精品解析：浙江省杭州市余杭区2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

九年级数学独立作业 选择题部分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 已知抛物线的开口向下，则的值可以是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质，二次项系数决定抛物线的开口方向，当时，开口向下，据此进行判断即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∴的值可以是； 故选：D． 2. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 李老师在黑板上任意画两条直线，它们平行 B. 李老师花10元买5注双色球彩票，刚好中奖 C. 李老师开车经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯 D. 李老师在黑板上任意画一个三角形，其内角和为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念． 必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件，选项A中两条直线可能相交或平行；选项B中彩票中奖是随机事件；选项C中遇到绿灯是随机事件；选项D中三角形内角和恒为，是必然事件，即可得到答案． 【详解】解：对于A，两条直线可能相交或平行，是随机事件，故不符合题意； 对于B，买彩票中奖，是随机事件，故不符合题意； 对于C，经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯，是随机事件，故不符合题意； 对于D，任意画一个三角形，其内角和是是必然事件，故符合题意． 故选：D． 3. 如图，在中，点，分别在，上，连接．若单独添加下列条件，其中不能使的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，相似三角形的判定方法有：两个角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似，解决本题的关键是根据添加的条件与已知条件是否满足相似三角形的判定定理． 【详解】解：和中已有， A选项：，，根据有两个角对应相等的两个三角形相似，可得：，故A选项不符合题意； B选项：，，根据有两个角对应相等的两个三角形相似，可得：，故B选项不符合题意； C选项：，，其中不是对应成比例的两边的夹角，不能判定，故C选项符合题意； D选项：，，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得：，故D选项不符合题意． 故选：C． 4. 如图，点，，在上．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是圆周角定理，解题关键是掌握圆周角定理求解圆周角． 圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半，根据圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：点，，在上，， ． 故选：． 5. 如图，已知，．若，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键． 先根据平行线分线段成比例定理可得，得到，则可得的长，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∴， 解得． 故选C． 6. 一个不透明的袋子中，装有除颜色外完全相同的5个红球和2个白球，从袋子中随机摸球，甲认为：若摸出1个球，则摸出红球的可能性大；乙认为：若摸出3个球，则至少有1个是红球．以下判断正确的是（ ） A. 甲乙都正确 B. 甲正确，乙错误 C. 甲错误，乙正确 D. 甲乙都错误 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了概率的大小比较与必然事件的判断，熟练掌握根据数量判断事件发生的可能性大小是解题的关键． 分别分析甲、乙的说法，通过比较红球和白球的数量判断摸1个球时红球的可能性大小；根据白球的数量判断摸3个球时是否至少有1个红球． 【详解】解：∵ 袋子中有5个红球、2个白球，总球数为7个， ∴ 摸1个球时，摸出红球的概率为，摸出白球的概率为， ∵ ， ∴ 甲的说法正确， ∵ 白球只有2个， ∴ 摸3个球时，不可能全是白球， ∴ 至少有1个是红球，乙的说法正确， 故选：A． 7. 将二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得图象的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移变换，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规则是解题的关键． 根据二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”规则，对原函数依次进行平移变换，得到平移后的函数表达式． 【详解】解：∵ 原二次函数为， ∴ 向左平移2个单位，得， ∵ 再向上平移3个单位， ∴ 得， 故选：D． 8. 下列命题正确的是（ ） A. 平分弦的直径平分弦所对的弧 B. 垂直平分弦的直线必定经过圆心 C. 相等的圆心角所对的弧一定相等 D. 相等的弦所对的圆周角一定相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆的基本性质，包括垂径定理、圆心角与弧的关系、圆周角定理，掌握相关定理是解题的关键． 根据有关性质逐一判断即可得到答案 【详解】解：对于A：平分弦的直径不一定平分弦所对的弧，例如当弦为直径时，平分它的直径不一定垂直于此弦，此时不平分弧，故A错误． 对于B：垂径定理的逆定理表明，垂直平分弦的直线必经过圆心，故B正确． 对于C：相等的圆心角所对的弧相等必须在同圆或等圆中才成立，否则不一定成立，故C错误． 对于D：在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，故D错误． 故选：B． 9. 已知二次函数（），且．若点在该函数图象上，则下列判断正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数开口向下及抛物线与轴交点的位置关系，判断函数值的正负对应自变量的范围. 【详解】解： 二次函数 中 且 ， 抛物线开口向下，与轴交点坐标是和， 当 或 时，， 当 时，， 点 在图象上， ， 若，则 或 ，故选项 A 和 B 错误； 若，则 ，故选项 D 正确； 若，，可能大于，也可能小于，故选项 C 错误. 故选：D． 10. 如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为2的圆与轴交于，两点，与轴交于，两点，为上一动点，于点，则点在上运动过程中，线段的长的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，垂径定理， 连接，作，连接，由垂径定理得，再根据勾股定理求出即可求出，然后根据“等边对等角”得出，可得，接下来说明点F在以为直径的上运动，根据三角形的三边关系得，即点F在的延长线上时，的长最小，求出最小值即可． 【详解】解：连接，过点G作，于点M，连接， ∵ ∴． 在中，， ∴ ∴ ∴． ∵， ∴． ∵ ∴， ∴， ∵ ∴， 点F在以为直径的上运动， ∴， 当点F在的延长线上时，的长最小，最小值为． 故选：C. 非选择题部分 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 在同样条件下对某种水稻种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表． 试验种子数（粒） 1000 2000 3000 4000 5000 发芽频数 953 1896 2856 3804 4750 发芽频率 0.953 0.948 0.952 0.951 0.950 根据频率的稳定性，估计该稻种的发芽概率约为______．（精确到0.01） 【答案】0.95 【解析】 【分析】本题考查利用频率估算概率，根据表格数据，利用频率估算概率即可． 【详解】从频数表可知，发芽频率分别为0.953，0.948，0.952，0.951，0.950，这些值稳定在0.95附近，根据频率的稳定性，大量重复试验时频率接近概率，故该稻种的发芽概率约为0.95． 故答案为：0.95． 12. 若抛物线经过原点，则的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，理解题意是解决本题的关键． 将原点坐标代入抛物线解析式，求解关于m的方程，并排除二次项系数为零的情况即可求解． 【详解】解：∵抛物线经过原点， ∴当时，， ∴ 解得或． 由于抛物线需满足二次项系数， ∴不符合题意，舍去． ∴． 故答案为：3． 13. 如图，已知，若，，则的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，平方根，掌握知识点是解题的关键． 由，得到，即，求出的值即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 即 解得或（不符合题意，舍去）． 故答案为：6． 14. 如图，在正六边形中，以点为圆心，长为半径画弧，连结、．若，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、圆周角定理以及扇形面积，作正六边形的外接圆，圆心为点，连接交于点，连接，先求出，再利用圆周角定理得到，得到后，利用勾股定理求出，代入扇形面积公式即可． 【详解】解：作正六边形的外接圆，圆心为点，连接交于点，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积：， 故答案为：． 15. 用“描点法”画二次函数的图象时，列表如下： 根据表格信息可知，当时，函数值______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的对称性，熟练掌握抛物线的对称性质是解题的关键． 先通过表格数据确定二次函数图象的对称轴，再利用抛物线的对称性，找到对应的对称点，从而求出函数值． 【详解】解：∵ 表格中和时，值均为5， ∴ 抛物线的对称轴为直线， ∵ 与关于对称轴直线对称， ∴ 与对应的函数值相等， ∵ 表格中时，， ∴ 时，， 故答案为：． 16. 如图，内接于，，交于点，连接．若，则的度数为______． 【答案】71度## 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，等边对等角，三角形的内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 设，根据圆内接四边形对角互补求得，然后根据等边对等角求得，再根据平行线的性质可得，从而利用三角形内角和进行计算求解即可． 【详解】解：设， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 即． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共72分） 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知． （1）求代数式的值． （2）若，求，，的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，掌握其性质及计算方法是关键． （1）根据比例的性质，设，代入计算即可； （2）根据题意，设，代入计算得到，由此即可求解． 【小问1详解】 解：由题意，设， ∴． 【小问2详解】 解：由题意，设，则， ∴， ∴． 18. 如图，，相交于点，． （1）若，，求的度数． （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和，相似三角形的性质，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，再由，得到，即可解答． （2）由，得到，即，求出即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴． ∵， ∴． 【小问2详解】 ∵，，， ∴， 即， ∴． 19. 一个不透明的箱子里装有3个只有颜色不同的球，其中1个黑球，2个白球．求下列事件发生的概率： （1）事件A：摸一次，恰好摸出1个黑球． （2）事件B：从箱子里有放回地摸两次球，摸出的2个球颜色相同． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了概率的计算（古典概型），熟练掌握概率公式（）及列表法列举所有可能结果是解题的关键． （1）先确定摸一次所有可能的结果数，再找出恰好摸出黑球的结果数，利用概率公式计算； （2）通过列表法列出摸两次所有可能的结果，再找出颜色相同的结果数，利用概率公式计算． 【小问1详解】 解：总结果数：3（黑、白1、白2），符合事件A的结果数：1， ∴； 【小问2详解】 解：列表如下（第一次摸球结果为行，第二次为列）： 第一次\第二次 黑 白1 白2 黑 （黑,黑） （黑,白1） （黑,白2） 白1 （白1,黑） （白1,白1） （白1,白2） 白2 （白2,黑） （白2,白1） （白2,白2） 总结果数：9，颜色相同的结果：（黑,黑）、（白1,白1）、（白2,白2），（白1,白2），（白2,白1）共5种， ∴． 20. 如图，是的直径，弦于点，连接，． （1）求证：． （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了等弧所对的圆周角相等，垂径定理，勾股定理等知识点，熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）由垂径定理可得，再由等弧所对的圆周角相等即可得出结论； （2）连接，设的半径为，由垂径定理可得，利用勾股定理列方程求解即可得出答案． 【小问1详解】 证明：是的直径，， ． ． 【小问2详解】 解：连接， 设的半径为， 是的直径，， ，． ． ，， ，． ． 解得． 21. 如图，一位篮球运动员投篮，球从点处投出，沿抛物线运动，球运动至点处达到最高点，此时，水平距离为米． （1）求的值． （2）已知篮筐中心高度为米，投篮出手点与篮筐中心的水平距离为米．若该运动员本次投篮能直接命中篮筐中心，求的值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质（对称轴公式）及二次函数的实际应用，熟练掌握抛物线的对称轴公式和利用函数解析式求解实际问题中的变量是解题的关键． （1）利用抛物线顶点的横坐标（对称轴公式），代入已知的水平距离，求解的值； （2）将篮筐中心的纵坐标代入抛物线解析式，解方程得到水平距离，再舍去不合题意的解． 【小问1详解】 解：由题意可知，对称轴为直线， ∴． 解得．即的值为． 【小问2详解】 解：∵， ∴化简得． 解得（不合题意，舍去），．即的值为． 22. 如图，，，在上，连结，，求作的中点． 下面是甲同学的作法： 以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于为半径画弧交于点，射线交于点，即为所求． （1）请根据甲同学的作法，在图中画出点，并判断该作法是否正确，说明理由． （2）请尝试用其他方法，在图中画出点尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1） 如图所示，点即为所求． 正确， 理由：由作图知，平分， ， ； （2）点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图基本作图、线段垂直平分线的性质、圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 利用尺规作图作的平分线交于点，根据圆周角定理可知点即为的中点． 作线段的垂直平分线，交弧于点，则点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接，作线段的垂直平分线，交弧于点， 23. 在平面直角坐标系中，设二次函数（是常数）． （1）若函数图象经过点，求该函数图象的顶点坐标． （2）若点，在该函数图象上，且，求的取值范围． （3）若函数图象经过点，，求证：． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质（顶点、对称轴）及代数变形求最值，解题的关键是利用二次函数的点坐标、对称轴性质分析条件，结合代数运算推导结论． （1）将点代入函数式求，再配方得顶点坐标； （2）根据对称轴与点的位置关系，结合列不等式求的范围； （3）代入点坐标得、的表达式，展开后配方，利用平方的非负性证得结论． 【小问1详解】 解：函数图象经过点， ， ． ． 该函数图象的顶点坐标为． 【小问2详解】 解：， 对称轴为直线． 点，在该函数图象上，且， 由二次函数的图象的对称性和单调性可知，两点离对称轴的距离满足， ， 即， ，． 解得． 即的取值范围为． 【小问3详解】 证明：函数图象经过点，， ，． ． 即． 24. 如图，锐角三角形内接于，平分，交于点，交于点，连接并延长交于点，连接． （1）若，请直接写出，的大小． （2）若平分 ①求证：． ②若，，求的长． 【答案】（1）， （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）结合角平分线定义、圆周角定理、三角形内角和定理解题即可； （2）①由（1）得，结合角平分线定义得，由外角性质、等角对等边即可得证； ②证明，由相似三角形性质可求出，再结合即可求解． 【小问1详解】 解：， ， 平分， ，， 连接， ， ， ， 中，； 【小问2详解】 ①证：由（1）得，， 平分， ， ， 即， ； ②解：，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是角平分线定义、圆周角定理、三角形内角和定理、外角性质、等角对等边、相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学独立作业 选择题部分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 已知抛物线的开口向下，则的值可以是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 2. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 李老师在黑板上任意画两条直线，它们平行 B. 李老师花10元买5注双色球彩票，刚好中奖 C. 李老师开车经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯 D. 李老师在黑板上任意画一个三角形，其内角和为 3. 如图，在中，点，分别在，上，连接．若单独添加下列条件，其中不能使的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点，，在上．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知，．若，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 6. 一个不透明的袋子中，装有除颜色外完全相同的5个红球和2个白球，从袋子中随机摸球，甲认为：若摸出1个球，则摸出红球的可能性大；乙认为：若摸出3个球，则至少有1个是红球．以下判断正确的是（ ） A. 甲乙都正确 B. 甲正确，乙错误 C. 甲错误，乙正确 D. 甲乙都错误 7. 将二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得图象的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 8. 下列命题正确的是（ ） A. 平分弦的直径平分弦所对的弧 B. 垂直平分弦的直线必定经过圆心 C. 相等的圆心角所对的弧一定相等 D. 相等的弦所对的圆周角一定相等 9. 已知二次函数（），且．若点在该函数图象上，则下列判断正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 10. 如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为2的圆与轴交于，两点，与轴交于，两点，为上一动点，于点，则点在上运动过程中，线段的长的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 非选择题部分 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 在同样条件下对某种水稻种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表． 试验种子数（粒） 1000 2000 3000 4000 5000 发芽频数 953 1896 2856 3804 4750 发芽频率 0.953 0.948 0.952 0.951 0.950 根据频率的稳定性，估计该稻种的发芽概率约为______．（精确到0.01） 12. 若抛物线经过原点，则的值为______． 13. 如图，已知，若，，则的长为______． 14. 如图，在正六边形中，以点为圆心，长为半径画弧，连结、．若，则图中阴影部分的面积是______． 15. 用“描点法”画二次函数的图象时，列表如下： 根据表格信息可知，当时，函数值______． 16. 如图，内接于，，交于点，连接．若，则的度数为______． 三、解答题（本题共8小题，共72分） 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知． （1）求代数式的值． （2）若，求，，的值． 18. 如图，，相交于点，． （1）若，，求的度数． （2）若，，求的长． 19. 一个不透明的箱子里装有3个只有颜色不同的球，其中1个黑球，2个白球．求下列事件发生的概率： （1）事件A：摸一次，恰好摸出1个黑球． （2）事件B：从箱子里有放回地摸两次球，摸出的2个球颜色相同． 20. 如图，是的直径，弦于点，连接，． （1）求证：． （2）若，，求的半径． 21. 如图，一位篮球运动员投篮，球从点处投出，沿抛物线运动，球运动至点处达到最高点，此时，水平距离为米． （1）求的值． （2）已知篮筐中心高度为米，投篮出手点与篮筐中心的水平距离为米．若该运动员本次投篮能直接命中篮筐中心，求的值 22. 如图，，，在上，连结，，求作的中点． 下面是甲同学的作法： 以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于为半径画弧交于点，射线交于点，即为所求． （1）请根据甲同学的作法，在图中画出点，并判断该作法是否正确，说明理由． （2）请尝试用其他方法，在图中画出点尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 23. 在平面直角坐标系中，设二次函数（是常数）． （1）若函数图象经过点，求该函数图象的顶点坐标． （2）若点，在该函数图象上，且，求的取值范围． （3）若函数图象经过点，，求证：． 24. 如图，锐角三角形内接于，平分，交于点，交于点，连接并延长交于点，连接． （1）若，请直接写出，的大小． （2）若平分 ①求证：． ②若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $