专题03 圆锥曲线的方程（期中真题汇编，河南专用）高二数学上学期

**基本信息** 聚焦圆锥曲线三大考点，汇编河南多地期中及联考真题，涵盖椭圆、双曲线、抛物线核心知识，融入陶寺遗址、蒙日圆等文化与数学史情境，梯度设计兼顾基础与综合应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择（含多选）|50题|椭圆方程与离心率、双曲线渐近线、抛物线焦点|结合青花瓷单叶双曲面等实际模型，考查定义与几何性质| |填空|15题|焦点三角形面积、轨迹方程、最值问题|设置数学史情境（蒙日圆），强化符号运算与推理| |解答|16题|直线与圆锥曲线位置关系、定点定值证明|综合向量与几何，如椭圆中向量数量积应用，适配期中能力要求|

专题03 圆锥曲线的方程 考点01 椭圆 考点02 双曲线 考点03 抛物线 考点01 椭圆 1．C 2．C 3．D 4．AB 5．C 6．C 7．B 8．A 9．A 10．ACD 11．B 12．BCD 13．C 14．A 15．D 16．D 17．B 18．A 19．B 20．A 21．ABD 22．A 23．C 24．B 25．ABD 26．C 27．A 28．B 29．D 30．B 31．A 32．D 33．BCD 34．【答案】 【分析】 由椭圆方程求，根据离心率的定义求结论. 【详解】 设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为， 则，，， 所以椭圆的离心率. 故答案为：. 35．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由已知条件和椭圆定义求出，再由离心率求出，根据求出，即可求得椭圆的标准方程； （2）使用点差法进行求解即可. (1) 小问详解： 由椭圆的定义知，，∴， 又∵椭圆的离心率，∴， ∴， ∴椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： ∵为椭圆内一点，∴直线与椭圆必交于，两点， 设，，当时，不合题意，故， ∵为线段的中点，∴，∴， 又∵，均在椭圆上，∴， 两式相减，得，即， ∴，∴，即， ∴直线的方程为，即． 36．【答案】（1）；     （2）①；②3.      【分析】 （1）设出椭圆半焦距，结合椭圆的定义求出的取值范围，进而求出即可. （2）① 设出直线的方程并与椭圆方程联立，借助韦达定理求出坐标，利用斜率关系求出；② 利用弦长公式求出，再表示出四边形面积，借助基本不等式求出最小值. (1) 小问详解： 设椭圆的半焦距为c，则， 而点到的距离的取值范围为， 因此 ，解得 ，， 所以的标准方程为. (2) 小问详解： ①由（1）知点，设直线的方程为，， 由 消去得， ，， 则，线段的中点， 直线的斜率，直线交直线于点， 因此直线的斜率，即，则直线与直线垂直， 所以. ②由①知， ， 直线的方程为，同理得， 因此四边形的面积， 而，当且仅当，即时取等号， 则， 所以四边形面积的最小值为3. 37．【答案】.5 【分析】 根据题意知轴，把代入椭圆C的方程，解得，由椭圆的定义可得，结合离心率，即可求解. 【详解】 因为坐标原点O是线段的中点，线段的中点在y轴上， 所以轴.由椭圆的对称性，不妨设点P在第一象限，则， 把代入椭圆C的方程，解得，所以. 由椭圆的定义，得.因为， 所以. 由题意，得，所以. 故答案为：. 38．【答案】 【分析】 根据椭圆的定义，以及的范围，转化为二次函数求值域. 【详解】 由题意知，，所以， 设，则，由，得， 故， 所以当时，取得最大值9， 当或时，取得最小值5， 故的取值范围为． 故答案为： 39．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由题意得， ，利用求得即可求解方程； （2）设，，代入椭圆方程作差求得直线的斜率，代入点斜式直线方程即可求解. (1) 小问详解： 设的焦距为，因为的长轴长是短轴长的倍，所以. 因为的焦距为4，所以，解得， 因为，所以，解得， 所以，则的方程为. (2) 小问详解： 设，，因为点，在上，所以 两方程相减得，所以. 因为是线段的中点，所以， 即直线的斜率为，所以直线的方程为，即. 40．【答案】 【分析】 根据条件，求出椭圆方程，设所求切线方程为，联立直线与椭圆方程，利用直线与椭圆的位置关系求出，即可求解. 【详解】 因为椭圆的焦点在轴上，设椭圆方程为， 又长轴长是短轴长的2倍，点在椭圆上， 所以 ，解得， 所以椭圆的方程为， 由题知切线斜率存在，设切线方程为， 由 ，消得到， 所以，整理得到， 解得，故所求的直线方程为，即， 故答案为：. 41．【答案】①     ② 【分析】 根据“曼哈顿距离”列方程，结合绝对值的知识求得点的轨迹所围成图形的面积.根据已知条件列不等式，求得的范围，进而求得离心率的取值范围. 【详解】 设，则， 若，则；若，则； 若，则；若，则， 由此画出点的轨迹如下图所示（正方形）， 由图可知点的轨迹所围成图形的面积为. 椭圆，对应，， 要使椭圆上有且仅有8个点满足， 根据对称性，由方程组 有两个解，且， 所以，整理得， ， 解得， 所以. 故答案为： 【点睛】 解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 42．【答案】 【分析】 根据给定条件，利用建立不等式，进而求出离心率的范围. 【详解】 依题意，，而，则，又， 因此，解得，即， 所以的离心率的取值范围是. 故答案为： 43．【答案】（1）且，曲线是不含长轴端点的椭圆     （2）或      【分析】 （1）首先设，然后直接根据坐标表示条件，化简整理即可得到轨迹方程； （2）首先根据已知条件求解及的值，然后分别求解直线及的方程，最后根据联立方程求解点的坐标. (1) 小问详解： 设，又， 则由题意得． 化简得且， 所以曲线的方程为且，曲线是不含长轴端点的椭圆． (2) 小问详解： 由题意，得 解得 或 若 则直线的方程为① ，直线的方程为② ． 由① ② 可得 即． 若 则直线的方程为③ ，直线的方程为④ ． 由③ ④ 可得 即． 综上，点的坐标为或． 44．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据离心率和焦点坐标即可算出a、b的值，也即求出椭圆的方程； （2）可知定点，再根据P求出过抛物线C的切线方程，结合点到直线的距离以及椭圆的弦长公式即可求得的面积． (1) 小问详解： 由抛物线的方程，得焦点，所以在椭圆中，， 因为椭圆的离心率，所以，所以， 所以椭圆的方程为． (2) 小问详解： 由直线的方程，得直线恒过定点， 由题意，得点在抛物线上，设切线的方程为， 由 ，消去，整理得， 因为直线与抛物线相切，所以，即，解得， 所以直线的方程为， 由 ，消去，整理得， ，所以，， 因为点到直线的距离， ， 所以的面积． 45．【答案】 【分析】 由题意设出点的坐标，根据两点距离公式，整理等式，结合椭圆方程，求得参数，易得答案. 【详解】 由题意知，， 设，则，， 所以，整理得，对照椭圆方程可知， 所以，故椭圆的焦距为. 故答案为： 46．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由条件得到 ，求解即可； （2）直线方程与椭圆方程联立，由弦长公式即可求解. (1) 小问详解： 设C的半焦距为. 由题意得 得 C的方程为. (2) 小问详解： 设，. 联立，得 化简得， ，. . 47．【答案】（1）     （2）证明：由（1）知，． 设直线l的方程为，，， 联立l与C的方程，得 消去x并整理，得， ∴，解得， ∴，， ∴， ∴， 即为定值．     （3）      【分析】 （1）由椭圆几何性质可求得的值，进而求得解析式； （2）设直线l的方程为，，，联立方程组，利用韦达定理计算可求得为定值； （3）过点D，M，E作x轴的垂线，垂足分别为P，N，Q，利用计算，可求得的取值范围. (1) 小问详解： 设C的半焦距为c（）． ∵C的离心率为，即，∴， ∴． 设O为坐标原点，∵， ∴，∴， ∴C的方程为． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 过点D，M，E作x轴的垂线，垂足分别为P，N，Q， 则，，，， ∴，． 设直线的斜率为k，由（2）知，的斜率为， ∴直线的方程为，① 直线的方程为．② ① ② 联立，解得，∴点M的横坐标为． ∵， ∴ ． 设，则，易知在上单调递增， ∴， ∴的取值范围为．    【点睛】 48．【答案】（1），     （2）证明：由题意知，直线AB的斜率存在. 当直线AB的斜率为0时，直线AB的方程为，点A，B是长轴的端点. 设，， 则，，所以. 当直线AB的斜率不为0时， 设直线AB的方程为，，. 把直线AB的方程代入椭圆C的方程，化简得. 由，得. 所以. 所以 . 把，代入得 . 【分析】 （1）由短轴长求得，将点M的坐标代入椭圆方程求得，即可求出椭圆方程，然后求出，即可求出离心率； （2）易知直线AB的斜率存在，当直线AB的斜率为0时，，，求得.当直线AB的斜率不为0时，设直线AB的方程为，与椭圆方程联立，韦达定理，代入两点式斜率公式化简得，即可证明. (1) 小问详解： 由题意得，所以，所以椭圆C的方程为. 因为椭圆C过点，所以，解得， 所以椭圆C的方程为. 因为，，所以， 所以，，所以离心率. (2) 小问详解： 略 49．【答案】（1）     （2）或     （3）2      【分析】 （1）椭圆方程转化成标准方程，由离心率的定义即可求解； （2）由为菱形，得到，再结合及，即可求解； （3）设直线的方程分别为：，由圆心到两直线的距离为2，得到，进而得到，由其为定值即可求. (1) 小问详解： 由椭圆得：， 所以，即椭圆的长半轴长为，短半轴长为， 所以； (2) 小问详解：    当时，椭圆， 由（1），所以， 由圆知：，半径， 因为点在椭圆上， 所以① ， 又因为直线分别与圆相切于两点， 所以，且， 因为四边形为菱形，所以四边形为正方形， 所以， 所以② ， 联立① ② 解得： 或 ， 所以圆的方程为：或； (3) 小问详解： 因为直线都与圆相切，且直线的斜率乘积为定值， 所以直线斜率都存在， 设直线的方程分别为：， 因为点到直线的距离都为2， 所以， 两边平方可得， 所以为方程的两根， 所以， 因为点在椭圆上，所以， 所以， 因为直线的斜率乘积为定值，设定值为， 则：对恒成立，即对恒成立， 所以 即 ， 所以的值为2. 50．【答案】（1）     （2）①；②恒过点．      【分析】 （1）根据焦距和求出和，利用求出，得到椭圆方程； （2）① 设，则，计算出； ② 设，若直线的斜率为0，得到，与不在轴上矛盾，不合题意，若直线的斜率不为0，设，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由① 知，又，所以，列出方程，舍去不合要求的根，求出，所以直线恒过点． (1) 小问详解： 由，得，解得， 设椭圆的焦距为，由焦距为4，得，解得， 又，所以椭圆的标准方程为； (2) 小问详解： ① 由题意，得， 设，由在椭圆上，得，即， 所以， 即直线的斜率之积为． ② 设， 若直线的斜率为0，则关于轴对称，所以， 又直线的斜率是直线的斜率的3倍，所以，即， 由不在轴上，得，与矛盾， 所以直线的斜率不为0． 设直线的方程为， 由 ，得， 所以， 且， 由① 知，又，所以， 所以，即， 化简，得， 将代入上式并化简，得 即，解得或， 当时，与矛盾，舍去， 当时，满足 所以直线恒过点． 【点睛】 处理定点问题的思路： （1）确定题目中的核心变量（此处设为）， （2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式， （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到， ①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点； ②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数. 51．【答案】（1）     （2）（i）设直线，，，， 联立 ，消去，整理得， ，得， ，， 所以直线的斜率，直线的斜率， ， 又 ， 所以，即.    （ii）.      【分析】 （1）根据题意建立的方程组，求出，得解； （2）（i）设直线，与椭圆联立方程组得，通过验证证明； （ii）由，得，利用根与系数关系化简得，令，利用基本不等式求解. (1) 小问详解： 由题，可得 ，解得，， 所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： （i）略 （ii）由， 由于，则， ， 令，则， ， 当且仅当，即，即时，等号成立， 所以面积的最大值为. 52．【答案】（1）     （2）证明：由（1）得，若直线与直线的斜率一个为0，另一个不存在时， ，（或，），此时. 若直线与直线的斜率都存在时，如图： AI 设直线的方程为，，， 由 ，得， 所以，. 所以 因为，将换成，得， 所以. 综上所述，的值为定值.     （3）证明：由（2）得，， 因为是的中点，所以， 将换成，得，即 若直线的斜率存在，则直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 所以直线过定点 若直线的斜率不存在，则，解得， 此时直线的方程为，直线也过定点. 综上，直线过定点.      【分析】 （1）根据条件列式求，再根据的关系求，可得椭圆的标准方程. （2）分直线有无斜率，利用弦长公式表示，化简即可. （3）利用直线的斜率表示出点的坐标，进而得到直线的方程，化成点斜式，可得定点坐标. (1) 小问详解： 设椭圆的焦距为，则由题意得 ，解得 . 所以， 所以的方程为. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 53．【答案】 【分析】 根据椭圆的基本性质，和椭圆离心率的定义，利用向量共线，求出点的坐标，进而求出离心率. 【详解】 设椭圆的焦距为，设，所以\vec {AF}=\left(c,b\right),\vec {FB}=\left(m-c,n\right)，因为\vec {AF}=2\vec {FB}，所以 ，即 ，即， 因为点在椭圆上，所以，所以，所以的离心率为. 故答案为：. 54．【答案】 【分析】 由直线斜率公式结合点在曲线上可得，从而求得，进而结合正切的定义即可求解． 【详解】 由题意可知，， 设，可得直线的斜率分别为，， 因为点在双曲线上，则，整理得，所以， 设点，可得直线，的斜率，， 因为点在椭圆上，则，整理得， 所以，即， 则，所以直线与关于轴对称， 又因为椭圆也关于轴对称，且，过焦点，则轴， 又，则， 所以， 整理得，即，解得，或（舍去）， 所以椭圆的离心率为． 故答案为：． 【点睛】 方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法： 定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率； 齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解； 特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率． 55．【答案】（1）     （2）（ⅰ）或； （ⅱ）证明：由题意得直线l的斜率存在且不为零，设直线l的方程：，， 联立方程组 ， 消去x，整理得：， ，得， ，因为线段CD的中点为， 所以，化简得，因为，所以， 因为，所以，即得，解得或， 综上得出.      【分析】 （1）假设点，然后根据，可知 ，结合圆的方程可得结果； （2）（ⅰ）先设直线再联立方程组结合韦达定理应用弦长公式得出长再应用点到直线距离得出面积化简后，换元应用基本不等式求解；（ⅱ）先设直线再联立方程组结合韦达定理得出，进而得出，再结合判别式得，换元解不等式即可证明. (1) 小问详解： 设，则 由，所以 ， 又，所以， 故动点P的轨迹的方程为. (2) 小问详解： （ⅰ）由题意得直线l的斜率存在且不为零，设直线l的方程：，， 联立方程组 ， 消去x，整理得：， ，得， ，， 所以弦长 ， 原点到直线l的距离， 所以， 令，所以， 所以，当且仅当时等号成立，即，满足条件，解得， 所以直线l的方程为：或； （ⅱ）略 【点睛】 关键点点睛：第二问解题的关键是联立椭圆方程及点到直线距离得出面积后使用换元法结合基本不等式即可得出最大值并得出直线方程. 56．【答案】（1）     （2）存在，且      【分析】 （1）分析可知，则的轨迹是以、为焦点的椭圆，求出、的值，可得出的值，由此可得出点的轨迹方程； （2）解法一：设点、，设线段的中点为，利用点差法得出，分析可知，可得出，进而可求出点的坐标，注意到点在椭圆内，再将点的坐标代入直线的方程，求出实数的值即可； 解法二：设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，由求出的取值范围，结合韦达定理求出线段的中点的坐标，分析可知，可得出，即可求出实数的值，即可得出结论. (1) 小问详解： 如下图所示： 圆的半径为，圆的半径为， 因为圆内切于圆，故，即， 所以点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且 ，则，，， 因此点的轨迹方程为. (2) 小问详解： 解法一：设点、，设线段的中点为， 则，， 由 得， 即，又因为，所以① ， 因为，为的中点，所以，故② ， 联立① ② 可得，，即点， 因为，故点在椭圆内部，此时直线与椭圆有两个交点，合乎题意， 将点的坐标代入直线的方程得，解得， 综上所述，存在实数合乎题意； 解法二：设点、， 联立 可得， ，解得， 由韦达定理可得，， 所以，故线段的中点为， 因为，为线段的中点，所以， 即，解得，合乎题意， 综上所述，存在实数合乎题意. 57．【答案】 【分析】 通过相似椭圆的定义与椭圆方程求出：，再设出直线的方程，与椭圆联立，根据相切得到，同理得到，可知，是方程的两根，根据韦达定理即可求出k_{1}k_{2}= & -\frac{1}{2}. 【详解】 由题意可知，，解得，， 所以：，设，则， 则，设直线的方程为， 即，代入， 整理得， 则， 整理得， 设直线的斜率为，同理得， 所以，是方程的两根， 所以. 故答案为：& -\frac{1}{2}. 58．【答案】（1）；     （2）（i）由（1）知，直线的斜率不为0， 设直线的方程为，点，的坐标分别为，， 联立方程 消去后整理得， 所以， 所以， ． 又， 所以， 即，整理得，解得或， 由直线不过点，知不符合题意，所以，满足， 所以直线的方程为，即直线过定点． （ii）.      【分析】 （1）根据求得，再代入点坐标即可得到椭圆方程； （2）（i）设直线的方程为，再与椭圆方程联立得到韦达定理式，再将垂直关系转化为向量数量积为0，整体代入韦达定理式化简即可； （ii）代入韦达定理式计算出面积表达式，再利用对勾函数单调性即可求出最值. (1) 小问详解： 设椭圆的焦距为，则． 由，知，所以， 所以的方程为， 代入点的坐标，得，解得，所以， 所以的方程为． (2) 小问详解： （i）略 （ii）的面积为 ， 由（i）知，代人上式可得． 令，则． 根据对勾函数性质知在区间上单调递减，在区间上单调递增，且， 所以当，即时，的面积最大， 最大值为． 59．【答案】（1）     （2）（ⅰ），（ⅱ）      【分析】 （1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程. （2）（ⅰ）设，，则，因为，，三点共线，所以，设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，化简写出根与系数关系，进而证得直线过定点. （ⅱ）设直线的方程为，，，直线与椭圆方程联立求出根与系数的关系，由，令（），则，进行求解． (1) 小问详解： 由题意可知， 解得，， 故椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： （ⅰ）设，，则， 因为，，三点共线，所以，显然直线的斜率不为0， 设直线的方程为，由 得， 则， ，，又， 所以，整理得， 所以，化简得， 根据题意可知，，所以， 故直线恒过定点. （ⅱ）由题意可知，直线的斜率不为0，定点为， 设直线的方程为，，， 将代入，整理得， 则，，， 所以 ， 令（），则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，此时，则， 故的面积的最大值为. 60．【答案】（1）     （2）① 依题意，直线MN的斜率不为零，设直线MN的方程为，，， 由 消去x整理得， 则， ，， 而，，则，， 因此 ， 解得， 所以直线MN：恒过定点． ②      【分析】 （1）根据椭圆的对称性，即可结合面积公式求解； （2）①联立直线与椭圆的方程，得韦达定理，进而根据斜率公式，代入化简即可求解；②求解两直线的方程，联立可得，，，，继而根据两点距离，代入韦达定理化简即可求解. (1) 小问详解： 根据椭圆的对称性知，仅当M，N分别为椭圆的上、下顶点时，四边形AMBN为菱形， 由，，得，， 所以椭圆C的方程为． (2) 小问详解： ① 略 ②解：由（ⅰ）知，，，得， 直线AM的方程为，直线BN的方程为， 则， 即，解得， 即可得点有，， 同理可得点有， ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 考点02 双曲线 1．C 2．AB 3．B 4．C 5．B 6．D 7．B 8．B 9．D 10．BC 11．B 12．B 13．ABD 14．BC 15．C 16．A 17．ACD 18．A 19．A 20．C 21．A 22．C 23．B 24．ABC 25．ABD 26．ABD 27．ACD 28．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由离心率，再结合实轴长求解； （2）设的方程为，与双曲线的方程联立，再利用弦长公式求解. (1) 小问详解： 由离心率，又，则， 又实轴长，所以，所以， 故双曲线的标准方程为； (2) 小问详解： ∵直线的倾斜角为，故其斜率为1，又过点， ∴的方程为，设， 由 ，消去，得， ∴， ∴． 29．【答案】 【分析】 记实轴长为，虚轴长为，焦距为，由及求解即可. 【详解】 记实轴长为，虚轴长为，焦距为. 则，，所以，，. 所以该双曲线的离心率. 故答案为：. 30．【答案】 【分析】 由焦点在轴上，得到 ，求解即可. 【详解】 由题意得 ， 解得. 故答案为： 31．【答案】（1）     （2）证明：依题意，设直线l的方程为，，． 联立直线与双曲线的方程，得 消去x并整理，得， ∴，且，解得，且． ∴，． 由题意知，， ∴直线的方程为． 令，得 ， ∴直线恒过点． 【分析】 （1）利用双曲线的性质求得，利用离心率求得，进而求得，可求解析式； （2）设直线l的方程为，，，联立方程组，结合韦达定理得，，求得直线的方程为，令，可求得定点坐标. (1) 小问详解： 设E的半焦距为c（）． 由题意知P在E的右支上，，∴， ∵，∴， ∴， ∴E的方程为． (2) 小问详解： 略 32．【答案】（1）     （2）证明：如图， 因为直线l与圆相切， 所以圆心到直线l的距离. 由（1）知，双曲线C的渐近线的斜率为. 因为直线l与双曲线C的左、右两支相交，所以直线l的斜率k存在，且. 设直线l的方程为，则，所以. 由 消去y，整理得. ， 设，，则，，所以. 因为，， 所以 . 把，代入，得 ， 所以，所以.      【分析】 （1）由焦距及离心率求出得解； （2）设直线方程，利用圆与直线相切得出关系，再由直线与双曲线方程联立，利用根与系数的关系，数量积的运算证明即可. (1) 小问详解： 由题意，得，，解得，. 因为， 所以双曲线C的标准方程为. (2) 小问详解： 略 33．【答案】 【分析】 利用双曲线的定义得到，由得到，由得到，设，求出，由及二倍角的余弦公式得到，由即得到， 在中，利用余弦定理建立的等式计算得解. 【详解】 点在的右支上，， ，， ，， 设，，， ，， ， ，，， ，，， 在中，， 即，整理得，则，又，故. 故答案为： 34．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）根据题意建立的方程组，求出进而即得； （2）设，与双曲线方程联立得，，结合\vec {OM}\cdot \vec {ON}=0求得的值，进而即得直线方程. (1) 小问详解： 由题，可得 ，解得 ， 所以双曲线的方程为. (2) 小问详解： 由题，直线的斜率一定存在，设，，， 联立 ，消去，整理得， 则，即且， ，， 若以为直径的圆过坐标原点，则\vec {OM}\cdot \vec {ON}=0， ， 整理得， ，解得，满足题意， 所以直线的方程为或. 35．【答案】（1）     （2） 设，， 因为点在双曲线上，所以，即， 所以， 所以为定值.      【分析】 （1）根据离心率公式和将点代入方程，求解即可； （2）设，，代入方程，再利用斜率公式化简得证. (1) 小问详解： 由题意可得 ，解得 ， 所以的方程为； (2) 小问详解： 略 36．【答案】 【分析】 利用点差法求出直线的斜率，得到直线方程. 【详解】 设，， 则，，所以， 即. 因为\vec {AB}=2\vec {AP}，所以P为线段AB的中点，所以，， 所以. 因为P为线段AB的中点，所以直线l不能垂直于x轴， 所以，即直线l的斜率为， 所以直线l的方程为，即． 联立 可得，， 该方程有两个不等的实数解，故直线与双曲线有两个交点，满足条件， 故答案为：. 37．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）依题意求出、，即可求出，从而求出方程； （2）设，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，再根据数量积的坐标表示得到方程，代入，求出的值. (1) 小问详解： 因为双曲线：（，）的离心率是，焦距为6， 所以，，其中，解得，， 所以. 所以的方程为. (2) 小问详解： 如图， 设，， 联立方程 消去得， 因为直线：与相交于，两点， 所以 ，即且， 由韦达定理得， 又\vec {OA}=\left(x_{1},y_{1}\right)=\left(x_{1},kx_{1}+1\right)，\vec {OB}=\left(x_{2},y_{2}\right)=\left(x_{2},kx_{2}+1\right)， 所以\vec {OA}\cdot \vec {OB}=x_{1}x_{2}+\left(kx_{1}+1\right)\cdot \left(kx_{2}+1\right)=-\frac{25}{3}， 所以， 将韦达定理代入上式，得， 即，解得，满足且. 38．【答案】 【分析】 先列出直线斜率的表达式，然后联立直线与双曲线的方程，令判别式为0，即可求出的值，进而求出结果. 【详解】 因为双曲线的方程为，所以． 设，则，直线的斜率，直线的斜率， 所以． 因为点在双曲线上，所以满足， 化简得，所以． 联立直线与双曲线的方程，得 消去，整理得． 由题意得 解得，所以． 故答案为：. 39．【答案】（1）；     （2）①；②      【分析】 （1）根据焦点到渐近线距离求出，再求出即可得解. （2）（ⅰ）直线与双曲线方程联立消元后由根与系数关系及直线与左支相交可得； （ⅱ）根据弦长公式及点到直线的距离分别求出三角形面积，根据面积表达式换元后利用不等式性质求出范围. (1) 小问详解： 设双曲线的焦距为，且， 则到直线的距离为，解得，， 所以双曲线的方程为． (2) 小问详解： （ⅰ）设，由 ，消去得， 则，， 由直线与双曲线左支交于两点，得，解得， 所以的取值范围为. （ⅱ）由（ⅰ）知，， 原点到直线的距离，设， 由 ，消去得，则， 则， 于是， 令，则， 所以的取值范围为． 40．【答案】 【分析】 首先画出图形，根据题意先确定是等腰三角形，然后根据双曲线的定义可求得，然后根据离心率求得双曲线的方程，从而得到渐近线方程，然后根据点到直线的距离公式即可求出结果. 【详解】 设半焦距为，延长交于点， 由于是的平分线，， 所以是等腰三角形，所以，且是的中点， 根据双曲线的定义可知，即. 由于是的中点，所以是的中位线， 所以，又双曲线的离心率为， 所以，所以双曲线的方程为. 所以，双曲线的渐近线方程为. 设，点到两渐近线的距离为， 则. 又点在双曲线的右支上，所以，即. 则点到两渐近线的距离为. 故答案为：. 41．【答案】 【分析】 根据题意，双曲线右焦点，由，可得，又是等腰直角三角形，即，进而建立齐次方程，化简整理，即可求解. 【详解】 由题意，点为双曲线的右焦点，所以， 将代入双曲线的方程，得， 又，所以， 又是等腰直角三角形，所以，所以，即， 又，即，所以，化简得， 解得或（舍），即双曲线C的离心率为. 故答案为： 42．【答案】（1）     （2）（i）（ii）或      【分析】 （1）根据双曲线的渐近线方程，求出双曲线方程； （2）（i）先设直线的方程，联立双曲线方程，消元化简，结合韦达定理和弦长公式计算得到弦长. （ii）设直线的方程，联立双曲线方程，消元化简，结合韦达定理和斜率公式，根据题中条件列出等式解得参数，进而得到直线方程. (1) 小问详解： 已知双曲线：（）的渐近线方程为. 可得，解得 (2) 小问详解： 由（1）知，双曲线：，根据，可得， 所以右焦点，设， （ⅰ）若直线的斜率为2，则直线的方程为，即， 联立 ，消得，化简得， 由韦达定理得， 根据弦长公式； （ⅱ）由题可知直线的斜率不为，设直线的方程为，联立 ， 消得，化简得， 根据韦达定理得，， 所以 ， 因为直线，的斜率之积为，所以，可得， 化简得，解得或， 所以直线的方程为或 43．【答案】（1）；     （2） （2）① 由题意可知，，，， 因为， 又因为，即 又因为,, 在中，由余弦定理可得， 即, 由题意可得，所以上式不能取等号， 所以， 所以， 又因为三角形与三角形的高相等，且， 所以； ②在定直线上.      【分析】 （1）根据离心率为，过点，求解即可； （2）① 在三角形中，由余弦定理及基本不等式可得，再由，三角形与三角形的高相等，可得，即可得证； ② 分直线与轴不垂直和直线与轴垂直两种情况分别求解即可. (1) 小问详解： 因为双曲线的离心率为， 所以， 所以， 所以双曲线方程为， 又因为双曲线过点， 所以， 解得， 所以双曲线方程为 (2) 小问详解： ① 略 ② 当直线与轴不垂直时，设的方程为， 由 ，得， 又因为与右支交于，两点， 所以 ， 所以； 设 则， 所以直线的方程为， 直线的方程为， 由， 得， 即， 整理得 ； 当直线与轴垂直时，的方程为， 由 ，解得 或 ， 不妨设 则直线的方程为； 直线的方程为， 由, 得， 所以， 即， 解得， 综上，点M在直线上. 44．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）根据焦点在轴上的双曲线的渐近线方程以及顶点坐标和点到直线的距离公式列出方程组，解方程组后代入双曲线标准方程即可； （2）设出直线，联立直线和双曲线的方程，根据弦长公式得到三角形的底，再根据点到直线的距离公式得到三角形的高，列出关于面积的方程，求解后代入直线即可. (1) 小问详解： 因为一条渐近线方程为，其顶点到渐近线的距离为2. 所以 ，解得 ， 所以的方程为. (2) 小问详解： 由题知，且直线的斜率不为， 设直线的方程为，，， 联立方程 ，消得， ， 所以，， 设到的距离为，则， ， 所以，解得， 所以直线的方程为或. 45．【答案】（1）     （2）（i）设l：，点，，. 由 可得， 因为l与C在第一象限和第四象限各有一个交点，所以， 且，， 直线DN：， 令，得， 又， 所以直线DN恒过点. （ii）15      【分析】 （1）由渐近线方程与右焦点建立方程，结合双曲线标准方程，可得答案. （2）（i）设出点的坐标以及直线方程，联立方程组，写出韦达定理，由题意整理代数式，结合直线过定点，可得答案；（ii）由题意作图，利用三角形面积公式，整理其函数解析式，根据函数单调性，可得答案. (1) 小问详解： 由题意知 解得 所以C的方程为. (2) 小问详解： （i）略 （ii）如图，设， 则. 设，则，在上单调递增， 所以当时，S取最小值，最小值为15. 46．【答案】（1）；     （2）或；     （3）.      【分析】 （1）代入两点坐标得到方程组，解出即可； （2）根据双曲线定义求出，再设直线，联立双曲线方程得到韦达定理式，再利用弦长公式得到方程，解出即可； （3）写出直线的方程，将其与双曲线方程联立，求出点坐标，写出直线方程，化简得到定点坐标. (1) 小问详解： 由双曲线经过点两点， 得 ，解得 ， 故的方程为． (2) 小问详解： 因为,均在的右支上，且的周长为， 所以． 由双曲线的定义，知，所以． 由（1）知，显然直线的斜率不为0， 则设直线，代入整理得． 由题知， 设，则． 因为,均在的右支上，所以，所以， 所以 ，解得， 所以直线的方程为或． (3) 小问详解： 由题意得直线的方程为． 代入，得． 设，则，所以， 则，所以． 同理得． 当时，， 所以， 所以直线的方程为，即． 所以直线过定点． 当时，的方程为，易求． 所以过定点． 综上，直线过定点． 47．【答案】 【分析】 采用设点法，根据向量共线比例得 ，再将其代入双曲线方得到的表示，再根据得，联立得到的另一种表示，从而得到关于的齐次方程，转化为离心率方程，解出即可. 【详解】 如图所示，设， 则，． 因为，所以 ， 因为，在双曲线上，所以 ， 又因为，所以是以为直径的圆与的交点， 所以．又， 联立得 ， 所以，整理得， 解得或（，舍去），所以． 故答案为： 48．【答案】 【分析】 依题设点，，利用\vec {F_{2}N}=\frac{3}{2}\vec {MF_{2}}，代入坐标计算可得 ，再由\vec {MF_{1}}\cdot \vec {NF}_{1}=0，化简后将结论代入可得，利用点是E的右支上的一点，建立关于的方程，求解即得离心率. 【详解】 如图： 设点，则，，因 ，则\vec {F_{2}N}=\left(-c,n\right),\vec {MF_{2}}=\left(c-s,-t\right)， 由\vec {F_{2}N}=\frac{3}{2}\vec {MF_{2}}可得 ，解得 （*）， 又，可得\vec {MF_{1}}\cdot \vec {NF}_{1}=\left(-c-s,-t\right)\cdot \left(-c,-n\right)=c^{2}+cs+nt=0， 将（*）代入整理得，即. 又点是E的右支上的一点，故，将以上结论代入可得， 因代入可得，化简得， 两边同除以，可得，解得或，因，故，则. 故答案为： 考点03 抛物线 1．B 2．B 3．C 4．B 5．D 6．AB 7．C 8．D 9．B 10．C 11．ABD 12．B 13．ABD 14．C 15．C 16．A 17．AC 18．ACD 19．ACD 20．ACD 21．【答案】 【分析】 由抛物线的性质即可得出答案. 【详解】 由抛物线方程知，抛物线焦点在y轴上， 由，得，所以焦点坐标为． 故答案为：. 22．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由题意写出点横坐标代入抛物线方程，求出三角形高，利用三角形求出即可得解； （2）分直线斜率是否存在讨论，当斜率不存在时不符合题意，当斜率存在时，利用点差法求出斜率即可得解. (1) 小问详解： 由题意可知，点F的坐标为， 因为，所以点P的横坐标为，不妨设， 将点P坐标代入得， 所以的面积，解得， 所以C的方程是. (2) 小问详解： 当直线AB的斜率不存在时，线段AB的中点在x轴上，点(1,1)显然不在x轴上，不合题意. 当直线AB的斜率存在时，不妨设直线AB的斜率为k ，， 则 ，两式相减得， 因为点(1,1)是线段AB的中点，所以， 所以 所以直线的方程为，即. 23．【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）由抛物线的几何性质求解； （2）设所求双曲线的方程为进行求解． 【详解】 （1）由题意知在轴的正半轴上，故设所求抛物线方程为， 所以，准线方程为， 因为关于直线的对称点为， 所以， 解得，故所求抛物线的标准方程为. （2）设所求双曲线的方程为， 将点代入上述方程，得， 所以，所以， 故所求双曲线的方程为. 24．【答案】 【分析】 记的焦点为，利用抛物线的定义将问题转化为点到直线的距离. 【详解】 记的焦点为，则， 由抛物线的定义知点到的距离等于点到的距离， 故点到的距离与到直线的距离之和即点到的距离与到直线的距离之和 其最小值为点到直线的距离. 故答案为：. 25．【答案】（1）；     （2）或.      【分析】 （1）将点代入抛物线方程计算求出，求出焦点坐标即可； （2）设直线的方程为点斜式，联立直线和抛物线，消去，整理得到关于的一元二次方程，利用计算得解. (1) 小问详解： 抛物线：（）经过点， ，，，抛物线的焦点的坐标为； (2) 小问详解： 设直线经过点，且斜率为，设直线的方程为， 联立 ，消去，整理得到， 与有2个交点，， ，或. 实数的取值范围为或. 26．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，得关于的一元二次方程，根据韦达定理，.由抛物线的定义，将，转化为，从而得到. （2）由\vec {AD}=2\vec {DB}，得，结合（1）求得点的坐标，根据两点间距离公式求得. (1) 小问详解： 设直线的方程为． 由 消去，整理得． 因为直线与抛物线有两个交点，所以，解得． ． 因为，所以，解得， 所以直线的方程为． (2) 小问详解： 设直线的方程为，则. 因为\vec {AD}=2\vec {DB}，所以，所以． 因为由（1）知，所以． 由 ，解得 ，所以，即． 所以． 27．【答案】6 【分析】 由抛物线定义结合相似三角形列式求解. 【详解】 如图，设直线与抛物线准线交于点，抛物线准线与轴交于点， 分别过点作准线的垂线，垂足分别为， 由抛物线定义可得，由已知,，设， 由，得，即，解得， 又，得，即，解得，即. 故答案为：6. 28．【答案】（1），或     （2） 因为，所以C的方程为， 设，，直线MN的方程为， 与联立，得， 则，， 因为直线OM，ON的斜率之积为2024， 所以， 所以． 直线MN的方程为，故直线MN过定点．      【分析】 （1）设，根据线段PF的中点坐标得到，，然后代入到抛物线方程中，解方程得到即可得到抛物线的方程； （2）设直线的方程，然后与抛物线方程联立，利用直线OM，ON的斜率之积为2024和韦达定理列方程得到，即可得到直线MN过定点. (1) 小问详解： 解：由题意得，设， 因为线段PF的中点为， 所以，，所以，， 代入C的方程得， 解得，或， 所以C的方程为，或． (2) 小问详解： 略 29．【答案】 【分析】 根据抛物线的定义，结合图象，转化，利用数形结合，求最小值，即可求点的坐标. 【详解】 分别过M，A作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为，，则，当且仅当A，M，三点共线时，等号成立，所以的最小值为，此时点M的坐标为． 故答案为： 30．【答案】（1）     （2）     （3）存在      【分析】 （1）由 求解； （2）利用两点间距离公式将距离问题转化为函数求最值即可； （3）由题意得直线的斜率不为0，故设的方程为，将直线方程分别与椭圆方程和抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式求解即可. (1) 小问详解： 由题意得 解得 ，所以的方程为. (2) 小问详解： 设，由题意知， 所以， 因为，所以当时，， 所以\left| MN| _{\max }=| ME| _{\max }+\sqrt{3}=6+\sqrt{3}. (3) 小问详解： 由题意得直线的斜率不为0， 故设的方程为 联立直线与的方程，得 消去并整理，得， 所以. 所以. 联立直线与抛物线的方程， 得 消去并整理， 得， 所以， 所以， 所以， 若为定值，则，即， 所以存在，使得为定值. 31．【答案】 【分析】 设抛物线上异于的点，其中，根据条件可得，结合两直线垂直计算得到点的横坐标，分类讨论，进而计算得到\vec {OF}\cdot \vec {OM}的取值范围. 【详解】 设抛物线上异于的点，其中， 由\vec {OA}\cdot \vec {OB}=0，得， 直线的斜率，其方程， 化简得， 焦点，直线垂直于，故直线的斜率为， 方程为， 联立 ，解得， 则\vec {OF}\cdot \vec {OM}=\frac{\left(t_{1}+t_{2}\right)^{2}+16}{4+\left(t_{1}+t_{2}\right)^{2}}=1+\frac{12}{\left(t_{1}+t_{2}\right)^{2}+4} 当，，故，从而 因此，当时，.当时，.\vec {OF}\cdot \vec {OM}\in \left(1,4\right). 当，此时垂直与轴，点在轴上且是的中点，由\vec {OA}\cdot \vec {OB}=0， 得，解得故，所以的横坐标为，\vec {OF}\cdot \vec {OM}=4 综上，\vec {OF}\cdot \vec {OM}的取值范围为， 故答案为： 32．【答案】（1）证明： 由题意可知，直线方程为， 如图所示，设点，则， 所以， 因为，所以， 所以.     （2）证明： 如图所示，作中点，连接， 由题意可知，直线斜率一定存在，设直线方程为，设， 可得 ，消去得，可知恒成立， 可得. 则， 则， 可知点， 因为. 所以，则， 可得，所以以为直径的圆过坐标原点.     （3）2      (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 如图所示，直线方程为，直线方程为， 因为直线方程为，所以， 则， 因为 所以， 所以当时，取最小值. 33．【答案】（1），     （2）（i）； （ii）由（i）可得， . 所以， 即为定值.      【分析】 （1）联立方程，根据直线与曲线相切，可知方程根的个数，利用一元二次方程根的判别式，可得参数值，从而可得答案. （2）（i）由题意设出直线方程，联立方程，再根据一元二次方程根的判别式，可得答案；（ii）根据一元二次方程，根与系数关系，整理算式，建立方程，可得答案. (1) 小问详解： 由 可得（*）， 由题意知，解得（舍去）， 所以C的方程为. 将代入（*）式可得，解得， 将代入C的方程可得：，即. (2) 小问详解： （i）易知L的斜率存在且不为0，设， 与C的方程联立，得. 由及点P不在L上，得或或. 设，，则，. 当轴时，，即，满足题意， 所以L的方程为. （ii）略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆锥曲线的方程 3大高频考点概览 考点01 椭圆 考点02 双曲线 考点03 抛物线 考点01 椭圆 1．（25-26学年高二上·河南开封五校·期中）方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 k 的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据给定的椭圆方程及焦点位置列不等式求解. 【详解】 由方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，得，解得， 所以k 的取值范围为. 故选：C 2．（25-26学年高二上·河南焦作·期中）椭圆的焦距为（       ） A.  B. 6 C.  D. 2 【答案】C 【分析】 由椭圆方程确定，即可求解. 【详解】 由题意，可得，，则，即， 所以椭圆的焦距为. 故选：C. 3．（25-26学年高二上·河南驻马店·期中）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，点在上，则（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】D 【分析】 根据给定条件，利用椭圆的定义求得答案. 【详解】 椭圆：的长半轴长，分别是椭圆左、右焦点，点在上， 则由椭圆的定义，得. 故选：D 4．（2026·河南九师联盟·质量检测）（多选）已知椭圆的焦距为2，则的值可能是（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】AB 【分析】 根据给定条件，按焦点位置分类列式求解. 【详解】 椭圆的焦距为2，当焦点在轴上时，，解得； 当焦点在轴上时，，解得，所以或. 故选：AB 5．（25-26学年高二上·河南多校·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为为上顶点，则（       ） A. 的长轴长为5 B. 的离心率等于 C.  D. 的周长为14 【答案】C 【分析】 根据椭圆方程得，进而求出长轴长、离心率判断AB；根据勾股定理求出判断C；根据椭圆定义求得的周长判断D. 【详解】 由题意知，所以， 所以的长轴长为10，离心率为，， 周长为，故ABD错误，C正确. 故选：C 6．（25-26学年高二上·河南青桐鸣大联·期中）椭圆的短轴长为（     ） A.  B.  C. 6 D. 3 【答案】C 【分析】 化简椭圆的方程为标准方程，结合椭圆的几何性质列出方程，即可求解. 【详解】 椭圆的标准方程为，则，， 所以，，故此椭圆的短轴长. 故选：C. 7．（25-26学年高二上·河南南阳南阳地区·期中）已知点，，M是椭圆上一点，点满足，则的最大值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先求出点的轨迹方程，利用两点间距离公式和二次函数结合椭圆的范围可求答案. 【详解】 设点的坐标为，则，化简得， 则点的轨迹是以点为圆心，的圆. 设.因为，， 所以当时，取得最大值5. 因为，故的最大值为. 故选：B 8．（25-26学年高二上·河南郑州·期中）已知椭圆为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，连接并延长交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据题意和椭圆的定义可得和的各边边长，再结合余弦定理列方程，求解即可. 【详解】 如图所示：    由题意得，又，则， 因为，，则，，故， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 所以，化简得，即，解得. 故选：A. 9．（25-26学年高二上·河南商丘·期中）已知，分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据椭圆的几何性质即可求解. 【详解】 由椭圆的方程，得，，因为，所以， 又在椭圆上，所以，解得， 即，， 所以． 故选：A． 10．（2026·河南百师联盟·联考）（多选）已知椭圆的焦距大于，则的取值可以为（       ） A. 2 B. 8 C.  D. 36 【答案】ACD 【分析】 按照椭圆的焦点在轴和焦点在轴上两种情况分类讨论，利用焦距列方程求解即可. 【详解】 若椭圆的焦点在轴上，则，所以焦距为． 由题意得，解得．故选项A，C符合题意． 若椭圆的焦点在轴上，则，所以焦距为． 由题意得，解得．故选项D符合题意. 故选：ACD． 11．（2026·河南百师联盟·联考）已知椭圆的两个焦点分别为，点在椭圆上，则椭圆的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 设，即可求出，，，结合椭圆的定义及性质计算可得. 【详解】 由题意，设，则． 由椭圆的定义得，则离心率． 故选：B． 12．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）（多选）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经该椭圆反射后，反射光线经过另一个焦点.已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，一条光线从出发，经过椭圆的若干次反射，第二次经过点时光线走过的路程为8c，则该椭圆的离心率可能为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】BCD 【分析】 根据椭圆长轴与短轴以及其定义，可得答案. 【详解】 设椭圆的长轴长为. ① 若光线从沿长轴向左射出，则第二次经过时，光走过的路程为，所以，得； ② 若光线从沿长轴向右射出，则第二次经过时，光走过的路程为2a，所以，得； ③ 若光线从沿其他方向射出，则第二次经过时，光走过的路程为6a，所以，得. 故选：BCD. 13．（2026·河南九师联盟·质量检测）已知方程表示椭圆，则实数m的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据椭圆的标准方程识别求解即可． 【详解】 由方程表示椭圆， ，解得． 故选：C． 14．（25-26学年高二上·河南部分学校·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且满足.若椭圆的离心率为，则的余弦值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由题意可得，可得出，利用椭圆定义求出，再利用余弦定理可求得的余弦值. 【详解】 由题意可得，则， 所以，由椭圆定义可得， 由余弦定理可得. 故选：A. 15．（25-26学年高二上·河南新乡·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，若，则的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由椭圆的定义及余弦定理进行求解． 【详解】 在椭圆C中，，，所以. 由椭圆的定义，得. 在中，由余弦定理，得. 因为，所以， 即，所以. 所以的面积. 故选：D. 16．（25-26学年高二上·河南新乡·期中）已知椭圆的离心率为，短轴为，是椭圆上一点（不与点重合），则面积的最大值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据题意，由椭圆方程可得的值，结合其离心率，可求得的值，进而可求得的值，从而得到短轴的长，结合三角形面积公式，可知当在长轴端点时，的面积取得最大值. 【详解】 在椭圆中，可得， 又离心率，所以， 所以，所以，则. 由题意可知，， 所以的面积，当且仅当点为长轴端点时等号成立， 所以面积的最大值为. 故选：D 17．（25-26学年高二上·河南多校·期中）已知实数，满足，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 设，联立椭圆方程，利用判别式求得的范围即可. 【详解】 设，则，可看作是一组与椭圆有公共点的平行直线. 由 ，得. ，解得. 故选：B. 18．（25-26学年高二上·河南南阳南阳地区·期中）法国数学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆的方程为，则椭圆的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由蒙日圆的定义得到，即可求解. 【详解】 直线，都与椭圆相切，两直线的交点为， 所以， 所以， 故椭圆的离心率. 故选：A 19．（25-26学年高二上·河南郑州·期中）山西陶寺遗址是中国新石器时代晚期的重要都城遗址，其考古发现的祭祀区中有一处近似椭圆的小型夯土基地，经测量，该基址的长轴长为20米，短轴长为16米，现计划在椭圆中心建立原点，长轴所在直线为轴，短轴所在直线为轴，建立平面直角坐标系，若在椭圆基址的边缘某处点（即点在椭圆上），搭建一个临时观测台，则点到椭圆左焦点的距离的最大值为（       ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】B 【分析】 先根据题意，确定椭圆中的取值，再结合椭圆性质即可求解. 【详解】 由题意得，设椭圆方程为，则，，， 所以，，， 又点在椭圆上，所以点到椭圆左焦点的距离的最大值为. 故选：B 20．（25-26学年高二上·河南开封五校·期中）椭圆是轴对称图形，亦是中心对称图形，因其对称性，受到一些艺术制品设计者的青睐.现有一工艺品，其图案的基本图形由正方形和内嵌其中的“斜椭圆”组成（如图）．在平面直角坐标系中，将标准方程表示的椭圆绕着对称中心旋转一定角度，可得“斜椭圆”.已知一“斜椭圆”的方程为，则该“斜椭圆”的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由椭圆的对称性可得长半轴的长度为曲线上的点到原点距离的最大值，短半轴的长度为曲线上的点到原点距离的最小值，然后根据已知方程结合基本不等式可求出的最大值和最小值，从而可求出长半轴长和短半轴长，进而可求出离心率. 【详解】 设“斜椭圆”的中心为坐标原点， 由椭圆的对称性可得长半轴的长度为曲线上的点到原点距离的最大值， 短半轴的长度为曲线上的点到原点距离的最小值， 由基本不等式，可得， 所以，解得， 当且仅当时成立， 当且仅当时，成立， 所以椭圆的长半轴长为，短半轴长为， 所以椭圆离心率为. 故选：A 21．（25-26学年高二上·河南开封五校·期中）（多选）已知是椭圆的左､右焦点，是上一点，若是直角三角形，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】ABD 【分析】 根据是直角三角形，分类讨论得出即可求解. 【详解】 由题意知， 若，令，得，所以，故A正确； 若，则，又，所以，故D正确； 当点为的上顶点或下顶点时，，又，所以，故B正确. 故选:ABD. 22．（25-26学年高二上·河南郑州·期中）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由圆与圆的位置关系及椭圆的定义和标准方程可得结果. 【详解】 设动圆圆心为，半径为，设已知圆的圆心分别为、， 将圆的方程配方得：，圆心，半径为， 圆同理化为，圆心，半径为， 当动圆与圆相外切时，有① 当动圆与圆相内切时，有② 将① ② 两式相加，得 动圆圆心到点和的距离和是常数， 所以点的轨迹是焦点为点、，长轴长等于的椭圆， 故，，，. 故选：A. 23．（25-26学年高二上·河南月期中学·期中）已知为椭圆的两个焦点，P为C上一点，则的最大值等于（       ） A. 2 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用椭圆的定义及二次函数的性质计算即可. 【详解】 由题意知,半焦距,所以由椭圆定义知, 故, 且, 又，所以当或时， 取得最小值，且其最小值为，所以的最大值为． 故选:C． 24．（25-26学年高二上·河南月期中学·期中）若，则“”是“方程表示椭圆”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 通过方程表示椭圆的等价条件：或，再根据充分性和必要性进行判断. 【详解】 若方程表示椭圆，则 ， 解得或， 所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件. 故选：B. 25．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）（多选）数学家伯努利仿照椭圆的定义，找到了一种新的曲线：伯努利双纽线．他是这样定义双纽线的：设两个定点，动点到的距离之积为的点的轨迹．则下列说法正确的是（       ） A. 双纽线有对称中心和对称轴 B. 双纽线的方程是 C. 的最大值为 D. 面积的最大值为 【答案】ABD 【分析】 运用对称性验证即可；求曲线方程，需要根据距离公式建立等式；求的最大值以及面积的最大值则可以根据基本不等式和根据已有的条件和相关数学知识进行分析推导. 【详解】 对于A，因为，关于原点对称，设点是双纽线上的点， 那么点关于原点对称点到，的距离之积与到，的距离之积相同. 关于轴，设在双纽线上，点关于轴对称的点到，的距离之积与到，的距离之积相同，所以双纽线有对称中心和对称轴，A选项正确.    对于B，设， ，. 因为，所以. 展开可得. 进一步展开. 令，则，即. 将代回得. 展开. 整理得，B选项正确.    对于C，由均值不等式. 已知，所以，当且仅当时取等号， 的最小值为，C选项错误.    对于D，设，根据三角形面积公式. 因为，所以. 因为最大值为，所以的最大值为，D选项正确.    故选；ACD. 26．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）椭圆C：的左、右焦点分别为 ，A为左顶点，P为椭圆C上一点，且\vec {PF_{2}}\cdot \vec {PA}=0\mathrm{，}\left\langle \vec {F_{2}A}\mathrm{，}\vec {F_{2}P}\right\rangle =\frac{\pi }{3}，则椭圆C的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用椭圆的方程与性质得出，再应用余弦定理计算得出离心率求解． 【详解】 如图所示：    因为\vec {PF_{2}}\cdot \vec {PA}=0\mathrm{，}\left\langle \vec {F_{2}A}\mathrm{，}\vec {F_{2}P}\right\rangle =\frac{\pi }{3}，所以， 又，所以， 连接，， 在中，， 由余弦定理得， 所以 所以，所以椭圆C的离心率． 故选：C． 27．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知是椭圆的左､右焦点，为上一点，则的最小值为（       ） A. 1 B.  C. 2 D. 4 【答案】A 【分析】 利用椭圆的定义知，利用基本不等式即可求出的最小值. 【详解】 因为是椭圆的左、右焦点，P在椭圆上运动， 所以. 所以，所以（当且仅当时等号成立）. 所以. 即的最小值为1. 故选：A 28．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知点A是椭圆C：（）的下顶点，F是C的右焦点，延长AF交C于点B，若\vec {AF}=2\vec {FB}，则C的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据\vec {AF}=2\vec {FB}，用表示点B的坐标，代入椭圆C的方程结合，利用椭圆的离心率求解即可. 【详解】 设椭圆C的焦距为2c，，则，， 所以\vec {AF}=\left(c,b\right)，\vec {FB}=\left(m-c,n\right)， 因为\vec {AF}=2\vec {FB}，所以 ，即 ，即， 因为点B在椭圆C上，所以， 则，得到C的离心率为．    故选：B． 29．（2026·河南百师联盟·联考）已知椭圆及其上点，过右焦点的直线与椭圆交于不同两点（均异于点）．若直线的斜率互为相反数，则直线的方程是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 设出直线的方程，将其与椭圆方程联立方程组，然后根据韦达定理对直线的斜率之和进行化简，可求得直线的斜率，进而求得其方程. 【详解】 依题意，，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为． 由 消去，整理得，显然． 设，则， 直线的斜率分别为． 由，得，所以， 整理得， 则，解得， 所以直线的方程为，即． 故选：D． 30．（25-26学年高二上·河南濮阳·期中）已知A，B是椭圆上的两个动点，且直线与圆相切，则的最小值为（       ） A. 2 B.  C.  D. 3 【答案】B 【分析】 按照直线不存在斜率和存在斜率两种情况讨论求解. 直线斜率不存在时可求出弦长；当直线存在斜率时，设直线的方程为，利用直线和圆相切和点到直线的距离，解得；直线和椭圆联立方程组，消去，利用韦达定理，弦长公式求出，利用二次函数图像法求解. 【详解】 当直线不存在斜率时，直线AB与圆相切，则直线的方程为， 将代入椭圆方程，解得，此时； 当直线存在斜率时，设直线的方程为， 直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径， ，， 直线和椭圆联立方程组 ，消去， 得到关于的一元二次方程为， 设，则有 ， ， 设，则，且， 设， 对称轴为，开口向下，在的范围是单调递增函数， 当时，，故， 综上可知，. 故选：B. 31．（25-26学年高二上·河南南阳南阳地区·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，过点且斜率为1的直线与椭圆交于点，，且点在第一象限，\left(2\vec {F_{1}O}+\vec {F_{1}B}\right)\cdot \vec {BF_{2}}=0，则椭圆的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由\left(2\vec {F_{1}O}+\vec {F_{1}B}\right)\cdot \vec {BF_{2}}=0得\vec {F_{1}M}\bot \vec {BF_{2}}.然后利用直角三角形的边角关系列式得，即可求解离心率. 【详解】 如图，    \left(2\vec {F_{1}O}+\vec {F_{1}B}\right)\cdot \vec {BF_{2}}=0，即\left(\vec {F_{1}F_{2}}+\vec {F_{1}B}\right)\cdot \vec {BF_{2}}=0. 设的中点为，连接，则2\vec {F_{1}M}\cdot \vec {BF_{2}}=0，所以\vec {F_{1}M}\bot \vec {BF_{2}}. 因为，所以，，从而. 在中，因为，所以， 则，化简得，故. 故选：A 32．（2026·河南九师联盟·质量检测）如图，点是椭圆的左､右焦点，是上两点，\vec {F_{1}A}=2\vec {F_{2}B}，且，则的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 延长交椭圆于另一点，根据给定条件，利用椭圆对称性及定义，结合余弦定理列式求解. 【详解】 如图，延长交椭圆于另一点，连接，由\vec {F_{1}A}=2\vec {F_{2}B}，得， 由椭圆对称性得\vec {PF_{1}}=\vec {F_{2}B}，设，则，， 在中，由余弦定理得，解得， 即，令椭圆的半焦距为c， 在中，由余弦定理得， 即， 整理得，所以的离心率. 故选：D 33．（25-26学年高二上·河南郑州·期中）（多选）已知椭圆为椭圆的左焦点，点为坐标原点，点满足，经过的直线与椭圆的一个交点为是等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】BCD 【分析】 由是直角时、是直角时、是直角三种情况讨论求解即可. 【详解】 设，则，若是等腰直角三角形，则均有可能是直角. （1）当是直角时（如图1）： 因为的中点坐标为，即为右焦点. 又因为是等腰直角三角形，所以，所以，解得：，所以C正确； （2）当是直角时（如图2）： 因为是等腰直角三角形，所以，即，解得：，所以D正确； （3）当是直角时（如图3）： 因为是等腰直角三角形， 所以，所以， 因为点在椭圆上，所以，解得，所以B正确. 故选：BCD. 34．（25-26学年高二上·河南部分学校·期中）椭圆的离心率为　　　　　． 【答案】 【分析】 由椭圆方程求，根据离心率的定义求结论. 【详解】 设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为， 则，，， 所以椭圆的离心率. 故答案为：. 35．（25-26学年高二上·河南月期中学·期中）已知椭圆：（）上任意一点到两个焦点的距离之和为，且离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作直线交椭圆于，两点，点为线段的中点，求直线的方程． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由已知条件和椭圆定义求出，再由离心率求出，根据求出，即可求得椭圆的标准方程； （2）使用点差法进行求解即可. (1) 小问详解： 由椭圆的定义知，，∴， 又∵椭圆的离心率，∴， ∴， ∴椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： ∵为椭圆内一点，∴直线与椭圆必交于，两点， 设，，当时，不合题意，故， ∵为线段的中点，∴，∴， 又∵，均在椭圆上，∴， 两式相减，得，即， ∴，∴，即， ∴直线的方程为，即． 36．（25-26学年高二上·河南部分学校·期中）已知椭圆的右焦点为上一动点到的距离的取值范围为. （1）求的标准方程； （2）设斜率为的直线过点，交于，两点.记线段的中点为，直线交直线于点，直线交于，两点. ①求的大小； ②求四边形面积的最小值. 【答案】（1）；     （2）①；②3.      【分析】 （1）设出椭圆半焦距，结合椭圆的定义求出的取值范围，进而求出即可. （2）① 设出直线的方程并与椭圆方程联立，借助韦达定理求出坐标，利用斜率关系求出；② 利用弦长公式求出，再表示出四边形面积，借助基本不等式求出最小值. (1) 小问详解： 设椭圆的半焦距为c，则， 而点到的距离的取值范围为， 因此 ，解得 ，， 所以的标准方程为. (2) 小问详解： ①由（1）知点，设直线的方程为，， 由 消去得， ，， 则，线段的中点， 直线的斜率，直线交直线于点， 因此直线的斜率，即，则直线与直线垂直， 所以. ②由①知， ， 直线的方程为，同理得， 因此四边形的面积， 而，当且仅当，即时取等号， 则， 所以四边形面积的最小值为3. 37．（25-26学年高二上·河南新乡·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，P为椭圆C上一点.若线段的中点在y轴上，则　　　　　　　　. 【答案】.5 【分析】 根据题意知轴，把代入椭圆C的方程，解得，由椭圆的定义可得，结合离心率，即可求解. 【详解】 因为坐标原点O是线段的中点，线段的中点在y轴上， 所以轴.由椭圆的对称性，不妨设点P在第一象限，则， 把代入椭圆C的方程，解得，所以. 由椭圆的定义，得.因为， 所以. 由题意，得，所以. 故答案为：. 38．（25-26学年高二上·河南多校·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上一点，则的取值范围为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据椭圆的定义，以及的范围，转化为二次函数求值域. 【详解】 由题意知，，所以， 设，则，由，得， 故， 所以当时，取得最大值9， 当或时，取得最小值5， 故的取值范围为． 故答案为： 39．（25-26学年高二上·河南南阳南阳地区·期中）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆的焦距为4. （1）求椭圆的方程； （2）设点，直线过且与椭圆相交于，两点，若是线段的中点，求直线的方程. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由题意得， ，利用求得即可求解方程； （2）设，，代入椭圆方程作差求得直线的斜率，代入点斜式直线方程即可求解. (1) 小问详解： 设的焦距为，因为的长轴长是短轴长的倍，所以. 因为的焦距为4，所以，解得， 因为，所以，解得， 所以，则的方程为. (2) 小问详解： 设，，因为点，在上，所以 两方程相减得，所以. 因为是线段的中点，所以， 即直线的斜率为，所以直线的方程为，即. 40．（25-26学年高二上·河南郑州·期中）已知椭圆的中心为原点，焦点在轴上，其长轴长是短轴长的2倍，则过椭圆上点且与椭圆相切的直线方程为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据条件，求出椭圆方程，设所求切线方程为，联立直线与椭圆方程，利用直线与椭圆的位置关系求出，即可求解. 【详解】 因为椭圆的焦点在轴上，设椭圆方程为， 又长轴长是短轴长的2倍，点在椭圆上， 所以 ，解得， 所以椭圆的方程为， 由题知切线斜率存在，设切线方程为， 由 ，消得到， 所以，整理得到， 解得，故所求的直线方程为，即， 故答案为：. 41．（25-26学年高二上·河南郑州·期中）在平面直角坐标系中，已知点，定义为“曼哈顿距离”.若，则点的轨迹所围成图形的面积为　　　　　　，若椭圆上有且仅有8个点满足，则椭圆的离心率的取值范围是　　　　　　 【答案】①     ② 【分析】 根据“曼哈顿距离”列方程，结合绝对值的知识求得点的轨迹所围成图形的面积.根据已知条件列不等式，求得的范围，进而求得离心率的取值范围. 【详解】 设，则， 若，则；若，则； 若，则；若，则， 由此画出点的轨迹如下图所示（正方形）， 由图可知点的轨迹所围成图形的面积为. 椭圆，对应，， 要使椭圆上有且仅有8个点满足， 根据对称性，由方程组 有两个解，且， 所以，整理得， ， 解得， 所以. 故答案为： 【点睛】 解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 42．（25-26学年高二上·河南商丘·期中）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点是上一点，若，则的离心率的取值范围是　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据给定条件，利用建立不等式，进而求出离心率的范围. 【详解】 依题意，，而，则，又， 因此，解得，即， 所以的离心率的取值范围是. 故答案为： 43．（2026·河南百师联盟·联考）在平面直角坐标系中，过点的两条直线与直线的斜率分别为，且，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程，并指出曲线是什么曲线； （2）若，求点的坐标． 【答案】（1）且，曲线是不含长轴端点的椭圆     （2）或      【分析】 （1）首先设，然后直接根据坐标表示条件，化简整理即可得到轨迹方程； （2）首先根据已知条件求解及的值，然后分别求解直线及的方程，最后根据联立方程求解点的坐标. (1) 小问详解： 设，又， 则由题意得． 化简得且， 所以曲线的方程为且，曲线是不含长轴端点的椭圆． (2) 小问详解： 由题意，得 解得 或 若 则直线的方程为① ，直线的方程为② ． 由① ② 可得 即． 若 则直线的方程为③ ，直线的方程为④ ． 由③ ④ 可得 即． 综上，点的坐标为或． 44．（2026·河南百师联盟·联考）已知抛物线的焦点为，椭圆的右焦点为，离心率． （1）求椭圆的方程； （2）动直线恒过定点，过点作抛物线的切线与椭圆交于两点，求的面积． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据离心率和焦点坐标即可算出a、b的值，也即求出椭圆的方程； （2）可知定点，再根据P求出过抛物线C的切线方程，结合点到直线的距离以及椭圆的弦长公式即可求得的面积． (1) 小问详解： 由抛物线的方程，得焦点，所以在椭圆中，， 因为椭圆的离心率，所以，所以， 所以椭圆的方程为． (2) 小问详解： 由直线的方程，得直线恒过定点， 由题意，得点在抛物线上，设切线的方程为， 由 ，消去，整理得， 因为直线与抛物线相切，所以，即，解得， 所以直线的方程为， 由 ，消去，整理得， ，所以，， 因为点到直线的距离， ， 所以的面积． 45．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，过椭圆上除A，B外任意一点P向x轴作垂线，垂足为Q，若，则椭圆的焦距为　　　　　　. 【答案】 【分析】 由题意设出点的坐标，根据两点距离公式，整理等式，结合椭圆方程，求得参数，易得答案. 【详解】 由题意知，， 设，则，， 所以，整理得，对照椭圆方程可知， 所以，故椭圆的焦距为. 故答案为： 46．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知椭圆C：的离心率，以C的四个顶点为顶点的四边形的面积为. （1）求的方程； （2）若直线交椭圆于两点，求. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由条件得到 ，求解即可； （2）直线方程与椭圆方程联立，由弦长公式即可求解. (1) 小问详解： 设C的半焦距为. 由题意得 得 C的方程为. (2) 小问详解： 设，. 联立，得 化简得， ，. . 47．（25-26学年高二上·河南濮阳·期中）已知椭圆C：（）的左、右顶点分别为，，上顶点为B，离心率为，，过点作不与x轴重合的直线l与C交于D，E（E在D的左侧）两点，，交于点M． （1）求C的方程； （2）求证：为定值（，分别为，的斜率）； （3）求的取值范围． 【答案】（1）     （2）证明：由（1）知，． 设直线l的方程为，，， 联立l与C的方程，得 消去x并整理，得， ∴，解得， ∴，， ∴， ∴， 即为定值．     （3）      【分析】 （1）由椭圆几何性质可求得的值，进而求得解析式； （2）设直线l的方程为，，，联立方程组，利用韦达定理计算可求得为定值； （3）过点D，M，E作x轴的垂线，垂足分别为P，N，Q，利用计算，可求得的取值范围. (1) 小问详解： 设C的半焦距为c（）． ∵C的离心率为，即，∴， ∴． 设O为坐标原点，∵， ∴，∴， ∴C的方程为． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 过点D，M，E作x轴的垂线，垂足分别为P，N，Q， 则，，，， ∴，． 设直线的斜率为k，由（2）知，的斜率为， ∴直线的方程为，① 直线的方程为．② ① ② 联立，解得，∴点M的横坐标为． ∵， ∴ ． 设，则，易知在上单调递增， ∴， ∴的取值范围为．    【点睛】 48．（25-26学年高二上·河南新乡·期中）（多选）已知圆过点，短轴长为2. （1）求椭圆C的方程及离心率； （2）过点的直线交椭圆C于异于点M的A，B两点，设直线MA，MB的斜率分别为，，求证：为定值. 【答案】（1），     （2）证明：由题意知，直线AB的斜率存在. 当直线AB的斜率为0时，直线AB的方程为，点A，B是长轴的端点. 设，， 则，，所以. 当直线AB的斜率不为0时， 设直线AB的方程为，，. 把直线AB的方程代入椭圆C的方程，化简得. 由，得. 所以. 所以 . 把，代入得 . 【分析】 （1）由短轴长求得，将点M的坐标代入椭圆方程求得，即可求出椭圆方程，然后求出，即可求出离心率； （2）易知直线AB的斜率存在，当直线AB的斜率为0时，，，求得.当直线AB的斜率不为0时，设直线AB的方程为，与椭圆方程联立，韦达定理，代入两点式斜率公式化简得，即可证明. (1) 小问详解： 由题意得，所以，所以椭圆C的方程为. 因为椭圆C过点，所以，解得， 所以椭圆C的方程为. 因为，，所以， 所以，，所以离心率. (2) 小问详解： 略 49．（25-26学年高二上·河南郑州·期中）已知椭圆，圆，点均在椭圆上，为坐标原点，直线分别与圆相切于两点. （1）求椭圆的离心率； （2）当，四边形为菱形时，求圆的方程； （3）若直线的斜率乘积为定值，求的值. 【答案】（1）     （2）或     （3）2      【分析】 （1）椭圆方程转化成标准方程，由离心率的定义即可求解； （2）由为菱形，得到，再结合及，即可求解； （3）设直线的方程分别为：，由圆心到两直线的距离为2，得到，进而得到，由其为定值即可求. (1) 小问详解： 由椭圆得：， 所以，即椭圆的长半轴长为，短半轴长为， 所以； (2) 小问详解：    当时，椭圆， 由（1），所以， 由圆知：，半径， 因为点在椭圆上， 所以① ， 又因为直线分别与圆相切于两点， 所以，且， 因为四边形为菱形，所以四边形为正方形， 所以， 所以② ， 联立① ② 解得： 或 ， 所以圆的方程为：或； (3) 小问详解： 因为直线都与圆相切，且直线的斜率乘积为定值， 所以直线斜率都存在， 设直线的方程分别为：， 因为点到直线的距离都为2， 所以， 两边平方可得， 所以为方程的两根， 所以， 因为点在椭圆上，所以， 所以， 因为直线的斜率乘积为定值，设定值为， 则：对恒成立，即对恒成立， 所以 即 ， 所以的值为2. 50．（25-26学年高二上·河南开封五校·期中）已知椭圆的左、右顶点分别为，且，椭圆的焦距为4． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点（不在轴上）是椭圆上不同的两点． ①求直线的斜率之积； ②若直线的斜率是直线的斜率的3倍，试判断直线是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1）     （2）①；②恒过点．      【分析】 （1）根据焦距和求出和，利用求出，得到椭圆方程； （2）① 设，则，计算出； ② 设，若直线的斜率为0，得到，与不在轴上矛盾，不合题意，若直线的斜率不为0，设，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由① 知，又，所以，列出方程，舍去不合要求的根，求出，所以直线恒过点． (1) 小问详解： 由，得，解得， 设椭圆的焦距为，由焦距为4，得，解得， 又，所以椭圆的标准方程为； (2) 小问详解： ① 由题意，得， 设，由在椭圆上，得，即， 所以， 即直线的斜率之积为． ② 设， 若直线的斜率为0，则关于轴对称，所以， 又直线的斜率是直线的斜率的3倍，所以，即， 由不在轴上，得，与矛盾， 所以直线的斜率不为0． 设直线的方程为， 由 ，得， 所以， 且， 由① 知，又，所以， 所以，即， 化简，得， 将代入上式并化简，得 即，解得或， 当时，与矛盾，舍去， 当时，满足 所以直线恒过点． 【点睛】 处理定点问题的思路： （1）确定题目中的核心变量（此处设为）， （2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式， （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到， ①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点； ②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数. 51．（25-26学年高二上·河南焦作·期中）已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求的方程. （2）过点的直线（不与轴重合）与交于M，N两点，是的右焦点. （i）证明：； （ii）求面积的最大值. 【答案】（1）     （2）（i）设直线，，，， 联立 ，消去，整理得， ，得， ，， 所以直线的斜率，直线的斜率， ， 又 ， 所以，即.    （ii）.      【分析】 （1）根据题意建立的方程组，求出，得解； （2）（i）设直线，与椭圆联立方程组得，通过验证证明； （ii）由，得，利用根与系数关系化简得，令，利用基本不等式求解. (1) 小问详解： 由题，可得 ，解得，， 所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： （i）略 （ii）由， 由于，则， ， 令，则， ， 当且仅当，即，即时，等号成立， 所以面积的最大值为. 52．（25-26学年高二上·河南商丘·期中）已知点是椭圆的右焦点，为坐标原点，若上的点与点距离的最大值为3，最小值为1，过点作的两条互相垂直的弦，. （1）求的方程； （2）求证：的值为定值； （3）设，的中点分别为，，求证：直线过定点. 【答案】（1）     （2）证明：由（1）得，若直线与直线的斜率一个为0，另一个不存在时， ，（或，），此时. 若直线与直线的斜率都存在时，如图： AI 设直线的方程为，，， 由 ，得， 所以，. 所以 因为，将换成，得， 所以. 综上所述，的值为定值.     （3）证明：由（2）得，， 因为是的中点，所以， 将换成，得，即 若直线的斜率存在，则直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 所以直线过定点 若直线的斜率不存在，则，解得， 此时直线的方程为，直线也过定点. 综上，直线过定点.      【分析】 （1）根据条件列式求，再根据的关系求，可得椭圆的标准方程. （2）分直线有无斜率，利用弦长公式表示，化简即可. （3）利用直线的斜率表示出点的坐标，进而得到直线的方程，化成点斜式，可得定点坐标. (1) 小问详解： 设椭圆的焦距为，则由题意得 ，解得 . 所以， 所以的方程为. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 53．（25-26学年高二上·河南月期中学·期中）已知点是椭圆的下顶点，是的右焦点，延长交于点，若\vec {AF}=2\vec {FB}，则的离心率为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据椭圆的基本性质，和椭圆离心率的定义，利用向量共线，求出点的坐标，进而求出离心率. 【详解】 设椭圆的焦距为，设，所以\vec {AF}=\left(c,b\right),\vec {FB}=\left(m-c,n\right)，因为\vec {AF}=2\vec {FB}，所以 ，即 ，即， 因为点在椭圆上，所以，所以，所以的离心率为. 故答案为：. 54．（25-26学年高二上·河南信阳固始县·期中）已知，是椭圆的左右顶点，是双曲线在第一象限上的一点，直线，分别交椭圆于另外的点，．若直线过椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由直线斜率公式结合点在曲线上可得，从而求得，进而结合正切的定义即可求解． 【详解】 由题意可知，， 设，可得直线的斜率分别为，， 因为点在双曲线上，则，整理得，所以， 设点，可得直线，的斜率，， 因为点在椭圆上，则，整理得， 所以，即， 则，所以直线与关于轴对称， 又因为椭圆也关于轴对称，且，过焦点，则轴， 又，则， 所以， 整理得，即，解得，或（舍去）， 所以椭圆的离心率为． 故答案为：． 【点睛】 方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法： 定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率； 齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解； 特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率． 55．（25-26学年高二上·河南信阳固始县·期中）已知A为圆O：上一点，过点A作y轴的垂线交轴于点B，点P满足. （1）求动点P的轨迹的方程； （2）已知斜率为k的直线l与曲线交于C，D两点. （ⅰ）若直线l过点，当的面积最大时，求l的方程； （ⅱ）若线段CD的中点为（）．证明：. 【答案】（1）     （2）（ⅰ）或； （ⅱ）证明：由题意得直线l的斜率存在且不为零，设直线l的方程：，， 联立方程组 ， 消去x，整理得：， ，得， ，因为线段CD的中点为， 所以，化简得，因为，所以， 因为，所以，即得，解得或， 综上得出.      【分析】 （1）假设点，然后根据，可知 ，结合圆的方程可得结果； （2）（ⅰ）先设直线再联立方程组结合韦达定理应用弦长公式得出长再应用点到直线距离得出面积化简后，换元应用基本不等式求解；（ⅱ）先设直线再联立方程组结合韦达定理得出，进而得出，再结合判别式得，换元解不等式即可证明. (1) 小问详解： 设，则 由，所以 ， 又，所以， 故动点P的轨迹的方程为. (2) 小问详解： （ⅰ）由题意得直线l的斜率存在且不为零，设直线l的方程：，， 联立方程组 ， 消去x，整理得：， ，得， ，， 所以弦长 ， 原点到直线l的距离， 所以， 令，所以， 所以，当且仅当时等号成立，即，满足条件，解得， 所以直线l的方程为：或； （ⅱ）略 【点睛】 关键点点睛：第二问解题的关键是联立椭圆方程及点到直线距离得出面积后使用换元法结合基本不等式即可得出最大值并得出直线方程. 56．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知动圆过点，且与圆内切． （1）求点的轨迹的方程； （2）若点，直线与相交于、两点，是否存在实数，使? 若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）存在，且      【分析】 （1）分析可知，则的轨迹是以、为焦点的椭圆，求出、的值，可得出的值，由此可得出点的轨迹方程； （2）解法一：设点、，设线段的中点为，利用点差法得出，分析可知，可得出，进而可求出点的坐标，注意到点在椭圆内，再将点的坐标代入直线的方程，求出实数的值即可； 解法二：设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，由求出的取值范围，结合韦达定理求出线段的中点的坐标，分析可知，可得出，即可求出实数的值，即可得出结论. (1) 小问详解： 如下图所示： 圆的半径为，圆的半径为， 因为圆内切于圆，故，即， 所以点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且 ，则，，， 因此点的轨迹方程为. (2) 小问详解： 解法一：设点、，设线段的中点为， 则，， 由 得， 即，又因为，所以① ， 因为，为的中点，所以，故② ， 联立① ② 可得，，即点， 因为，故点在椭圆内部，此时直线与椭圆有两个交点，合乎题意， 将点的坐标代入直线的方程得，解得， 综上所述，存在实数合乎题意； 解法二：设点、， 联立 可得， ，解得， 由韦达定理可得，， 所以，故线段的中点为， 因为，为线段的中点，所以， 即，解得，合乎题意， 综上所述，存在实数合乎题意. 57．（25-26学年高二上·河南驻马店·期中）如果两个椭圆的长轴长之比等于短轴长之比，那么称这两个椭圆为相似椭圆，并将长轴长之比称为相似比.已知两个相似椭圆：和：（）的相似比为，为上一动点，过作椭圆的两条切线，切点分别为，，直线的斜率和直线的斜率均存在且均不为0，则直线的斜率与直线的斜率之积为　　　　　　. 【答案】 【分析】 通过相似椭圆的定义与椭圆方程求出：，再设出直线的方程，与椭圆联立，根据相切得到，同理得到，可知，是方程的两根，根据韦达定理即可求出k_{1}k_{2}= & -\frac{1}{2}. 【详解】 由题意可知，，解得，， 所以：，设，则， 则，设直线的方程为， 即，代入， 整理得， 则， 整理得， 设直线的斜率为，同理得， 所以，是方程的两根， 所以. 故答案为：& -\frac{1}{2}. 58．（2026·河南九师联盟·质量检测）设椭圆的左､右焦点分别为是的右顶点，点在上，且. （1）求的方程； （2）若不过点的直线与椭圆相交于两点，且. （i）证明：直线过定点； （ii）求面积的最大值. 【答案】（1）；     （2）（i）由（1）知，直线的斜率不为0， 设直线的方程为，点，的坐标分别为，， 联立方程 消去后整理得， 所以， 所以， ． 又， 所以， 即，整理得，解得或， 由直线不过点，知不符合题意，所以，满足， 所以直线的方程为，即直线过定点． （ii）.      【分析】 （1）根据求得，再代入点坐标即可得到椭圆方程； （2）（i）设直线的方程为，再与椭圆方程联立得到韦达定理式，再将垂直关系转化为向量数量积为0，整体代入韦达定理式化简即可； （ii）代入韦达定理式计算出面积表达式，再利用对勾函数单调性即可求出最值. (1) 小问详解： 设椭圆的焦距为，则． 由，知，所以， 所以的方程为， 代入点的坐标，得，解得，所以， 所以的方程为． (2) 小问详解： （i）略 （ii）的面积为 ， 由（i）知，代人上式可得． 令，则． 根据对勾函数性质知在区间上单调递减，在区间上单调递增，且， 所以当，即时，的面积最大， 最大值为． 59．（25-26学年高二上·河南青桐鸣大联·期中）已知椭圆：（）的离心率为，且经过点. （1）求椭圆的标准方程. （2）已知点，若平行于轴的直线交于，两点，直线与的另一个交点为. （ⅰ）证明：直线恒过定点； （ⅱ）过（ⅰ）中的定点的直线与相交于，两点（异于的左、右顶点），求的面积的最大值. 【答案】（1）     （2）（ⅰ），（ⅱ）      【分析】 （1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程. （2）（ⅰ）设，，则，因为，，三点共线，所以，设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，化简写出根与系数关系，进而证得直线过定点. （ⅱ）设直线的方程为，，，直线与椭圆方程联立求出根与系数的关系，由，令（），则，进行求解． (1) 小问详解： 由题意可知， 解得，， 故椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： （ⅰ）设，，则， 因为，，三点共线，所以，显然直线的斜率不为0， 设直线的方程为，由 得， 则， ，，又， 所以，整理得， 所以，化简得， 根据题意可知，，所以， 故直线恒过定点. （ⅱ）由题意可知，直线的斜率不为0，定点为， 设直线的方程为，，， 将代入，整理得， 则，，， 所以 ， 令（），则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，此时，则， 故的面积的最大值为. 60．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知A，B分别是椭圆C：（）的左、右顶点，M，N是椭圆C上异于A，B的两个点，当四边形AMBN为菱形时，四边形AMBN的周长为，面积为4． （1）求椭圆C的方程； （2）若MA，NB的斜率分别为，，且 ①证明：直线MN过定点； ②若直线MA，NB交于点P，直线NA，MB交于点Q，求的最小值． 【答案】（1）     （2）① 依题意，直线MN的斜率不为零，设直线MN的方程为，，， 由 消去x整理得， 则， ，， 而，，则，， 因此 ， 解得， 所以直线MN：恒过定点． ②      【分析】 （1）根据椭圆的对称性，即可结合面积公式求解； （2）①联立直线与椭圆的方程，得韦达定理，进而根据斜率公式，代入化简即可求解；②求解两直线的方程，联立可得，，，，继而根据两点距离，代入韦达定理化简即可求解. (1) 小问详解： 根据椭圆的对称性知，仅当M，N分别为椭圆的上、下顶点时，四边形AMBN为菱形， 由，，得，， 所以椭圆C的方程为． (2) 小问详解： ① 略 ②解：由（ⅰ）知，，，得， 直线AM的方程为，直线BN的方程为， 则， 即，解得， 即可得点有，， 同理可得点有， ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 考点02 双曲线 1．（25-26学年高二上·河南濮阳·期中）双曲线C：的渐近线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据渐近线方程公式计算即可. 【详解】 由，可得，解得， 所以双曲线C：的渐近线方程为. 故选：C. 2．（25-26学年高二上·河南商丘·期中）（多选）方程表示的曲线中，可以是（     ） A. 双曲线 B. 椭圆 C. 圆 D. 直线 【答案】AB 【分析】 根据椭圆的标准方程和双曲线的标准方程即可判断. 【详解】 当，且，即时，方程表示椭圆， 当即时，方程表示双曲线，故AB正确； 要想表示圆，则无解，故C错误； 直线为一次曲线，故D错误. 故选：AB 3．（25-26学年高二上·河南商丘·期中）双曲线的渐近线方程是（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 令，即可求出渐近线方程． 【详解】 令，解得，所以双曲线的渐近线方程是． 故选：B． 4．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是 A.  B.  C.  D.  【答案】C 【详解】试题分析：焦点在轴上的是C和D，渐近线方程为，故选C． 考点：1．双曲线的标准方程；2．双曲线的简单几何性质． 5．（25-26学年高二上·河南部分学校·期中）双曲线的焦点到其一条渐近线的距离为（       ） A.  B.  C.  D. 1 【答案】B 【分析】 求出焦点坐标及渐近线的方程，由点到直线的距离公式求出距离. 【详解】 解：由，得，渐近线方程为， 由双曲线的对称性，不妨取双曲线的右焦点，一条渐近线方程为， 则焦点到渐近线的距离为 . 故选：B. 6．（25-26学年高二上·河南青桐鸣大联·期中）双曲线：的焦距为（     ） A. 2 B.  C. 3 D. 6 【答案】D 【分析】 利用双曲线的标准方程求出，利用求出，从而得到即为焦距. 【详解】 由双曲线方程可知， 则，即，所以焦距为. 故选：D. 7．（25-26学年高二上·河南南阳南阳地区·期中）设双曲线的焦距为，若双曲线的焦距与实轴长的和为16，且，则（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【分析】 根据题意列出关于的方程组求解即可. 【详解】 由题意知 ，整理得 ，解得. 故选：B 8．（25-26学年高二上·河南郑州·期中）已知方程表示双曲线，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据二次曲线表示双曲线的基本要求可构造不等式求得结果. 【详解】 方程表示双曲线，，解得：或， 即的取值范围为. 故选：B. 9．（25-26学年高二上·河南信阳固始县·期中）如图，这是一个落地青花瓷，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线C：的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为8，瓶高等于双曲线C的虚轴长，则该花瓶的瓶口直径为（       ） A.  B. 24 C. 32 D.  【答案】D 【分析】 求出，设出，代入双曲线方程，求出，得到直径. 【详解】 因为该花瓶横截面圆的最小直径为8，所以. 设M是双曲线C与瓶口截面的一个交点，该花瓶的瓶口半径为r，则，       所以，解得，故该花瓶的瓶口直径为. 故选：D 10．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）（多选）已知曲线（其中为常数），则曲线可能为（     ） A. 平行于轴的两条直线 B. 单位圆 C. 焦点在轴上的双曲线 D. 焦点在轴上的椭圆 【答案】BC 【分析】 根据圆，双曲线，椭圆的方程特征，依次分析各选项即可. 【详解】 对于A，当，即时，，表示平行于轴的两直线，故A错误； 对于B，当时，，表示以原点为圆心，半径为1的单位圆，故B正确； 对于C，当，即或时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，故C正确； 对于D，当，且时，则，所以， 因此曲线表示焦点在轴上的椭圆，故D错误. 故选：BC. 11．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据双曲线方程得到，从而根据焦距得到方程，求出，求出答案. 【详解】 双曲线中，， 又焦距为4，故，解得，故，解得， 所以的渐近线方程为. 故选：B 12．（2026·河南九师联盟·质量检测）已知双曲线C：（）的两个焦点分别是，，焦距为10，A是双曲线C上的一点，且，则的值为（     ） A. 14 B. 13 C. 13或1 D. 14或1 【答案】B 【分析】 根据的值，可得出的值，然后利用双曲线的定义结合的范围求解即可. 【详解】 由题意可知，，则，解得， 所以双曲线的方程为， 由双曲线的定义可得，解得或， 设点，则或，且，易知点， 所以， 当时，； 当时，. 综上所述，，故. 故选：B 13．（25-26学年高二上·河南部分学校·期中）（多选）在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为，，点，直线交于C，D两点.若的重心在以为直径的圆上，则（     ） A. 的焦距为 B. 的渐近线方程为 C. 的外接圆的面积为 D. 过点作直线交于，两点，且，则 【答案】ABD 【分析】 由题设求得的重心的坐标为代入圆，结合，求得，进而得的焦距和渐近线方程，即可判断A、B；由题设得，令，，进而可求的外接圆的圆心，从而得半径、面积即可判断C；设直线，，，联立 利用韦达定理结合\vec {OA'}\cdot \vec {OB'}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0求得，再利用弦长公式求得即可判断D. 【详解】 由题意易得C，D两点的坐标为，， 又，所以的重心的坐标为， 记，则以线段为直径的圆的方程为， 所以，所以， 所以，所以的焦距为，， 故的渐近线方程为，故A、B均正确； 不妨令，， 又，所以线段的垂直平分线的方程为， 线段的垂直平分线的方程为， 令，得，所以的外接圆的圆心为， 所以的外接圆的半径为， 所以的外接圆的面积为，故C错误； 由上面分析知的方程为，由题知直线的斜率不为0， 设直线，，， 联立 ，整理得， 则，，，， 所以， 因为，所以\vec {OA'}\cdot \vec {OB'}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0， 所以， 即，整理得，即， 所以，故D正确.    故选：ABD. 14．（25-26学年高二上·河南濮阳·期中）（多选）已知方程C：，则下列结论正确的是（       ） A. 若则方程C表示椭圆 B. 若，则方程C表示焦点在y轴上的双曲线 C. 存在m，使方程C表示直线 D. 存在m，使方程C表示抛物线 【答案】BC 【分析】 根据直线、椭圆、双曲线和抛物线的方程特征和要求列出关于的不等式，求解后逐一判断各选项即可. 【详解】 对于A，若方程C表示椭圆，则由可得， 需使 ，解得且，故A错误； 对于B，当时，由可得， 则，，故方程表示焦点在y轴上的双曲线，故B正确； 对于CD，由上分析，对于方程， 当时，表示焦点在y轴上的双曲线，当时表示椭圆， 当时，表示一个圆，当时，表示轴，当时，表示y轴， 当时，表示焦点在x轴上的双曲线，故C正确，D错误. 故选：BC. 15．（25-26学年高二上·河南新乡·期中）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则实数m的值为（       ） A.  B.  C. 3 D. 6 【答案】C 【分析】 先求椭圆的焦点，再根据椭圆与双曲线有相同焦点列式求的值. 【详解】 由题意知，双曲线的方程为，椭圆的标准方程为， 椭圆的焦点在x轴上，且，，所以. 因为双曲线与椭圆有相同的焦点，所以，且，解得. 故选：C 16．（25-26学年高二上·河南多校·期中）已知双曲线的右焦点为，过的直线交于两点，点在第二象限，且关于轴的对称点为，若，则的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 结合题意，得直线的斜率为，进行求解． 【详解】 由题意知（为原点），，    故直线的斜率为， 所以的方程为，即. 故选：A. 17．（25-26学年高二上·河南多校·期中）（多选）已知曲线，则下列命题错误的是（       ） A. 若，则为椭圆 B. 若或，则表示双曲线 C. 若为椭圆，则与椭圆有相同的焦距 D. 若为双曲线，则与双曲线有相同的焦距 【答案】ACD 【分析】 由椭圆、双曲线标准方程的结构特点可判断AB，由焦距的概念可判断CD. 【详解】 因为，但，即不是椭圆，故A错误； 当，即，或时，为双曲线，故B正确； 当时，为焦点在轴上的椭圆，其焦距为， 当时，为焦点在轴上的椭圆，其焦距为， 而的焦距为，故C错误； 当时，表示焦点在轴上的双曲线，其焦距为， 当时，表示焦点在轴上的双曲线，其焦距为， 与双曲线的焦距不相同，故D错误. 故选：ACD. 18．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）双曲线C的一条渐近线方程为，且经过点，则双曲线C的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据题意设出双曲线的方程，再代入点，求出标准方程，即可求出离心率. 【详解】 根据题意，设双曲线的方程为， 又因为经过点，代入可得， 故标准方程为，故， ， ，故， 故选：. 19．（2026·河南百师联盟·联考）双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 可利用三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设，由面积公式求出，由勾股定理得出，结合第一定义再求出. 【详解】 如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设， ，由，求得， 因为，所以，求得，即， ，由正弦定理可得：， 则由得， 由得， 则， 由双曲线第一定义可得：，， 所以双曲线的方程为. 故选：A 20．（2026·河南百师联盟·联考）已知焦点在轴上的双曲线的离心率，则（       ） A. 1 B.  C.  D. 1或 【答案】C 【分析】 将双曲线的方程化为标准式，可得出，由离心率得出关于的等式，求解即可. 【详解】 因为双曲线的焦点在轴上， 所以其标准方程为 所以， 所以 解得． 又因为双曲线的离心率，所以． 又，所以， 即， 即，解得或（舍去）． 故选：C． 21．（2026·河南百师联盟·联考）双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据双曲线渐近线方程及两直线平行关系得，进而利用离心率公式求解即可. 【详解】 由题意，双曲线的渐近线方程为． 因为双曲线的一条渐近线与直线平行，所以渐近线为，且， 所以双曲线的离心率． 故选：A． 22．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆面积为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 设圆与线段，，分别相切于点,由，确定，进而确定直线的方程，得到，即可求解. 【详解】 由题意知，，. 如图，设圆与线段，，分别相切于点，则，，， 所以， 所以，从而可知内切圆的圆心C在直线上. 因为的斜率为，所以倾斜角为， 因为是的平分线， 所以直线的倾斜角为，方程为，将代入，得， 所以，即圆C的半径为，得圆C的面积为. 故选：C 23．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）记椭圆：，双曲线：的离心率分别为，，若，则（     ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 【答案】B 【分析】 由椭圆和双曲线离心率计算公式即可求解. 【详解】 由题意知，， 因为， 所以， 即，解得. 故选：B 24．（25-26学年高二上·河南南阳南阳地区·期中）（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过右焦点且倾斜角为150°的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，点满足\vec {AQ}=\vec {QB}，\vec {F_{1}Q}\cdot \vec {AF_{2}}=0，则（       ） A. 双曲线的离心率为 B. 与的面积的比值为 C. 双曲线的渐近线方程为 D. 与的内切圆半径之比为 【答案】ABC 【分析】 根据向量关系和几何关系得，，然后利用双曲线定义得，，，进而利用勾股定理求得 ，，即可求解离心率和渐近线判断选项AC；利用求解判断B；结合选项B根据求值即可判断D. 【详解】 由已知得，因为\vec {AQ}=\vec {QB}，\vec {F_{1}Q}\cdot \vec {AF_{2}}=0，所以垂直平分， 所以，. 设，则，所以，所以， 所以，即. 在直角三角形中，，所以可得，离心率， 所以，所以双曲线的渐近线方程为，所以A，C均正确. ，B正确. 设与的内切圆半径分别为，， 则 ，假设，可以推出，矛盾， 所以，D错误.    故选：ABC 25．（25-26学年高二上·河南焦作·期中）（多选）已知双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，，点在的右支上，直线与交于另一点，的中点为，为坐标原点，则下列说法错误的是（       ） A. 存在点，使得直线的斜率为2 B. 存在点，使得 C. 存在点，使得 D. 存在点，使得点的横坐标为 【答案】ABD 【分析】 对于A，找到渐近线斜率即可判断；对于B，利用\vec {F_{1}A & }\bot \vec {F_{2}A & }，求出A点的横坐标，然后结合条件检验即可判断；对于C，将转化成两点间距离公式，求出A点的横坐标在符合题目范围内即可判断；对于D，利用点差法得k_{OM}\cdot k_{AB}=\frac{b^{2}}{a^{2}} &，进而判断出不存在点使得等式成立. 【详解】 设点，，，F_{2}( & c,0)， 由题知离心率& e=\sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{ & \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{5}，解得， 故有，双曲线C的渐近线为， 对于A选项，如果存在点，使得直线的斜率为2， 直线与渐近线平行，不会与双曲线有两个交点，故A错误； 对于B选项： \vec {F_{1}A}=\left(x_{0}+c,y_{0}\right)，\vec {F_{2}A}=\left(x_{0}-c,y_{0}\right)，若，即\vec {F_{1}A & }\bot \vec {F_{2}A & }， 可得\vec {F_{1}A & }\cdot \vec {F_{2}A & }=x_{0}^{2}-c^{2}+y_{0}^{2}=0，即：（① ）， 而位于双曲线右支上，其中， 故有：，即：（② ）， 联立① ② 两个等式可得：，又，此时，由选项A可知不合题意，故B选项错误； 对于C选项：由，即：，化简得：，由点在的右支上可知：，故存在点，使得，故C选项正确； 对于D选项：设，，， 而，带入化简得：，而& c=\sqrt{5}a， 故& y_{M}^{2}=16a^{2}-8ac=16a^{2}-8\sqrt{5}a^{2}< 0，可知不存在这样的点M使等式成立， 故不存在点，使得点的横坐标为，故D选项错误. 下面为证明：k_{OM}\cdot k_{AB}=\frac{b^{2}}{a^{2}} &， 的中点为，根据中点坐标公式可知M\left(\frac{x_{0}+x_{1}}{2},\frac{y_{0}+y_{1}}{2} & \right)，故k_{OM} & =\frac{y_{0}+y_{1}}{x_{0}+x_{1}}， k_{AB & }=\frac{y_{0}-y_{1}}{x_{0}-x_{1}}，故， 而，两点均位于双曲线上，故： （③ ） （④ ），用③ 减④ 得：， 化简得，故& & & k_{OM}\cdot k_{AB}=\frac{b^{2}}{a^{2}}，证毕. 故选：ABD 26．（25-26学年高二上·河南商丘·期中）（多选）已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线交C的右支于A，B两点，若，，则（     ） A. C的离心率为2 B.  C. 的面积为 D. 的周长为18 【答案】ABD 【分析】 由双曲线方程可得，由，可得，据此可得题中所涉线段长度，即可判断选项正误. 【详解】 如图所示，不妨设在第一象限，由双曲线可得， 则，由于，得，， 由于，， 所以， 故，可得，故， 而，故， 由，得，所以的离心率； 由以上分析可知，在中，，，， 故， 的周长为． 故选：ABD 27．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是的右支上一点，过点作的切线与的两条渐近线分别交于，两点，则下列说法正确的是（       ） A. 的最小值为8 B. 存在点，使得\vec {PF_{1}}\cdot \vec {PF_{2}}=-4 C. 点，的纵坐标之积为定值 D.  【答案】ACD 【分析】 设，由，可判定A正确；假设存在点，\vec {PF_{1}}\cdot \vec {PF_{2}}=4{x}_{0}^{2}-7，可判断B；设直线的方程为，求得切点的纵坐标，与渐近线联立方程组求得交点的坐标，计算可判断C，利用中点坐标公式可判断D. 【详解】 由题意，双曲线，可得，，则， 所以焦点，，设，则，且，即， 由，故A正确； 假设存在点，设，则，且，即， 所以\vec {PF_{1}}\cdot \vec {PF_{2}}=\left(-2-x_{0},-y_{0}\right)\cdot \left(2-x_{0},-y_{0}\right)， 所以不存在点，使得\vec {PF_{1}}\cdot \vec {PF_{2}}=-4，故B错误； 显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，    由 ,得， 又直线与相切，所以，整理得， 所以，即0，解得， 即点的纵坐标为. 不妨设直线与的交点为，与的交点为， 由 ，解得，即点的纵坐标为， 由 ，解得，即点的纵坐标为， 则点，的纵坐标之积为，故C正确； 因为， 所以点是线段的中点，所以，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】 方法点睛：设切线方程与椭圆方程联立，求得切点坐标的纵坐标，与渐近线交点的纵坐标，进而利用代数运算求得结果，体现了平面解析几何的坐标法解决几何问题的特点. 28．（25-26学年高二上·河南部分学校·期中）已知双曲线C的方程为 实轴长和离心率均为2． （1）求双曲线C的标准方程； （2）过且倾斜角为45°的直线l与双曲线C交于A，B两点， 求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由离心率，再结合实轴长求解； （2）设的方程为，与双曲线的方程联立，再利用弦长公式求解. (1) 小问详解： 由离心率，又，则， 又实轴长，所以，所以， 故双曲线的标准方程为； (2) 小问详解： ∵直线的倾斜角为，故其斜率为1，又过点， ∴的方程为，设， 由 ，消去，得， ∴， ∴． 29．（25-26学年高二上·河南多校·期中）若双曲线的实轴长为4，虚轴长为，则该双曲线的离心率等于　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 记实轴长为，虚轴长为，焦距为，由及求解即可. 【详解】 记实轴长为，虚轴长为，焦距为. 则，，所以，，. 所以该双曲线的离心率. 故答案为：. 30．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）若表示焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是　　　　　　. 【答案】 【分析】 由焦点在轴上，得到 ，求解即可. 【详解】 由题意得 ， 解得. 故答案为： 31．（25-26学年高二上·河南濮阳·期中）已知双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，，离心率为，P为E上一点，且． （1）求E的方程； （2）过点且不与x轴重合的直线l交E于A，B两点，点B关于x轴的对称点为，求证：直线恒过点． 【答案】（1）     （2）证明：依题意，设直线l的方程为，，． 联立直线与双曲线的方程，得 消去x并整理，得， ∴，且，解得，且． ∴，． 由题意知，， ∴直线的方程为． 令，得 ， ∴直线恒过点． 【分析】 （1）利用双曲线的性质求得，利用离心率求得，进而求得，可求解析式； （2）设直线l的方程为，，，联立方程组，结合韦达定理得，，求得直线的方程为，令，可求得定点坐标. (1) 小问详解： 设E的半焦距为c（）． 由题意知P在E的右支上，，∴， ∵，∴， ∴， ∴E的方程为． (2) 小问详解： 略 32．（25-26学年高二上·河南新乡·期中）已知双曲线的焦距为8，离心率为2. （1）求双曲线C的标准方程； （2）直线l与圆相切，且与双曲线C的左、右两支分别交于点M，N，求证：. 【答案】（1）     （2）证明：如图， 因为直线l与圆相切， 所以圆心到直线l的距离. 由（1）知，双曲线C的渐近线的斜率为. 因为直线l与双曲线C的左、右两支相交，所以直线l的斜率k存在，且. 设直线l的方程为，则，所以. 由 消去y，整理得. ， 设，，则，，所以. 因为，， 所以 . 把，代入，得 ， 所以，所以.      【分析】 （1）由焦距及离心率求出得解； （2）设直线方程，利用圆与直线相切得出关系，再由直线与双曲线方程联立，利用根与系数的关系，数量积的运算证明即可. (1) 小问详解： 由题意，得，，解得，. 因为， 所以双曲线C的标准方程为. (2) 小问详解： 略 33．（25-26学年高二上·河南青桐鸣大联·期中）设，分别为双曲线：（，）的左、右焦点，点在的右支上，直线与的右支的另一个交点为，若，，则的离心率为　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用双曲线的定义得到，由得到，由得到，设，求出，由及二倍角的余弦公式得到，由即得到， 在中，利用余弦定理建立的等式计算得解. 【详解】 点在的右支上，， ，， ，， 设，，， ，， ， ，，， ，，， 在中，， 即，整理得，则，又，故. 故答案为： 34．（25-26学年高二上·河南焦作·期中）已知双曲线的渐近线方程为，焦距为6. （1）求的方程； （2）过点的直线与交于M，N两点，若以为直径的圆过坐标原点，求的方程. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）根据题意建立的方程组，求出进而即得； （2）设，与双曲线方程联立得，，结合\vec {OM}\cdot \vec {ON}=0求得的值，进而即得直线方程. (1) 小问详解： 由题，可得 ，解得 ， 所以双曲线的方程为. (2) 小问详解： 由题，直线的斜率一定存在，设，，， 联立 ，消去，整理得， 则，即且， ，， 若以为直径的圆过坐标原点，则\vec {OM}\cdot \vec {ON}=0， ， 整理得， ，解得，满足题意， 所以直线的方程为或. 35．（25-26学年高二上·河南商丘·期中）已知离心率为的双曲线经过点. （1）求的方程； （2）已知，是上关于原点对称的两点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 【答案】（1）     （2） 设，， 因为点在双曲线上，所以，即， 所以， 所以为定值.      【分析】 （1）根据离心率公式和将点代入方程，求解即可； （2）设，，代入方程，再利用斜率公式化简得证. (1) 小问详解： 由题意可得 ，解得 ， 所以的方程为； (2) 小问详解： 略 36．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）过点的直线l与双曲线C：交于A，B两点，若\vec {AB}=2\vec {AP}，则直线l的方程为　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用点差法求出直线的斜率，得到直线方程. 【详解】 设，， 则，，所以， 即. 因为\vec {AB}=2\vec {AP}，所以P为线段AB的中点，所以，， 所以. 因为P为线段AB的中点，所以直线l不能垂直于x轴， 所以，即直线l的斜率为， 所以直线l的方程为，即． 联立 可得，， 该方程有两个不等的实数解，故直线与双曲线有两个交点，满足条件， 故答案为：. 37．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知双曲线的离心率是，焦距是6． （1）求的方程； （2）若直线与相交于A，B两点，且\vec {OA}\cdot \vec {OB}=-\frac{25}{3}（为坐标原点），求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）依题意求出、，即可求出，从而求出方程； （2）设，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，再根据数量积的坐标表示得到方程，代入，求出的值. (1) 小问详解： 因为双曲线：（，）的离心率是，焦距为6， 所以，，其中，解得，， 所以. 所以的方程为. (2) 小问详解： 如图， 设，， 联立方程 消去得， 因为直线：与相交于，两点， 所以 ，即且， 由韦达定理得， 又\vec {OA}=\left(x_{1},y_{1}\right)=\left(x_{1},kx_{1}+1\right)，\vec {OB}=\left(x_{2},y_{2}\right)=\left(x_{2},kx_{2}+1\right)， 所以\vec {OA}\cdot \vec {OB}=x_{1}x_{2}+\left(kx_{1}+1\right)\cdot \left(kx_{2}+1\right)=-\frac{25}{3}， 所以， 将韦达定理代入上式，得， 即，解得，满足且. 38．（2026·河南百师联盟·联考）已知直线与双曲线相切，双曲线的左､右顶点分别为．若是双曲线上一点（异于点），则直线的斜率和直线的斜率之积为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先列出直线斜率的表达式，然后联立直线与双曲线的方程，令判别式为0，即可求出的值，进而求出结果. 【详解】 因为双曲线的方程为，所以． 设，则，直线的斜率，直线的斜率， 所以． 因为点在双曲线上，所以满足， 化简得，所以． 联立直线与双曲线的方程，得 消去，整理得． 由题意得 解得，所以． 故答案为：. 39．（2026·河南百师联盟·联考）已知双曲线的渐近线上一点到左焦点的最短距离为． （1）求双曲线的方程； （2）O为坐标原点，直线与双曲线的左支交于A、B两点，与渐近线交于C、D两点，A与C在x轴的上方，B与D在x轴的下方． ①求实数t的取值范围． ②设、分别为的面积和的面积，求的取值范围． 【答案】（1）；     （2）①；②      【分析】 （1）根据焦点到渐近线距离求出，再求出即可得解. （2）（ⅰ）直线与双曲线方程联立消元后由根与系数关系及直线与左支相交可得； （ⅱ）根据弦长公式及点到直线的距离分别求出三角形面积，根据面积表达式换元后利用不等式性质求出范围. (1) 小问详解： 设双曲线的焦距为，且， 则到直线的距离为，解得，， 所以双曲线的方程为． (2) 小问详解： （ⅰ）设，由 ，消去得， 则，， 由直线与双曲线左支交于两点，得，解得， 所以的取值范围为. （ⅱ）由（ⅰ）知，， 原点到直线的距离，设， 由 ，消去得，则， 则， 于是， 令，则， 所以的取值范围为． 40．（2026·河南百师联盟·联考）已知O为坐标原点，双曲线C：（，）的左、右焦点分别是，，离心率为，点P是C的右支上异于顶点的一点，过作的平分线的垂线，垂足是M，，则点P到C的两条渐近线距离之积为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 首先画出图形，根据题意先确定是等腰三角形，然后根据双曲线的定义可求得，然后根据离心率求得双曲线的方程，从而得到渐近线方程，然后根据点到直线的距离公式即可求出结果. 【详解】 设半焦距为，延长交于点， 由于是的平分线，， 所以是等腰三角形，所以，且是的中点， 根据双曲线的定义可知，即. 由于是的中点，所以是的中位线， 所以，又双曲线的离心率为， 所以，所以双曲线的方程为. 所以，双曲线的渐近线方程为. 设，点到两渐近线的距离为， 则. 又点在双曲线的右支上，所以，即. 则点到两渐近线的距离为. 故答案为：. 41．（25-26学年高二上·河南新乡·期中）双曲线的右焦点为，为坐标原点，点在双曲线上，且轴.若是等腰直角三角形，则双曲线的离心率为　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据题意，双曲线右焦点，由，可得，又是等腰直角三角形，即，进而建立齐次方程，化简整理，即可求解. 【详解】 由题意，点为双曲线的右焦点，所以， 将代入双曲线的方程，得， 又，所以， 又是等腰直角三角形，所以，所以，即， 又，即，所以，化简得， 解得或（舍），即双曲线C的离心率为. 故答案为： 42．（25-26学年高二上·河南青桐鸣大联·期中）已知双曲线：（）的渐近线方程为. （1）求的值. （2）设为坐标原点，为的右焦点，过的直线与交于，两点. （ⅰ）若直线的斜率为2，求； （ⅱ）若直线，的斜率之积为，求直线的方程. 【答案】（1）     （2）（i）（ii）或      【分析】 （1）根据双曲线的渐近线方程，求出双曲线方程； （2）（i）先设直线的方程，联立双曲线方程，消元化简，结合韦达定理和弦长公式计算得到弦长. （ii）设直线的方程，联立双曲线方程，消元化简，结合韦达定理和斜率公式，根据题中条件列出等式解得参数，进而得到直线方程. (1) 小问详解： 已知双曲线：（）的渐近线方程为. 可得，解得 (2) 小问详解： 由（1）知，双曲线：，根据，可得， 所以右焦点，设， （ⅰ）若直线的斜率为2，则直线的方程为，即， 联立 ，消得，化简得， 由韦达定理得， 根据弦长公式； （ⅱ）由题可知直线的斜率不为，设直线的方程为，联立 ， 消得，化简得， 根据韦达定理得，， 所以 ， 因为直线，的斜率之积为，所以，可得， 化简得，解得或， 所以直线的方程为或 43．（25-26学年高二上·河南南阳南阳地区·期中）已知双曲线：（，）过点，且离心率为． （1）求双曲线的方程． （2）已知，分别是双曲线的左、右顶点，，分别是其左、右焦点． ①若是双曲线上异于，的一点，且，证明：的面积小于． ②过右焦点的直线与的右支交于，两点，若直线与交于点，证明：点在定直线上． 【答案】（1）；     （2） （2）① 由题意可知，，，， 因为， 又因为，即 又因为,, 在中，由余弦定理可得， 即, 由题意可得，所以上式不能取等号， 所以， 所以， 又因为三角形与三角形的高相等，且， 所以； ②在定直线上.      【分析】 （1）根据离心率为，过点，求解即可； （2）① 在三角形中，由余弦定理及基本不等式可得，再由，三角形与三角形的高相等，可得，即可得证； ② 分直线与轴不垂直和直线与轴垂直两种情况分别求解即可. (1) 小问详解： 因为双曲线的离心率为， 所以， 所以， 所以双曲线方程为， 又因为双曲线过点， 所以， 解得， 所以双曲线方程为 (2) 小问详解： ① 略 ② 当直线与轴不垂直时，设的方程为， 由 ，得， 又因为与右支交于，两点， 所以 ， 所以； 设 则， 所以直线的方程为， 直线的方程为， 由， 得， 即， 整理得 ； 当直线与轴垂直时，的方程为， 由 ，解得 或 ， 不妨设 则直线的方程为； 直线的方程为， 由, 得， 所以， 即， 解得， 综上，点M在直线上. 44．（2026·河南百师联盟·联考）已知双曲线的左焦点为，的一条渐近线方程为，其顶点到渐近线的距离为2. （1）求的方程； （2）过的直线与交于，两点，为坐标原点.若的面积为，求直线的方程. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）根据焦点在轴上的双曲线的渐近线方程以及顶点坐标和点到直线的距离公式列出方程组，解方程组后代入双曲线标准方程即可； （2）设出直线，联立直线和双曲线的方程，根据弦长公式得到三角形的底，再根据点到直线的距离公式得到三角形的高，列出关于面积的方程，求解后代入直线即可. (1) 小问详解： 因为一条渐近线方程为，其顶点到渐近线的距离为2. 所以 ，解得 ， 所以的方程为. (2) 小问详解： 由题知，且直线的斜率不为， 设直线的方程为，，， 联立方程 ，消得， ， 所以，， 设到的距离为，则， ， 所以，解得， 所以直线的方程为或. 45．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知双曲线C：的右焦点为，渐近线方程为. （1）求C的方程. （2）若动直线l过点F，且与C交于M，N两点（M在第一象限，N在第四象限），过点M作直线的垂线，垂足为D. （i）证明：直线DN恒过点； （ii）设O为坐标原点，的面积为S，求S的最小值. 【答案】（1）     （2）（i）设l：，点，，. 由 可得， 因为l与C在第一象限和第四象限各有一个交点，所以， 且，， 直线DN：， 令，得， 又， 所以直线DN恒过点. （ii）15      【分析】 （1）由渐近线方程与右焦点建立方程，结合双曲线标准方程，可得答案. （2）（i）设出点的坐标以及直线方程，联立方程组，写出韦达定理，由题意整理代数式，结合直线过定点，可得答案；（ii）由题意作图，利用三角形面积公式，整理其函数解析式，根据函数单调性，可得答案. (1) 小问详解： 由题意知 解得 所以C的方程为. (2) 小问详解： （i）略 （ii）如图，设， 则. 设，则，在上单调递增， 所以当时，S取最小值，最小值为15. 46．（2026·河南九师联盟·质量检测）已知双曲线经过两点，其左､右焦点分别为，过点的直线与的右支交于两点. （1）求的方程； （2）若的周长为，求直线的方程； （3）记点，直线与的左支分别交于点，证明：直线过定点. 【答案】（1）；     （2）或；     （3）.      【分析】 （1）代入两点坐标得到方程组，解出即可； （2）根据双曲线定义求出，再设直线，联立双曲线方程得到韦达定理式，再利用弦长公式得到方程，解出即可； （3）写出直线的方程，将其与双曲线方程联立，求出点坐标，写出直线方程，化简得到定点坐标. (1) 小问详解： 由双曲线经过点两点， 得 ，解得 ， 故的方程为． (2) 小问详解： 因为,均在的右支上，且的周长为， 所以． 由双曲线的定义，知，所以． 由（1）知，显然直线的斜率不为0， 则设直线，代入整理得． 由题知， 设，则． 因为,均在的右支上，所以，所以， 所以 ，解得， 所以直线的方程为或． (3) 小问详解： 由题意得直线的方程为． 代入，得． 设，则，所以， 则，所以． 同理得． 当时，， 所以， 所以直线的方程为，即． 所以直线过定点． 当时，的方程为，易求． 所以过定点． 综上，直线过定点． 47．（2026·河南九师联盟·质量检测）已知是双曲线的左､右焦点，是左支上一点，是右支上一点，且，则双曲线的离心率为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 采用设点法，根据向量共线比例得 ，再将其代入双曲线方得到的表示，再根据得，联立得到的另一种表示，从而得到关于的齐次方程，转化为离心率方程，解出即可. 【详解】 如图所示，设， 则，． 因为，所以 ， 因为，在双曲线上，所以 ， 又因为，所以是以为直径的圆与的交点， 所以．又， 联立得 ， 所以，整理得， 解得或（，舍去），所以． 故答案为： 48．（25-26学年高二上·河南濮阳·期中）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点M在E的右支上，点N在y轴上，且，\vec {F_{2}N}=\frac{3}{2}\vec {MF_{2}}，则E的离心率为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 依题设点，，利用\vec {F_{2}N}=\frac{3}{2}\vec {MF_{2}}，代入坐标计算可得 ，再由\vec {MF_{1}}\cdot \vec {NF}_{1}=0，化简后将结论代入可得，利用点是E的右支上的一点，建立关于的方程，求解即得离心率. 【详解】 如图： 设点，则，，因 ，则\vec {F_{2}N}=\left(-c,n\right),\vec {MF_{2}}=\left(c-s,-t\right)， 由\vec {F_{2}N}=\frac{3}{2}\vec {MF_{2}}可得 ，解得 （*）， 又，可得\vec {MF_{1}}\cdot \vec {NF}_{1}=\left(-c-s,-t\right)\cdot \left(-c,-n\right)=c^{2}+cs+nt=0， 将（*）代入整理得，即. 又点是E的右支上的一点，故，将以上结论代入可得， 因代入可得，化简得， 两边同除以，可得，解得或，因，故，则. 故答案为： 考点03 抛物线 1．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）抛物线的焦点到准线的距离为（       ） A. 4 B. 2 C.  D.  【答案】B 【分析】 根据抛物线的方程求得焦点和准线，即得答案. 【详解】 由题意知该抛物线的焦点为， 准线方程为， 故焦点到准线的距离为2． 故选：B． 2．（25-26学年高二上·河南部分学校·期中）已知点P是抛物线上任意一点，若点P到抛物线C的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由抛物线方程可得焦点与准线，根据抛物线定义，结合图象，可得答案. 【详解】 抛物线的焦点为，准线方程为， 过点F作，交直线m于点E，    由抛物线的定义可知，， 所以当P在线段上时，取得最小值，． 故选：B. 3．（25-26学年高二上·河南部分学校·期中）抛物线的焦点坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先确定抛物线类型，计算焦点坐标即可. 【详解】 抛物线的开口向左，焦点在轴的负半轴， 因为，所以焦点坐标为， 故选：C. 4．（25-26学年高二上·河南多校·期中）抛物线的焦点到准线的距离为（       ） A.  B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【分析】 由抛物线定义和方程即可得解. 【详解】 由题意知，所以焦点到准线的距离为3. 故选：B. 5．（25-26学年高二上·河南南阳南阳地区·期中）已知某抛物线的顶点为坐标原点，焦点在直线上，则该抛物线的标准方程为（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】D 【分析】 先求得焦点坐标，再根据焦点坐标求解抛物线方程即可. 【详解】 直线与轴的交点为，与轴的交点为， 当抛物线的焦点在轴上时，可得焦点坐标为，此时抛物线的标准方程为； 当抛物线的焦点在轴上时，可得焦点坐标为，此时抛物线的标准方程为. 故选：D 6．（25-26学年高二上·河南信阳固始县·期中）（多选）过抛物线x2＝my(m≠0)的焦点且与y轴垂直的直线与抛物线交于A，B两点，若三角形ABO的面积为2，则m的值可能为（       ） A. 4 B. －4 C. 2 D. －2 【答案】AB 【分析】 根据已知及抛物线方程求，结合三角形ABO的面积列方程求参数m的值. 【详解】 由题设，抛物线焦点为，则坐标为，故， 所以，可得. 故选：AB 7．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）若抛物线上的点到其焦点的距离为，则实数m的值为（       ） A. 2 B. 3 C.  D. 3 【答案】C 【分析】 根据题意，求得抛物线的准线方程，由抛物线的定义转化为点到准线的距离为，求得的值，进而求得的值，得到答案. 【详解】 由抛物线，可得，则焦点，准线方程为， 因为点到其焦点的距离为， 根据抛物线的定义，可得点到准线的距离为，即，解得， 所以，因为，所以. 故选：C. 8．（2026·河南九师联盟·质量检测）设为坐标原点，为抛物线的焦点，点在抛物线上.若，则（       ） A. 3 B. 4 C.  D.  【答案】D 【分析】 根据给定条件，利用抛物线定义，结合两点间距离公式求解. 【详解】 抛物线的焦点，准线方程为，设点，则， 由，得，解得，所以. 故选：D 9．（25-26学年高二上·河南焦作·期中）已知抛物线的焦点为，过点作直线与交于，两点，线段的中点为，过点作轴的垂线交于点，若，则的斜率为（ ） A.  B. ±1 C.  D. ±2 【答案】B 【分析】 由题可得轴，得，设出直线方程与抛物线方程联立，得，进而求得答案. 【详解】 由可得,将代入方程，解得, ，可得轴，从而点的纵坐标为2或， 显然直线的斜率存在，设直线，，， 将直线方程代入抛物线，消去，整理得， ，依题意，即，解得. 所以直线的斜率为. 10．（25-26学年高二上·河南部分学校·期中）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹是（     ） A. 抛物线 B. 双曲线的一支 C. 椭圆 D. 圆 【答案】C 【分析】 由圆与圆的位置关系确定，，，再利用椭圆的定义可求. 【详解】 如图，设动圆的圆心为，半径为， 由题意得圆：，圆：， 则，，， 所以，所以点的轨迹为以，为焦点，长轴长为的椭圆（除去点）. 故选：C. 11．（25-26学年高二上·河南濮阳·期中）（多选）已知抛物线C：（）的焦点为，过点F的直线l与C交于A，B两点，则下列结论正确的是（       ） A.  B. 若，则 C. 原点O在l上的射影在圆上 D. 若\vec {AF}=3\vec {FB}，则AB中点的横坐标为 【答案】ABD 【分析】 利用抛物线焦点坐标直接求参数可判定A；设直线l的方程，与抛物线联立结合韦达定理计算可判定B、D；求得原点O在l上的射影所在圆的方程判断C. 【详解】 对于A项，由抛物线方程可知其焦点坐标，即，解得，故A错误； 对于B项，设线l的方程为，，不妨设， 与抛物线联立 ，则，又，， 所以，易得，所以，所以， 所以，所以，所以， 所以，故B正确； 对于D项，由上可知若\vec {AF}=3\vec {FB}，则 ， 又，解之得 ，此时 ， 所以易得中点的横坐标为，故D错误； 对于C项，当斜率不存在时，此时原点O在上的投影为， 当斜率存在时，不妨设原点O在上的投影为Q，则为直角三角形， 则Q在以为直径的圆上，该圆圆心为，半径为， 所以点Q是圆上的点，故C错误； 故选：ABD. 12．（25-26学年高二上·河南濮阳·期中）已知抛物线C：（）的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线与C及其准线l分别交于点A，B（A在线段BF上），，则（       ） A. 1 B.  C. 2 D. 4 【答案】B 【分析】 利用平面几何知识可求得点F到准线的距离，进而可求得. 【详解】 作出示意图如图所示：    因为直线BF的倾斜角为，所以， 过作垂直准线于，所以，因为，所以， 所以，所以，所以，所以. 故选：B. 13．（25-26学年高二上·河南新乡·期中）（多选）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F且斜率为的直线交抛物线C于A，B两点.以F为圆心，FA为半径的圆交准线l于M，N两点（点M在x轴上方）.以下说法正确的有（       ） A.  B.  C. 的面积是 D.  【答案】ABD 【分析】 根据焦点坐标计算求解得出进而判断A，D，再应用圆的性质及三角形面积计算判断B，C. 【详解】 由题意知，，，直线l的方程为，直线AB的方程为. 由 消去y，整理得，解得或. 因为圆F与准线l相交，所以，所以点A的横坐标，所以，， 所以，，，故A正确. 因为，所以由圆的对称性可知，，所以，，故B正确. 由圆的对称性可知，点，所以. 因为，所以点B到直线l的距离， 所以的面积，故C错误. 由以上分析可知，，所以，故D正确. 故选：ABD. 14．（2026·河南百师联盟·联考）已知抛物线的焦点为，点在上，过点作的准线的垂线，垂足为．若直线的方程为，则（       ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【分析】 先由直线求出焦点、准线方程，得及抛物线的方程，进而得点B，从而可依次求出和，再由焦半径公式即可得解. 【详解】 对于直线，令，解得， 所以抛物线的焦点为,准线方程为． ，解得， 所以抛物线的方程为， 设的坐标为，则 ， ∴的坐标为，则，得，所以． 由抛物线的定义，得． 故选：C． 15．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知P为抛物线上的任意一点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为（     ） A. 3 B.  C. 4 D.  【答案】C 【分析】 过点P作抛物线准线l的垂线段，垂足为Q，过点作，垂足为，由抛物线定义得到即可求解. 【详解】 由题意知抛物线的焦点为，准线的方程为. 如图，过点P作抛物线准线l的垂线段，垂足为Q，过点作，垂足为. 由抛物线的定义得， 所以，当三点共线时取等号， 故的最小值为. |    故选：C 16．（2026·河南九师联盟·质量检测）已知点是抛物线上的一点，设点到直线和的距离分别为，，则的最小值为（       ） A. 5 B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据抛物线的定义得，从而转化为求的最小值，最后转化为计算点到直线的距离即可. 【详解】 由题知的焦点，准线方程为．因为点在上，所以， 所以．联立方程组 得， 则， 所以直线与无公共点， 如图所示，的最小值即为点到直线的距离， 所以最小值为，即的最小值为5． 故选：A． 17．（2026·河南九师联盟·质量检测）（多选）已知点是抛物线上一点，的准线与轴交于点，圆是以的焦点为圆心，半径为1的圆，点是圆上一点，则下列说法正确的是（       ） A. 圆的方程为 B. 若直线与相切，则直线的斜率为 C. 存在点，使得点是线段的中点 D. 的正切值最大为 【答案】AC 【分析】 求出即可得到圆方程即可判断A，设直线的方程为，联立抛物线方程，根据判别式等于0即可判断B；对C，设，根据中点坐标公式得到的坐标，再代入圆的方程解出即可；找到两个相切位置即可角度最大的时候，再利用两角和正切公式即可判断D. 【详解】 对A，由题知，的焦点为，准线方程为， 所以，圆的方程为，A正确； 对B，显然直线斜率不存在时不符合题意，则设直线的方程为， 与联立整理得， 则，解得，B错误； 对C，设，则， 将点B代入整理得，解得， 所以存在点，，使得为中点，C正确； 由B可知，， 当与圆相切时，有，所以， 所以，当与B在不同象限，且与相切，与圆相切时， 最大，为 此时， 所以，D错误． 故选：AC． 18．（25-26学年高二上·河南青桐鸣大联·期中）（多选）设抛物线：（）的焦点为，直线交于，两点（，在不同的象限），交轴于点，且，，，过作的准线的垂线，垂足为，设点，则下列说法正确的是（     ） A.  B. 抛物线的方程为 C. 直线的方程为 D. 直线与直线关于直线对称 【答案】ACD 【分析】 A选项，根据抛物线的定义计算；B选项，利用焦半径公式得到，然后利用相似列方程，最后解方程即可；C选项，根据点坐标求直线方程即可；D选项，根据点到直线和直线的距离相等得到为的角平分线，然后判断即可. 【详解】    由抛物线的定义可得，所以，故A正确； 由题意得，， 因为，所以，解得， 所以抛物线的方程为，故B错； ，，所以，，或， 或， 所以直线的方程为或， 整理得，故C正确； ，则直线的方程为， 点到直线的距离为，点到直线的距离为，所以为的角平分线，所以直线与直线关于直线对称，故D正确. 故选：ACD. 19．（2026·河南百师联盟·联考）（多选）已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】ACD 【分析】 对于A，先判断得直线为抛物线的准线，再利用抛物线的定义即可判断；对于B，利用三角形相似证得，进而得以判断；对于C，利用直线的反设法（法一）与正设法（法二），联立直线与抛物线方程，结合韦达定理与焦点弦公式可判断C；利用利用三角形相似证得，，结合焦半径公式可判断D. 【详解】 法一：对于A，对于抛物线， 则，其准线方程为，焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确； 对于B，过点作准线的垂线，交于点， 由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，易知直线的斜率不为， 设直线的方程为，， 联立 ，得， 易知，则， 又，， 所以， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，在与中，， 所以，则，即， 同理， 又 ， ， 所以， 则，故D正确. 故选：ACD. 法二：对于A，对于抛物线， 则，其准线方程为，焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确； 对于B，过点作准线的垂线，交于点， 由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，当直线的斜率不存在时，； 当直线的斜率存在时，设直线方程为， 联立 ，消去，得， 易知，则， 所以 ， 综上，，故C正确； 对于D，在与中，， 所以，则，即， 同理， 当直线的斜率不存在时，，； 所以，即； 当直线的斜率存在时，， ， 所以， 则； 综上，，故D正确. 故选：ACD. 20．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）（多选）已知抛物线：的焦点为，若过点的直线与交于两点，且在第一象限，为坐标原点，则下列说法正确的是（     ） A. 面积的最小值为2 B. 当直线的倾斜角为时， C. 线段的中点到的准线的距离等于 D. 在x轴上存在一点，使直线与的斜率之和为定值 【答案】ACD 【分析】 直线AB的方程为，，，联立抛物线方程，得到，，由可判断A，由焦点弦长公式可判断B，由弦长公式可判断C，由斜率公式结合韦达定理得到，可判断D. 【详解】 由题意知，设直线AB的方程为，，， 联立直线与抛物线的方程，得 消去整理得，则，. 对于A，， 故时，的面积取得最小值，为2，故A正确； 对于B，当直线AB的倾斜角为时，直线AB的方程为， 将代入，得，解得，， 所以，，所以，故B错误； 对于C，由题意知C的准线方程为，由前面的分析，知，， 所以， 又， 所以，故C正确； 对于D，由前面的分析，知，， 设，则 ， 所以当时，为定值0，即存在，使为定值，故D正确. 故选：ACD 21．（2026·河南百师联盟·联考）抛物线的焦点坐标为　　　　　． 【答案】 【分析】 由抛物线的性质即可得出答案. 【详解】 由抛物线方程知，抛物线焦点在y轴上， 由，得，所以焦点坐标为． 故答案为：. 22．（25-26学年高二上·河南部分学校·期中）已知是抛物线：的焦点，为上一点，为坐标原点，，且的面积为． （1）求的方程； （2）已知直线与交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由题意写出点横坐标代入抛物线方程，求出三角形高，利用三角形求出即可得解； （2）分直线斜率是否存在讨论，当斜率不存在时不符合题意，当斜率存在时，利用点差法求出斜率即可得解. (1) 小问详解： 由题意可知，点F的坐标为， 因为，所以点P的横坐标为，不妨设， 将点P坐标代入得， 所以的面积，解得， 所以C的方程是. (2) 小问详解： 当直线AB的斜率不存在时，线段AB的中点在x轴上，点(1,1)显然不在x轴上，不合题意. 当直线AB的斜率存在时，不妨设直线AB的斜率为k ，， 则 ，两式相减得， 因为点(1,1)是线段AB的中点，所以， 所以 所以直线的方程为，即. 23．（25-26学年高二上·河南多校·期中）（1）求焦点关于准线的对称点为的抛物线的标准方程； （2）求与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程. 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）由抛物线的几何性质求解； （2）设所求双曲线的方程为进行求解． 【详解】 （1）由题意知在轴的正半轴上，故设所求抛物线方程为， 所以，准线方程为， 因为关于直线的对称点为， 所以， 解得，故所求抛物线的标准方程为. （2）设所求双曲线的方程为， 将点代入上述方程，得， 所以，所以， 故所求双曲线的方程为. 24．（25-26学年高二上·河南多校·期中）已知直线为抛物线的准线，为上的一个动点，则点到的距离与到直线的距离之和的最小值为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 记的焦点为，利用抛物线的定义将问题转化为点到直线的距离. 【详解】 记的焦点为，则， 由抛物线的定义知点到的距离等于点到的距离， 故点到的距离与到直线的距离之和即点到的距离与到直线的距离之和 其最小值为点到直线的距离. 故答案为：. 25．（25-26学年高二上·河南青桐鸣大联·期中）已知抛物线：（）经过点. （1）求抛物线的焦点的坐标； （2）设直线经过点，且斜率为，若与有2个交点，求实数的取值范围. 【答案】（1）；     （2）或.      【分析】 （1）将点代入抛物线方程计算求出，求出焦点坐标即可； （2）设直线的方程为点斜式，联立直线和抛物线，消去，整理得到关于的一元二次方程，利用计算得解. (1) 小问详解： 抛物线：（）经过点， ，，，抛物线的焦点的坐标为； (2) 小问详解： 设直线经过点，且斜率为，设直线的方程为， 联立 ，消去，整理得到， 与有2个交点，， ，或. 实数的取值范围为或. 26．（25-26学年高二上·河南南阳南阳地区·期中）已知抛物线的焦点为，斜率为4的直线与抛物线交于点，与轴交于点． （1）若，求直线的方程； （2）若\vec {AD}=2\vec {DB}，求． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，得关于的一元二次方程，根据韦达定理，.由抛物线的定义，将，转化为，从而得到. （2）由\vec {AD}=2\vec {DB}，得，结合（1）求得点的坐标，根据两点间距离公式求得. (1) 小问详解： 设直线的方程为． 由 消去，整理得． 因为直线与抛物线有两个交点，所以，解得． ． 因为，所以，解得， 所以直线的方程为． (2) 小问详解： 设直线的方程为，则. 因为\vec {AD}=2\vec {DB}，所以，所以． 因为由（1）知，所以． 由 ，解得 ，所以，即． 所以． 27．（25-26学年高二上·河南焦作·期中）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于A，B两点，若，则　　　　　. 【答案】6 【分析】 由抛物线定义结合相似三角形列式求解. 【详解】 如图，设直线与抛物线准线交于点，抛物线准线与轴交于点， 分别过点作准线的垂线，垂足分别为， 由抛物线定义可得，由已知,，设， 由，得，即，解得， 又，得，即，解得，即. 故答案为：6. 28．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知抛物线的焦点为F，P是C上一点，线段PF的中点为． （1）求C的方程； （2）若，O为原点，点M，N在C上，且直线OM，ON的斜率之积为2024，求证：直线MN过定点． 【答案】（1），或     （2） 因为，所以C的方程为， 设，，直线MN的方程为， 与联立，得， 则，， 因为直线OM，ON的斜率之积为2024， 所以， 所以． 直线MN的方程为，故直线MN过定点．      【分析】 （1）设，根据线段PF的中点坐标得到，，然后代入到抛物线方程中，解方程得到即可得到抛物线的方程； （2）设直线的方程，然后与抛物线方程联立，利用直线OM，ON的斜率之积为2024和韦达定理列方程得到，即可得到直线MN过定点. (1) 小问详解： 解：由题意得，设， 因为线段PF的中点为， 所以，，所以，， 代入C的方程得， 解得，或， 所以C的方程为，或． (2) 小问详解： 略 29．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知抛物线C：的焦点为F，点，点M是抛物线C上一个动点，当取最小值时，点M的坐标为　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据抛物线的定义，结合图象，转化，利用数形结合，求最小值，即可求点的坐标. 【详解】 分别过M，A作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为，，则，当且仅当A，M，三点共线时，等号成立，所以的最小值为，此时点M的坐标为． 故答案为： 30．（25-26学年高二上·河南多校·期中）已知右焦点为的椭圆过点. （1）求的方程； （2）若点在上，点为圆上一点，求的最大值； （3）过点的直线与交于点，与抛物线交于点，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）     （2）     （3）存在      【分析】 （1）由 求解； （2）利用两点间距离公式将距离问题转化为函数求最值即可； （3）由题意得直线的斜率不为0，故设的方程为，将直线方程分别与椭圆方程和抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式求解即可. (1) 小问详解： 由题意得 解得 ，所以的方程为. (2) 小问详解： 设，由题意知， 所以， 因为，所以当时，， 所以\left| MN| _{\max }=| ME| _{\max }+\sqrt{3}=6+\sqrt{3}. (3) 小问详解： 由题意得直线的斜率不为0， 故设的方程为 联立直线与的方程，得 消去并整理，得， 所以. 所以. 联立直线与抛物线的方程， 得 消去并整理， 得， 所以， 所以， 所以， 若为定值，则，即， 所以存在，使得为定值. 31．（25-26学年高二上·河南南阳南阳地区·期中）已知抛物线的焦点为，为坐标原点，射线分别与抛物线交于异于的点，且\vec {OA}\cdot \vec {OB}=0，直线垂直于，垂足为，则\vec {OF}\cdot \vec {OM}的取值范围为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 设抛物线上异于的点，其中，根据条件可得，结合两直线垂直计算得到点的横坐标，分类讨论，进而计算得到\vec {OF}\cdot \vec {OM}的取值范围. 【详解】 设抛物线上异于的点，其中， 由\vec {OA}\cdot \vec {OB}=0，得， 直线的斜率，其方程， 化简得， 焦点，直线垂直于，故直线的斜率为， 方程为， 联立 ，解得， 则\vec {OF}\cdot \vec {OM}=\frac{\left(t_{1}+t_{2}\right)^{2}+16}{4+\left(t_{1}+t_{2}\right)^{2}}=1+\frac{12}{\left(t_{1}+t_{2}\right)^{2}+4} 当，，故，从而 因此，当时，.当时，.\vec {OF}\cdot \vec {OM}\in \left(1,4\right). 当，此时垂直与轴，点在轴上且是的中点，由\vec {OA}\cdot \vec {OB}=0， 得，解得故，所以的横坐标为，\vec {OF}\cdot \vec {OM}=4 综上，\vec {OF}\cdot \vec {OM}的取值范围为， 故答案为： 32．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知抛物线，直线m过点且与抛物线相交于两点，直线分别与抛物线的准线l相交于两点． （1）若点P是抛物线 上任意一点，点P在直线l上的射影为Q，求证： （2）求证：以为直径的圆过坐标原点； （3）求的最小值． 【答案】（1）证明： 由题意可知，直线方程为， 如图所示，设点，则， 所以， 因为，所以， 所以.     （2）证明： 如图所示，作中点，连接， 由题意可知，直线斜率一定存在，设直线方程为，设， 可得 ，消去得，可知恒成立， 可得. 则， 则， 可知点， 因为. 所以，则， 可得，所以以为直径的圆过坐标原点.     （3）2      (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 如图所示，直线方程为，直线方程为， 因为直线方程为，所以， 则， 因为 所以， 所以当时，取最小值. 33．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知直线l：与抛物线C：相切于点P. （1）求C的方程以及点P的坐标. （2）过点的动直线L与C交于A，B两点（均不与点P重合），AB的中点为M. （i）当轴时，求L的方程； （ii）设直线PA，PB的斜率分别为，，证明：为定值. 【答案】（1），     （2）（i）； （ii）由（i）可得， . 所以， 即为定值.      【分析】 （1）联立方程，根据直线与曲线相切，可知方程根的个数，利用一元二次方程根的判别式，可得参数值，从而可得答案. （2）（i）由题意设出直线方程，联立方程，再根据一元二次方程根的判别式，可得答案；（ii）根据一元二次方程，根与系数关系，整理算式，建立方程，可得答案. (1) 小问详解： 由 可得（*）， 由题意知，解得（舍去）， 所以C的方程为. 将代入（*）式可得，解得， 将代入C的方程可得：，即. (2) 小问详解： （i）易知L的斜率存在且不为0，设， 与C的方程联立，得. 由及点P不在L上，得或或. 设，，则，. 当轴时，，即，满足题意， 所以L的方程为. （ii）略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆锥曲线的方程 3大高频考点概览 考点01 椭圆 考点02 双曲线 考点03 抛物线 考点01 椭圆 1．（25-26学年高二上·河南开封五校·期中）方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 k 的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·河南焦作·期中）椭圆的焦距为（       ） A.  B. 6 C.  D. 2 3．（25-26学年高二上·河南驻马店·期中）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，点在上，则（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 4．（2026·河南九师联盟·质量检测）（多选）已知椭圆的焦距为2，则的值可能是（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5．（25-26学年高二上·河南多校·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为为上顶点，则（       ） A. 的长轴长为5 B. 的离心率等于 C.  D. 的周长为14 6．（25-26学年高二上·河南青桐鸣大联·期中）椭圆的短轴长为（     ） A.  B.  C. 6 D. 3 7．（25-26学年高二上·河南南阳南阳地区·期中）已知点，，M是椭圆上一点，点满足，则的最大值为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·河南郑州·期中）已知椭圆为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，连接并延长交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·河南商丘·期中）已知，分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  10．（2026·河南百师联盟·联考）（多选）已知椭圆的焦距大于，则的取值可以为（       ） A. 2 B. 8 C.  D. 36 11．（2026·河南百师联盟·联考）已知椭圆的两个焦点分别为，点在椭圆上，则椭圆的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）（多选）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经该椭圆反射后，反射光线经过另一个焦点.已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，一条光线从出发，经过椭圆的若干次反射，第二次经过点时光线走过的路程为8c，则该椭圆的离心率可能为（     ） A.  B.  C.  D.  13．（2026·河南九师联盟·质量检测）已知方程表示椭圆，则实数m的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高二上·河南部分学校·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且满足.若椭圆的离心率为，则的余弦值为（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高二上·河南新乡·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，若，则的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高二上·河南新乡·期中）已知椭圆的离心率为，短轴为，是椭圆上一点（不与点重合），则面积的最大值为（       ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高二上·河南多校·期中）已知实数，满足，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年高二上·河南南阳南阳地区·期中）法国数学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆的方程为，则椭圆的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年高二上·河南郑州·期中）山西陶寺遗址是中国新石器时代晚期的重要都城遗址，其考古发现的祭祀区中有一处近似椭圆的小型夯土基地，经测量，该基址的长轴长为20米，短轴长为16米，现计划在椭圆中心建立原点，长轴所在直线为轴，短轴所在直线为轴，建立平面直角坐标系，若在椭圆基址的边缘某处点（即点在椭圆上），搭建一个临时观测台，则点到椭圆左焦点的距离的最大值为（       ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 20．（25-26学年高二上·河南开封五校·期中）椭圆是轴对称图形，亦是中心对称图形，因其对称性，受到一些艺术制品设计者的青睐.现有一工艺品，其图案的基本图形由正方形和内嵌其中的“斜椭圆”组成（如图）．在平面直角坐标系中，将标准方程表示的椭圆绕着对称中心旋转一定角度，可得“斜椭圆”.已知一“斜椭圆”的方程为，则该“斜椭圆”的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年高二上·河南开封五校·期中）（多选）已知是椭圆的左､右焦点，是上一点，若是直角三角形，则（       ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年高二上·河南郑州·期中）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（       ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年高二上·河南月期中学·期中）已知为椭圆的两个焦点，P为C上一点，则的最大值等于（       ） A. 2 B.  C.  D.  24．（25-26学年高二上·河南月期中学·期中）若，则“”是“方程表示椭圆”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 25．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）（多选）数学家伯努利仿照椭圆的定义，找到了一种新的曲线：伯努利双纽线．他是这样定义双纽线的：设两个定点，动点到的距离之积为的点的轨迹．则下列说法正确的是（       ） A. 双纽线有对称中心和对称轴 B. 双纽线的方程是 C. 的最大值为 D. 面积的最大值为 26．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）椭圆C：的左、右焦点分别为 ，A为左顶点，P为椭圆C上一点，且\vec {PF_{2}}\cdot \vec {PA}=0\mathrm{，}\left\langle \vec {F_{2}A}\mathrm{，}\vec {F_{2}P}\right\rangle =\frac{\pi }{3}，则椭圆C的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  27．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知是椭圆的左､右焦点，为上一点，则的最小值为（       ） A. 1 B.  C. 2 D. 4 28．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知点A是椭圆C：（）的下顶点，F是C的右焦点，延长AF交C于点B，若\vec {AF}=2\vec {FB}，则C的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  29．（2026·河南百师联盟·联考）已知椭圆及其上点，过右焦点的直线与椭圆交于不同两点（均异于点）．若直线的斜率互为相反数，则直线的方程是（       ） A.  B.  C.  D.  30．（25-26学年高二上·河南濮阳·期中）已知A，B是椭圆上的两个动点，且直线与圆相切，则的最小值为（       ） A. 2 B.  C.  D. 3 31．（25-26学年高二上·河南南阳南阳地区·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，过点且斜率为1的直线与椭圆交于点，，且点在第一象限，\left(2\vec {F_{1}O}+\vec {F_{1}B}\right)\cdot \vec {BF_{2}}=0，则椭圆的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  32．（2026·河南九师联盟·质量检测）如图，点是椭圆的左､右焦点，是上两点，\vec {F_{1}A}=2\vec {F_{2}B}，且，则的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  33．（25-26学年高二上·河南郑州·期中）（多选）已知椭圆为椭圆的左焦点，点为坐标原点，点满足，经过的直线与椭圆的一个交点为是等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  34．（25-26学年高二上·河南部分学校·期中）椭圆的离心率为　　　　　． 35．（25-26学年高二上·河南月期中学·期中）已知椭圆：（）上任意一点到两个焦点的距离之和为，且离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作直线交椭圆于，两点，点为线段的中点，求直线的方程． 36．（25-26学年高二上·河南部分学校·期中）已知椭圆的右焦点为上一动点到的距离的取值范围为. （1）求的标准方程； （2）设斜率为的直线过点，交于，两点.记线段的中点为，直线交直线于点，直线交于，两点. ①求的大小； ②求四边形面积的最小值. 37．（25-26学年高二上·河南新乡·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，P为椭圆C上一点.若线段的中点在y轴上，则　　　　　　　　. 38．（25-26学年高二上·河南多校·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上一点，则的取值范围为　　　　　　　　　　． 39．（25-26学年高二上·河南南阳南阳地区·期中）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆的焦距为4. （1）求椭圆的方程； （2）设点，直线过且与椭圆相交于，两点，若是线段的中点，求直线的方程. 40．（25-26学年高二上·河南郑州·期中）已知椭圆的中心为原点，焦点在轴上，其长轴长是短轴长的2倍，则过椭圆上点且与椭圆相切的直线方程为　　　　　　　　　　. 41．（25-26学年高二上·河南郑州·期中）在平面直角坐标系中，已知点，定义为“曼哈顿距离”.若，则点的轨迹所围成图形的面积为　　　　　　，若椭圆上有且仅有8个点满足，则椭圆的离心率的取值范围是　　　　　　 42．（25-26学年高二上·河南商丘·期中）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点是上一点，若，则的离心率的取值范围是　　　　　　　　　　. 43．（2026·河南百师联盟·联考）在平面直角坐标系中，过点的两条直线与直线的斜率分别为，且，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程，并指出曲线是什么曲线； （2）若，求点的坐标． 44．（2026·河南百师联盟·联考）已知抛物线的焦点为，椭圆的右焦点为，离心率． （1）求椭圆的方程； （2）动直线恒过定点，过点作抛物线的切线与椭圆交于两点，求的面积． 45．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，过椭圆上除A，B外任意一点P向x轴作垂线，垂足为Q，若，则椭圆的焦距为　　　　　　. 46．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知椭圆C：的离心率，以C的四个顶点为顶点的四边形的面积为. （1）求的方程； （2）若直线交椭圆于两点，求. 47．（25-26学年高二上·河南濮阳·期中）已知椭圆C：（）的左、右顶点分别为，，上顶点为B，离心率为，，过点作不与x轴重合的直线l与C交于D，E（E在D的左侧）两点，，交于点M． （1）求C的方程； （2）求证：为定值（，分别为，的斜率）； （3）求的取值范围． 48．（25-26学年高二上·河南新乡·期中）（多选）已知圆过点，短轴长为2. （1）求椭圆C的方程及离心率； （2）过点的直线交椭圆C于异于点M的A，B两点，设直线MA，MB的斜率分别为，，求证：为定值. 49．（25-26学年高二上·河南郑州·期中）已知椭圆，圆，点均在椭圆上，为坐标原点，直线分别与圆相切于两点. （1）求椭圆的离心率； （2）当，四边形为菱形时，求圆的方程； （3）若直线的斜率乘积为定值，求的值. 50．（25-26学年高二上·河南开封五校·期中）已知椭圆的左、右顶点分别为，且，椭圆的焦距为4． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点（不在轴上）是椭圆上不同的两点． ①求直线的斜率之积； ②若直线的斜率是直线的斜率的3倍，试判断直线是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 51．（25-26学年高二上·河南焦作·期中）已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求的方程. （2）过点的直线（不与轴重合）与交于M，N两点，是的右焦点. （i）证明：； （ii）求面积的最大值. 52．（25-26学年高二上·河南商丘·期中）已知点是椭圆的右焦点，为坐标原点，若上的点与点距离的最大值为3，最小值为1，过点作的两条互相垂直的弦，. （1）求的方程； （2）求证：的值为定值； （3）设，的中点分别为，，求证：直线过定点. 53．（25-26学年高二上·河南月期中学·期中）已知点是椭圆的下顶点，是的右焦点，延长交于点，若\vec {AF}=2\vec {FB}，则的离心率为　　　　　　　　　　. 54．（25-26学年高二上·河南信阳固始县·期中）已知，是椭圆的左右顶点，是双曲线在第一象限上的一点，直线，分别交椭圆于另外的点，．若直线过椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为　　　　　　　　． 55．（25-26学年高二上·河南信阳固始县·期中）已知A为圆O：上一点，过点A作y轴的垂线交轴于点B，点P满足. （1）求动点P的轨迹的方程； （2）已知斜率为k的直线l与曲线交于C，D两点. （ⅰ）若直线l过点，当的面积最大时，求l的方程； （ⅱ）若线段CD的中点为（）．证明：. 56．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知动圆过点，且与圆内切． （1）求点的轨迹的方程； （2）若点，直线与相交于、两点，是否存在实数，使? 若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由． 57．（25-26学年高二上·河南驻马店·期中）如果两个椭圆的长轴长之比等于短轴长之比，那么称这两个椭圆为相似椭圆，并将长轴长之比称为相似比.已知两个相似椭圆：和：（）的相似比为，为上一动点，过作椭圆的两条切线，切点分别为，，直线的斜率和直线的斜率均存在且均不为0，则直线的斜率与直线的斜率之积为　　　　　　. 58．（2026·河南九师联盟·质量检测）设椭圆的左､右焦点分别为是的右顶点，点在上，且. （1）求的方程； （2）若不过点的直线与椭圆相交于两点，且. （i）证明：直线过定点； （ii）求面积的最大值. 59．（25-26学年高二上·河南青桐鸣大联·期中）已知椭圆：（）的离心率为，且经过点. （1）求椭圆的标准方程. （2）已知点，若平行于轴的直线交于，两点，直线与的另一个交点为. （ⅰ）证明：直线恒过定点； （ⅱ）过（ⅰ）中的定点的直线与相交于，两点（异于的左、右顶点），求的面积的最大值. 60．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知A，B分别是椭圆C：（）的左、右顶点，M，N是椭圆C上异于A，B的两个点，当四边形AMBN为菱形时，四边形AMBN的周长为，面积为4． （1）求椭圆C的方程； （2）若MA，NB的斜率分别为，，且 ①证明：直线MN过定点； ②若直线MA，NB交于点P，直线NA，MB交于点Q，求的最小值． 考点02 双曲线 1．（25-26学年高二上·河南濮阳·期中）双曲线C：的渐近线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·河南商丘·期中）（多选）方程表示的曲线中，可以是（     ） A. 双曲线 B. 椭圆 C. 圆 D. 直线 3．（25-26学年高二上·河南商丘·期中）双曲线的渐近线方程是（       ）． A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是 A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·河南部分学校·期中）双曲线的焦点到其一条渐近线的距离为（       ） A.  B.  C.  D. 1 6．（25-26学年高二上·河南青桐鸣大联·期中）双曲线：的焦距为（     ） A. 2 B.  C. 3 D. 6 7．（25-26学年高二上·河南南阳南阳地区·期中）设双曲线的焦距为，若双曲线的焦距与实轴长的和为16，且，则（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8．（25-26学年高二上·河南郑州·期中）已知方程表示双曲线，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·河南信阳固始县·期中）如图，这是一个落地青花瓷，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线C：的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为8，瓶高等于双曲线C的虚轴长，则该花瓶的瓶口直径为（       ） A.  B. 24 C. 32 D.  10．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）（多选）已知曲线（其中为常数），则曲线可能为（     ） A. 平行于轴的两条直线 B. 单位圆 C. 焦点在轴上的双曲线 D. 焦点在轴上的椭圆 11．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  12．（2026·河南九师联盟·质量检测）已知双曲线C：（）的两个焦点分别是，，焦距为10，A是双曲线C上的一点，且，则的值为（     ） A. 14 B. 13 C. 13或1 D. 14或1 13．（25-26学年高二上·河南部分学校·期中）（多选）在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为，，点，直线交于C，D两点.若的重心在以为直径的圆上，则（     ） A. 的焦距为 B. 的渐近线方程为 C. 的外接圆的面积为 D. 过点作直线交于，两点，且，则 14．（25-26学年高二上·河南濮阳·期中）（多选）已知方程C：，则下列结论正确的是（       ） A. 若则方程C表示椭圆 B. 若，则方程C表示焦点在y轴上的双曲线 C. 存在m，使方程C表示直线 D. 存在m，使方程C表示抛物线 15．（25-26学年高二上·河南新乡·期中）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则实数m的值为（       ） A.  B.  C. 3 D. 6 16．（25-26学年高二上·河南多校·期中）已知双曲线的右焦点为，过的直线交于两点，点在第二象限，且关于轴的对称点为，若，则的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高二上·河南多校·期中）（多选）已知曲线，则下列命题错误的是（       ） A. 若，则为椭圆 B. 若或，则表示双曲线 C. 若为椭圆，则与椭圆有相同的焦距 D. 若为双曲线，则与双曲线有相同的焦距 18．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）双曲线C的一条渐近线方程为，且经过点，则双曲线C的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  19．（2026·河南百师联盟·联考）双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  20．（2026·河南百师联盟·联考）已知焦点在轴上的双曲线的离心率，则（       ） A. 1 B.  C.  D. 1或 21．（2026·河南百师联盟·联考）双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆面积为（     ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）记椭圆：，双曲线：的离心率分别为，，若，则（     ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 24．（25-26学年高二上·河南南阳南阳地区·期中）（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过右焦点且倾斜角为150°的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，点满足\vec {AQ}=\vec {QB}，\vec {F_{1}Q}\cdot \vec {AF_{2}}=0，则（       ） A. 双曲线的离心率为 B. 与的面积的比值为 C. 双曲线的渐近线方程为 D. 与的内切圆半径之比为 25．（25-26学年高二上·河南焦作·期中）（多选）已知双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，，点在的右支上，直线与交于另一点，的中点为，为坐标原点，则下列说法错误的是（       ） A. 存在点，使得直线的斜率为2 B. 存在点，使得 C. 存在点，使得 D. 存在点，使得点的横坐标为 26．（25-26学年高二上·河南商丘·期中）（多选）已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线交C的右支于A，B两点，若，，则（     ） A. C的离心率为2 B.  C. 的面积为 D. 的周长为18 27．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是的右支上一点，过点作的切线与的两条渐近线分别交于，两点，则下列说法正确的是（       ） A. 的最小值为8 B. 存在点，使得\vec {PF_{1}}\cdot \vec {PF_{2}}=-4 C. 点，的纵坐标之积为定值 D.  28．（25-26学年高二上·河南部分学校·期中）已知双曲线C的方程为 实轴长和离心率均为2． （1）求双曲线C的标准方程； （2）过且倾斜角为45°的直线l与双曲线C交于A，B两点， 求的值． 29．（25-26学年高二上·河南多校·期中）若双曲线的实轴长为4，虚轴长为，则该双曲线的离心率等于　　　　　　　　　　. 30．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）若表示焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是　　　　　　. 31．（25-26学年高二上·河南濮阳·期中）已知双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，，离心率为，P为E上一点，且． （1）求E的方程； （2）过点且不与x轴重合的直线l交E于A，B两点，点B关于x轴的对称点为，求证：直线恒过点． 32．（25-26学年高二上·河南新乡·期中）已知双曲线的焦距为8，离心率为2. （1）求双曲线C的标准方程； （2）直线l与圆相切，且与双曲线C的左、右两支分别交于点M，N，求证：. 33．（25-26学年高二上·河南青桐鸣大联·期中）设，分别为双曲线：（，）的左、右焦点，点在的右支上，直线与的右支的另一个交点为，若，，则的离心率为　　　　　　. 34．（25-26学年高二上·河南焦作·期中）已知双曲线的渐近线方程为，焦距为6. （1）求的方程； （2）过点的直线与交于M，N两点，若以为直径的圆过坐标原点，求的方程. 35．（25-26学年高二上·河南商丘·期中）已知离心率为的双曲线经过点. （1）求的方程； （2）已知，是上关于原点对称的两点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 36．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）过点的直线l与双曲线C：交于A，B两点，若\vec {AB}=2\vec {AP}，则直线l的方程为　　　　　　　. 37．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知双曲线的离心率是，焦距是6． （1）求的方程； （2）若直线与相交于A，B两点，且\vec {OA}\cdot \vec {OB}=-\frac{25}{3}（为坐标原点），求的值． 38．（2026·河南百师联盟·联考）已知直线与双曲线相切，双曲线的左､右顶点分别为．若是双曲线上一点（异于点），则直线的斜率和直线的斜率之积为　　　　　　　　　　． 39．（2026·河南百师联盟·联考）已知双曲线的渐近线上一点到左焦点的最短距离为． （1）求双曲线的方程； （2）O为坐标原点，直线与双曲线的左支交于A、B两点，与渐近线交于C、D两点，A与C在x轴的上方，B与D在x轴的下方． ①求实数t的取值范围． ②设、分别为的面积和的面积，求的取值范围． 40．（2026·河南百师联盟·联考）已知O为坐标原点，双曲线C：（，）的左、右焦点分别是，，离心率为，点P是C的右支上异于顶点的一点，过作的平分线的垂线，垂足是M，，则点P到C的两条渐近线距离之积为　　　　　　　　　　． 41．（25-26学年高二上·河南新乡·期中）双曲线的右焦点为，为坐标原点，点在双曲线上，且轴.若是等腰直角三角形，则双曲线的离心率为　　　　　　　　. 42．（25-26学年高二上·河南青桐鸣大联·期中）已知双曲线：（）的渐近线方程为. （1）求的值. （2）设为坐标原点，为的右焦点，过的直线与交于，两点. （ⅰ）若直线的斜率为2，求； （ⅱ）若直线，的斜率之积为，求直线的方程. 43．（25-26学年高二上·河南南阳南阳地区·期中）已知双曲线：（，）过点，且离心率为． （1）求双曲线的方程． （2）已知，分别是双曲线的左、右顶点，，分别是其左、右焦点． ①若是双曲线上异于，的一点，且，证明：的面积小于． ②过右焦点的直线与的右支交于，两点，若直线与交于点，证明：点在定直线上． 44．（2026·河南百师联盟·联考）已知双曲线的左焦点为，的一条渐近线方程为，其顶点到渐近线的距离为2. （1）求的方程； （2）过的直线与交于，两点，为坐标原点.若的面积为，求直线的方程. 45．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知双曲线C：的右焦点为，渐近线方程为. （1）求C的方程. （2）若动直线l过点F，且与C交于M，N两点（M在第一象限，N在第四象限），过点M作直线的垂线，垂足为D. （i）证明：直线DN恒过点； （ii）设O为坐标原点，的面积为S，求S的最小值. 46．（2026·河南九师联盟·质量检测）已知双曲线经过两点，其左､右焦点分别为，过点的直线与的右支交于两点. （1）求的方程； （2）若的周长为，求直线的方程； （3）记点，直线与的左支分别交于点，证明：直线过定点. 47．（2026·河南九师联盟·质量检测）已知是双曲线的左､右焦点，是左支上一点，是右支上一点，且，则双曲线的离心率为　　　　　　　　　　. 48．（25-26学年高二上·河南濮阳·期中）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点M在E的右支上，点N在y轴上，且，\vec {F_{2}N}=\frac{3}{2}\vec {MF_{2}}，则E的离心率为　　　　　　　　． 考点03 抛物线 1．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）抛物线的焦点到准线的距离为（       ） A. 4 B. 2 C.  D.  2．（25-26学年高二上·河南部分学校·期中）已知点P是抛物线上任意一点，若点P到抛物线C的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·河南部分学校·期中）抛物线的焦点坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·河南多校·期中）抛物线的焦点到准线的距离为（       ） A.  B. 3 C. 4 D. 6 5．（25-26学年高二上·河南南阳南阳地区·期中）已知某抛物线的顶点为坐标原点，焦点在直线上，则该抛物线的标准方程为（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 6．（25-26学年高二上·河南信阳固始县·期中）（多选）过抛物线x2＝my(m≠0)的焦点且与y轴垂直的直线与抛物线交于A，B两点，若三角形ABO的面积为2，则m的值可能为（       ） A. 4 B. －4 C. 2 D. －2 7．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）若抛物线上的点到其焦点的距离为，则实数m的值为（       ） A. 2 B. 3 C.  D. 3 8．（2026·河南九师联盟·质量检测）设为坐标原点，为抛物线的焦点，点在抛物线上.若，则（       ） A. 3 B. 4 C.  D.  9．（25-26学年高二上·河南焦作·期中）已知抛物线的焦点为，过点作直线与交于，两点，线段的中点为，过点作轴的垂线交于点，若，则的斜率为（ ） A.  B. ±1 C.  D. ±2 10．（25-26学年高二上·河南部分学校·期中）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹是（     ） A. 抛物线 B. 双曲线的一支 C. 椭圆 D. 圆 11．（25-26学年高二上·河南濮阳·期中）（多选）已知抛物线C：（）的焦点为，过点F的直线l与C交于A，B两点，则下列结论正确的是（       ） A.  B. 若，则 C. 原点O在l上的射影在圆上 D. 若\vec {AF}=3\vec {FB}，则AB中点的横坐标为 12．（25-26学年高二上·河南濮阳·期中）已知抛物线C：（）的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线与C及其准线l分别交于点A，B（A在线段BF上），，则（       ） A. 1 B.  C. 2 D. 4 13．（25-26学年高二上·河南新乡·期中）（多选）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F且斜率为的直线交抛物线C于A，B两点.以F为圆心，FA为半径的圆交准线l于M，N两点（点M在x轴上方）.以下说法正确的有（       ） A.  B.  C. 的面积是 D.  14．（2026·河南百师联盟·联考）已知抛物线的焦点为，点在上，过点作的准线的垂线，垂足为．若直线的方程为，则（       ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 15．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知P为抛物线上的任意一点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为（     ） A. 3 B.  C. 4 D.  16．（2026·河南九师联盟·质量检测）已知点是抛物线上的一点，设点到直线和的距离分别为，，则的最小值为（       ） A. 5 B.  C.  D.  17．（2026·河南九师联盟·质量检测）（多选）已知点是抛物线上一点，的准线与轴交于点，圆是以的焦点为圆心，半径为1的圆，点是圆上一点，则下列说法正确的是（       ） A. 圆的方程为 B. 若直线与相切，则直线的斜率为 C. 存在点，使得点是线段的中点 D. 的正切值最大为 18．（25-26学年高二上·河南青桐鸣大联·期中）（多选）设抛物线：（）的焦点为，直线交于，两点（，在不同的象限），交轴于点，且，，，过作的准线的垂线，垂足为，设点，则下列说法正确的是（     ） A.  B. 抛物线的方程为 C. 直线的方程为 D. 直线与直线关于直线对称 19．（2026·河南百师联盟·联考）（多选）已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（       ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）（多选）已知抛物线：的焦点为，若过点的直线与交于两点，且在第一象限，为坐标原点，则下列说法正确的是（     ） A. 面积的最小值为2 B. 当直线的倾斜角为时， C. 线段的中点到的准线的距离等于 D. 在x轴上存在一点，使直线与的斜率之和为定值 21．（2026·河南百师联盟·联考）抛物线的焦点坐标为　　　　　． 22．（25-26学年高二上·河南部分学校·期中）已知是抛物线：的焦点，为上一点，为坐标原点，，且的面积为． （1）求的方程； （2）已知直线与交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程． 23．（25-26学年高二上·河南多校·期中）（1）求焦点关于准线的对称点为的抛物线的标准方程； （2）求与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程. 24．（25-26学年高二上·河南多校·期中）已知直线为抛物线的准线，为上的一个动点，则点到的距离与到直线的距离之和的最小值为　　　　　　　　　　. 25．（25-26学年高二上·河南青桐鸣大联·期中）已知抛物线：（）经过点. （1）求抛物线的焦点的坐标； （2）设直线经过点，且斜率为，若与有2个交点，求实数的取值范围. 26．（25-26学年高二上·河南南阳南阳地区·期中）已知抛物线的焦点为，斜率为4的直线与抛物线交于点，与轴交于点． （1）若，求直线的方程； （2）若\vec {AD}=2\vec {DB}，求． 27．（25-26学年高二上·河南焦作·期中）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于A，B两点，若，则　　　　　. 28．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知抛物线的焦点为F，P是C上一点，线段PF的中点为． （1）求C的方程； （2）若，O为原点，点M，N在C上，且直线OM，ON的斜率之积为2024，求证：直线MN过定点． 29．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知抛物线C：的焦点为F，点，点M是抛物线C上一个动点，当取最小值时，点M的坐标为　　　　　　． 30．（25-26学年高二上·河南多校·期中）已知右焦点为的椭圆过点. （1）求的方程； （2）若点在上，点为圆上一点，求的最大值； （3）过点的直线与交于点，与抛物线交于点，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 31．（25-26学年高二上·河南南阳南阳地区·期中）已知抛物线的焦点为，为坐标原点，射线分别与抛物线交于异于的点，且\vec {OA}\cdot \vec {OB}=0，直线垂直于，垂足为，则\vec {OF}\cdot \vec {OM}的取值范围为　　　　　　　　　　． 32．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知抛物线，直线m过点且与抛物线相交于两点，直线分别与抛物线的准线l相交于两点． （1）若点P是抛物线 上任意一点，点P在直线l上的射影为Q，求证： （2）求证：以为直径的圆过坐标原点； （3）求的最小值． 33．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知直线l：与抛物线C：相切于点P. （1）求C的方程以及点P的坐标. （2）过点的动直线L与C交于A，B两点（均不与点P重合），AB的中点为M. （i）当轴时，求L的方程； （ii）设直线PA，PB的斜率分别为，，证明：为定值. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $