16.3.1平方差公式 课件 2026--2027学年人教版八年级数学上册

16.3.1平方差公式 第十六章 整式的乘法 人教版（2024） 1 素养目标 1.理解平方差公式，能运用公式进行计算； 2.经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差公式的结构特征. 重点 重点 2 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的 乘另一个多项式的 ，再把所得的积 . ( a + b )( p + q ) = ap + aq + bp + bq 每一项 每一项 相加 3 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ (1) (x＋1)(x－1) = ; x2 － 1 (2) (m＋2)(m－2) = ; m2 － 4 (3) (2x＋1)(2x－1) = . 4x2 － 1 上述问题中相乘的两个多项式有什么共同点？ 相乘的两个多项式的各项与它们的积中的各项有什么关系？ 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ (1) (x＋1)(x－1) = ; x2 － 1 (2) (m＋2)(m－2) = ; m2 － 4 (3) (2x＋1)(2x－1) = . 4x2 － 1 你能将发现的规律用式子表示出来吗？ (a＋b)(a－b) = a2 － b2 你能对发现的规律进行推导吗？ (a＋b)(a－b) = a2－ab = a2－b2 (a＋b)(a－b)=a2－b2 ＋ab－b2 符号语言： (a+b)(a-b) =a2 -b2 文字描述： 两个数的和与这两数的差的积， 等于这两数的平方差. 特别提醒：相同项的平方减去相反项的平方. a和b可以是数字、单项式或多项式. 平方差公式 7 你能从几何图形的角度来说明平方差公式吗？ a b a b b (a+b) (a-b) 思考 8 你能从几何图形的角度来说明平方差公式吗？ a b (a+b)(a-b) ______________ = _______ — ________ a2 b2 (a+b) (a-b) = - a 思考 9 例1 运用平方差公式计算： (1) (3x+2)(3x-2) (2) (-x+2y)(-x-2y) (3) (-4-a)(4-a) (4) (n-2m)(-2m-n) 分析：在(1)中，可以把3x 看成a ,把2看成b, 即 (3x+2)(3x-2)= ( 3x)2 - 22 (a+ b)(a - b)= a2 - b2 g 3x是一个整体，应加上（），即( 3x)2结果为9x2 解：(1) (3x+2)(3x-2) = ( 3x)2 - 22 =9x2 -4 10 例1　运用平方差公式计算：　 (1) (3x + 2)(3x – 2)； (2) (–x + 2y)(–x – 2y). 解：原式= (3x)2 – 22 = 9x2 – 4 解：原式= (–x)2 – (2y)2 = x2 – 4y2 分析：(1) 符号相同项a = ___， 符号相反项b = ____ (2) 符号相同项a = ___， 符号相反项b = ____ 3x 2 –x 2y 【教材P112】 典例精析 下面的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？ （1）(x + 2)(x – 2) ＝ x2 – 2； （2）(–a – 2)(a – 2) ＝a2 – 4； （3）(3a + 4b)(3a – 4b) = 9a2 – 4b2. 原式 = x2 – 22 = x2 – 4 原式 = (–2)2 – a2 = 4 – a2 原式 = (3a)2 – (4b)2 = 9a2 – 16b2 练习 1.下列分解因式正确的是( ) A.a2－2b2＝(a＋2b)(a－2b) B.－x2＋y2＝(－x＋y)(x－y) C.－a2＋9b2＝－(a＋9b)(a－9b) D.4x2－0.01y2＝(2x＋0.1y)(2x－0.1y) D 综合演练 13 2.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(　　) A.a2＋(－b)2 B.5m2－20mn C.－x2－y2 D.－x2＋9 D 3.分解因式(2x+3)2 -x2的结果是（　　） A.3(x2+4x+3) B.3(x2+2x+3) C.(3x+3)(x+3) D.3(x+1)(x+3) D 14 (1) 左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2) 右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3) 公式中的 a 和 b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式． 应用平方差公式计算时，应注意： (2) 符号相同看作 a ，符号相反看作 b，套用公式. 中的各项，除符号外是否完全相同)； (1) 观察该运算是否符合平方差公式 (两个多项式 探究点二： 运用平方差公式进行计算 a b a2－b2 1 x －3 a 12－x2 (－3)2－a2 a 1 a2－12 a + b 1 (a + b)2－12 (a + b)(a - b) (1 + x)(1 - x) (-3 + a)(-3 - a) (a + b - 1)(a + b + 1) (1 + a)(-1 + a) 探究点： 运用平方差公式进行计算 【填一填】 1. 下列运算中，可用平方差公式计算的是 (　　) A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y) C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y) C 2. 两个正方形的边长之和为 5，边长之差为 2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是______． 10 平方差公式： (a+b)(a-b) =a2 -b2 文字描述： 两个数的和与这两数的差的积， 等于这两数的平方差. 特别提醒：相同项的平方减去相反项的平方. a和b可以是数字、单项式或多项式. 18 代数推导： (a+b)(a-b) =a2 -ab +ab-b2 =a2 -b2 几何推导： (a+b) (a-b) a a b b 19 B 　 运用平方差公式计算： （1）51×49； （2） ． 解：（2） ． 平方差公式 公式 文字描述 几何意义 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差 (a＋b)(a－b)＝a2－b2 借助图形的面积直观表示 若 ，则 等于( ) A. B. C. D. 解析： . ∵ ， ∴ . ∴ ,∴ ,故选：B. 运用公式进行简便计算： (1) ； (2) . 解：（1） ； （2） . $