精品解析：黑龙江省肇东市第四中学校2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷

2025—2026学年上高二数学第一月考试题 一、单选题 1. 已知直线过点，且与直线平行，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 若直线过点，，则此直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 3. 向量，，若且，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 4 4. 如图，底面是平行四边形的棱柱，是上底面的中心，设，则（ ） A. B. C. D. 5. 设，是空间两个不共线非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 8 6. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法正确的是（ ） A. 与AC所成角的余弦值为 B. C. 向量与的夹角是60° D. 7. 已知直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线x－y－＝0的倾斜角的2倍，则a，b的值分别为(　　) A. ，1 B. ，－1 C －，1 D. －，－1 8. 已知是空间向量的一组基底，是空间向量的另一组基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知平面过点，其法向量，则下列点不在内的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知分别是正方体的棱和的中点，则（ ） A. 与是异面直线 B. 与所成角的大小为45° C. 与平面所成角的余弦值为 D. 平面与平面所成角的余弦值为 11. 下列各组直线中与一定平行的是（ ） A. 经过点，经过点 B. 经过点，经过点 C. 的倾斜角为，经过点 D. 平行于轴，经过点 三、填空题 12. 直线l过点A（1，2），且不过第四象限，则直线l的斜率的最大值为________． 13. 设直线过定点A，则过点A且与直线垂直的直线方程为______． 14. 如图，边长为1的菱形中，，沿将翻折，得到三棱锥，当平面平面时，异面直线与所成的角的余弦值等于______． 四、解答题 15. 如图，设O为▱ABCD所在平面外任意一点，E为OC中点，若，求x，y的值． 16. 如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，⊥平面，点在线段上，⊥平面，设，． （1）求平面的法向量； （2）求二面角的正切值． 17. 如图，已知三棱柱，底面，，，为的中点. （1）证明：面； （2）若，求点到平面的距离. 18. 求适合下列条件直线方程： （1）经过点P(3，2)，且在两坐标轴上的截距相等； （2）直线经过点A(－，3)，且倾斜角为直线x＋y＋1＝0的倾斜角的一半； （3）在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7，3)，且AC中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，求直线MN的方程． 19. 如图，在直三棱柱中，为的中点，分别是棱上的点，且． （1）求证：直线平面； （2）若是正三角形为中点，能否在线段上找一点，使得平面？若存在，确定该点位置；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年上高二数学第一月考试题 一、单选题 1. 已知直线过点，且与直线平行，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线平行的斜率关系，再由点斜式方程即可得出结果. 【详解】由题意，直线与直线平行，故直线的斜率为2； 又直线过点，则直线的方程为， 即． 故选：D 2. 若直线过点，，则此直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜率的坐标表示以及，故可得结果. 【详解】由题意知，直线的斜率， 即直线的倾斜角满足， 又，， 故选：C 【点睛】本题主要考查斜率与倾斜角的关系，属基础题. 3. 向量，，若且，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 利用的模求得的值，利用得到，求得的值，由此求得的值. 【详解】依题意，解得， 由于，所以，解得，故. 故选：C. 【点睛】本题主要考查空间向量模的运算，考查两个空间向量垂直的坐标表示，考查计算能力，属于基础题. 4. 如图，底面是平行四边形的棱柱，是上底面的中心，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量加法和减法的几何意义、数乘向量，以为基底，利用空间向量基本定理，将表示出来. 【详解】∵. 故选：B. 【点睛】本题考查空间向量加法和减法的几何意义、数乘向量，考查运算求解能力，求解时注意基底的选择. 5. 设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的线性运算表示，根据、、三点共线可得，建立等量关系可得的值. 【详解】∵，，， ∴， ∵、、三点共线， ∴，使得， 即， ∴，，解得． 故选：C． 6. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法正确的是（ ） A. 与AC所成角的余弦值为 B. C. 向量与的夹角是60° D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合余弦定理、空间向量、线线垂直等知识求得正确答案. 【详解】依题意以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°， 所以、、、是等边三角形， 在菱形中，，设， A选项，三角形中，， 所以，所以A选项错误. B选项，， ， 所以，B选项错误. C选项，由于，所以向量与的夹角即向量与的夹角， 而是等边三角形，所以与的夹角为，C选项错误. D选项，在等边中，是的中点，所以， 由于平面， 所以平面，由于平面， 所以，所以D选项正确. 故选：D 7. 已知直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线x－y－＝0的倾斜角的2倍，则a，b的值分别为(　　) A. ，1 B. ，－1 C. －，1 D. －，－1 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线x−y-=0斜率，得其倾斜角α=60°，从而得出直线ax+by-1=0的倾斜角为120°，结合在y轴上的截距为－1，得所求直线的斜截式方程，进而可得a，b的值. 【详解】∵直线x−y＝的斜率k= ∴直线 x−y＝的倾斜角α满足tanα=，得α=60° 由此可得直线ax+by-1=0的倾斜角为β=2α=120° 直线ax+by-1=0的斜率k=tan120°=- ∵直线ax+by-1=0在y轴上的截距为-1， ∴直线ax+by-1=0的斜截式方程为y=-x-1，化简得-x-y-1=0 可得a＝−，b=-1，故选D 【点睛】本题考查了已知直线在y轴上的截距和倾斜角的情况下求直线的方程，涉及了特殊角的三角函数值，熟练掌握直线倾斜角与斜率的关系是解答本题的关键. 8. 已知是空间向量的一组基底，是空间向量的另一组基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标的定义即得. 【详解】∵向量在基底下的坐标为， ∴， 设向量在基底下的坐标是， 则， ∴， 解得，即. 故选：D. 二、多选题 9. 已知平面过点，其法向量，则下列点不在内的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用直线与平面垂直的性质直接求解. 【详解】由平面过点，其法向量， 对于A，， ， 点在内，故A错误； 对于B，， ， 点不在内，故B正确； 对于C，， ， 点不在内，故C正确； 对于D，， ， 点不在平面内，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知分别是正方体棱和的中点，则（ ） A. 与是异面直线 B. 与所成角的大小为45° C. 与平面所成角的余弦值为 D. 平面与平面所成角的余弦值为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据异面直线定义判断A，应用空间向量法求异面直线所成角判断B， 应用空间向量法求线面角正弦值再求余弦值判断C， 应用空间向量法求面面角余弦值判断D. 【详解】对于选项A，因为平面，平面，， 所以与是异面直线，故A正确； 以D为原点的方向分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为2， 则， ， 对于选项B，因为，， 设与所成角为，则， 又因为，所以，故B错误； 对于选项C，由题知平面的一个法向量为， 因为，， 设与平面所成角为α， 则， ，故C错误； 对于选项D，，， 设平面的法向量为， 则 令得， 设平面的法向量为，， 则 令得， 设平面与平面所成角角为β， 所以平面与平面所成角的余弦值为，故D正确． 故选：AD. 11. 下列各组直线中与一定平行的是（ ） A. 经过点，经过点 B. 经过点，经过点 C. 的倾斜角为，经过点 D. 平行于轴，经过点 【答案】AD 【解析】 【分析】由题意，先求出两直线的斜率，当斜率相等再看两直线是否重合，从而得出结论. 【详解】对于A．由题意知，所以直线与直线平行或重合， 又，故，A选项正确； 对于B．由题意知，所以直线与直线平行或重合，，故直线与直线重合，B选项错误； 对于C．由题意知，，所以直线与直线可能平行可能重合，C选项错误； 对于D．由题意知的斜率不存在，且不是轴，的斜率也不存在，恰好是轴，所以，D选项正确． 故选：AD 三、填空题 12. 直线l过点A（1，2），且不过第四象限，则直线l的斜率的最大值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用斜率计算公式及其意义即可得出. 【详解】∵直线l过点A（1，2），且不过第四象限， ∴则直线的斜率的最大值为 故答案为：2 13. 设直线过定点A，则过点A且与直线垂直的直线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知得直线恒过的定点，由两直线垂直其方程间的关系设过点A的直线方程为，代入可求得答案. 【详解】解：因为，所以， 所以直线恒过定点，即， 因过点A且与直线垂直， 所以设过点A的直线方程为， 所以，即， 所以所求直线方程为， 故答案为：. 14. 如图，边长为1的菱形中，，沿将翻折，得到三棱锥，当平面平面时，异面直线与所成的角的余弦值等于______． 【答案】## 【解析】 【分析】取的中点，以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得的坐标，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】取的中点，连接，可得， 因为平面平面，平面，且平面平面， 所以平面， 以为原点，以所在的直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 可得， 设异面直线与所成的角为， 则， 所以异面直线与所成的角的余弦值为. 故答案为：. 四、解答题 15. 如图，设O为▱ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若，求x，y的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据图形结合空间向量的线性运算及空间向量基本定理即可得出答案. 【详解】解：因为 ， 又， 所以. 16. 如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，⊥平面，点在线段上，⊥平面，设，． （1）求平面的法向量； （2）求二面角的正切值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，以作坐标原点建立空间直角坐标系，写出的坐标，根据法向量的求解方法，带值计算即可. （2）求得平面的法向量，根据法向量夹角与二面角的关系，即可求得结果. 【小问1详解】 因为⊥平面，⊂平面，故， 又底面为矩形，故，则两两垂直， 故以为坐标原点，建立如下所示空间直角坐标系： 又因为平面面，故， 又面面，故， 又面，故面， 又面，故，又四边形为矩形，故为正方形， 则，且， ， 设平面的法向量为， 则，即，取，则， 故平面的一个法向量为，与其平行的非零向量也可为该平面法向量. 【小问2详解】 由（1）可知，平面，故取平面的法向量， 又平面的法向量为， 设二面角的平面角为，由图可知其为锐角， 故. 则，则. 即二面角的正切值为3． 17. 如图，已知三棱柱，底面，，，为的中点. （1）证明：面； （2）若，求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）连接交于点，利用三角形的中位线证出线线平行，然后由线面平行的判定定理证明即可； （2）以，所在的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量求点到平面的距离即可. 【小问1详解】 证明：如图 连接交于点，则为的中点， 连接，又因为为的中点， 所以，平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 如图： 以，所在的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系， ，则， 所以，，，，， ，， 设平面的法向量， 则，所以，所以，令，， 所以，又， 记点到平面的距离为， 所以. 18. 求适合下列条件的直线方程： （1）经过点P(3，2)，且在两坐标轴上的截距相等； （2）直线经过点A(－，3)，且倾斜角为直线x＋y＋1＝0的倾斜角的一半； （3）在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7，3)，且AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，求直线MN的方程． 【答案】（1）2x－3y＝0或x＋y－5＝0；（2）x－y＋6＝0；（3）5x－2y－5＝0. 【解析】 【分析】（1）设所求直线的斜率k存在且k≠0，分截距为0和截距不为0两种情况讨论，即可求解； （2）先求出直线的斜率，利用点斜式求出直线方程； （3）先求出M、N坐标，利用截距式求出直线方程. 【详解】（1）由题意，所求直线的斜率k存在且k≠0， 设直线方程为y－2＝k(x－3)， 令y＝0，得x＝3－， 令x＝0，得y＝2－3k， 由已知3－＝2－3k， 解得k＝－1或k＝， ∴直线l的方程为y－2＝－(x－3)或y－2＝ (x－3)， 即x＋y－5＝0或2x－3y＝0. （2）由x＋y＋1＝0得此直线的斜率为－，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为. 又直线过点A(－，3)，所以所求直线方程为y－3＝ (x＋)，即x－y＋6＝0. （3）设C(x0，y0)，则 M，N 因为点M在y轴上，所以， 所以x0＝－5. 因为点N在x轴上，所以， 所以y0＝－3，即C(－5，－3)， 所以M，N(1，0)， 所以直线MN的方程为， 即5x－2y－5＝0. 19. 如图，在直三棱柱中，为的中点，分别是棱上的点，且． （1）求证：直线平面； （2）若是正三角形为中点，能否在线段上找一点，使得平面？若存在，确定该点位置；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）在直线上存在一点，且，使得平面． 【解析】 【分析】（1）利用线面平行判定定理去证明直线平面； （2）建立空间直角坐标系，利用向量的方法保证平面，进而求得点的位置． 【小问1详解】 在直三棱柱中， 是的中点， 又为的中点 ，而， 四边形是平行四边形， 平面平面，平面． 【小问2详解】 在直线上找一点，使得平面，证明如下： 在直三棱柱中， 又两两垂直， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 设， 在线段上，设，则， 则， ，则，， 设平面的法向量， 则，取，得， 平面，，解得， 在直线上存在一点，且，使得平面． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $