精品解析：浙江杭州市余杭区2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

九年级数学 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分） 1. 下列函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、不是二次函数，故本选项不符合题意； B、不是二次函数，故本选项不符合题意； C、是二次函数，故本选项符合题意； D、当时，不是二次函数，故本选项不符合题意； 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点式可以得到答案 ． 【详解】解：由抛物线的顶点式可以得到y=2(x−1)2+3 的顶点坐标是（1，3）， 故选B． 【点睛】本题考查抛物线的应用，熟练掌握抛物线的顶点式是解题关键． 3. 下列事件中属于必然事件的是（ ） A. 抛掷一枚均匀硬币，正面朝上 B. 打开电视机，正在播放新闻 C. 在标准大气压下，水加热到会沸腾 D. 掷一枚质地均匀的骰子，点数为6 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、抛掷一枚均匀硬币，正面朝上，属于随机事件，故本选项不符合题意； B、打开电视机，正在播放新闻，属于随机事件，故本选项不符合题意； C、在标准大气压下，水加热到会沸腾，属于必然事件，故本选项符合题意； D、掷一枚质地均匀的骰子，点数为6，属于随机事件，故本选项不符合题意 4. 抛物线的开口方向和对称轴分别是（ ） A. 向上，直线 B. 向上，直线 C. 向下，直线 D. 向下，直线 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次项系数判断开口方向，根据二次项系数和一次项系数求对称轴； 【详解】解：抛物线解析式， 可得，，． ， 抛物线开口向下． 对称轴：，即直线． 5. 一个不透明袋子里装有3个红球，2个白球，这些球除颜色外完全相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】概率等于所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：∵一个不透明袋子里装有3个红球，2个白球， ∴总球数为， ∴从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是． 6. 将抛物线向左平移一个单位，得到的新抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数的图象的平移法则：上加下减，左加右减，即可得到答案，熟练掌握二次函数的图象的平移法则是解此题的关键． 【详解】解：将抛物线向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为， 故选：D． 7. 若二次函数的图象与轴没有交点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得方程无实数根，再由根的判别式解答即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴没有交点， ∴方程无实数根， ∴且， 解得：． 8. 已知二次函数的自变量取值范围为，关于该函数在所给自变量的取值范围内的下列说法正确的是（ ） A. 有最大值2，无最小值 B. 有最大值2，有最小值 C. 有最大值2，有最小值 D. 无最大值，有最小值 【答案】B 【解析】 【分析】二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线，开口向下，据此进行解答即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线，开口向下， ∵二次函数的自变量取值范围为， ∴当时，二次函数有最大值2， ∵， 当时，二次函数有最小值，此时， 即当时，二次函数有最小值． 9. 已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】抛物线，，抛物线的对称轴为直线，开口向上，抛物线上的点离对称轴越远则纵坐标的值越大，据此进行解答即可． 【详解】解：∵抛物线，， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∵，点，，在抛物线上， ∴． 10. 如图1，一艘帆船从地出发，沿直线向正北方向的地运动，为一处灯塔．为了探究帆船与灯塔的距离，记，，关于的函数的部分函数图象如图2所示，抛物线最低点为，且经过，两点，下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 点在该函数图象上 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，垂足为，由题可知，，，勾股定理得，利用，求出对称轴，再求解析式，依次检验即可． 【详解】解：由题意，，， 如图，过点作，垂足为， ，，， 由勾股定理得将代入， ， ， ， ∵， ∴， ∴，B正确； 抛物线对称轴， 两点，关于对称， ∴， ∴，C错误； 函数解析式：， 是时的值：，A错误； 将代入， ，D 错误． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 二次函数的最小值是_________． 【答案】3 【解析】 【分析】由解析式为顶点式，根据其解析式即可直接求的二次函数的最小值． 【详解】解：∵a＝1＞0， ∴当x＝2时，y有最小值3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数顶点式y＝a（x−h）2＋k的图象与性质是解题的关键． 12. 从拼音“”的所有字母中随机抽取一个字母，抽到字母“z”的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】共计有8个字母，只含有1个字母“z”，直接用简单的概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意：抽到字母“z”的概率为：． 13. 二次函数的图象与轴的交点坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】与轴交点的坐标的横坐标为0，即令，求出函数值，问题得解． 【详解】解：当时，， ∴该函数图象与轴的交点坐标是． 14. 某纸箱内有张瓯剧脸谱卡片，其中红色的有4张，经过大量重复摸取试验后，摸到红色脸谱卡片的频率稳定在，则的值为_________． 【答案】20 【解析】 【分析】大量的试验后，频率约等于概率，利用红色卡片的数量除以其频率即可求出总的卡片数量． 【详解】解：根据题意有：． 15. 如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，则的面积为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】求出点A、B、C的坐标得到的长，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：在中，当时，，则， ∴； 当时，，解得或， ∴， ∴， ∴． 16. 如图，在矩形中，，，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．二次函数的图象与矩形的边有交点，记函数在的范围内的最小值为，最大值为．若，则的值为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】抛物线开口向下，顶点，顶点纵坐标恒为，矩形顶点：，因为抛物线与矩形边有交点，且顶点纵坐标是，顶点在矩形上方；在内，最大值分两种情况：① 顶点横坐标的范围为：最大值（顶点处）；② ：在处取最大值；：在处取最大值，再根据条件可得关于的方程，解出即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，顶点，顶点纵坐标恒为， 把代入 把代入 ∵二次函数的图象与矩形的边有交点， ① 当，此时最大值， 代入：   即在上，函数最小值， ∵抛物线开口向下，函数在的范围内的最小值出现在离对称轴更远的端点， ∴若，对称轴靠右，左端点更远， 当时， ∴ ∵  若，对称轴靠左，右端点更远， 当时， 或 ∵ ，， ∴或都符合题意； ② 当，对称轴在区间左侧，函数在随的增大而减小， 最大值在时取到，即， 最小值在时取到，即， 代入得 解得：， 的值不在范围，舍去； ③ 当，对称轴在区间右侧，当时，随的增大而增大： 最大值在时取到，， 最小值在时取到，， 代入得 解得 的值不在范围，舍去； 综上：或． 【点睛】本题考查二次函数在自变量的取值范围内最值分类讨论，开口向下的抛物线，最大值看顶点是否落在范围内；最小值看范围两个端点到对称轴距离，距离越远函数值越小，同时要满足抛物线与矩形有交点的限制条件． 三、解答题（本题有8小题，共72分）解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 已知抛物线过点，，，求该抛物线的函数表达式和顶点坐标． 【答案】， 【解析】 【分析】用待定系数即可求出函数解析式，再根据顶点公式可算出顶点坐标． 【详解】解：设 ， 将代入，得 将，代入， 得：， 解得 所以该抛物线的函数表达式为 因为当时，， 所以顶点坐标为． 18. 一个不透明的抽奖盒中有2张红色卡片，1张蓝色卡片，1张黄色卡片，这些卡片除颜色外完全相同． （1）从中随机抽取一张卡片，求抽到红色卡片的概率． （2）先随机抽取一张卡片，不放回，再随机抽取一张卡片，请用树状图或列表法，求两次抽到的卡片颜色不同的概率． 【答案】（1） （2）画树状图如下： 【解析】 【分析】（1）利用红色卡片数量除以总的卡片数量即可求解； （2）利用树状图法即可求解． 【小问1详解】 解：抽到红色卡片的概率 【小问2详解】 解：由树状图可知，共有12种等可能结果，其中符合题意要求的有10种， ∴抽到两张卡片颜色不同的概率是． 19. 在平面直角坐标系中，一个喷水池从原点喷出的水流轨迹是抛物线，水流最大高度为，水流落地处距离喷水口水平距离为． （1）在平面直角坐标系中画出喷水池喷出的水流轨迹． （2）求出该抛物线的函数表达式． 【答案】（1） （2）（） 【解析】 【分析】（1）根据题干所给信息作图即可； （2）先根据抛物线顶点为设，再代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵水流落地处距离喷水口水平距离为， ∴抛物线过点，， ∵水流最大高度为， ∴抛物线过点， 描点作图得． 【小问2详解】 解：由（1）可知抛物线顶点为， 设（），代入， 解得， ∴（）， 整理得（）． 20. 化学兴趣小组做酸碱实验，器材箱内装有5瓶试剂，其中3瓶为酸性试剂，2瓶为碱性试剂，试剂瓶标签模糊无法辨认，除标签外完全相同． （1）从中随机取出1瓶，求取出碱性试剂的概率． （2）从中随机不放回地取出两瓶试剂，求两瓶试剂混合后能够发生酸碱中和反应（即取出1瓶酸性试剂、1瓶碱性试剂）的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）概率等于所求情况数与总情况数之比； （2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵器材箱内装有5瓶试剂，其中3瓶为酸性试剂，2瓶为碱性试剂， ∴从中随机取出1瓶，取出碱性试剂的概率为； 【小问2详解】 解：列表如下： 酸1 酸2 酸3 碱1 碱2 酸1 酸2，酸1 酸3，酸1 碱1，酸1 碱2，酸1 酸2 酸1，酸2 酸3，酸2 碱1，酸2 碱2，酸2 酸3 酸1，酸3 酸2，酸3 碱1，酸3 碱2，酸3 碱1 酸1，碱1 酸2，碱1 酸3，碱1 碱2，碱1 碱2 酸1，碱2 酸2，碱2 酸3，碱2 碱1，碱2 共有种可能出现的结果，其中两瓶试剂混合后能够发生酸碱中和反应的结果有种， ∴两瓶试剂混合后能够发生酸碱中和反应的概率是． 21. 在小型航拍无人机抛飞降落测试中，无人机的飞行路径为如图所示的抛物线． （1）求无人机飞行路径的函数表达式，并写出自变量的实际取值范围． （2）无人机的安全作业高度不低于，求无人机处于安全高度时对应的水平飞行距离． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）已知顶点，设顶点式，代入求出a，再求抛物线与x轴交点，确定自变量取值范围； （2）根据题意列不等式，解一元二次不等式得到水平距离范围，进而求得水平飞行距离． 【小问1详解】 解：设抛物线解析式为， 把代入，，，， ∴． ， 令，，，， ， ∴自变量取值范围：． 【小问2详解】 解：由题意得： ∴ ∵， ∴无人机处于安全高度时对应的水平飞行距离为． 22. 某文创小店销售一款笔记本，该笔记本进价为元/本．经过市场调研，发现当售价为元/本（）时，每日销售量为本，设每日销售利润为元． （1）求关于的函数表达式． （2）售价定为多少元时，每日获得利润最大？求出最大利润． 【答案】（1） （2）售价定为元时，每日获得利润最大，最大利润为元 【解析】 【分析】（1）根据利润计算公式：总利润单件利润销售量，即可列出每日销售利润元与售价元/本的函数关系式； （2）由（1）可知，关于的函数表达式是二次函数，其二次项系数，故开口向下，函数在顶点处取得最大值，且当函数取得最大值时，对应自变量在取值范围内，故符合要求． 【小问1详解】 解：根据利润计算公式，， ． 【小问2详解】 解：在二次函数中，， 抛物线开口向下， 对称轴，且在内， 当时，取得最大值，． 售价定为元时，每日获得利润最大，最大利润为元． 23. 【探究背景】如图，某蔬菜基地的大棚截面轮廓是抛物线．以地面为轴建立平面直角坐标系，大棚拱顶坐标为，位于轴上，大棚地面总宽度为． 【探究活动】在地面上种植农作物，作物最高可以长到距离地面处．现在要在大棚拱架上悬挂高度的补光灯． 【安全要求】补光灯的底部距离作物顶端不小于；相邻补光灯悬挂点的水平间距为；补光灯须关于轴对称布置． （1）【任务一】求大棚截面抛物线的函数表达式． （2）【任务二】在满足安全条件的前提下，求拱架上可以悬挂补光灯的悬挂点横坐标的取值范围． （3）【任务三】按照上述要求悬挂补光灯，在如图截面上最多一共可以挂多少盏？写出对应的悬挂方案． 【答案】（1） （2） （3）共8盏，两边对称放置，对应位置各挂一盏，横坐标分别为，，，，0.8，2.4，4，5.6 【解析】 【分析】（1）由题意可得抛物线与地面的交点为，，再利用待定系数法计算即可得出结果； （2）先求出补光灯悬挂点的最低高度，再令，求出对应的的值即可得出结果； （3）根据抛物线的对称性解答即可． 【小问1详解】 解：∵以地面为轴建立平面直角坐标系，大棚拱顶坐标为，位于轴上，大棚总宽度为， ∴抛物线与地面的交点为，， ∵拱顶坐标为， ∴设大棚截面抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得， 大棚截面抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由题意可得，补光灯悬挂点的最低高度为， 在中，令，则， 解得，， ∴悬挂点横坐标的取值范围为； 【小问3详解】 解：∵相邻补光灯悬挂点的水平间距为，且悬挂点横坐标的取值范围为， ∴由抛物线的对称性可得，要使悬挂的补光灯最多，两边对称放置，在和处各挂一盏，和处各挂一盏，和处各挂一盏，和处各挂一盏，共8盏， ∴在如图截面上最多一共可以挂8盏，两边对称放置，对应位置各挂一盏，横坐标分别为，，，，0.8，2.4，4，5.6． 24. 如图，抛物线与轴交于，两点（点在左侧），与轴交于点，为抛物线的顶点． （1）直接写出点，，，的坐标． （2）连结，点是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点作轴交线段于点，求线段的最大值，并求此时点的坐标． （3）设点是坐标平面内一点，以，，，为顶点作平行四边形．当（2）中取得最大值时，直接写出点的坐标． 【答案】（1），，， （2）， （3）或或 【解析】 【分析】（1）令，求出抛物线与轴交点的坐标；令，求出抛物线与轴交点的坐标；当时，求出抛物线顶点的坐标； （2）先求出直线的解析式，再设动点的坐标和点的坐标，用含的表达式表示线段的长度，得到一个开口向下的新二次函数，由此求出线段的最大值，再将取得最大值时的值代入新二次函数，即可求得对应的点坐标； （3）设点坐标为，分别以、、为对角线分类讨论，利用平行四边形两条对角线互相平分，求出点的坐标． 【小问1详解】 解：令，得， ． 令，， 解得，， ，． 对称轴， 当时，，． 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 代入，得，， ． ． 设，则， ， 当时，， 此时，，， 线段的最大值为，此时点的坐标为． 【小问3详解】 解：已知，，． ①如图，以为对角线，的中点为， 设，则，， 解得，， ． ②如图，以为对角线，的中点为， 设，则，， 解得，， ． ③如图，以为对角线，则的中点与的中点重合，的中点为， 设，则，， 解得，， ． 综上所述，点坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分） 1. 下列函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件中属于必然事件的是（ ） A. 抛掷一枚均匀硬币，正面朝上 B. 打开电视机，正在播放新闻 C. 在标准大气压下，水加热到会沸腾 D. 掷一枚质地均匀的骰子，点数为6 4. 抛物线的开口方向和对称轴分别是（ ） A. 向上，直线 B. 向上，直线 C. 向下，直线 D. 向下，直线 5. 一个不透明袋子里装有3个红球，2个白球，这些球除颜色外完全相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 将抛物线向左平移一个单位，得到的新抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 7. 若二次函数的图象与轴没有交点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数的自变量取值范围为，关于该函数在所给自变量的取值范围内的下列说法正确的是（ ） A. 有最大值2，无最小值 B. 有最大值2，有最小值 C. 有最大值2，有最小值 D. 无最大值，有最小值 9. 已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，一艘帆船从地出发，沿直线向正北方向的地运动，为一处灯塔．为了探究帆船与灯塔的距离，记，，关于的函数的部分函数图象如图2所示，抛物线最低点为，且经过，两点，下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 点在该函数图象上 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 二次函数的最小值是_________． 12. 从拼音“”的所有字母中随机抽取一个字母，抽到字母“z”的概率为_________． 13. 二次函数的图象与轴的交点坐标是_________． 14. 某纸箱内有张瓯剧脸谱卡片，其中红色的有4张，经过大量重复摸取试验后，摸到红色脸谱卡片的频率稳定在，则的值为_________． 15. 如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，则的面积为_________． 16. 如图，在矩形中，，，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．二次函数的图象与矩形的边有交点，记函数在的范围内的最小值为，最大值为．若，则的值为_________． 三、解答题（本题有8小题，共72分）解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 已知抛物线过点，，，求该抛物线的函数表达式和顶点坐标． 18. 一个不透明的抽奖盒中有2张红色卡片，1张蓝色卡片，1张黄色卡片，这些卡片除颜色外完全相同． （1）从中随机抽取一张卡片，求抽到红色卡片的概率． （2）先随机抽取一张卡片，不放回，再随机抽取一张卡片，请用树状图或列表法，求两次抽到的卡片颜色不同的概率． 19. 在平面直角坐标系中，一个喷水池从原点喷出的水流轨迹是抛物线，水流最大高度为，水流落地处距离喷水口水平距离为． （1）在平面直角坐标系中画出喷水池喷出的水流轨迹． （2）求出该抛物线的函数表达式． 20. 化学兴趣小组做酸碱实验，器材箱内装有5瓶试剂，其中3瓶为酸性试剂，2瓶为碱性试剂，试剂瓶标签模糊无法辨认，除标签外完全相同． （1）从中随机取出1瓶，求取出碱性试剂的概率． （2）从中随机不放回地取出两瓶试剂，求两瓶试剂混合后能够发生酸碱中和反应（即取出1瓶酸性试剂、1瓶碱性试剂）的概率． 21. 在小型航拍无人机抛飞降落测试中，无人机的飞行路径为如图所示的抛物线． （1）求无人机飞行路径的函数表达式，并写出自变量的实际取值范围． （2）无人机的安全作业高度不低于，求无人机处于安全高度时对应的水平飞行距离． 22. 某文创小店销售一款笔记本，该笔记本进价为元/本．经过市场调研，发现当售价为元/本（）时，每日销售量为本，设每日销售利润为元． （1）求关于的函数表达式． （2）售价定为多少元时，每日获得利润最大？求出最大利润． 23. 【探究背景】如图，某蔬菜基地的大棚截面轮廓是抛物线．以地面为轴建立平面直角坐标系，大棚拱顶坐标为，位于轴上，大棚地面总宽度为． 【探究活动】在地面上种植农作物，作物最高可以长到距离地面处．现在要在大棚拱架上悬挂高度的补光灯． 【安全要求】补光灯的底部距离作物顶端不小于；相邻补光灯悬挂点的水平间距为；补光灯须关于轴对称布置． （1）【任务一】求大棚截面抛物线的函数表达式． （2）【任务二】在满足安全条件的前提下，求拱架上可以悬挂补光灯的悬挂点横坐标的取值范围． （3）【任务三】按照上述要求悬挂补光灯，在如图截面上最多一共可以挂多少盏？写出对应的悬挂方案． 24. 如图，抛物线与轴交于，两点（点在左侧），与轴交于点，为抛物线的顶点． （1）直接写出点，，，的坐标． （2）连结，点是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点作轴交线段于点，求线段的最大值，并求此时点的坐标． （3）设点是坐标平面内一点，以，，，为顶点作平行四边形．当（2）中取得最大值时，直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $