精品解析：河南信阳市罗山县楠杆高级中学2026-2027学年高二上学期期中考试考前模拟数学试卷（一）

2026年罗山县楠杆高中期中考试考前模拟试卷（一） 高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知函数与，若存在实数使成立，则称，是函数与的一对“望点”，若，，则函数与“望点”的对数为（ ） A. 2 B. 0 C. 4 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】作函数的图象，再作该图关于原点对称，判断与函数的图象有几个交点，即可判断“望点”的对数． 【详解】如图： 令，得，它表示圆心在， 半径为1的半圆（轴非下方），作出这个半圆及其关于原点成中心对称的半圆， 则轴右侧半圆圆心坐标为，半径为1． 点到直线即的距离， 故该直线与半圆相切，公共点只有一个， 所以函数与“望点”的对数为1． 故选：D 2. 如图，在直三棱柱中，，，D为AB的中点，点E在线段上，点F在线段上，则线段EF长的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件建立空间直角坐标系，令，用表示出点E，F坐标，再由两点间距离公式计算作答. 【详解】依题意，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设，则，设，有， 线段EF长最短，必满足，则有，解得，即， 因此，，当且仅当时取“=”， 所以线段EF长的最小值为. 故选：B 3. 单位圆上有7个不同的点，则任意两点间距离平方和的最大值为（ ） A. 42 B. 49 C. 56 D. 64 【答案】B 【解析】 【分析】先设，再结合两角差余弦公式及余弦值计算求解. 【详解】设，则， 所以， 因为， 所以， 当7个点均匀分布在单位圆上时，根据正、余弦函数的图象和性质有， 则，因此所求的最大值为49． 故选：B． 4. 已知圆和圆，则圆与圆的位置关系为（ ） A. 外切 B. 内切 C. 相交 D. 外离 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的方程确定圆的圆心和半径，再根据两圆圆心间的距离与两圆半径的大小关系判断两圆的位置关系. 【详解】因为圆， 所以，半径为5, 因为圆， 所以，半径为5， 由于，等于两圆半径之和， 所以圆与圆外切. 故选：A 【点睛】判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．两圆相切注意讨论内切外切两种情况. 5. 第六届世界互联网大会发布了项世界互联网领先科技成果，其中有项成果均属于芯片领域，分别为华为的鲲鹏、特斯拉全自动驾驶芯片、寒武纪云端芯片、思元、赛灵思的自适应计算加速平台．现有名学生从这项世界互联网领先科技成果中分别任选项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则至少有名学生选择芯片领域的概率为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题干计算基本事件总数，至少有名学生选择芯片领域的对立事件是没有学生选择芯片领域，进而求出结果. 【详解】解：现有名学生从这项世界互联网领先科技成果中分别任选项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则基本事件总数， 至少有名学生选择芯片领域的对立事件是没有学生选择芯片领域， 则至少有名学生选择芯片领域的概率. 故选：D. 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题. 6. 已知甲袋中有标号分别为1，2，3，4的四个小球，乙袋中有标号分别为2，3，4，5的四个小球，这些球除标号外完全相同，第一次从甲袋中取出一个小球，第二次从乙袋中取出一个小球，事件表示“第一次取出的小球标号为3”，事件表示“第二次取出的小球标号为偶数”，事件表示“两次取出的小球标号之和为7”，事件表示“两次取出的小球标号之和为偶数”，则（ ） A. 与相互独立 B. 与是互斥事件 C. 与是对立事件 D. 与相互独立 【答案】D 【解析】 【分析】根据互斥事件、对立事件及相互独立事件的定义判断即可. 【详解】由题意可得基本事件总数为， 设， ， ， ， 由题意可得与可以同时发生，故不是互斥事件，故B错误； 易知与不同时发生，即与为互斥事件， 但不是对立事件，比如当发生时与均不发生，故C错误. 又， 则，， 从而与不相互独立，与相互独立，故A错误，D正确. 故选：D 7. 已知，点在轴上，则的最小值为（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出N关于轴对称的点为，再利用对称性可求得的最小值. 【详解】设，则N关于轴对称的点为， 所以的最小值为； 故选：B. 8. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】转化为点与连线的斜率，数形结合后由直线与圆的位置关系求解. 【详解】记，则为直线的斜率， 故当直线与半圆相切时，得k最小， 此时设，故，解得或（舍去）， 即． 故选：C. 二、单选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 一个不透明的口袋中装有个完全相同的乒乓球，其中个标有数字，个标有数字，记事件表示“第一次取到标有的球”，事件表示“第二次取到标有的球”，则下列说法正确的是（ ） A. 若从口袋中摸出一个球，放回后再摸出一个球，则这个球上的数字相同的概率为 B. 若从口袋中一次性摸出两个球，则球上的数字之和为的概率为 C. 若从口袋中不放回地取球两次，每次取个，则，互斥 D. 若从口袋中不放回地取球两次，每次取个，则，相互独立 【答案】AB 【解析】 【详解】对于A，若从口袋中摸出一个球，放回后再摸出一个球，则这个球上的数字相同的概率为，故A正确； 对于B，若从口袋中一次性摸出两个球，则球上的数字之和为的概率为，故B正确； 对于C，由题得，所以，不互斥，故C错误； 对于D，，则，所以，不相互独立，故D错误. 10. 在棱长为1的正方体中，分别为线段上的动点（均不与点重合），则下列说法正确的是（ ） A. 存在使得平面 B. 存在使得 C. 当平面时，三棱锥与体积之和最大值为 D. 记与平面所成的角分别为，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，当时，易证得，则要使平面EFG，只需即可，利用向量法即可得出结论；对于B，只需要即可，判断和是否相等，即可；对于C，因为，故求的最大值即可；对于D，利用等体积法求出到平面的距离，分别求出，进而可得. 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 设， 对于A，因为平面，平面， 所以，又因， 所以平面，又平面， 所以， 当时，，此时， 要使平面EFG，只需即可， ， 则， 则，即， 当时，， 故存在点E，F，G，使得平面EFG，故A正确； 对于B，， 则， 要使， 只需要即可， ， ， ， 则， 故， 因为，所以， 所以， 所以不存在点E，F，G，使得，故B错误； 对于C，因为平面EFG， 所以， ， 则， 则，所以， 要使最大，则，此时， 所以三棱锥与体积之和最大值为，故C正确； 对于D，由上可知，， 则， 因为， 所以到平面的距离满足， 所以， 所以， ， ， 所以， 所以，故D错误. 故选：AC. 11. 某展会安排了分别标有序号为“1号”、“2号”、“3号”的三辆车，等可能的随机顺序前往酒店接嘉宾.某嘉宾突发奇想，设计了两种乘车方案.方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车.记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为、，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】按照发车的序号，列举基本事，求出再逐项分析即可； 【详解】按照发车的序号，列举基本事件如下： ，共6种， 方案一坐到“3号”车，包含的基本事件有：，共3种， 所以方案一坐到“3号”车的概率. 方案二坐到“3号”车，包含的基本事件有：，共2种， 所以方案二坐到“3号”车的概率. 所以、、，BCD选项正确，A选项错误. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点、，在直线上，则的最小值等于________. 【答案】12 【解析】 【分析】求出关于的对称点的坐标，则即为的最小值. 【详解】设关于的对称点为 则，解得，， ，则， 所以的最小值是12. 故答案为：. 13. 已知点、，过点的直线与线段有公共点，若点在直线上，则实数值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】画出图形，找出有公共点的临界状态，求解即可. 【详解】如图所示，是直线与直线交点的横坐标， 当与重合时，即，则取最大值， 当与重合时， 即 ，则取最小值， 所以的取值范围是. 故答案为： 14. 据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之.”围棋，起源于中国，至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵.现从3名男生和2名女生中任选2人参加围棋比赛，则所选2人中至少有1名男生的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】确定样本空间，结合古典概型概率公式即可求解. 【详解】设3名男生为，2名女生为， 则任选2人有：，10种情况， 其中至少有1名男生有：，9种情况， 则至少有1名男生的概率为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆截得的弦长． 【答案】相交， 【解析】 【分析】根据题意，求圆心到直线的距离，故位置关系是相交，再根据几何法求解即可. 【详解】解：由圆的方程得圆心为，半径为 所以圆心到直线的距离为：， 所以与圆相交， 所以直线被圆截得的弦长为. 16. 某公司拟通过摸球抽奖的方式对员工发放生日红包.先在一个不透明的袋子中装入7个标有一定金额的球（除标注的金额不同外，其余均相同），其中标注的金额为100元、200元、300元的球分别有2个、2个、3个.参与的员工每次从袋中随机摸出1个球，记录球上标注的金额后放回袋中，连续摸次.规定：某员工摸出的球上所标注的金额之和为其所获得的生日红包的总金额. （1）当时，求甲员工所获得的生日红包总金额不低于200元的概率； （2）当时，设事件“甲员工获得的生日红包总金额不超过400元”，事件“甲员工获得的生日红包总金额不低于300元”，试判断事件，是否相互独立，并说明理由. 【答案】（1） （2） 当时，“甲员工获得的生日红包总金额为300元或400元”， 因为，， 所以. 事件“甲员工获得的生日红包总金额为200元、300元或400元”， 因为，所以， 事件的对立事件为“甲员工获得的生日红包总金额为200元”， 所以， 所以， 所以事件，不相互独立. 【解析】 【分析】（1）根据古典概型和互斥事件的概率加法公式可得； （2）利用古典概型概率公式求出，然后根据独立事件的定义直接判断即可. 【小问1详解】 即只摸1次球， 生日红包总金额不低于200元，即为200元或300元， 从袋中随机摸出1个球，对应的生日红包金额为200元的概率为，为300元的概率为， 故甲员工所获得的生日红包总金额不低于200元的概率为. 【小问2详解】 略 17. 某校组织全体学生参加“数学以我为傲”知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：[40，50），[50，60），[60，70），……，[90，100]，统计结果如图所示： （1）试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）； （2）现在按分层抽样的方法在[80，90）和[90，100]两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，求两人都在[90，100]的概率． 【答案】（1）70.5 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图直接代入平均数的计算公式即可求解； （2）根据分层抽样在分组中抽取的人数为人，在分组中抽取的人数为2人，利用古典概型的概率计算公式即可求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图的数据，可得这100名学生得分的平均数： 分． 【小问2详解】 在和两组中的人数分别为：100×(0.015×10)=15人和100×(0.01×10)=10人， 所以在分组中抽取的人数为人，记为a，b，c， 在分组中抽取的人数为2人，记为1，2， 所以这5人中随机抽取2人的情况有：，共10种取法， 其中两人得分都在的情况只有，共有1种， 所以两人得分都在的概率为． 18. 在平行六面体中，底面是边长为1的正方形， ，.（用基底法） （1）求侧棱的长； （2）若分别为，的中点，求证：． 【答案】（1）4； （2）证明: ， 所以，则 【解析】 【分析】（1）设，把作为一组基底，根据题意可得，结合计算即可得出结果； （2）根据题意可得和，结合向量的数量积计算即可得出结果. 【小问1详解】 设，则作为一组基 ， ， ， 解得，所以； 【小问2详解】 略. 19. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面，，且，分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1） 取中点，连接，， ∵为的中点，∴，， 又∵，，∴，， ∴四边形为平行四边形，∴， ∵平面，平面，∴平面 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，通过证明，即可求证； （2）求得平面法向量，由面面角的向量法公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过作,因为侧面底面，相交于， 所以底面，在过作，交于， 由条件可知两两垂直，如图建系， ∴，，， ∴，， 设平面的一个法向量，， 则，取，则， 平面的一个法向量可取， 设平面与平面所成锐二面角为，∴， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年罗山县楠杆高中期中考试考前模拟试卷（一） 高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知函数与，若存在实数使成立，则称，是函数与的一对“望点”，若，，则函数与“望点”的对数为（ ） A. 2 B. 0 C. 4 D. 1 2. 如图，在直三棱柱中，，，D为AB的中点，点E在线段上，点F在线段上，则线段EF长的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 3. 单位圆上有7个不同的点，则任意两点间距离平方和的最大值为（ ） A. 42 B. 49 C. 56 D. 64 4. 已知圆和圆，则圆与圆的位置关系为（ ） A. 外切 B. 内切 C. 相交 D. 外离 5. 第六届世界互联网大会发布了项世界互联网领先科技成果，其中有项成果均属于芯片领域，分别为华为的鲲鹏、特斯拉全自动驾驶芯片、寒武纪云端芯片、思元、赛灵思的自适应计算加速平台．现有名学生从这项世界互联网领先科技成果中分别任选项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则至少有名学生选择芯片领域的概率为（ ）． A. B. C. D. 6. 已知甲袋中有标号分别为1，2，3，4的四个小球，乙袋中有标号分别为2，3，4，5的四个小球，这些球除标号外完全相同，第一次从甲袋中取出一个小球，第二次从乙袋中取出一个小球，事件表示“第一次取出的小球标号为3”，事件表示“第二次取出的小球标号为偶数”，事件表示“两次取出的小球标号之和为7”，事件表示“两次取出的小球标号之和为偶数”，则（ ） A. 与相互独立 B. 与是互斥事件 C. 与是对立事件 D. 与相互独立 7. 已知，点在轴上，则的最小值为（ ） A. B. 5 C. D. 8. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、单选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 一个不透明的口袋中装有个完全相同的乒乓球，其中个标有数字，个标有数字，记事件表示“第一次取到标有的球”，事件表示“第二次取到标有的球”，则下列说法正确的是（ ） A. 若从口袋中摸出一个球，放回后再摸出一个球，则这个球上的数字相同的概率为 B. 若从口袋中一次性摸出两个球，则球上的数字之和为的概率为 C. 若从口袋中不放回地取球两次，每次取个，则，互斥 D. 若从口袋中不放回地取球两次，每次取个，则，相互独立 10. 在棱长为1的正方体中，分别为线段上的动点（均不与点重合），则下列说法正确的是（ ） A. 存在使得平面 B. 存在使得 C. 当平面时，三棱锥与体积之和最大值为 D. 记与平面所成的角分别为，则 11. 某展会安排了分别标有序号为“1号”、“2号”、“3号”的三辆车，等可能的随机顺序前往酒店接嘉宾.某嘉宾突发奇想，设计了两种乘车方案.方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车.记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为、，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点、，在直线上，则的最小值等于________. 13. 已知点、，过点的直线与线段有公共点，若点在直线上，则实数值范围为______. 14. 据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之.”围棋，起源于中国，至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵.现从3名男生和2名女生中任选2人参加围棋比赛，则所选2人中至少有1名男生的概率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆截得的弦长． 16. 某公司拟通过摸球抽奖的方式对员工发放生日红包.先在一个不透明的袋子中装入7个标有一定金额的球（除标注的金额不同外，其余均相同），其中标注的金额为100元、200元、300元的球分别有2个、2个、3个.参与的员工每次从袋中随机摸出1个球，记录球上标注的金额后放回袋中，连续摸次.规定：某员工摸出的球上所标注的金额之和为其所获得的生日红包的总金额. （1）当时，求甲员工所获得的生日红包总金额不低于200元的概率； （2）当时，设事件“甲员工获得的生日红包总金额不超过400元”，事件“甲员工获得的生日红包总金额不低于300元”，试判断事件，是否相互独立，并说明理由. 17. 某校组织全体学生参加“数学以我为傲”知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：[40，50），[50，60），[60，70），……，[90，100]，统计结果如图所示： （1）试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）； （2）现在按分层抽样的方法在[80，90）和[90，100]两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，求两人都在[90，100]的概率． 18. 在平行六面体中，底面是边长为1的正方形， ，.（用基底法） （1）求侧棱的长； （2）若分别为，的中点，求证：． 19. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面，，且，分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $