)若点E是线段上一动点，点F是线段上一动点，是否存在直线将的周长和面积同时平分？若存在这样的直线，则求出线段的长；若不存在这样的直线，请说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第27章 反比例函数 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列关系式中，是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】反比例函数形如（为常数，）． 【详解】解： A、为正比例函数，不符合题意； B、符合该形式，且，符合题意； C、是二次函数，不符合题意； D、为一次函数，不符合题意． 2．反比例函数的图象如图所示，随着值的增大，的值（     ）． A．减小 B．增大 C．不变 D．先减小后不变 【答案】A 【分析】根据反比例函数图象的性质判断即可． 【详解】反比例函数，观察函数图象在第一象限，在第一象限内，随着值的增大，的值随之减小． 3．下列数量关系中，成反比例关系的是（     ） A．橘子的单价一定，购买橘子的数量与总价 B．圆柱的体积一定，它的底面积与高 C．学校计划种植500棵树，已植的棵数与未植的棵数 D．速度一定，路程与时间 【答案】B 【分析】成反比例关系的两种量乘积为定值，据此筛选选项． 【详解】解：∵橘子单价一定时，总价数量定值；速度一定时，路程时间定值，即两组量的比值均为定值， ∴选项A、D中的两种量均成正比例关系，不符合题意； ∵圆柱的体积一定，即底面积高定值， ∴它的底面积与高成反比例关系，B符合题意； ∵计划种植总棵数为，即已植棵数未植棵数定值， ∴已植的棵数与未植的棵数不成比例关系，C不符合题意． 4．已知与成反比例关系，且当时，，则关于的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与的函数解析式为，根据已知的、值求出值即可． 【详解】解：设与的函数解析式为，将，代入解析式，得，解得， ∴与的函数解析式为． 5．关于反比例函数，下列说法错误的是（     ） A．函数图象在第一、三象限 B．当时，y的值随x的增大而减小 C．当时， D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数图象位于第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小，故A正确，不符合题意； 当时，图象在第一象限，随的增大而减小，故B正确，不符合题意； 当时，， ∵当时，图象在第三象限，随的增大而减小， ∴当时，， 又∵当时，， ∴当时，的取值范围是或，故C错误，符合题意； 若点在函数图象上，则，即， ∴，即点也在函数图象上，故D正确，不符合题意． 6．已知点、、在反比例函数（）的图象上，那么、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据判断反比例函数的象限分布，再结合每个象限内随的变化规律即可比较大小. 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ∵点，的横坐标都小于， ∴，两点都在第三象限， ∵， ∴， 又∵点的横坐标， ∴点在第一象限，可得， 综上可得. 7．如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B、C为反比例函数上不同的三点，连接、、，过点A作y轴于点D，过点B、C分别作，垂直x轴于点E、F，与相交于点M，记、、四边形的面积分别为、、，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用反比例函数的几何意义表示三角形面积，结合图形面积的和差关系进行判断． 【详解】解：∵点在反比例函数上，轴， ∴， ∵点、在反比例函数上，轴，轴， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， A、，题目条件无法得出，故本选项不符合题意； B、，本选项符合题意； C、，由题意得，故本选项不符合题意； D、，因为，则，故本选项不符合题意． 8．一定电压（单位：V）下电流和电阻之间近似成反比例关系，东东用一个蓄电池作为电源组装了一个电路如图1所示，通过实验，发现电流随着电阻值的变化而变化的一组数据如表格所示． … 2 3 4 6 12 … … 23.9 15.8 12.1 a 4.1 … 下列说法不正确的是（     ） A．表中 B．这个蓄电池的电压值大约是 C．图2中图象可以表示电流I和电阻R之间的函数关系 D．若该电路的最小电阻值为，该电路能通过的最大电流是 【答案】D 【分析】A、根据电压电流电阻，即可求解；B、根据电压电流电阻，即可求解；C、由图进行判断即可；D、若该电路的最小电阻值为，代入计算即可； 【详解】解：A、根据电压电流电阻， ∴蓄电池的电流，说法正确，不符合题意； B、根据电压电流电阻， ∴这个蓄电池的电压值大约是，说法正确，不符合题意； C、由图可知，图2中图象可以表示电流I和电阻R之间的函数关系，说法正确，不符合题意； D、若该电路的最小电阻值为，该电路能通过的最大电流是，选项说法错误，符合题意． 9．已知函数与的图象如图所示，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据一次函数的图象经过的象限可以判断的符号，再根据图象与y轴交点位置判断的符号，进而得到的符号；然后根据反比例函数的图象所在象限，判断的符号， 再结合、、的符号，先判断二次函数的开口方向，再用对称轴公式判断对称轴位置，最后根据时的函数值判断与y轴的交点位置，逐一匹配选项即可． 【详解】解：观察函数图象可知：，，， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴直线，与轴的交点在轴正半轴． ∴二次函数的图象可能是 ． 10．在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，下列结论中正确的是（     ） A． B．若，则 C． D．若，则 【答案】C 【分析】由点在双曲线上得，将两点代入直线方程推得，再结合逐一判断选项． 【详解】解：∵在双曲线上， ∴，即；故选项A错误． ∵，在直线上， ∴，，两式相加得，即； 两式相减得，即； ∵b恒为0，与的取值无关，故选项B错误． ， ∵，， ∴， 即，故选项C正确． 由，得，则， 故在第二象限，在第四象限， ∴直线过原点且经过二、四象限， 观察函数图象，直线在双曲线上方时，x的取值范围是或，故选项D错误． 2、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．在平面直角坐标系中，若反比例函数（为常数，）的图象的两支分别位于第一、第三象限，则的值为____________．（写出一个符合条件的值即可） 【答案】 （任意大于的常数都正确） 【分析】反比例函数的图象位于第一、第三象限时，满足条件，只需写出一个符合要求的正数即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象两支分别位于第一、第三象限， ∴， 因此任意取一个大于的常数即可，例如符合条件． 12．已知反比例函数的图象经过点，若，则的取值范围为____． 【答案】 【分析】根据反比例函数的图象与性质即可求解． 【详解】∵的图象经过点， ∴． ∴函数解析式． ∴当时，． 又，在第二象限内，y随着x的增大而增大， ∴． 【点睛】此题考查了反比例函数的函数值、函数值的取值范围，反比例函数的图象与性质，点在函数图像上的坐标特征等知识，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象与性质及其应用． 13．如图，一次函数与反比例的图象相交于A、B两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围是________． 【答案】或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的数学思想，观察函数图象，取反比例函数图象位于一次函数图象下方时对应的x的取值范围即可． 【详解】解：由一次函数与反比例函数的图象相交于A、B两点， 知图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围是或． 故答案为：或． 14．如图，反比例函数，的图象在平面直角坐标系中，点为的图象上一点，过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为，，线段被的图象上一点分成两部分，且，连接，则的值为_______． 【答案】2 【分析】设点的横坐标为，根据垂线定义及线段比例关系表示出点的横坐标，利用点、纵坐标相等建立关于的方程求出值，即可解答． 【详解】解：设点的坐标为，其中 过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为 轴，轴 点的坐标为，点的坐标为 的长度为 点在线段上，且 点的横坐标为 点在反比例函数的图象上，且点的纵坐标与点相同 点的坐标为 整理得： 解得． 15．我们约定：在平面直角坐标系中，点的“伴点”是点（其中，不同时为0）．例如，点的“伴点”是点．下列结论：①点的“伴点”是点；②存在点，使点与它的“伴点”均在反比例函数的图象上；③存在点，使点与它的“伴点”均在一次函数的图象上；④有且只有一个点，使点与它的“伴点”均在二次函数的图象上．正确的是__________（填写序号）． 【答案】①③ 【分析】根据伴点的定义，逐个验证四个结论，利用函数图象上点的坐标满足函数解析式，列方程或方程组判断解的存在性与个数即可． 【详解】解：① 对于点，，，其伴点为，因此①正确； ② 若和都在的图象上， 由在图象上，可得， 由在图象上，可得，即， 联立得，矛盾，不存在满足条件的点，因此②错误； ③ 若和都在的图象上， 可得方程组 ，解得， ∴存在这样的点P，使点与它的“伴点”均在一次函数的图象上，因此③正确； ④ 若和都在的图象上， 可得方程组 ，整理得， 因此可得或， 当时，代入得， 该方程有两个不同实根，对应两个不同的点； 当时，代入得， 该方程判别式大于，有两个不同实根，对应两个不同的点，综上共有个不同的点满足条件，不符合“有且只有一个点”的描述，因此④错误． 综上，正确结论为①③． 三、解答题（共9小题，共75分） 16．已知反比例函数（为常数）． (1)若点在这个函数的图象上，求的值； (2)若在这个函数图象的每一支上，随的增大而减小，求的取值范围； (3)若，试判断点，是否在这个函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 解：点在该函数的图象上，点不在该函数的图象上，理由如下： 当时，反比例函数解析式为， 将代入，得，与点的纵坐标相等，故点在函数图象上； 将代入，得，故点不在函数图象上． 【分析】（1）将点的坐标代入反比例函数解析式，列方程求解的值； （2）根据反比例函数的增减性与比例系数的符号关系，列不等式求解的取值范围即可； （3）先确定时的函数解析式，代入点的横坐标计算纵坐标，与已知纵坐标对比判断点是否在图象上即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得． （2）解：∵反比例函数的每一支上，随的增大而减小， ∴， 解得． （3）略． 17．制作容积为的圆锥形漏斗，漏斗口面积为S，高为，圆锥体积． (1)求S关于的函数解析式； (2)若漏斗口面积不超过，求高的最小值． 【答案】(1) (2)高最小为 【分析】（1）将代入，即可得出S关于的函数解析式； （2）根据题意得到，求出h的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：将代入，得 ， 整理得． （2）解：根据题意，得 ，即， 解得， 即高最小为． 18．如图，在平面直角坐标系中，直线，与y轴交于点A，与x轴交于点B，反比例函数与直线l交于点C，且． (1)求反比例函数的解析式； (2)根据函数图象，直接写出的x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出点A，点B的坐标，取中点D，易得点D的坐标，分别过点C，点D作y轴的垂线，垂足分别为，求出，证明，可得，进而得到点C的坐标，即可解答； （2）根据图象即可解答． 【详解】（1）解：令，解得，则， 将代入，则， ∴， ∴， 取中点D，则，，即， 分别过点C，点D作y轴的垂线，垂足分别为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵直线与反比例函数交于点C， ∴，即， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵，， 当时，反比例函数的图象在直线的图象上方，且反比例函数的图象与直线的图象都在轴上方， ∴的x的取值范围为． 19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)直接写出当时，的取值范围； (3)点是轴上一点，若的面积为6，求点的坐标． 【答案】(1)； (2) 或 (3)或． 【分析】（1）因为点A在一次函数上，所以将A点横坐标代入一次函数可求出n的值，得到A点完整坐标，再代入反比例函数即可求出k，得到反比例函数表达式． （2）先求出B点坐标，结合函数图象的上下位置关系，分、判断一次函数值大于反比例函数值的x范围． （3）先求出一次函数与x轴的交点C的坐标，那么的面积可表示为与的面积的差，设P点坐标为，根据面积公式列方程求解即可得到P点坐标． 【详解】（1）解：∵点在一次函数上， ∴， 即． 把代入反比例函数， 得， 解得， ∴反比例函数表达式为． （2）解：将代入， 得， 解得， 即． ∵不等式的几何意义是：一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的范围． 结合两个函数的图象：反比例函数在和两个分支，两个交点横坐标为1和3， ∴满足条件的范围是或． （3）解：对：令，得， 即． 设点坐标为， 则轴上线段的长度为． ∵ ， 代入，，，得 ， 化简得， 解得或， ∴的坐标为或． 20．有这样一个问题：探究函数的图象和性质． 小石根据学习函数的经验，对此函数的图象和性质进行了探究． 下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是_____________； (2)下表是与的几组对应值． … … … … 求的值； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对应值为坐标的点．根据描出的点，画出此函数的图象； (4)进一步探究，结合函数的图象，写出此函数的性质（一条即可）：___________________________________________________________． 【答案】(1) (2) (3) (4)当时，随的增大而增大；当时，随的增大而增大．（答案不唯一） 【分析】（1）根据分母不等于即可求解； （2）将代入解析式即可得的值； （3）将各点分轴左右两侧，按自变量从小到大用平滑曲线依次连接可得； （4）结合图象可从函数的增减性解答即可． 【详解】（1）解：函数的自变量的取值范围是； （2）解：当时，， ； （3）略 （4）由图可知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而增大．（答案不唯一） 21．浮力式密度计是测量液体密度的仪器（如图1），通常是一个密封的玻璃管，底部有重物，上部有刻度，把它放入液体中，它会竖直漂浮．密度计上与液面平齐的刻度为浸没深度h（单位：），且液体密度（单位：）是浸没深度h（单位：）的反比例函数．小明在家里制作简易浮力式密度计（如图2），经过测量与查阅资料得到浸没深度h与液体密度的对应关系（如下表）． 酒精 水 蜂蜜 浸没深度h（） 17.5 14 10 液体密度（） m 1 n (1)求出关于h的函数解析式； (2)________，________； (3)如果该简易密度计能竖直漂浮的最小浸没深度为，最大浸没深度为，求该密度计能测量的液体密度的范围． 【答案】(1) (2)0.8；1.4 (3) 【分析】（1）因为已知是的反比例函数，所以先设反比例函数的一般形式为，再将表格中水的、代入，求出常数，即可得到关于的函数解析式． （2）因为已经得到函数解析式，所以将酒精对应的代入解析式可求出，将蜂蜜对应的代入解析式可求出． （3）因为随的增大而减小，所以将最小浸没深度代入解析式得到最大密度，将最大浸没深度代入解析式得到最小密度，即可确定的范围． 【详解】（1）解：设反比例函数解析式为， 把，代入，得， 解得， 反比例函数解析式为． （2）解：将酒精的浸没深度代入解析式，得， 将蜂蜜的浸没深度代入解析式，得； （3）解：当时，； 当时，， 该密度计能测量的液体密度的范围为． 22．如图，点P是矩形的对称中心，点P在y轴正半轴上，反比例函数的图象经过点A，反比例函数的图象经过点C，求矩形的面积． 【答案】 【分析】分别过点A，C作y轴的垂线，分别交y轴于点D，E，根据反比例函数得，，根据四边形是矩形，进而可证明，，即可得，，再根据，计算即可得答案． 【详解】解：如图， 分别过点A，C作y轴的垂线，分别交y轴于点D，E，则：， 点A在反比例函数的图象上， ∴， 点C在反比例函数的图象上， ∴， 四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，， ∵， ， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积为12． 23．【阅读理解】 对于任意正实数、，∵，∴，∴，只有当时，等号成立． 【数学认识】 在（、均为正实数）中，若为定值，则，只有当时，有最小值． 【解决问题】 (1)若时，有最小值为 ，此时 ； (2)对于，若，则当 时，该式取最小值，最小值为 ．（直接写出答案） (3)学校准备在图书馆后面的场地上建一个面积为平方米的长方形自行车棚．图书馆的后墙只有米长可以利用，其余部分由铁围栏建成，如图是小尧同学设计的图纸，设所需铁围栏米，自行车棚长为米．是否存在最小值，如果存在，那么当为何值时，最小，最小为多少米？如果不存在，请说明理由． (4)如图，已知直线：与轴交于点，若点为双曲线（）上任意一点，作轴交直线于点，试求当线段最短时，求面积． 【答案】(1)，； (2)，； (3)当米时，存在最小值，最小围栏长米； (4) 【分析】（1）直接套用阅读材料给出的基本不等式，令计算最小值与对应； （2）对代数式配凑变形，构造可以使用基本不等式的形式，再求出取得最小值时的值与最小值； （3）先根据题意列出围栏总长关于的表达式，结合后墙限制确定自变量取值范围，利用不等式分析最小值是否存在； （4）设点横坐标，表示出、坐标，写出长度的表达式，配凑后利用基本不等式求出最短时自变量取值，再计算三角形面积． 【详解】（1）解：， ，当且仅当，即时取等号， 最小值为，此时； （2）解：， ， ∴， 当且仅当时取等号， ∴或， 当时，解得，符合题意； 当时，解得，不满足，不符合题意； 时，取最小值，最小值为； （3）解：设自行车棚宽为米，由题意得 ， ， 由题意：， ， ，若利用不等式，，取等条件：， 解得，符合范围， 当时，， 当米时，存在最小值，最小围栏长米； （4）解：设， 轴，在上， ， ， ， ， 当且仅当时取等号 ， 解得（负值舍去）， 与轴交于， 令，， ， 当，，，， 点到直线（直线）的水平距离， ， 面积为 24．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点A在x轴上，点B在y轴上，且，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点D． (1)求反比例函数的关系式； (2)求将正方形沿x轴向左平移多少个单位长度时，点C恰好落在反比例函数的图象上； (3)若点E是线段上一动点，点F是线段上一动点，是否存在直线将的周长和面积同时平分？若存在这样的直线，则求出线段的长；若不存在这样的直线，请说明理由． 【答案】(1) (2)1 (3)不存在，理由如下： 设，即， ∵点E是线段上一动点，点F是线段上一动点， ∴， 在中，， ∴， ∴的周长，的面积， ∵直线将的周长和面积同时平分， ∴， ∴，， ∴，即， 解得：， ∵， ∴，此时，不符合题意， ∴不存在这样的直线． 【分析】（1）过点D作轴于点G，则，证明，可得，即可得到点D的坐标，即可求解； （2）过点C作轴于点F，交双曲线于点P，则，证明，可得，从而得到点C、P的坐标，即可求解； （3）设，即，其中， 根据直线将的周长和面积同时平分，可得，，从而得到，可求出m，n的值，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点D作轴于点G，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为， 把点代入中得：， 即， ∴反比例函数的关系式为； （2）解：如图，过点C作轴于点H，交双曲线于点P，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标为，点P的纵坐标为7， 当时，， ∴， ∴点P的坐标为， ∴， 即将正方形沿x轴向左平移1个单位长度时，点C恰好落在反比例函数的图象上； （3）略 学科网（北京）股份有限公司1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第27章反比例函数 (参考答案) 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 6 > b 10 B A B B C B B D A C 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.1(任意大于0的常数都正确) 20<月 13.x<-1或0<x<2 14.2 15.①③ 三、解答题（共9小题，共75分） 16. 【详解】)解：：点A1,2)在反比例函数=-5 x的图象上， 25 解得k=7. (2)解：反比例函数y=x的每一支上，y随的增大而减小 k-5>0 解得k>5 8 B 3 (3)解：点气3在该数的图象上，点 2 4 不在该函数的图象上，理由如下： 8 当k=13时，反比例函数解析式为y=二 x' 8 8 将x=3代入y=,得y=3,与点B的纵坐标相等，故点B在函数图象上： 1/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 将=代入 x,得y=-32≠2，故点C不在函数图象上. 17.【详解】(1)解：将v=150代入V-3Sh,得 150=5%, 31 整理得S=0h>0 h (2)解：根据题意，得 450550 S≤50：即 解得h≥9， 即高最小为9cm. 18【详解】解：令=2+4=0，解得x=2.测2(-2,0) 将=0代入为=2x+4,则=4， ,A(0,4) .0A=4, D /-2+00+4 取AB中点D,则AB=2AD, 22,即D(-1,2), 分别过点C,点D作y轴的垂线，垂足分别为G,H, G 2/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .DH=1,OH=2, .AH=OA-OH=4-2=2, AB=2AC,AB=2AD, ..AD=AC, ·∠AHD=∠AGC=90°，∠BAH=∠CAG. △ADH≌△ACG(AAS) .'DH =CG=1,AH=AG=2. .0G=0A+AG=6. .C(1,6) :直线1：y=2x+4与反比例函数少=x交于点C, :6 =1,即k=6, 一反比例函数的解析式为少= x: (2)解：·40,4C0,6) 当0<x<1时，反比例函数=的图象在直线1：片=2x+4的图象上方，且反比例函数片=的图象与 :y=2x+4 直线 的图象都在轴上方， 0<y<y2 0<x<1 的x的取值范围为 19 【详解】(1)解：：点A,m)在一次函数y=-x+4上， .n=-1+4=3, 3/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即A1,3). 把4,3)代入反比例函数y= X' 行 解得k=3, 二反比例函数表达式为3 (2)解：将B(m,)代入y=-x+4, 得1=-m+4, 解得m=3, 即B(3,1) :不等式+4>的几何应义是：一次同数图象在反比侧屑级图家上方时对应的布目。 结合两个函数的图象：反比例函数在x>0和x<0两个分支，两个交点横坐标为1和3， .满足条件的x范围是x<0或1<x<3 (3)解：对y=-x+4:令y=0,得x=4, 即C(4,0) 设点P坐标为(p,0), PC 1p-4 则轴上线段心的长度为 .wcPCyPC3. 代入4=3，=1，Sm=6,得 6=2p-46-0, 4/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 p-4=6 化简得 解得p=-2或p=10、 :P的坐标为 -2,0)或10,0) 20 2 【详解】(1)解：函数y=x一的自变量x的取值范围是x≠0： (2解：当x=1时=1名-司 .m=-1; 6 (3) 6-5-4-3-2-]0 23456x (4)由图可知，当x<0时，y随x的增大而增大：当x>0时，y随x的增大而增大.（答案不唯一） 21. 【f】山少解：设反比倒国数解折式为P一营0)。 把h=14·p1代入l-年 解得k=14, 5/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14 :反比例函数解析式为P= h· 14 (2)解：将酒精的浸没深度h=17.5代入解析式，得m= =0.8 17.5 14 将蜂蜜的浸没深度h=10代入解析式，得”= 10 =14 (3)解：当h=5时，P 14=2.8 5 14 当h=20时，P= =0.7 20 一该密度计能测量的液体密度P的范围为 0.7g/cm3≤p≤2.8g/cm3 22. 【详解】解：如图， 分别过点A,C作y轴的垂线，分别交y轴于点D,E,则：∠BEC=∠AD0=90°， 点A在反比例函数4三一G<0的图象上， S5o0=1-21=1 2 10 ~点C在反比例函数=>0)的图象上， .SOCE= 0=5 2 四边形OABC是矩形， .BC=0A,BCIIOA,AB=OC, 6/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Y ∴.∠CBE=∠AOD .∠BEC=∠ADO=90°，BC=OA,∠CBE=∠AOD, 、△AOD≌ACBE(AAS) S△MOD=S△BCE AD=CEBE=OD BD=OB-OD,OE=OB-BE, .'BD=OE, AB=OC,AD=CE,BD=OE, △COE≌△ABD(SSS) S△cOE=SABAD S矩形OABC=S△AOD+S△BCE+S△CoE+S△BAD=2×(1+5)=12 ∴.矩形OABC的面积为12. 23. 【详解】(1)解：x>0, 1 x+22,当且仅当，即=1时取等号， 最小值为2，此时x=1; (2)解：x>-4, .x+4>0, 7/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 、、x+4二（x+子大9 -4≥2x+4)9-4=6-4=2 x+4 x+4 9 当且仅当x+4x十4时取等号， .x+4=3或x+4=-3, 当x+4=3时，解得x=-1,符合题意： 当x+4=-3时，解得x=-7,不满足x>-4,不符合题意： 叫时+能小，最位狗2： (3)解：设自行车棚宽为h米，由题意得 xh=100 :h=100 x, 由题意：x>5, L=x+2h+x-5=2x+200-5. 200 ≥2,2x =40 x>5,若利用不等式， 24200 取等条件： 2r=200 解得x=10>5,符合范围， 当x=10时， L最小=40-5=35 ∴当x=10米时，L存在最小值，最小围栏长35米： ④解设9-》0 CDI川y轴，D在y=2x+1上， -1别 8/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :t>0 1,822 +之 1,8-4 18 当且仅当2=：时取等号 .t2=16 解得t=4(负值舍去)， y1与交于4 1 令y=0,2x+1=0, .A(-2,0) 当1=4，C(4,-2)D4,3)cD=5 点A到直线CD(直线x=4)的水平距离 4-（-2)=6 ScmE2×CDx6=,x5×6=15 aACD面积为15. 24. 【详解】(1)解：如图，过点D作DG⊥x轴于点G,则∠AGD=90°， G衣 .∠ADG+∠DAG=90°， ,四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD,∠BAD=90°， 9/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BAO+∠DAG=90°， .∠BAO=∠ADG 又，∠AOB=∠AGD=90°， :△MBO≌aDAG(AAS) ..DG=OA=3,AG=OB=4 ..OG=OA+AG=7, (7,3) ∴点D的坐标为 把点（亿，3）代入y- 中得：3= 7 即k=21, ÷反比例函数的关系式为少=2 x i (2)解：如图，过点C作CH1y轴于点H,交双曲线于点P,则∠BHC=90°， B D ∴.∠BCH+∠CBH=90°， :四边形ABCD是正方形， AB=BC,∠ABC=90°， ∴.∠ABO+∠CBH=90°， .∠ABO=∠BCH, 又，∠AOB=∠CHB=90°， ,△ABO≌△BCH(AAS) .BH=OA=3,CH=OB=4, 10/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..OH=OB+BH=7, 4,7) 点C的坐标为 点P的纵坐标为7， 当=7时，7=21 x .x=3, ·点P的坐标为（民） .CP=4-3=1, 即将正方形ABCD沿x轴向左平移1个单位长度时，点C恰好落在反比例函数的图象上： (3)不存在，理由如下： (m,0),F(0,m川，即OE=m,oF=n, 设 ,点E是线段OA上一动点，点F是线段OB上一动点， .0≤m≤3,0≤n≤4， 在Rt△ABO中，OA=3,OB=4. 4B-VO+08-5 1 六aAB0的周长=3+4+5=12，△MB0的面积=2×3x4=6, ,直线EF将Rt△ABO的周长和面积同时平分， 1 11 m+n=2×12=6,2m=2×6 2 2 ∴.n=6-m,mn=6, :m(6-m)=6 即m2-6m+6=0 解得：%=3+5，m=3-5 .0≤m≤3 :m=3-V5 此时”=3+5>4，不符合思意， 11/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴，不存在这样的直线EF. 12/12 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第27章 反比例函数 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列关系式中，是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2．反比例函数的图象如图所示，随着值的增大，的值（     ）． A．减小 B．增大 C．不变 D．先减小后不变 3．下列数量关系中，成反比例关系的是（     ） A．橘子的单价一定，购买橘子的数量与总价 B．圆柱的体积一定，它的底面积与高 C．学校计划种植500棵树，已植的棵数与未植的棵数 D．速度一定，路程与时间 4．已知与成反比例关系，且当时，，则关于的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 5．关于反比例函数，下列说法错误的是（     ） A．函数图象在第一、三象限 B．当时，y的值随x的增大而减小 C．当时， D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上 6．已知点、、在反比例函数（）的图象上，那么、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． 7．如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B、C为反比例函数上不同的三点，连接、、，过点A作y轴于点D，过点B、C分别作，垂直x轴于点E、F，与相交于点M，记、、四边形的面积分别为、、，则（     ） A． B． C． D． 8．一定电压（单位：V）下电流和电阻之间近似成反比例关系，东东用一个蓄电池作为电源组装了一个电路如图1所示，通过实验，发现电流随着电阻值的变化而变化的一组数据如表格所示． … 2 3 4 6 12 … … 23.9 15.8 12.1 a 4.1 … 下列说法不正确的是（     ） A．表中 B．这个蓄电池的电压值大约是 C．图2中图象可以表示电流I和电阻R之间的函数关系 D．若该电路的最小电阻值为，该电路能通过的最大电流是 9．已知函数与的图象如图所示，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 10．在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，下列结论中正确的是（     ） A． B．若，则 C． D．若，则 2、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．在平面直角坐标系中，若反比例函数（为常数，）的图象的两支分别位于第一、第三象限，则的值为____________．（写出一个符合条件的值即可） 12．已知反比例函数的图象经过点，若，则的取值范围为____． 13．如图，一次函数与反比例的图象相交于A、B两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围是________． 14．如图，反比例函数，的图象在平面直角坐标系中，点为的图象上一点，过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为，，线段被的图象上一点分成两部分，且，连接，则的值为_______． 15．我们约定：在平面直角坐标系中，点的“伴点”是点（其中，不同时为0）．例如，点的“伴点”是点．下列结论：①点的“伴点”是点；②存在点，使点与它的“伴点”均在反比例函数的图象上；③存在点，使点与它的“伴点”均在一次函数的图象上；④有且只有一个点，使点与它的“伴点”均在二次函数的图象上．正确的是__________（填写序号）． 三、解答题（共9小题，共75分） 16．已知反比例函数（为常数）． (1)若点在这个函数的图象上，求的值； (2)若在这个函数图象的每一支上，随的增大而减小，求的取值范围； (3)若，试判断点，是否在这个函数的图象上，并说明理由． 17．制作容积为的圆锥形漏斗，漏斗口面积为S，高为，圆锥体积． (1)求S关于的函数解析式； (2)若漏斗口面积不超过，求高的最小值． 18．如图，在平面直角坐标系中，直线，与y轴交于点A，与x轴交于点B，反比例函数与直线l交于点C，且． (1)求反比例函数的解析式； (2)根据函数图象，直接写出的x的取值范围． 19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)直接写出当时，的取值范围； (3)点是轴上一点，若的面积为6，求点的坐标． 20．有这样一个问题：探究函数的图象和性质． 小石根据学习函数的经验，对此函数的图象和性质进行了探究． 下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是_____________； (2)下表是与的几组对应值． … … … … 求的值； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对应值为坐标的点．根据描出的点，画出此函数的图象； (4)进一步探究，结合函数的图象，写出此函数的性质（一条即可）：___________________________________________________________． 21．浮力式密度计是测量液体密度的仪器（如图1），通常是一个密封的玻璃管，底部有重物，上部有刻度，把它放入液体中，它会竖直漂浮．密度计上与液面平齐的刻度为浸没深度h（单位：），且液体密度（单位：）是浸没深度h（单位：）的反比例函数．小明在家里制作简易浮力式密度计（如图2），经过测量与查阅资料得到浸没深度h与液体密度的对应关系（如下表）． 酒精 水 蜂蜜 浸没深度h（） 17.5 14 10 液体密度（） m 1 n (1)求出关于h的函数解析式； (2)________，________； (3)如果该简易密度计能竖直漂浮的最小浸没深度为，最大浸没深度为，求该密度计能测量的液体密度的范围． 22．如图，点P是矩形的对称中心，点P在y轴正半轴上，反比例函数的图象经过点A，反比例函数的图象经过点C，求矩形的面积． 23．【阅读理解】 对于任意正实数、，∵，∴，∴，只有当时，等号成立． 【数学认识】 在（、均为正实数）中，若为定值，则，只有当时，有最小值． 【解决问题】 (1)若时，有最小值为 ，此时 ； (2)对于，若，则当 时，该式取最小值，最小值为 ．（直接写出答案） (3)学校准备在图书馆后面的场地上建一个面积为平方米的长方形自行车棚．图书馆的后墙只有米长可以利用，其余部分由铁围栏建成，如图是小尧同学设计的图纸，设所需铁围栏米，自行车棚长为米．是否存在最小值，如果存在，那么当为何值时，最小，最小为多少米？如果不存在，请说明理由． (4)如图，已知直线：与轴交于点，若点为双曲线（）上任意一点，作轴交直线于点，试求当线段最短时，求面积． 24．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点A在x轴上，点B在y轴上，且，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点D． (1)求反比例函数的关系式； (2)求将正方形沿x轴向左平移多少个单位长度时，点C恰好落在反比例函数的图象上； (3)若点E是线段上一动点，点F是线段上一动点，是否存在直线将的周长和面积同时平分？若存在这样的直线，则求出线段的长；若不存在这样的直线，请说明理由． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $