精品解析：重庆八中宏帆中学2025-2026学年上学期九年级数学月考试卷

八中2025级九上数学 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧确答案所对应的方框涂黑． 1. 在下列数中既是分数，又是负数的是（ ） A. 4.7 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分数及负数的分类判断即可得到结果． 【详解】解：A．4.7是分数，也是正数，故选项不符合题意； B．0是整数，既不是正数也不是负数，故选项不符合题意； C．-3是负整数，故选项不符合题意； D．是负分数，故选项符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查分数和负数，熟练掌握分数及负数的分类是解本题的关键． 2. 下列四家足球俱乐部的队徽图案中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义求解即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形， B．是轴对称图形，符合题意； C．不是轴对称图形，不符合题意； D．不是轴对称图形，不符合题意． 故选：B． 3. 下列命题为假命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 角平分线上的点到角两边的距离相等 C. 两直线平行，同旁内角互补 D. 对角线互相垂直的四边形为菱形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查命题的判断，选项A、B、C均为初中数学中的基本真命题，选项D是假命题，因为对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，例如筝形满足对角线垂直但不一定是菱形． 【详解】解：A、对顶角相等是真命题，故此选项不符合题意； B、角平分线上的点到角两边的距离相等是真命题，故此选项不符合题意； C、两直线平行，同旁内角互补是真命题，故此选项不符合题意； D、菱形的判定需要对角线互相垂直且平分，但仅对角线互相垂直的四边形可能为筝形，不满足菱形定义，是假命题，故此选项符合题意． 故选：D． 4. 如图，与是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为，若点B的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵△OAB与是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，点B的坐标为（-1，-2）， ∴点C的坐标为（(-1)×(-2)，(-2)×(-2)），即点C的坐标为（2，4）， 故选D． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、坐标与图形性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k． 5. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可得． 【详解】解：方程中的， 是方程的两个根， ，， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． 6. 估计的值应在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 【答案】C 【解析】 【分析】先计算可得原式，再估算出大小，即可求解．本题主要考查估算无理数的大小，二次根式的混合运算，解题的关键在于求出无理数的范围． 【详解】解： ∵， ∴， 即 ∴的值应在2和3之间． 故选：C 7. 小文要去参观博物馆，他骑车从家出发，途中因故耽误了一会儿后他又继续骑行，3小时后到达博物馆．小文离家的距离y（单位：）与出发的时间t（单位：h）之间的关系如图所示．下列说法错误的是（ ） A. 小文两次骑行的速度没有发生变化 B. 小文家距博物馆 C. 小文骑行途中因故耽误的时间为 D. 小文从家到博物馆共用时 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象获取相关信息依次验证即可． 【详解】解：A、第一次骑行的速度为15÷1=15km/h，第二次骑行的速度为：(30-15) ÷(3-2)= 15km/h，速度一样，故选项不合题意； B、由图可得小文家距离博物馆30km，选项错误，符合题意； C、因故耽误1小时，正确；不符合题意； D、由图可知，从家到博物馆共用时3小时，正确；不符合题意； 故选：B． 【点睛】题目主要考查从函数图象获取相关信息，理解题意是解题关键． 8. 小宏用五角星按规律摆出如下图案，第个图案需要（ ）颗五角星． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查图形规律，解题的关键是根据图形的变化找到规律．根据图形的五角星的个数变化，得出变化规律为第个图案中五角星个数为，代入求解，即可得到答案． 【详解】解：∵第一个图案中五角星的个数为：， 第二个图案中五角星的个数为：， 第三个图案中五角星的个数为：， …… ∴第个图案五角星个数为， 当时，， ∴第个图案需要颗五角星． 故选：D． 9. 四边形为正方形，把绕点逆时针旋转得到，连接，过点作，交延长线于点，过点作交于点，在上取一点，使，连接、相交于点，连接，则可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、正方形的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 根据旋转的性质及正方形的性质得出，，，，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理及角的和差关系得出，利用证明，即可得出， 进而求出，根据即可得答案． 【详解】解：∵四边形为正方形，把绕点逆时针旋转得到， ∴，，，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 10. 已知两个分式：，；将这两个分式进行如下操作： 第一次操作：将这两个分式作和，结果记为；作差，结果记为；（即：，） 第二次操作：将，作和，结果记为；作差，结果记为；（即，） 第三次操作：将，作和，结果记为；作差，结果记为；（即，）…（以此类推） 将每一次操作的结果再作和，作差，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论： ①当时，； ②若，则； ③已知为正整数，则； 以上结论正确的个数有（ ）个． A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题是规律探索问题，考查了分式的运算，解分式方程等知识，关键是由特殊出发得到一般规律． 通过观察操作规律，发现偶数次操作的结果有明确表达式，奇数次操作与第一次操作相关，利用这些表达式逐一验证三个结论即可． 【详解】解：设，，则，；，； ，； ，； ，； ，； ，； ∴由操作规则可得： ，（ 为正整数） 对于奇数次操作： 结论①：当 时，， ， ， ， ∴ ，故①正确； 结论②：，则 ∵ ， ∴ 即 ，故②正确； 结论③： ∵ ， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ，故③正确； 综上，三个结论均正确， 故选 A． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 在中，若，则∠C的度数是_________ 【答案】##度 【解析】 【分析】根据非负性，求出，进而求出，根据三角形内角和，求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，绝对值的非负性以及三角形的内角和．熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键． 12. 如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转60°后得，此时点B恰好在线段上，其中点A经过的路径为弧，则图中阴影部分的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用旋转的性质以及等边三角形的判定得出△BCE是等边三角形，进而得出S扇形ACD+S△DCE-S△ACB-S△BCE求出即可． 【详解】过点B作BF⊥EC于点F， 由题意得：BC=CE=2，∠ACD=∠BCE=60°， ∴∆BCE是等边三角形， ∴∠ABC=∠E=60°， ∴AC=BC∙tan60°=2， ∵EC=BC=2， ∴FC=EF=1， ∴BF= ∴阴影部分面积= ． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查图形旋转的性质，扇形的面积公式以及解直角三角形，推出△BCE是等边三角形，是解题的关键． 13. 四张写有不同诗句的卡片，除正面内容不同外其余完全相同，背面朝上随机收在桌面，任意抽取两张，在不计顺序的情况下，恰能组成名篇名句的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图求概率，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 列表可得出所有等可能的结果数以及恰能组成名篇名句的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将四张卡片分别记为A，B，C，D，则A和B恰能组成名篇名句，C和D恰能组成名篇名句． 列表如下： A B C D A B C D 共有12种等可能的结果，其中恰能组成名篇名句的结果有：，，，，共4种， ∴恰能组成名篇名句的概率为． 故答案为： 14. 关于的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的整数的值之和为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，掌握相应的计算方法是关键． 先解不等式组，确定m的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程有非负整数解，确定出的值，即可解答． 【详解】解： 解①得：， 解②得：， ∴， ∵不等式组至少有2个整数解， ∴， 解得：； ， 去分母得：， 解得：， ∵分式方程的解为非负整数，且 ∴且的偶数， 又∵ ∴，0 ∴符合条件的整数的值之和为． 故答案为：2． 15. 如图，以为直径的与相切于点，连接交于点D，平分，垂直于点，点为的中点，连接交于点，若，半径为5，则________，________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，一次函数与几何综合，两点间距离公式等知识，由是的直径可得，由是的平分线可得，连接，得，是等腰直角三角形，由勾股定理得，在直角三角形中由勾股定理得；过点作于点，作于点，在中求出，，证明求出，在中求出，，由为的中点得，分别以所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，得，，，，求出直线的解析式为，直线的解析式为，联立方程组，求出，再根据两点间距离公式求出． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵是的平分线， ∴， 连接， ∴， ∵， ∴， 在中，； 过点作于点，作于点， 在中，， ∴等腰直角三角形， ∴， ∴ 在中，∵， ∴， 又， ∴， ∵是的切线，是直径， ∴，即， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 在中，， 同理可得， ∵为的中点， ∴， 分别以所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系， ∴，，，， 设直线的解析式为， 把，代入得 解得， ∴直线的解析式为； 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立方程组， 解得， ∴， 又， ∴ 故答案为：；． 16. 对于一个四位自然数，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称为“天真数”，如：四位数7311，∵，，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为________；一个“天真数”M的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，，若能被3整除，则满足条件的的最小值为________． 【答案】 ①. 6200 ②. 6420 【解析】 【分析】本题考查了整式加减的应用，理解“天真数”的定义是解题关键． （1）根据“天真数”的定义，千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，最小的天真数需千位和百位数字尽可能小，可得6200； （2）对于能被3整除的条件，通过表达，并要求该值为3的倍数，从千位数字a最小开始验证，即可求解． 【详解】解：设M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d， 由定义知，且a为6至9整数，b为2至9的整数，c、d为0至9的整数． 最小“天真数”：取，故； ，，， 又∵ ， ∴ ， ， 能被3整除， 为整数且是3的倍数， 当时， ，需为整数且能被3整除， b为2至9的整数， 时，， 时，， 时，， ∴， ， 经检验，其他a取值所得M均大于6420， 故满足条件的M最小值为6420． 故答案为：6200，6420． 三、解答题：（本大题8个小题，第17题16分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，给出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式与分式的化简，需要熟练掌握平方差公式与完全平方公式，以及分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据平方差公式与完全平方公式将原式展开，再合并同类项即可； （2）根据分式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 ． 18. 小红非常喜欢钻研数学，学了多边形的相关知识后，她想探究：如果一个四边形（轴对称图形除外）的一组对角都为，那么另一组对角的角平分线有怎样的位置关系？请完成以下作图和填空： 如图，在四边形中，，平分． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点．（只保留作图痕迹） （2）探究：与的位置关系．将下面的过程补充完整． 解：且， ①  ． 平分，平分， ， ， 在中，， ， ②  ． ③  ． 通过以上推理论证，小红得到命题：④  ． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了角平分线基本作图：熟练掌握基本作图方法是解决问题的关键．也考查了平行线的判定和余角的性质，熟练掌握运用这些基础知识点是解题关键． （1）利用基本作图作出角平分线即可； （2）先利用四边形内角和得到，再根据角平分线的定义得到，，则，然后证明，从而得到，即可判断． 【小问1详解】 解：如图，即为所作； 【小问2详解】 解：且， ①． 平分，平分， ，， ， 在中，， ， ②． ③． 通过以上推理论证，小红得到命题：④如果一个四边形（轴对称图形除外）的一组对角都为，那么另一组对角的角平分线互相平行． 19. 随着新能源电动汽车的推广，人们对电动汽车的电池续航能力非常关注，某4S店为了解车主对甲、乙两款电动汽车电池续航能力的满意程度，从该店销售的甲、乙两款车中各随机抽取10名车主对其所使用车辆的电池续航能力进行评分（单位：分），并对数据进行整理、描述和分析（评分用x表示，共分为三组：A．，B．，C．）．下面给出了部分信息： 甲款电动汽车10名车主的评分是：70，75，80，80，80，80，85，85，95，100． 乙款电动汽车10名车主的评分在B组的数据是：80，80，85，85，85． 抽取的甲、乙两款电动汽车车主的评分统计表 车型 平均数 中位数 众数 甲 83 80 a 乙 83 b 85 抽取的乙款电动汽车车主的评分扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________； （2）根据以上数据，你认为哪款电动汽车的电池续航能力的满意度更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该店甲款电动汽车的车主有400人，乙款电动汽车的车主有750人．若评分不低于90分为“非常满意”，估计这些车主中对其所使用车辆的电池续航能力“非常满意”的总共有多少人？ 【答案】（1）80；85 （2）乙款电动汽车的电池续航能力的满意度更好，理由见解析 （3）305人 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数、中位数和众数的定义，考查了统计图的应用． （1）从甲款电动汽车10名车主的评分数据中，得出众数；乙款电动汽车车主的评分扇形统计图中A组占，所以A组有两个最小的数据，同时B组的数据有5个是：80，80，85，85，85，所以最中间的数为85，85，从而可求中位数； （2）从平均数、中位数、众数的角度去分析即可； （3）甲款电动汽车的车主“非常满意”的占比为，乙款电动汽车的车主“非常满意”的占比为，求出对甲、乙“非常满意”的人数即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，从甲款电动汽车10名车主的评分数据中，80出现的次数最多，故众数为80， 即， 乙款电动汽车车主的评分扇形统计图中A组占，B组占，C组占， 所以A组有两个最小的数据，B组的数据有5个是：80，80，85，85，85， 所以中位数为， 即， 故答案为：80，85； 【小问2详解】 解：乙款电动汽车的电池续航能力的满意度更好，理由如下： 甲款和乙款的平均数相等，但乙款的众数和中位数都比甲款的大， 所以乙款的满意度更好； 【小问3详解】 解：甲款电动汽车的车主“非常满意”的有2人，占比为，乙款电动汽车的车主“非常满意”的占比为， 所以满足题意的总人数为：（人）． 20. 交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”，某电动车用品批发店准备在11月和12月，分两次购入A、B两款头盔．11月购入了第一批，购入A款头盔的数量为购入B款头盔数量的4倍还多300个，A、B两种头盔的购入单价分别为20元和45元，共用去资金43500元． （1）求第一批购入A、B两款头盔的数量； （2）12月2日，恰逢全国交通安全日，随着人们交通安全意识不断增强，头盔需求量增加．A款头盔单价有所上涨（涨价金额为正数）．批发店决定，若A款头盔的单价每上涨1元，则购入数量就比第一批A款头盔的数量减少50个．因B款头盔单价与第一批相同，所以B款头盔的购入数量在第一批B款头盔数量的基础上增加，最终花费的总资金比第一批增加了9000元，求A款头盔的单价上涨了多少元？ 【答案】（1）第一批购入A款头盔的数量为1500个，购入B款头盔的数量为300个； （2）A款头盔的单价上涨了10元． 【解析】 【分析】（1）设第一批购入B款头盔的数量为x个，则第一批购入A款头盔的数量为个，根据共用去资金43500元，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设A款头盔的单价上涨了y元，则购入数量为个，根据最终花费的总资金比第一批增加了9000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是： （1）找准等量关系，正确列出一元一次方程； （2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 【小问1详解】 解：设第一批购入B款头盔的数量为x个，则第一批购入A款头盔的数量为个， 由题意得：， 解得：， ∴， 答：第一批购入A款头盔的数量为1500个，购入B款头盔的数量为300个； 【小问2详解】 解：设A款头盔的单价上涨了y元，则购入数量为本， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：A款头盔的单价上涨了10元． 21. 如图，平行四边形中，，，，动点从点出发沿折线运动，到达点停止运动．在运动过程中，过点作于点，设点的运动路程为，记为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出的图象与直线的图象只有1个公共点时的取值范围． 【答案】（1） （2）见解析，函数的最小值为3（答案不唯一） （3）当或时，直线的图象与的图象只有1个公共点 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到函数作图、一次函数的性质，分类求解和数形结合是解题的关键． （1）当点P在上时，则，则，即可求解；当点P在上时，同理可解； （2）描点、连线绘制图象，再观察函数图象即可求解； （3）的图象恒过，分和两种情况，结合图象即可求解． 【小问1详解】 解：过点A作于点M， ∵四边形是平行四边形，且， ∴，，， ∴， ∴， 即， ∴， 当点P在上时，则， ∴； 当点P在上时， 同理可得：， 即； 【小问2详解】 解：当时，，当时，，当时，， 根据上述3点坐标描点、连线绘制图象如下： 从图象看，函数的最小值为3（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：∵ ∴直线恒过点； 当时，直线过点，则， 解得， ∴当时，直线的图象与的图象只有1个公共点； 当时，直线过点，则， 解得； 直线过点，则， 解得； ∴当时，直线的图象与的图象只有1个公共点． 综上，当或时，直线的图象与的图象只有1个公共点． 22. 中国最早的大型佛教石窟寺遗址克孜尔千佛洞，位于新疆阿克苏地区拜城县克孜尔镇东南7千米明屋塔格山的悬崖上．今年8月，小白和小新一起去克孜尔千佛洞玩耍，从大门到石窟群可以选择步行和坐马车两种方式，大门位于石窟群南偏东37°的位置，小白以速度75米／分钟从大门沿方向步行至石窟群，小新乘坐马车沿的路线到石窟群和他们汇合，马车的速度是小白速度的倍，位于大门北偏西60°位置，、之间距离为1200米，在正西方向600米处，石窟群在的正北方向．（参考数据：，，，，）． （1）求路线的长；（结果保留根号） （2）小白和小新谁先到石窟群处？（结果保留到小数点后1位） 【答案】（1）路线的长为米 （2）小白先到石窟群A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）延长交于点F，过点D作，垂足为E，根据题意可得，米，，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出和的长，从而可求出和的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：延长交于点F，过点D作，垂足为E， 则四边形是矩形， ∴，米， 由题意得，在中，，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴米， ∴米， 在中，， ∴米， ∴米， ∴路线的长为米； 【小问2详解】 解：小白先到石窟群A， 理由：∵小白的速度是75米／分钟，马车的速度是小白速度的倍， ∴马车的速度是米／分钟， 在中，米， ∴米， ∴小新乘马车到石窟群A需要的时间分， 小白到石窟群A需要的时间（分）， ∵， ∴小白先到石窟群A． 23. 已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，已知点是线段上方抛物线上一点，过点作轴交于点，交轴于点，在线段、上分别有两个动点、，，是的中点，当取得最大值时，在线段上是否存在一点，使得的值最小？若存在，请求出的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，将直线绕点顺时针旋转得到新的直线，再将新直线向右平移3个单位，向下平移5个单位得到直线，直线与直线相交于点，新抛物线上存在点．使得，请直接写出点的横坐标并写出求解点的横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2） （3）点的横坐标为，，， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，函数图象平移，矩形的判定与性质，一次函数的图象与性质，一元二次方程的根与系数之间的关系，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）把代入可得出，，根据得出，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）过点作于，过点作轴，交延长线于，连接、、，设，利用待定系数法可求出直线解析式为，证明四边形是正方形，可得，得出，利用二次函数的性质得出当时，有最大值，此时，，，根据直角三角形斜边中线的性质得出点在以为圆心，为半径的圆上，根据正方形的对称性得出，可求出的最小值，进而求出的最小值即可； （3）先根据平移的性质求出平移后的抛物线解析式，根据旋转及平移的性质得出，，，，进而求出点坐标，根据相似三角形的判定及三角函数求出直线、的解析式，联立直线、与新抛物线解析式，求出的值即可得答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于、两点，与轴交于点， ∴当时，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：如图，过点作于，过点作轴，交延长线于，连接、、，设，则， 设直线解析式为， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， ∵轴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴ ∴当时，有最大值，此时，，， ∵，是的中点，， ∴， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， ∵四边形是正方形， ∴点与点关于直线对称， ∴， ∴当、、三点在一条直线上时，有最小值，最小值为， ∵， ∴当与交于点时，有最小值， ∴， ∴，即的最小值是． 【小问3详解】 解：∵将直线绕点顺时针旋转得到新的直线，，， ∴对应点，，此时，与重合， ∴同上，直线的解析式为， ∵再将新直线向右平移3个单位，向下平移5个单位得到直线， ∴，， ∴同上，直线的解析式为， 联立直线与解析式得：， 解得：， ∴， 如图，连接、、，过点作，交于，作轴于，设交于，交轴于，原抛物线向右平移个单位，向下平移个单位得到新抛物线， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴顶点坐标为， ∴新抛物线的顶点坐标为， ∵将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线， ∴，， ∴设直线的解析式为， ∴把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得， ∴， ∴， 解得：，（负值舍去） ∴， ∴新抛物线的解析式为， ∵， ∴同上，可得直线的解析式为， 联立直线与的解析式得， 解得：， ∴， ∴，，，，， ∴，，即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴同上，直线的解析式为， 联立直线与新抛物线解析式得， ∴， 解得：，； ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， 解得：， ∴，， ∴直线的解析式为， 联立直线与新抛物线解析式得， ∴，即， 解得：，， 综上所述：点的横坐标为，，，． 【点睛】本题考查二次函数的综合，待定系数法求二次函数、一次函数解析式、相似三角形的判定与性质、三角函数、旋转的性质、平移的性质及解一元二次方程，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 24. 在中，，，点，分别在边，上，，连接． （1）如图1，连接，取中点，连接，，，，求的长； （2）如图2，将绕点旋转，使，，三点共线，连接，取中点，取中点，连接，，猜想，之间的数量关系，并证明你的结论； （3）连接、为的中点，连接，，，将绕点旋转，在旋转过程中，当，，三点共线时，直接写出的长． 【答案】（1） （2），证明见详解 （3）的长为6或2 【解析】 【分析】本题考查倍长中线法，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确掌握相关知识是解题的关键． （1）作交于点M，先解直角三角形求出，，再利用直角三角形斜边的中线是斜边的一半，求出，根据角之间的等量代换得到，从而求出，，，最后根据勾股定理即可求解； （2）延长至点N，使得，连接，利用倍长中线法证明（），在利用证明，可得，从而可证； （3）有两种情况，延长至点P，使得，连接，与相交于点O，根据勾股定理求出，利用倍长中线法证明（）和（），最后根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：如图，作交于点M， 在中，，，， ，， 是中点， ， ， ，， ， ， ， 在中，，即， 则，解得， ，， 在中，； 【小问2详解】 如图，延长至点N，使得，连接， ，， ，即， ， 是中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 点是的中点， ， 又，即， ； 小问3详解】 长为6或2， 第一种情况，当顺序为，，三点共线时，如下图，延长至点P，使得，连接，与相交于点O， 在中，，，， 则，， ，， ，即， ， 为的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， 由旋转可得，， ， ，即，则， 是直角三角形， ， 在中，，， 则， ， ， ， ； 第二种情况，当顺序为，，三点共线时，如图，延长至点P，使得，连接，反向延长与相交于点O， ，， ， 为的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ，即， ，则， 是直角三角形， ， 在中，，， 则， ， ， ， 综上可得：的长为6或2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八中2025级九上数学 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧确答案所对应的方框涂黑． 1. 在下列数中既是分数，又是负数的是（ ） A. 4.7 B. 0 C. D. 2. 下列四家足球俱乐部的队徽图案中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题为假命题是（ ） A. 对顶角相等 B. 角平分线上的点到角两边的距离相等 C. 两直线平行，同旁内角互补 D. 对角线互相垂直的四边形为菱形 4. 如图，与是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为，若点B的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 6. 估计的值应在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 7. 小文要去参观博物馆，他骑车从家出发，途中因故耽误了一会儿后他又继续骑行，3小时后到达博物馆．小文离家的距离y（单位：）与出发的时间t（单位：h）之间的关系如图所示．下列说法错误的是（ ） A. 小文两次骑行的速度没有发生变化 B. 小文家距博物馆 C. 小文骑行途中因故耽误的时间为 D. 小文从家到博物馆共用时 8. 小宏用五角星按规律摆出如下图案，第个图案需要（ ）颗五角星． A. B. C. D. 9. 四边形为正方形，把绕点逆时针旋转得到，连接，过点作，交延长线于点，过点作交于点，在上取一点，使，连接、相交于点，连接，则可以表示为（ ） A. B. C. D. 10. 已知两个分式：，；将这两个分式进行如下操作： 第一次操作：将这两个分式作和，结果记为；作差，结果记为；（即：，） 第二次操作：将，作和，结果记为；作差，结果记为；（即，） 第三次操作：将，作和，结果记为；作差，结果记为；（即，）…（以此类推） 将每一次操作的结果再作和，作差，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论： ①当时，； ②若，则； ③已知为正整数，则； 以上结论正确的个数有（ ）个． A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 在中，若，则∠C的度数是_________ 12. 如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转60°后得，此时点B恰好在线段上，其中点A经过的路径为弧，则图中阴影部分的面积是_____． 13. 四张写有不同诗句的卡片，除正面内容不同外其余完全相同，背面朝上随机收在桌面，任意抽取两张，在不计顺序的情况下，恰能组成名篇名句的概率是_______． 14. 关于的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的整数的值之和为________． 15. 如图，以为直径的与相切于点，连接交于点D，平分，垂直于点，点为的中点，连接交于点，若，半径为5，则________，________． 16. 对于一个四位自然数，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称为“天真数”，如：四位数7311，∵，，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为________；一个“天真数”M的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，，若能被3整除，则满足条件的的最小值为________． 三、解答题：（本大题8个小题，第17题16分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，给出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 小红非常喜欢钻研数学，学了多边形的相关知识后，她想探究：如果一个四边形（轴对称图形除外）的一组对角都为，那么另一组对角的角平分线有怎样的位置关系？请完成以下作图和填空： 如图，在四边形中，，平分． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点．（只保留作图痕迹） （2）探究：与的位置关系．将下面的过程补充完整． 解：且， ①  ． 平分，平分， ， ， 在中，， ， ②  ． ③  ． 通过以上推理论证，小红得到命题：④  ． 19. 随着新能源电动汽车的推广，人们对电动汽车的电池续航能力非常关注，某4S店为了解车主对甲、乙两款电动汽车电池续航能力的满意程度，从该店销售的甲、乙两款车中各随机抽取10名车主对其所使用车辆的电池续航能力进行评分（单位：分），并对数据进行整理、描述和分析（评分用x表示，共分为三组：A．，B．，C．）．下面给出了部分信息： 甲款电动汽车10名车主的评分是：70，75，80，80，80，80，85，85，95，100． 乙款电动汽车10名车主评分在B组的数据是：80，80，85，85，85． 抽取的甲、乙两款电动汽车车主的评分统计表 车型 平均数 中位数 众数 甲 83 80 a 乙 83 b 85 抽取的乙款电动汽车车主的评分扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________； （2）根据以上数据，你认为哪款电动汽车电池续航能力的满意度更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该店甲款电动汽车车主有400人，乙款电动汽车的车主有750人．若评分不低于90分为“非常满意”，估计这些车主中对其所使用车辆的电池续航能力“非常满意”的总共有多少人？ 20. 交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”，某电动车用品批发店准备在11月和12月，分两次购入A、B两款头盔．11月购入了第一批，购入A款头盔的数量为购入B款头盔数量的4倍还多300个，A、B两种头盔的购入单价分别为20元和45元，共用去资金43500元． （1）求第一批购入A、B两款头盔的数量； （2）12月2日，恰逢全国交通安全日，随着人们交通安全意识不断增强，头盔需求量增加．A款头盔单价有所上涨（涨价金额为正数）．批发店决定，若A款头盔的单价每上涨1元，则购入数量就比第一批A款头盔的数量减少50个．因B款头盔单价与第一批相同，所以B款头盔的购入数量在第一批B款头盔数量的基础上增加，最终花费的总资金比第一批增加了9000元，求A款头盔的单价上涨了多少元？ 21. 如图，平行四边形中，，，，动点从点出发沿折线运动，到达点停止运动．在运动过程中，过点作于点，设点的运动路程为，记为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出的图象与直线的图象只有1个公共点时的取值范围． 22. 中国最早大型佛教石窟寺遗址克孜尔千佛洞，位于新疆阿克苏地区拜城县克孜尔镇东南7千米明屋塔格山的悬崖上．今年8月，小白和小新一起去克孜尔千佛洞玩耍，从大门到石窟群可以选择步行和坐马车两种方式，大门位于石窟群南偏东37°的位置，小白以速度75米／分钟从大门沿方向步行至石窟群，小新乘坐马车沿的路线到石窟群和他们汇合，马车的速度是小白速度的倍，位于大门北偏西60°位置，、之间距离为1200米，在正西方向600米处，石窟群在的正北方向．（参考数据：，，，，）． （1）求路线的长；（结果保留根号） （2）小白和小新谁先到石窟群处？（结果保留到小数点后1位） 23. 已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，已知点是线段上方抛物线上一点，过点作轴交于点，交轴于点，在线段、上分别有两个动点、，，是的中点，当取得最大值时，在线段上是否存在一点，使得的值最小？若存在，请求出的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，将直线绕点顺时针旋转得到新的直线，再将新直线向右平移3个单位，向下平移5个单位得到直线，直线与直线相交于点，新抛物线上存在点．使得，请直接写出点的横坐标并写出求解点的横坐标的其中一种情况的过程． 24. 在中，，，点，分别在边，上，，连接． （1）如图1，连接，取中点，连接，，，，求的长； （2）如图2，将绕点旋转，使，，三点共线，连接，取中点，取中点，连接，，猜想，之间的数量关系，并证明你的结论； （3）连接、为的中点，连接，，，将绕点旋转，在旋转过程中，当，，三点共线时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $