第三章 反比例函数 章检测 2026-2027学年鲁教版（五四制）九年级数学上册

2026—2027学年第一学期九年级数学第三章反比例函数 章检测（鲁教版） 满分120分 考试用时120分钟 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则I与R之间的函数关系式为（） A． B． C． D． 2．已知点在反比例函数上，则（    ） A．20 B．9 C．1 D． 3．下列四个函数中，符合当自变量为时，函数值为的是（     ） A． B． C． D． 4．下列函数一定是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 5．函数的图象上有两点，，且，则的值为（   ） A．12 B．6 C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A、B分别在反比例函数和的图象上，点C、D在x轴上，与y轴交于点，点，点，则的值为（   ） A． B．6 C． D． 7．公元前世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若两物体与支点的距离和其重量成反比，则杠杆平衡．后来人们把它归纳为“杠杆原理”，通俗地说，杠杆原理为：阻力阻力臂动力动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为和，动力臂为，则撬动这块大石头至少需要的动力是（   ） A． B． C． D． 8．在压力不变的情况下，某物体承受的压强P（单位：）与它的受力面积S（单位：）是反比例函数关系，其图象如图所示．下列说法错误的是（　　） A．函数解析式为 B．物体承受的压力是 C．当时， D．当时， 9．如图，在平面直角坐标系中；点在函数的图象上从左向右运动，轴，交函数的图象于点，轴交的延长线于点，则的面积（   ） A．逐渐变大 B．逐渐变小 C．等于定值 D．等于定值 10．函数，的图象如图所示，则结论： ①两函数图象的交点A的坐标为；②当时，；③当时，；④当x逐渐增大时，随着x的增大而增大，随着x的增大而减小．其中正确结论的序号是（   ） A．①③④ B．①③ C．②③④ D．①②③④ 2、 填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11．已知与成反比例，且当时，，则关于的函数解析式为________． 12．若点与点都在反比例函数的图象上，且，则，的大小关系是______．（填“＞”或“＜”） 13．将反比例函数的图象向左平移2个单位长度后，所得的图象与y轴的交点坐标为_________． 14．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B，连接，若，，则m的值是______． 15．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，点在第一象限．反比例函数的图象经过的中点，交于点．若的面积为，则的值为____． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16．（9分）已知函数是反比例函数，求m的值． 17．（9分）已知y与x成反比例，且其函数图象经过点． (1)求y与x的函数关系式； (2)当时，求x的值． 18．（9分）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)把直线向上平移3个单位长度与的图象交于点，连接，求的面积． 19．（9分）在反比例的图象的每一支上，都随的增大而减小，且整式是一个完全平方式，求反比例函数的解析式． 20．（9分）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆定律”：若两个物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡，通俗一点可以描述为：阻力阻力臂动力动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别是牛顿和米，设动力为（牛顿），动力臂为（）． (1)求动力与动力臂之间的函数关系式； (2)当撬动石头的动力为牛顿时，动力臂为多少米？ 21．（9分）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示；所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许值．环保局要求该企业立即整改．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系： 时间x/天 3 5 6 10 … 硫化物的浓度 5 3 1.5 … (1)在整改过程中，当时，求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； (2)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在20天以内不超过最高允许值？为什么？ 22．（9分）如图已知直线与x、y轴分别交于点A、B，与双曲线交于点C，过点C作轴于点D，连接，设C点坐标为， (1)当时，求的值； (2)求证：； (3)随着a的变化，的值是否变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 23．（12分）如图，点为函数与函数图象的交点，点的纵坐标为4，轴，垂足为点． (1)求的值； (2)点是函数图象上一动点，过点作于点，若，求点的坐标． (3)点是轴上一动点，当是等腰三角形时，直接写出点的坐标． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期九年级数学第三章反比例章检测 （鲁教版） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B D C C B C D D 1．A 【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是学会利用图象信息解决问题，属于中考常考题型．先根据函数图象可用电阻表示电流的函数解析式为，再把代入可得的值，进而可得函数解析式． 【详解】解：设用电阻表示电流的函数解析式为， 函数图象过， 故选：A． 2．A 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，直接把点代入解析式进行求解即可． 【详解】解：∵点在反比例函数， ∵，解得， 故选A． 3．B 【详解】解：将依次代入各选项计算函数值， 选项A，，，，不符合题意； 选项B，，，满足函数值为的条件，符合题意； 选项C，，，，不符合题意： 选项D，，，，不符合题意． 4．D 【分析】本题主要考查了反比例函数的识别，一般地，形如的函数叫做反比例函数，据此求解即可． 【详解】解：A、当时，函数不是反比例函数，不符合题意； B、不是反比例函数，不符合题意； C、不是反比例函数，不符合题意； D、是反比例函数，符合题意； 故选：D． 5．C 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是常用的方法，解决问题的关键是得出． 根据反比例函数图象上点的坐标特征可得再根据可得，代入计算即可． 【详解】解：由题意，得，． 又，， ． 故选：C. 6．C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、求反比例函数的解析式． 根据点、的坐标可证，利用可证，根据全等三角形的性质可求出点的坐标是，从而可得，根据平行四边形的性质可以求出点的坐标是，把点的坐标，代入即可求出的值． 【详解】解：如下图所示， 点的坐标是， ， 点的坐标是， ，， ， 在和中，， ， ， 点的坐标是， 又点的坐标是， ， 四边形是平行四边形， ， 点的横坐标是，纵坐标是， 点的坐标是， ． 故选：C． 7．B 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是从实际问题中抽象出反比例函数模型． 根据“阻力阻力臂动力动力臂”，代入数据即可解答． 【详解】解：“阻力阻力臂动力动力臂”， 阻力和阻力臂分别为和，动力臂为， ， 动力为， 因此，撬动这块大石头至少需要的动力是， 故选：B． 8．C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，待定系数法求解函数解析式，解题的关键是求出函数解析式． 先由待定系数法求解函数解析式，即可判断A、B；然后由反比例函数的性质即可判断C；然后将代入函数解析式求解即可判断D． 【详解】解：∵物体承受的压强P（单位：）与它的受力面积S（单位：）是反比例函数关系 ∴设， 代入点得，， ∴函数解析式为，故A、B正确； 当时，则， ∵ ∴在第一象限内，随着的增大而减小， ∴当时，，故C错误； 当时，，故D正确， 故选：C． 9．D 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，相似三角形的性质与判定；根据反比例函数的几何意义得出，，即可得出，从而得出，通过证得，得出，即可得出． 【详解】如图，设分别交轴于点，    由题意可知，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积等于定值． 故选：D． 10．D 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数和反比例函数的性质，从图象中有效的获取信息，根据一次函数和反比例函数的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：令，解得：（负值舍去）； 经检验是原方程的解， ∴当时，， ∴两函数图象的交点A的坐标为；故①说法正确； 由图象可知，当时，，故②正确； 当时，对于，，对于，， ∴， ∴；故③正确； 由图象可知：当x逐渐增大时，随着x的增大而增大，随着x的增大而减小；故④正确； 故选：D． 2、 填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11．/ 【分析】由与成反比例，设函数解析式为，将时，代入求出，即可得出答案． 【详解】设， 将，代入： ， ， ， ． 12． 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，反比例函数的图象位于二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大，又，可得到与点是第四象限图象上的两点，可得． 【详解】解：∵反比例函数的， 在每个象限内，随的增大而增大， 又∵点与点都在反比例函数的图象上，且， 可得， 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象．根据题意可得点在反比例函数的图象上，即可求解． 【详解】解：当时，， 即点在反比例函数的图象上， ∴将反比例函数的图象向左平移2个单位长度后，所得图象过点， 即所得的图象与y轴的交点坐标为． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，正切的含义，解题的关键是作辅助线构造直角三角形．先根据直线求得点C的坐标，然后根据求得，然后利用正切的定义求得，从而求得点B的坐标，求得结论即可． 【详解】解：∵直线与y轴交于点C，当时，， ∴点C的坐标为， ∴， 过B作轴于D， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， ∵反比例函数，在第一象限内的图象经过点B， ∴． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了矩形的性质、反比例函数系数的几何意义，设点的坐标为，则点的坐标为，求出，结合点在反比例函数图象上得出，再由计算即可得解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∵为的中点， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16．1 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义可得出，解出m的值，再结合，即可得出合适的m的值． 【详解】解：由题意，得，解得． 又当时，，所以． 所以m的值为1． 17．(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质： （1）设y与x的函数关系式为，将代入即可； （2）将代入（1）中所求解析式，即可求出x的值． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为， 将代入，得：， 解得， y与x的函数关系式为； （2）解：由（1）得， 将代入，得：， 解得． 18．(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式，一次函数的平移等，是解题的关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先得到平移后直线解析式，联立方程组求出点坐标，根据平行线间的距离可得，代入数据计算即可． 【详解】（1）解：正比例函数与反比例函数的图象交于点， ∴，，解得，， ∴反比例函数解析式为． （2）解：把直线向上平移3个单位得到解析式为， 令，则， ∴记直线与轴交点坐标为，连接， 联立方程组， 解得，（舍去）， ∴， 由题意得：， ∴，同底等高， ∵， ∴． 19． 【分析】本题考查了反比例函数的性质以及完全平方式的概念，解题的关键是根据反比例函数的增减性确定k的取值范围，再结合完全平方式的特征求出k的值． 根据反比例函数y随ⅹ增大而减小的性质，得出即由整式是完全平方式，确定k的值；结合的条件，筛选出符合要求的k值，进而得到反比例函数解析式． 【详解】解：∵反比例函数的图象的每一支上，y都随x的增大而减小， ∴根据反比例函数性质，当比例系数大于0时，函数在每一支上y随x增大而减 小，即解得． ∵整式是一个完全平方式， 又∵完全平方式的形式为对比可得则， ∴中间项系数满足，即， 解得或． 结合的条件，可知． ∴反比例函数的解析式为． 故答案为：． 20．(1) (2)动力臂为 【分析】本题考查了反比例函数的应用； （1）直接利用：阻力阻力臂动力动力臂，进而得出F与l之间的关系； （2）将代入解析式，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：， 即． （2）解：当时，， 答：动力臂为． 21．(1)硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为 (2) 解：该企业所排污水中硫化物的浓度可以在20天以内不超过最高允许值．理由如下： 当时，， ∵，， ∴在每个象限内，随的增大而减小， ∴该企业所排污水中硫化物的浓度可以在20天以内不超过最高允许值． 【分析】本题考查了反比例函数解析式的求法以及反比例函数图象性质，解题的关键是正确求出反比例函数解析式并且熟练掌握反比例函数的性质． （1）由表格可推得：为定值，即当时，是x的反比例函数，进而求得结果； （2）将代入反比例函数关系式，从而求得的值，进而根据反比例函数图象性质，得出结论． 【详解】（1）解：当时，， 是x的反比例函数， ∴硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为． （2）略 22．(1) (2)证明：∵点在双曲线上， ∴， ∵点C在直线上， ∴， ∴， ∴； (3)不变， 【分析】（1）先求出点的坐标，进而求出的值，求出两点坐标，根据题意，进行求解即可； （2）根据点为交点，分别代入反比例函数解析式，以及一次函数解析式，进行推导即可； （3）求出点的坐标，进而表示出，结合（2）的结论进行求解即可. 【详解】（1）解：∵点为直线和双曲线的交点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴直线的解析式为， ∴当时，， ∴， ∵轴于点D， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）解：不变，理由如下， ∵， ∴当时，， ∴， ∵，轴于点D， ∴， ∴， ∴， 由（2）可知， ∴， ∴，为定值. 23．(1) (2) (3)或或或． 【分析】（1）根据交点坐标的意义，求得点P的横坐标，利用计算m即可； （2）设，则，再分类讨论，结合正切的定义，建立方程求解即可． （3）设，可得，，，结合为等腰三角形，分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵点P纵坐标为4， ∴，解得， ， ∴， ∴． （2）解：由（1）得：反比例函数为， ∵，， ∴， 设，则， 当M点在P点右侧， ∴M点的坐标为， ∴， 解得：，（舍去）， 当时，， ∴M点的坐标为， 当M点在P点的左侧， ∴M点的坐标为， ∴， 解得：，，均舍去． 综上，M点的坐标为． （3）解：∵点是轴上一动点， ∴设， ∵，， ∴，，， ∵为等腰三角形， 当时， ∴，解得：， ∴或， 当时， ∴， 解得：， ∴， 当时， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 综上：或或或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数解析式的确定，三角函数，一元二次方程的解法，等腰三角形的定义，勾股定理的应用，熟练掌握函数图象交点的意义，灵活运用三角函数的定义，构造一元二次方程并准确解答是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $