专题02 直线和圆的方程（期中真题汇编，河南专用）高二数学上学期

**基本信息** 高二数学期中试题汇编，聚焦直线与圆的方程5大高频考点，精选河南多地期中真题，题型涵盖选择、填空、解答，梯度从基础计算到综合应用，适配期中复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择（含多选）|约60题|直线倾斜角与斜率、圆的方程、位置关系等|结合机器人比赛、台球反射等情境，考查逻辑推理；设置充分必要条件等多选题，区分思维层次| |填空|约20题|距离公式、切线长、轨迹方程|多空题考查知识关联，如直线垂直求参数、圆上点到直线距离| |解答|约25题|直线与圆综合应用、轨迹方程推导|开放探究题（如“定积直线”），融合几何直观与代数运算，适配核心素养要求|

专题02 直线和圆的方程 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点04 圆的方程 考点05 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 直线的倾斜角与斜率 1．D 2．D 3．C 4．A 5．C 6．B 7．A 8．B 9．C 10．D 11．A 12．A 13．D 14．B 15．C 16．A 17．A 18．A 19．AD 20．ABC 21．A 22．【答案】 【分析】 根据一般式方程中两直线垂直的条件得到方程，解得即可. 【详解】 因为直线和直线垂直， 所以，解得. 故答案为： 23．【答案】2 【分析】 根据给定条件，利用两直线平行的充要条件列式求解. 【详解】 由直线：与直线：平行，得 ，解得， 所以. 故答案为：2 24．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据与垂直可求得直线的斜率，设点斜式代入A点坐标即可求解； （2）根据倾斜角为直线倾斜角的，可求得直线的斜率，设点斜式代入B点坐标即可求解． (1) 小问详解： 设过点且与垂直的直线的斜率为，直线的斜率， 由，得，所以，即所求直线的方程为． (2) 小问详解： 直线的斜率，设直线的倾斜角为，则， 又，所以，由题意知所求直线的倾斜角为，故所求直线的斜率为，所以，即． 25．【答案】（1）0或7     （2）      【分析】 （1）由即可求解； （2）由，求得，再由平行线间距离公式即可求解. (1) 小问详解： 由题意知直线与的斜率分别为：， 当直线与垂直时，则，即， 解得：，故实数的值为0或7； (2) 小问详解： 由（1）知直线与的斜率分别为：， 当直线与平行时，有，即， 解得：. 此时，直线的方程为，直线的方程为， 为计算距离，将两直线方程分别化为和， 所以直线与的距离. 26．【答案】（1）     （2）；     （3）      【分析】 （1）根据新定义求得的斜率，得直线方程； （2）设直线的斜率分别为，由新定义列方程组解得，求得直线方程，再联立直线方程求得交点坐标； （3）设出点坐标，根据新定义列出关系式，得到动点轨迹方程，假定在轴上方，根据直线斜率与角之间关系转化列出等式，求出点坐标，进而求得三角形面积. (1) 小问详解： 由已知得，又， 且直线过点， 的方程; (2) 小问详解： （2）设直线的斜率分别为， 则 . 得（负值舍去）， 当时， 直线的方程为，直线的方程为 联立得；故所求为； (3) 小问详解： 设， 得的轨迹方程为: 由图形的对称性，不妨设在轴上方，则 ，得，即此时的纵坐标为 . 所以三角形的面积为. 【点睛】 方法点睛： “新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求。但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝． 考点02 直线的方程 1．A 2．B 3．ABC 4．C 5．BCD 6．A 7．C 8．A 9．D 10．C 11．ABD 12．BCD 13．D 14．AD 15．【答案】（1），     （2）     （3）      【分析】 （1）先利用两点求斜率，然后代入点斜式直线方程，化为斜截式直线方程即可求解； （2）先根据平行求得直线斜率，然后代入点斜式直线方程，化为一般式直线方程即可求解； （3）先根据垂直求得直线斜率，然后代入点斜式直线方程，化为一般式直线方程即可求解. (1) 小问详解： 直线的斜率为， 直线的方程为，它的斜截式方程为. (2) 小问详解： 因为直线平行于直线，所以直线的斜率为. 又直线经过点，所以直线的方程为， 它的一般式方程为. (3) 小问详解： 因为直线垂直于直线，所以直线的斜率为2. 又直线经过点，所以直线的方程为，它的一般式方程为. 16．【答案】（1）；     （2）或．      【分析】 （1）通过解方程组求出交点坐标，再根据互相垂直的两直线方程的特征，利用代入法进行求解即可； （2）根据截距是否为零分类进行求解即可. (1) 小问详解： 由 得 所以点． 设过点且与直线垂直的直线的方程为， 将点代入方程得，解得， 所以所求直线的方程为． (2) 小问详解： 当直线过原点时，直线在轴上的截距与在轴上的截距都是0，显然符合题意， 设所求直线的方程为，将点代入，得， 故所求直线方程为． 当直线不过原点时，设所求直线方程为，将点代入，得， 故所求直线方程为，即． 综上所述，所求直线的方程为或． 17．【答案】 【分析】 根据给定条件，表示出直线的倾斜角和点，再求出斜率，代入斜截式方程即可得解. 【详解】 直线即，所以直线的斜率为，倾斜角为30°， 令得，即， 则直线的倾斜角为，其斜率为， 则直线的斜截式方程为，即直线的方程是. 故答案为： 18．【答案】（1）     （2）或.      【分析】 （1）先求点坐标，由垂直关系得斜率后求解， （2）由题意得过原点或斜率为后求解 (1) 小问详解： 联立 得 即. 因为，不妨设直线l的方程为， 将点代入，得， 所以直线l的方程为. (2) 小问详解： 当直线l经过坐标原点时，直线l的方程是，即； 当直线l不经过坐标原点时，设直线l的方程为， 将点代入，得， 所以直线l的方程为，即. 综上所述，直线l的方程是或. 19．【答案】 【分析】 问题转化为过定点的直线l与线段有公共点，先计算过临界点的直线的斜率，再结合图像即可得到答案. 【详解】 直线l：过定点. 由题意直线l：与线段相交， 临界情况为恰好经过点或经过点时， 由图可知，或. 故答案为：. 20．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据直线平行设直线方程，代入交点坐标即可； （2）分斜率存在不存在两种情况讨论求解即可. (1) 小问详解： 因为直线直线p，直线， 所以设直线l的方程为. 解方程组 ，得 ，所以直线l过点. 所以，解得， 所以直线l的一般式方程为. (2) 小问详解： 由题意，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为. 把分别代入直线和的方程，得，， 点不是线段BC的中点，不符合题意. 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为（且）. 解方程组 ，得 ，则. 解方程组 ，得 ，则. 由题意得，，解得， 所以直线l的一般式方程为. 21．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）由直线的垂直关系进行求解； （2）分直线过原点及不过原点进行求解． (1) 小问详解： 由直线即可得其斜率为， 根据垂直关系可设所求直线方程为， 则依题意有，解得， 所以所求直线方程为，整理得. (2) 小问详解： 联立 ，解得 ， 即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，由直线经过点得直线方程为； 当直线的截距都不为0时，设直线方程为， 依题意 ，解得 ， 此时直线方程为， 综上所述：所求直线方程为或. 22．【答案】（1）证明： 直线l的方程可化为y＝k（x＋2）＋1， 故无论k取何值，直线l总过定点（－2，1）． （2）； （3）S的最小值为4，直线l的方程为x－2y＋4＝0． 【分析】 （1）直线方程化为y＝k（x＋2）＋1，可以得出直线l总过定点； （2）考虑直线的斜率及在y轴上的截距建立不等式求解； （3）利用直线在坐标轴上的截距表示出三角形的面积，利用均值不等式求最值，确定等号成立条件即可求出直线方程. 【详解】 （1）略 （2）直线l的方程为y＝kx＋2k＋1， 则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则 解得k≥0， 故k的取值范围是． （3）依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为1＋2k， ∴A ，B（0，1＋2k）． 又且1＋2k＞0， ∴k＞0． 故S＝|OA||OB|＝××（1＋2k）＝ ≥×（4＋）＝4， 当且仅当4k＝，即k＝时，取等号． 故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0． 23．【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）分、两种情况讨论，设出直线的方程，将点的坐标代入直线的方程，求出参数的值，即可得出直线的方程； （2）由题意可知直线的截距式方程为，且，，将点的坐标代入直线的方程得出，可得，求得，可得出，将代入的面积公式，结合基本不等式可求得的最小值，利用等号成立的条件得出、的值，即可得出直线的方程. (1) 小问详解： 当时，直线过原点，设直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程得，此时直线的方程为； 当时，直线的截距式方程为， 将点的坐标代入直线的方程得，解得， 此时直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. (2) 小问详解： 由题意可知、，且，，则直线的截距式方程为， 将点的坐标代入直线的方程可得，可得， 由 可得， ， 当且仅当时，即当 时，等号成立， 故当的面积最小时，直线的方程为，即. 24．【答案】（1）     （2）或.      【分析】 （1）联立直线方程，求得交点，根据直线平行，建立方程，可得答案； （2）利用截距的定义，分类讨论，建立方程，可得答案. (1) 小问详解： 联立得 ，解得 ，即. 若l与直线平行，则l的斜率， 所以l的方程为，即. (2) 小问详解： 若l经过坐标原点，设l：，代入P点坐标，解得， 所以l的方程为. 若l不经过坐标原点，设l：， 代入P点坐标，得，解得， 所以l的方程为，即. 所以l的方程为或. 25．【答案】（1）；     （2）或．      【分析】 （1）求出交点坐标，再根据两直线垂直时斜率的关系即可得到直线方程； （2）分直线过原点和不过原点时讨论，当不过原点时，设截距式方程再代入点即可. (1) 小问详解： 联立方程 ，解得 . 由题知直线的斜率为，所以经过直线的交点， 且与直线垂直的直线方程为，即， 故经过直线的交点，且与直线垂直的直线方程为． (2) 小问详解： 由（1）知，直线的交点为． ① 若所求直线经过原点，则直线的方程为． ② 若所求直线不经过原点，设直线方程为， 代入点，得，解得， 所求方程为，整理得． 故经过直线的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为或． 考点03 直线的交点坐标与距离公式 1．D 2．C 3．AB 4．ABD 5．A 6．C 7．D 8．C 9．D 10．C 11．D 12．D 13．B 14．A 15．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）根据两直线平行得到方程和不等式，求出的值； （2）分与两种情况，求出与轴，轴的交点坐标，列出方程，求出，从而得到直线的方程. (1) 小问详解： 因为与直线平行， 所以且， 解得：. (2) 小问详解： 当时，：，不满足题意. 当时，与轴，轴的交点分别为， 因为在轴，轴上的截距相等，所以，解得. 故的方程为或. 16．【答案】 【分析】 根据给定条件，利用平行线间距离公式计算得解. 【详解】 由题意得直线，即， 由平行线间距离公式得这两条平行线之间的距离为. 故答案为： 17．【答案】 【分析】 先变换直线为，再利用两平行线间的距离即可求得结果． 【详解】 由题意得， 由两平行线间的距离公式，得． 故答案为： 18．【答案】 【分析】 先求出点关于轴的对称点，然后利用两点求出斜率，代入点斜式直线方程求解即可. 【详解】 点关于轴的对称点为，则反射光线所在直线经过点和， 所以反射光线所在直线的方程为即，即. 故答案为： 19．【答案】 【分析】 根据两点间的距离公式，求出纵坐标的差的绝对值，再根据斜率的坐标公式，分类讨论符合条件的情况，求出结果即可. 【详解】 由题意可知，代入得，解得. 可得，， 所以. 故答案为：. 20．【答案】 【分析】 根据平行线距离公式直接计算即可. 【详解】 两直线与之间的距离， 即两条直线与之间的距离， 为． 故答案为：. 21．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由上的高所在直线方程为，可得，且过点得到直线所在的直线方程，联立方程即可求得顶点的坐标. （2）设点，且的中点，代入所在的直线方程为，求出的表达式再与的方程即可得到点坐标，再用点斜式即可求得方程. (1) 小问详解： 由于，且的直线方程为， 所以，故，又的顶点， 所以所在的直线方程为，即， 由于边上的中线所在的直线方程为， 联立方程 ，解得 ，故点； (2) 小问详解： 设点，则的中点， 由于点在直线上， 所以，整理得， 同时点在直线上，所以， 故 ，解得 ，即点， 所以，可得， 化简得，故直线的方程为. 22．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先求出，的交点，再应用交点在上，列式计算求参；      （2）先求出，，不可以围成一个三角形时的参数取值，进而得出，，可以围成一个三角形时参数范围. (1) 小问详解： 联立与的方程，得 解得             即与的交点坐标为，                     由题意知点在上，所以，              解得. (2) 小问详解： 由（1）知，                     当时，，所以，                     当时，，所以，                     当，，三条直线可以围成三角形，则且且，                     故的取值范围为. 23．【答案】（1）7     （2）      【分析】 （1）根据两点间距离公式求底边，再代入点到直线的距离公式求高，即可求解； （2）将三点坐标代入圆的一般方程，即可求解. (1) 小问详解： 直线的方程为，即， 点到直线的距离，              ，                     所以的面积. (2) 小问详解： 设外接圆的方程为，              由题意得                    解得                           故的外接圆的方程为. 24．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）将两直线方程联立，求出方程组的公共解，即可得出点的坐标； （2）求出直线的斜率，可得出垂线的斜率，然后利用点斜式方程可得出所求直线的方程，化为一般式即可. (1) 小问详解： 由 ，解得 ， 因此，点的坐标为； (2) 小问详解： 直线的斜率为， 垂直于直线的直线斜率为， 则过点且垂直于直线的直线的方程为， 即：. 25．【答案】 【分析】 先根据平行得出参数，再应用平行线间的距离公式计算求解. 【详解】 因为直线与直线平行， 所以，解得， 所以直线，直线， 所以直线与直线间的距离为. 故答案为：. 26．【答案】（1）     （2） 由得， 所以边上高所在直线方程的斜率为， 所以边上高所在直线方程为，即① 由（1）知边BC上高所在直线方程为② 由得， 所以边上高所在直线方程的斜率为， 所以边上高所在直线方程为，即③ 联立方程① ② ，相减得，从而得， 把代入，方程成立， 所以的三条高交于同一点.      【分析】 1）先求出BC的斜率，进而根据垂直斜率关系求出高的斜率，再用点斜式求解即可； （2）分别求出三条高所在直线方程，联立解出交点即可得出结论. (1) 小问详解： 因为，所以， 所以BC边上的高所在直线的斜率为， 则BC边上的高所在直线的方程为，即. (2) 小问详解： 略 27．【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 （1）求出双曲线右焦点为，从而得抛物线方程； （2）利用两点间距离公式，结合双曲线上点的坐标范围求解； （3）由题意直线的斜率为1，设与直线平行的直线方程为，联立方程组，由可得的值，从而得的值. (1) 小问详解： 由双曲线，可得， 则右焦点为，所以以为焦点的抛物线的标准方程为； (2) 小问详解： 设，则有， =，由， 当时，. (3) 小问详解： 由题意，直线法向量为\vec {n}=\left(1,-1\right)，可得直线的斜率为1， 设与直线平行的直线方程为， 联立方程组 ，整理得， 令，解得， 当时，直线与的距离为； 当时，直线与的距离为， 所以的值或． 28．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用直线平行及求得边所在直线的方程，设，结合两点距离公式利用建立方程求得或，再代入验证即可得解； （2）先利用两点距离公式求得，，再利用点线距离公式求等腰梯形的高，代入梯形面积公式求解即可. (1) 小问详解： 由题意可知，，因为， 所以，所以边所在直线的方程为，即. 设，因为， 所以，整理得，，解得或， 当时，，此时与不平行，四边形为等腰梯形，符合题意； 当时，，此时，四边形为平行四边形，不符合题意； 故点的坐标为. (2) 小问详解： ，， 等腰梯形的高为点到直线的距离，即， 故梯形的面积为. 考点04 圆的方程 1．D 2．C 3．B 4．D 5．B 6．D 7．C 8．ACD 9．D 10．【答案】 【分析】 先求得圆关于直线对称的圆为圆，将原问题转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问题求解. 【详解】 圆，即， 圆心为，半径 圆，即， 圆心为，半径， 设点关于直线对称的点为 ， 则 ，解得： ， 圆关于直线对称的圆为圆， 其圆心为，半径， 则其方程为， 设圆上的点与圆上点对称，则有， 原问题可以转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问题， 如图所示： 连接，与直线交于点， 此时点是满足最小的点， 此时， 即的最小值为， 故答案为： 11．【答案】 【分析】 利用中点坐标公式求解圆心，利用两点距离公式求解半径，即可求解圆的标准方程. 【详解】 设线段AB的中点为C，则所求圆的圆心为点C，半径为， 因为，，所以，， 所以圆C的标准方程为. 故答案为： 12．【答案】 【分析】 求得点关于轴的对称点为，求得到圆上上的点的最短距离即可. 【详解】 由圆，得圆心坐标，半径为1， 点关于轴的对称点为， 则到圆上上的点的最短距离即为它爬到的最短路程， 所以它爬到的最短路程是. 故答案为：. 13．【答案】 【分析】 由直线与圆的方程联立，再由根与系数的关系可得最大值. 【详解】 设，经过坐标原点的直线方程为， 将直线代入圆的方程，整理得：， 则,， \left| AM| ^{2}+| BM| ^{2}=\left(x_{1}-2\right)^{2}+{y}_{1}^{2}+\left(x_{2}-2\right)^{2}+{y}_{2}^{2}， 当时，\left| AM| ^{2}+| BM| ^{2}取到最大值. 故答案为：. 14．【答案】（1）     （2） 最大值88，最小值72     （3） 解法一： 由题可知，， 因为直线m过点G，且直线m与圆C相交，则直线m的斜率一定存在， 所以设直线m的方程为， 将代入，得：． 设，，所以，， 所以 ， 所以为定值，这个定值为12． 解法二： 取中点H，连，则，， 所以 ． 所以为定值，这个定值为12． 【分析】 （1）求出圆的圆心，半径，由题意得圆C的圆心在直线上，因为直线的方程为，所以设圆心，由求得，进而得圆心C坐标及半径，可得圆C的方程； （2）设，所以，又，解得，从而可得出所求最大值及最小值． （3）解法一：由题可知，设直线m的方程为，代入，根据韦达定理及向量的数量积运算计算即可；解法二：取中点H，则，利用向量的线性运算及数量积运算计算即可. (1) 小问详解： 由已知，将圆的一般方程化为标准方程为， 所以圆的圆心，半径， 因为圆C与圆相切于点， 所以点C，，N三点共线，即圆C的圆心在直线上， 因为直线的方程为，所以设圆C的圆心， 因为，在圆C上，所以， 所以，解得， 则圆心C坐标为，半径， 所以圆C的方程为． (2) 小问详解： 设，因为，，三点， 所以 ， 因为点P在圆上运动，则，解得， 所以， 当时，取得最大值88， 当时，取得最小值72． (3) 小问详解： 略 考点05 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．AC 2．D 3．A 4．A 5．C 6．A 7．A 8．C 9．A 10．ABC 11．C 12．AB 13．B 14．A 15．D 16．ACD 17．C 18．B 19．A 20．A 21．BC 22．A 23．C 24．D 25．D 26．ABD 27．BCD 28．B 29．ACD 30．A 31．A 32．BD 33．ACD 34．BD 35．A 36．B 37．ABD 38．B 39．ACD 40．ABC 41．BD 42．AB 43．C 44．B 45．ACD 46．【答案】相交 【分析】利用圆心距与半径之和、半径之差的绝对值的大小关系可判断两圆的位置关系. 【详解】由题设有，，，，故. 所以，故圆与圆的位置关系为相交. 故答案为：相交. 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系的判断，此类问题一般可通过圆心距与半径之和、半径之差的绝对值的大小关系来判断，本题属于基础题. 47．【答案】（1） 点P不在圆上． 证明如下： ∵， ∴由圆的定义可知点P是在圆C的内部，不在圆上；     （2）x＝0或3x＋4y－8＝0．      【分析】 (1)将点的坐标导入圆的方程与1比较大小即可. (2)已知弦长，求直线方程，求出圆心到直线的距离，用垂径定理，解直角三角形即可，特别要注意斜率不为0的情况. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由直线与圆的位置关系可知，圆心C到直线l的距离， ① 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0， 此时，满足题意； ② 当直线l的斜率存在时，设直线l为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0， 又∵，解得，此时直线l为3x＋4y－8＝0， 综上所述：直线l的方程为x＝0或3x＋4y－8＝0． 48．【答案】 【分析】 根据直线与圆相切可知圆心到直线的距离等于半径计算即可. 【详解】 由可得：， 则圆心到直线的距离， 解得或（舍去） 故答案为： 49．【答案】3 【分析】 由两圆外切进行求解． 【详解】 圆：（）的圆心为，半径为， 圆：（）的圆心为，半径为， 因为圆外切，则. 故答案为：3 50．【答案】 【分析】 由切线的性质可得出，求出，结合勾股定理可求得的值. 【详解】 连接、，易知圆心，半径为， 因为是圆的切线，所以． 又，所以． 故答案为：. 51．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）求出两直线的交点，再根据两直线垂直求出直线的斜率，最后写出点斜式方程； （2）分类讨论，直线斜率不存在和存在两种，利用圆心到直线的距离列式计算. (1) 小问详解： 联立两直线和，解得，即交点坐标为， 直线的斜率为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. (2) 小问详解： 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为：，即， 根据题意得：圆心到直线的距离，解得， 所以直线的方程为：. 综上：直线的方程为或. 52．【答案】 【详解】将两圆方程作差可得出公共弦所在直线的方程，再求该直线截圆所得弦长即可. 【详解】将圆和圆的方程作差并化简得，即两圆公共弦所在直线的方程为. 圆的圆心为坐标原点，半径长为，圆的圆心到直线的距离为， 因此，两圆的公共弦长为. 故答案为：. 【点睛】本题考查两圆公共弦长的计算，考查计算能力，属于基础题. 53．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）先根据题意求出圆心，取中点为，求出，在直角中结合三角函数值求出半径，即可得出答案； （2）分为直线的斜率是否存在两种情况，再结合直线与圆相切的条件即可求解. (1) 小问详解： 由圆的方程得圆心， 因为圆心在直线上，所以，解得， 故圆心坐标为， 取中点为，连接，所以， 圆心到直线的距离， 因为，所以， 在直角中，，即， 所以圆的方程为. (2) 小问详解： 当直线斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离为， 此时直线与圆相切，符合题意； 当直线斜率存在时，设直线斜率为，则直线方程为，即， 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径， 即，解得， 所以直线的方程为，即. 综上，直线的方程为或. 54．【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）先判断点在圆外，再按斜率存在和不存在两种情形分类求解，斜率存在时设出直线方程，由圆心到直线的距离等于半径求得参数值；进而得到直线方程即可. （2）先确定直线与圆相离，由切线长公式得到，再使分析最小的情况，只要求得圆心到直线的距离（为最小值）即可得切线长的最小值． (1) 小问详解： 由题意得，则点在圆外，故有2条切线， 若切线l的斜率不存在，则切线l的方程为． 若切线l的斜率存在，设切线l的方程为，即． 因为直线l与圆C相切，所以圆心到l的距离为2， 即，解得，所以切线l的方程为， 综上，切线l的方程为或． (2) 小问详解： 如图，作出符合题意的图形，且， 由题意得圆心到直线的距离为，可得直线m与圆C相离， 由切线的性质得，则， 则当最小时，有最小值． 当时，最小，最小值为， 故的最小值为． 55．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）设圆心为，由可求得的值，可得出圆心的坐标和圆的半径，即可得出圆的方程； （2）分直线斜率是否存在两种情况讨论.若存在时，设直线l的方程为，由题意可得，求解即可. (1) 小问详解： ∵圆M的圆心在直线上，∴可设圆心M的坐标为， 由，得，解得， ∴圆心M的坐标为，半径． ∴圆M的方程为． (2) 小问详解： 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即， 则圆心M到直线l的距离， 解得或， ∴直线l的方程为或； 当当直线l的斜率不存在时，直线方程为， 圆心到直线的距离为，所以弦长为，故不符合题意； 综上所述：直线l的方程为或. 56．【答案】（1），是圆心为点，半径为2的圆     （2）      【分析】 （1）根据两点距离公式和已知条件列出等式化简即可. （2）根据两圆的圆心距判断圆与圆的位置关系，然后根据交点坐标求出四边形的面积即可. (1) 小问详解： 因为点P满足，所以，所以. 设，因为，点， 所以， 化简得，即. 曲线C是圆心为点，半径为2的圆. (2) 小问详解： 由（1）知，曲线C是圆心为，半径为2的圆.设圆心为D，又， 则. 因为圆E的半径为2， ，所以圆D与圆E相交. 因为圆E的方程为，即， 圆D的方程为， 所以两圆方程相减，得直线的方程为. 因为点E到直线的距离为，所以， 所以的面积为. 因为点到直线的距离为， 所以的面积为. 因为点A，E在直线两侧，所以四边形的面积为. 57．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）利用几何法联立直线方程得圆心，即可求解， （2）根据点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式即可求解. (1) 小问详解： 由题设，线段的中点为且， 由知， 所以直线方程为，即， 联立 ，解得 ，即得， 而， 所以圆的方程为. (2) 小问详解： 因为直线被圆截得的弦长为， 所以圆心到直线的距离. ①当直线的斜率不存在时，此时圆心到直线的距离为0，不符合题意 ②当直线的斜率存在时，设，即 所以， 解得或. 直线的方程为或． 58．【答案】（1）     （2）     （3） 由题意知两直线的斜率都存在且互为相反数， 设直线的斜率为，则直线的斜率为， 则，， 设，， 联立 化简得 由根与系数的关系得， 同理得， 从而， ， 所以直线的斜率， 即直线的斜率为定值1.      【分析】 （1）设，利用两点间距离公式化简即可解； （2）两圆方程联立相减可得直线的方程为，利用几何法求圆的弦长； （3）设，，分别与圆的方程联立，利用韦达定理化简直线的斜率. (1) 小问详解： 设，因， 所以， 化简得. 即动点的轨迹方程. (2) 小问详解： 由（1）知动点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆. 由 二式相减得. 即直线的方程为. 因为点到直线的距离， 所以. (3) 小问详解： 略 59．【答案】 【分析】 设，由，得圆的方程，由直线与此圆有公共点进行求解． 【详解】 设，由，得， 整理得到， 即. 依题意，则直线与此圆有公共点， 得，解得或， 得实数的取值范围是. 故答案为： 60．【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）先由待定系数法求出圆的方程，再根据直线与圆相切可得； （2）先可得三角形一边的长，再计算圆上到这一边的距离的最大值即可得面积的最大值. (1) 小问详解： 设圆的方程为， 因为圆经过点，所以 ， 解得 ，经检验，符合题意， 所以圆的方程为，即， 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离为， 所以，解得； (2) 小问详解： 可化为，即直线恒过点， 因为点在圆上，故不妨设为， 所以直线，且， 设点到直线的距离为， 所以的面积， 因为点在圆上，所以的最大值等于圆心到直线的距离加上半径， 所以. 所以. 故的面积的最大值为. 61．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设，由结合平面内两点间的距离公式化简可得出曲线的方程； （2）易知曲线是以点为圆心，半径为的圆，分别取、的中点、，连接、，则，，由勾股定理可得出，利用基本不等式可求得四边形面积的最大值. (1) 小问详解： 设，由，得， 化简，得. 所以，曲线的方程为. (2) 小问详解： 由（1）可知，曲线是以点为圆心，半径为的圆， 分别取、的中点、，连接、，则，， 因为，则四边形为矩形，所以，， 由勾股定理可得， 由勾股定理可得，， 所以， ， 当且仅当 时，即当时，等号成立， 因此，四边形面积的最大值为. 62．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）根据题意求出圆心坐标和半径，得解； （2）利用弦心距、弦和半径的关系求出弦心距的长，然后分直线的斜率存在和不存在两种情况，利用点到直线的距离公式列方程求解即可. (1) 小问详解： 设，圆与直线相切于点，故， 又圆在直线上，故， 所以圆心的坐标为，半径， 所以圆的方程为. (2) 小问详解： 由，，则圆心到直线的距离， 当直线的斜率不存在时，直线符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线，即， 所以圆心到直线的距离，解得， 所以直线的方程为； 综上，直线的方程为或. 63．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）解法一：设圆心C的坐标为，由求得，得圆心C的坐标，由得半径，从而得圆C的标准方程； 解法二：求出线段的中点为D的坐标，线段的垂直平分线的方程，则直线与x轴的交点即为圆心C，圆的半径，从而得圆C的标准方程； （2）解法一：设圆心到直线的距离d，根据弦长公式得，由三角形面积公式列出关于的方程，求解即可； 解法二：由条件可得出，是等腰直角三角形，所以圆心C到直线的距离，解方程即可. (1) 小问详解： 解法一：设圆心C的坐标为， 因为A，B是圆上两点，所以， 根据两点间的距离公式，有， 解得，所以圆心C的坐标是． 圆的半径． 所以所求圆C的标准方程是． 解法二：设线段的中点为D． 因为，，可得点D的坐标为， 因为直线的斜率为． 因此线段的垂直平分线的方程是，即． 直线与x轴的交点坐标为，所以圆心C的坐标是， 圆的半径． 所以所求圆的标准方程是． (2) 小问详解： 解法一：设圆心到直线的距离为d，， 直线与圆相交于M，N两点，则， 所以， 解得，即，所以， 因为，所以，即， 所以，解得． 解法二：因为圆C的半径，则， 又因为，所以， 所以是等腰直角三角形， 所以圆心C到直线的距离， 所以，解得． 64．【答案】①     ② 【分析】 由直线与两圆相切建立关于k，b的方程组，解方程组即可. 【详解】 设，，由题意，到直线的距离等于半径，即，， 所以，所以（舍）或者， 解得. 故答案为： 【详解】【点晴】 本题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题. 65．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）设点、，根据中点坐标公式化简得出 ，代入等式化简可得出点的轨迹方程； （2）利用勾股定理求出圆心到直线的距离，再对直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式可求得答案. (1) 小问详解： 设点、， 因为点是线段的中点，则 ，所以 ， 因为点在圆上，则，即， 化简得， 故点的轨迹方程为. (2) 小问详解： 由（1）可知，曲线是以点为圆心，半径为的圆， 由勾股定理可知，圆心到直线的距离为. 若轴，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，符合题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 由题意可得，解得， 此时直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 66．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）方法一，求两条线段垂直平分线的交点确定圆心，圆心到圆上一点的距离确定半径，从而得到圆的方程； 方法二，设出圆的标准方程，待定系数法求圆的方程. （2）先求圆心与点连线的斜率，利用垂直关系，确定切线斜率，再利用点斜式即可求解切线方程. (1) 小问详解： （方法一）直线的方程为，、的中点为， 所以线段的中垂线方程为， 直线的方程为，、的中点为， 线段的中垂线方程为. 直线与直线的交点为，即圆的圆心为. 点与点的距离为， 即圆的半径为，所以圆的标准方程为. （方法二）设圆的标准方程为， 则 ， 解得 故圆的标准方程为 (2) 小问详解： 圆的圆心为，，直线的斜率为， 所以切线斜率为，所求切线方程为， 整理得. 67．【答案】（1）     （2）（i）或；（ii）.      【分析】 （1）先求线段的垂直平分线方程，与联立，可求圆心坐标，再利用求圆的半径，即可得圆的标准方程. （2）（i）利用圆心到直线的距离等于圆的半径列式可求的值； （ii）先判断，利用四边形面积的求法确定四边形面积最大时，直线的位置，可求的值. (1) 小问详解： 线段的垂直平分线方程为： ，即. 由 ，即圆心. 又, 所以圆的标准方程为：. (2) 小问详解： （i）直线：. 因为直线与圆相切，所以：. 所以或. （ii）如图： 因为，直线的斜率为3，由，所以直线与线段所在的直线垂直. 所以四边形的面积为：，其中为定值. 所以当最大时，四边形的面积最大. 即当直线：经过圆心时，四边形的面积最大. 由. 68．【答案】 【分析】 根据题意，先求得点的轨迹方程，从而可得圆与圆相交，列出不等式，可得的范围，再由两点间距离公式代入计算，即可得到范围. 【详解】 由题意可设， 则圆的方程为， 若圆上存在点，使得，设， 则，化简可得， 故点在以为圆心，为半径的圆上， 因为点也在圆上，所以圆与圆有交点， 所以，即，解得， 又， 所以，即线段长度的取值范围是. 故答案为：. 69．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用待定系数法，设出圆的一般式方程，代入已知点，可得答案. （2）由已知点求得直线方程，利用点到直线方程以及弦长公式，可得答案. (1) 小问详解： 设圆C的方程为， 将，，三点的坐标代入， 得 解得 故圆C的方程为，即. (2) 小问详解： 由题意得，与AB垂直的高线的斜率为1， 又过，所以：. 圆的圆心到的距离， 则被圆截得的弦长为. 70．【答案】 【分析】 根据直线与圆的位置关系，结合圆切线的性质以及勾股定理，可得答案. 【详解】 由题意，得圆C：的圆心到直线l：的距离， 所以l与圆C相离，如图，可知当取得最大值时，取最小值，的最小值为点C到l的距离，即， 此时，所以，故的最大值为.    故答案为：. 71．【答案】（1）；     （2）或；     （3）或．      【分析】 （1）设，根据圆的几何性质得到方程求出值即可； （2）先考虑斜率不存在时，再考虑斜率存在时，设点斜式方程，利用圆心到直线距离为半径得到方程，解出即可； （3）根据等腰直角三角形性质得圆心到直线的距离，再对直线分斜率存在和不存在讨论即可. (1) 小问详解： 设圆的圆心， 由，得， 解得，故圆心． 圆的半径为，所以圆的标准方程为． (2) 小问详解： ① 当切线的斜率不存在时，切线方程为． ② 当切线的斜率存在时，设切线的方程为， 整理得． 由圆与切线相切，得，解得， 故所求切线方程为，整理得， 故过点，且与圆相切的直线方程为或． (3) 小问详解： 由，得圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，圆心到直线的距离为1，不合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为， 由圆心到直线的距离为，得，解得或， 可得直线的方程为或． 72．【答案】（1），曲线是以为圆心，2为半径的圆．     （2）     （3） 如图，由题意知，与圆相切，为切点， 则，，则四点共圆，且在以为直径的圆上， 因为，，所以的中点为，， 以线段为直径的圆的方程为， 整理得，，① 又在曲线：②上， ②①，得，所以直线的方程为． 当时，，则直线恒过定点． 【分析】 （1）设，根据条件得，化简，即可求解； （2）根据点与圆的位置关系，知点在圆内，设圆心到直线的距离为，利用几何关系可知，再利用弦长公式，即可求解； （3）根据条件可得在以为直径的圆上，求出以线段为直径的圆的方程，再利用两圆公共弦的求法，求得直线的方程为，即可求解. (1) 小问详解： 设，由，得， 化简得，即， 故曲线是以为圆心，为半径的圆． (2) 小问详解： 设圆，将点代入圆的方程等号左侧，得， 故点在圆的内部． 设圆心到直线的距离为，所以． 又，所以， 所以，当且仅当时取得最小值， 故的最小值为． (3) 小问详解： 略 73．【答案】（1）；     （2）或.      【分析】 （1）直线与圆相切，圆心到直线的距离为圆的半径，计算求解； （2）求出圆心到直线的距离为，由直线被圆截得的弦的长度为，得到，代入数据计算求解. (1) 小问详解： 圆心在直线上，，圆心， 直线与圆相切，圆心到直线的距离为圆的半径， ，，，， 圆的半径为，圆的标准方程. (2) 小问详解： 圆心到直线的距离为， 又直线被圆截得的弦的长度为， ，，或. 74．【答案】（1）或；     （2）存在，.      【分析】 （1）设直线为，根据直线与圆相切的条件，即可求解； （2）由\vec {PA}\cdot \vec {PB}=0，得，所以点在以为直径的圆上，设圆心为，则，由点到直线距离即可求解斜率的范围，进而可求得倾斜角的范围. (1) 小问详解： 已知圆，则其圆心为，半径为， 过点的直线，当斜率不存在时，直线为，显然与圆不相切，不符合题意； 设直线的斜率为，则其方程为，即， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径， 即，解得， 所以直线的方程为或. (2) 小问详解： 因为\vec {PA}\cdot \vec {PB}=0，所以，所以点在以为直径的圆上，设圆心为， 又，两点的距离为2，且在直线上，所以圆心在直线上，半径为1， 又点在圆上，所以以为直径的圆与圆有公共点， 所以， 设圆心到直线距离为，因为点在直线上且， 所以，即， 当直线斜率不存在时，直线为， 所以，不符合题意， 当直线斜率存在时，设直线的斜率为，则其方程为，即， 所以，解不等式得， 当时，倾斜角，当时，倾斜角， 所以直线的倾斜角的取值范围为. 75．【答案】 【分析】 设出两条切线后，利用圆心到直线的距离等于半径列出方程，根据两点在两条切线上且纵坐标已知，写出两点的横坐标，作差后结合韦达定理求出最值. 【详解】 易知直线的斜率均不可能为0，故可设直线与直线的方程分别为：,又与圆相切， 所以即.易知为该方程的两个解, 所以 , 故答案为：. 76．【答案】 【分析】求出点A关于直线的对称点B的坐标，可得的最小值. 【详解】可转化为：，则圆心为C(2,1)，半径为. 设A关于直线的对称点B的坐标为(a,b)，则： 的最小值是， 故答案为： 【点睛】本题考查了直线和圆综合问题，考查了学生转化与划归，综合分析，数学运算的能力，属于较难题. 77．【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）先求出圆心到直线的距离，再解得直线与圆的位置关系，分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论求解； （2）设，利用中点关系结合在圆上即可求解动点的轨迹方程． (1) 小问详解： 圆，圆的半径，圆心， 直线与圆心的距离， 若斜率不存在，即，圆心到直线距离， 与圆无交点，不符合题意； 若斜率存在，设直线，即， 由，解得， 直线的方程为， 即或． (2) 小问详解： 设，，点是线段的中点， ，即 ① ， 又点在圆上，， 将① 代入得，整理得， 点的轨迹方程为：． 78．【答案】（1）直线与的方程为或.     （2）     （3）或或      【分析】 （1）求出圆的圆心坐标和半径，对切线的斜率是否存在进行分类讨论，在切线的斜率不存在时，直接验证即可；在切线的斜率存在时，设出切线方程，利用直线与圆的位置关系求出参数的值，综合可得出切线的方程； （2）求出的值，利用二倍角的余弦公式求出的值，利用平面向量数量积的定义可求得\vec {PA}\cdot \vec {PB}的值； （3）分析可知两圆外切，可知两圆的公切线有三条，将两圆方程作差可得出其中一条公切线方程，然后利用三角形相似与对称性可求出另外两条公切线的方程, (1) 小问详解： 可化为，圆心，半径. 设过且与圆相切的直线为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线与相切，符合题意. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 因为直线与相切，所以，解得， 所以直线的方程为，即. 综上所述，直线与的方程为或. (2) 小问详解： 由切线的几何性质可得， ，所以， 又，， 所以\vec {PA}\cdot \vec {PB}=\left| PA\right| \times \left| PB\right| \times \cos \angle APB=-\frac{3}{5}. (3) 小问详解： 的圆心，半径；的圆心，半径.    因为，所以与外切，因此与共有条公切线. 与两方程相减，得一条公切线为. 设直线是与的一条公切线， 且直线与轴交于点，与相切于点，与相切于点 ，则，所以，即，所以. 所以，，所以. 将代入，得， 所以一条公切线为，即. 根据对称性，直线，即也是与的公切线. 综上所述，与的所有公切线的方程为或或. 79．【答案】 【分析】 依题意可得，从而得到点在圆上，再由表示点与点连线的斜率，结合图象及直线与圆的位置关系求出的最值，即可得解. 【详解】 因为，所以， 所以点在圆上，其中圆心为，半径为， 又，其中表示点与点连线的斜率， 又，所以点在圆外， 由图可知，当直线与圆相切时，取得最值，设过点的直线的方程为， 即，则，解得或， 即的最大值为，最小值为， 所以的最大值为. 故答案为： 80．【答案】 【分析】 转化为轴上动点到两定点和的距离之和的最小值. 【详解】 ，圆心为，半径，点，点在直线上，设（为实数）， 根据切线长公式， |AM|为点到圆的切线长， 即： 点到点的距离为： 因此的最小值转化为轴上动点到两定点和的距离之和， 由于、在轴同侧，作关于轴的对称点，则 ，当且仅当在与轴的交点时取等号， ， 故答案为： 81．【答案】（1）     （2）     （3） 不存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且，理由如下： 设的方程为， 由题意得，圆心到的距离，解得， 圆心到的距离，解得， 故， 由垂径定理得， 解得或，均不满足要求， 故不存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且.      【分析】 （1）设出圆心，由得到方程，求出，得到圆心，进而求出半径，得到圆的标准方程； （2）设，则，设出切线方程，由到切线的距离为1得到方程，又，化简得到，解得，代入切线方程，化简得到，根据到的距离得到或，联立，求出，舍去不合要求的解，求出，故的斜率为； （3）设的方程为，由直线与两圆的位置关系得到不等式，求出，由垂径定理和，解得或，均不满足要求，故不存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且. (1) 小问详解： 设圆的圆心为，由得 ，解得， 故圆心为，半径为， 故圆的标准方程为； (2) 小问详解： 设，则， 显然过点的切线斜率存在， 过点的切线方程设为， 圆心到切线的距离为1，即， 即， 又，故，即，解得， 故，即，即， 圆心到的距离为2，即， 故或，解得或， 若，联立，解得，与矛盾，舍去， 若，联立，解得或0（舍去）， 故，所以， 故的斜率为； (3) 小问详解： 略 【点睛】 过圆上一点的切线方程为：， 过圆外一点的切点弦方程为：. 82．【答案】（1）或     （2）或     （3）      【分析】 （1）根据题目要求，列方程求圆心即可； （2）求出圆心到直线的距离，由勾股定理表示弦长，解方程即可； （3）设切线方程，由相切关系得到切线距离等于圆的半径可列等式；得到关于的二次函数，根据韦达定理求出，，再根据弦长公式将表示出来，结合k_{1}+k_{2} &，，将转化为关于t &的函数，即可求最小值. (1) 小问详解： 因为圆心在直线上，设圆心为， 由题意得，解得或， 故圆的标准方程为或. (2) 小问详解： 圆位于第一象限内，故圆心为， 所以圆心到直线的距离为，半径， 因为直线被圆截得的弦的长度为， 所以， 整理得，解得或. 故的值为或. (3) 小问详解： 因为圆位于第四象限内， 所以圆心为， 易知切线斜率均存在，设过作圆的切线方程为， 两切线的斜率分别为，， 由圆心到切线的距离， 整理得， 所以，， 在切线方程中，令，则， 不妨取，， 则 ， 当时，取得最小值，为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 直线和圆的方程 5大高频考点概览 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点04 圆的方程 考点05 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 直线的倾斜角与斜率 1．（25-26学年高二上·河南南阳南阳地区·期中）直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由直线斜率得到直线倾斜角. 【详解】 因为该直线的斜率为，所以它的倾斜角为. 故选：D. 2．（25-26学年高二上·河南商丘·期中）直线的倾斜角为（       ） A. 0 B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据直线与坐标轴的位置关系，可得直线的倾斜角. 【详解】 直线与轴平行，所以倾斜角为. 故选：D 3．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）直线的倾斜角是（     ） A. 0 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由垂直于轴即可得解. 【详解】 直线垂直于轴，故所求倾斜角是. 故选：C. 4．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知直线斜率为，则直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据倾斜角和斜率的关系求得正确答案. 【详解】 设倾斜角为，依题意， 由于，所以. 故选：A 5．（25-26学年高二上·河南信阳罗山县·期中）已知直线过，两点，则直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据给定条件，求出直线的斜率，再求出倾斜角. 【详解】 依题意，直线的斜率，所以直线的倾斜角为. 故选：C 6．（25-26学年高二上·河南信阳罗山县·期中）已知直线，，若，则（       ） A. 1 B.  C. 2 D. 1或 【答案】B 【分析】 利用两直线平行的充要条件建立方程组，求解参数即可. 【详解】 由题意得，， 因为，所以 ，解得. 故选：B 7．（25-26学年高二上·河南新乡·期中）已知直线l上两点，，若直线l的倾斜角为，则实数n的值为（       ） A.  B. 0 C.  D.  【答案】A 【分析】 根据两点的斜率公式及倾斜角的关系计算即可. 【详解】 因为点，在直线l上，直线l的倾斜角为， 所以直线l的斜率为，解得. 故选：A. 8．（25-26学年高二上·河南豫北民办高·期中）直线的倾斜角为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先根据直线得出斜率，再结合倾斜角及斜率的关系求出倾斜角即可. 【详解】 设直线的倾斜角为. 由直线方程可知，该直线的斜率，所以. 因为，所以. 故该直线的倾斜角为，故选：B. 9．（25-26学年高二上·河南洛阳·期中）已知直线与直线垂直，则直线的倾斜角是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据垂直关系得到直线的斜率，进而得到倾斜角． 【详解】 由题意，直线的斜率为1， 因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为-1. 结合斜率与倾斜角的关系，得直线的倾斜角为. 故选：C 10．（25-26学年高二上·河南开封五校·期中）经过两点，的直线的倾斜角为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据两点坐标可得直线斜率，由斜率与倾斜角关系可得结果. 【详解】 ，，， 设直线的倾斜角为，则，. 故选：D. 11．（25-26学年高二上·河南焦作·期中）已知直线与垂直，则实数的值为（       ） A. 1 B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据两直线垂直的充要条件列式求解. 【详解】 由题可得，，解得. 故选：A. 12．（25-26学年高二上·河南新乡部分学校·期中）设点、，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（       ） A. 或 B. 或 C.  D.  【答案】A 【分析】 画出图形，由题意得所求直线的斜率满足或，用直线的斜率公式求出 和的值，求出直线的斜率的取值范围. 【详解】 解：如图所示：由题意得，所求直线的斜率满足或， ∵，， ∴直线的斜率的取值范围是或 ， 故选：A. 13．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）直线l经过点，则直线l的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据题意，利用斜率公式，求得直线的斜率，结合直线的倾斜角和斜率的关系，即可求解. 【详解】 因为直线过点，则直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，其中，可得，所以， 即直线的倾斜角为. 故选：D. 14．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知两条不重合的直线和．若，则实数的值为（       ） A.  B.  C. 1 D. 或1 【答案】B 【分析】 根据平行可解得实数，验证可得正确的选项. 【详解】 因为，故，故或， 当时，的方程均为，它们重合，故舍去； 当时，，，它们平行， 故选：B. 15．（25-26学年高二上·河南新乡·期中）已知直线，，则“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】 代入，得到直线与直线的方程，根据直线平行的性质结合充分条件与必要条件的判定分析选项. 【详解】 当时，直线的方程为，直线的方程为，，充分性成立. 若，则，解得或. 当时，直线与直线的方程均为，直线重合，不符合题意，舍去； 当时，直线的方程为，直线的方程为，， 所以必要性成立. 综上，“”是“”的充要条件 故选：C 16．（25-26学年高二上·河南洛阳·期中）已知直线和直线，则“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 由题意先求出时的的值，然后根据充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】 由题设，可得，解得或. 当时，：，：，此时，当时，：，：，此时， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 17．（25-26学年高二上·河南青桐鸣大联·期中）已知直线的两点式方程为，则直线的倾斜角为（     ） A. 150° B. 120° C. 60° D. 30° 【答案】A 【分析】 首先根据两点式方程判断直线过点和，再利用斜率的坐标公式计算出斜率的值，最后利用斜率的几何公式计算出直线的倾斜角. 【详解】 解：设直线的倾斜角为，； 由直线的两点式方程：得：直线过点和； 直线的斜率：，所以； 又因为，所以； 故选：A. 18．（25-26学年高二上·河南新乡部分学校·期中）已知直线：：，：，则“”是“”的（       ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 根据求出的值并进行检验，再利用充分必要条件的概念判断即可. 【详解】 由，解得或, 当时，直线：，：，此时两条直线重合，舍掉， 当时，直线：，：，此时两条直线平行， “”是“”的充分必要条件. 故选：. 19．（25-26学年高二上·河南郑州·期中）（多选）下列选项正确的是（       ） A. 若直线与平行，则与的距离为 B. 过点且和直线平行的直线方程是 C. “”是“直线与直线互相垂直”的必要不充分条件 D. 直线的倾斜角的取值范围是 【答案】AD 【分析】 利用平行线间距离公式判断A，举反例判断B，C，利用斜率的几何意义判断D即可. 【详解】 对于A，因为直线与平行， 所以，解得，此时直线为，即， 由平行线间距离公式得与的距离为，故A正确， 对于B，将点代入中， 发现，故该点不在直线上， 即过点且和直线平行的直线方程 不可能是，故B错误， 对于C，当时，直线可化为， 直线为，此时两直线也互相垂直， 所以“”不是“直线与直线互相垂直” 的必要不充分条件，故C错误， 对于D，直线的斜率为，则， 当时，的取值范围是，当时，的取值范围为， 故直线的倾斜角的取值范围是，故D正确. 故选：AD 20．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）（多选）已知三条直线的倾斜角分别为，斜率分别为，且，则α，β，γ的大小关系可能为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】ABC 【分析】 根据题意，利用直线斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，分类讨论，即可求解. 【详解】 由题意，三条直线的倾斜角分别为，可得， 当时，根据斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，可得； 当时，根据斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，可得； 当时，根据斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，可得； 当时，根据斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，可得, 结合选项，可得选项A、B、C. 故选：ABC. 21．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知点、，若过定点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 作出图形，求出直线、的斜率，观察直线在绕着点旋转时，直线的倾斜角的变化，即可得出直线的斜率的取值范围. 【详解】 设过点且垂直于轴的直线交线段于点，如下图所示： ，， 当直线从的位置旋转至与的位置靠近时， 此时直线的倾斜角逐渐增大，且为锐角，则； 当直线从靠近的位置旋转至的位置时， 此时直线的倾斜角逐渐增大，且为钝角，则. 综上所述，直线的斜率的取值范围是. 故选：A. 22．（25-26学年高二上·河南商丘·期中）已知直线和直线垂直，则实数的值为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据一般式方程中两直线垂直的条件得到方程，解得即可. 【详解】 因为直线和直线垂直， 所以，解得. 故答案为： 23．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知直线：，直线：，若，则　　　　　. 【答案】2 【分析】 根据给定条件，利用两直线平行的充要条件列式求解. 【详解】 由直线：与直线：平行，得 ，解得， 所以. 故答案为：2 24．（25-26学年高二上·河南月期中学·期中）已知，求： （1）过点且与垂直的直线方程； （2）过点B且倾斜角为直线倾斜角的的直线方程． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据与垂直可求得直线的斜率，设点斜式代入A点坐标即可求解； （2）根据倾斜角为直线倾斜角的，可求得直线的斜率，设点斜式代入B点坐标即可求解． (1) 小问详解： 设过点且与垂直的直线的斜率为，直线的斜率， 由，得，所以，即所求直线的方程为． (2) 小问详解： 直线的斜率，设直线的倾斜角为，则， 又，所以，由题意知所求直线的倾斜角为，故所求直线的斜率为，所以，即． 25．（25-26学年高二上·河南郑州·期中）已知直线与直线. （1）当直线与垂直时，求实数的值； （2）当直线与平行时，求直线与的距离. 【答案】（1）0或7     （2）      【分析】 （1）由即可求解； （2）由，求得，再由平行线间距离公式即可求解. (1) 小问详解： 由题意知直线与的斜率分别为：， 当直线与垂直时，则，即， 解得：，故实数的值为0或7； (2) 小问详解： 由（1）知直线与的斜率分别为：， 当直线与平行时，有，即， 解得：. 此时，直线的方程为，直线的方程为， 为计算距离，将两直线方程分别化为和， 所以直线与的距离. 26．（25-26学年高二上·河南郑州·期中）在平面直角坐标系中，过点作斜率分别为的直线，若，则称直线是定积直线或定积直线. （1）已知直线是定积直线，且直线，求直线的方程; （2）如图所示，已知点，点和点分别是三条倾斜角为锐角的直线上的点(与均不重合)，且直线是定积直线，直线是定积直线，直线是定积直线，求点的坐标; （3）已知点，直线是定积直线，若，求三角形的面积. 【答案】（1）     （2）；     （3）      【分析】 （1）根据新定义求得的斜率，得直线方程； （2）设直线的斜率分别为，由新定义列方程组解得，求得直线方程，再联立直线方程求得交点坐标； （3）设出点坐标，根据新定义列出关系式，得到动点轨迹方程，假定在轴上方，根据直线斜率与角之间关系转化列出等式，求出点坐标，进而求得三角形面积. (1) 小问详解： 由已知得，又， 且直线过点， 的方程; (2) 小问详解： （2）设直线的斜率分别为， 则 . 得（负值舍去）， 当时， 直线的方程为，直线的方程为 联立得；故所求为； (3) 小问详解： 设， 得的轨迹方程为: 由图形的对称性，不妨设在轴上方，则 ，得，即此时的纵坐标为 . 所以三角形的面积为. 【点睛】 方法点睛： “新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求。但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝． 考点02 直线的方程 1．（25-26学年高二上·河南濮阳·期中）直线在y轴上的截距为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 令直线方程中的求得的值即是直线在y轴上的截距. 【详解】 由，令得. 即直线在y轴上的截距为. 故选：A. 2．（25-26学年高二上·河南新乡部分学校·期中）直线的倾斜角是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 写出直线斜截式，根据倾斜角与斜率的关系确定倾斜角大小. 【详解】 由题设，设倾斜角为且，则， 所以. 故选：B 3．（25-26学年高二上·河南部分学校·期中）（多选）对于直线，下列说法正确的有（     ） A. 直线 过点 B. 直线 与直线垂直 C. 直线 的一个方向向量为 D. 原点到直线的距离为1 【答案】ABC 【分析】 点代入直线可判断A；利用两直线垂直的充要条件可判断B；利用直线的方向向量和斜率的关系可判断C；利用点到直线的距离公式计算可判断D. 【详解】 对于A，因为满足方程，所以直线l过点，故A正确； 对于B，直线斜率为，直线斜率为1，所以直线与直线垂直，故B正确； 对于C，直线的一个方向向量为，则斜率为，故C正确； 对于D，原点到直线的距离为，故D错误. 故选：ABC 4．（25-26学年高二上·河南多校·期中）直线在轴上的截距为（       ） A. -3 B.  C.  D. 3 【答案】C 【分析】 要确定直线在轴上的截距，需先明确直线在轴上截距的定义：直线与轴交点的横坐标，即当时的值. 【详解】 令，得，即在轴上的截距为. 故选：C. 5．（25-26学年高二上·河南豫北民办高·期中）（多选）下列选项正确的有（       ） A. 表示过点，且斜率为2的直线 B. 是直线的一个方向向量 C. 以，为直径的圆的方程为 D. 直线恒过点 【答案】BCD 【分析】 根据直线和圆的性质，逐个判断每个选项. 【详解】 A选项：方程，，点不在直线上，A选项错误； B选项：因为直线的斜率为， 所以是直线的一个方向向量，B选项正确； C选项：设是所求圆上任意一点，则 \vec {AM}\bot \vec {BM}， 因为\vec {AM}=\left(x-4\mathrm{，}y-1\right)，\vec {BM}=\left(x-1\mathrm{，}y+2\right)， 所以 \vec {AM}\cdot \vec {BM}=\left(x-4\right)\left(x-1\right)+\left(y-1\right)\left(y+2\right)=0， 即所求圆的方程为，C选项正确； D选项：直线方程化为， 由 ， 解得 ，所以直线恒过定点，D选项正确. 故选：BCD 6．（25-26学年高二上·河南郑州·期中）直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由直线的方程可得直线的斜率，进而求出直线的倾斜角的大小. 【详解】 由直线，可化为，所以直线的斜率， 设倾斜角为，则，又因为，所以. 故选：A 7．（25-26学年高二上·河南郑州·期中）下列说法中，正确的有（     ） A. 过点且在、轴截距相等的直线方程为 B. 直线的倾斜角为60° C. 直线在轴上的截距为 D. 过点并且倾斜角为90°的直线方程为 【答案】C 【分析】 对直线是否过原点进行分类讨论，利用斜截式方程与截距式方程可判断A选项； 求出直线的斜率，进而可得出所求直线的倾斜角，可判断B选项； 利用直线截距的定义可判断C选项；求出所求直线的方程，可判断D选项. 【详解】 对于A选项，若直线过原点，设该直线的方程为，则， 此时，所求直线的方程为， 若直线不过原点，设所求直线方程为，则，可得， 此时，所求直线方程为. 综上所述，过点且在、轴截距相等的直线方程为或，A错； 对于B选项，直线的斜率为，该直线的倾斜角为30°，B错； 对于C选项，直线在轴上的截距为，C对； 对于D选项，过点并且倾斜角为90°的直线方程为，D错. 故选：C. 8．（25-26学年高二上·河南月期中学·期中）在平面直角坐标系xOy中，直线在y轴上的截距为（       ） A.  B. 6 C.  D.  【答案】A 【分析】 利用截距的概念进行求解即可. 【详解】 令，解得，即直线在轴上的截距为& -6. 故选：A. 9．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）过点和的直线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用直线的两点式方程可得答案. 【详解】 由题意可知，直线的两点式方程为，即为. 故选：D. 10．（2026·河南九师联盟·质量检测）直线的倾斜角为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由直线方程先求出斜率，再根据倾斜角与斜率的关系求解即可. 【详解】 设直线的倾斜角为，， 直线的斜率为，即，所以. 故选：C 11．（25-26学年高二上·河南信阳罗山县·期中）（多选）下列说法正确的有（       ） A. 若两条直线与互相垂直，则实数的值为 B. 若点在第二象限，则直线不经过第三象限 C. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 D. 已知直线和以，为端点的线段相交，则或 【答案】ABD 【分析】 对于选项A，利用两直线垂直的充要条件建立方程求值即可；对于选项B，结合题意得到，再利用一次函数性质判断即可；对于选项C，举出直线，判断即可；对于选项D，先判断直线过定点，再利用斜率公式结合图象求实数k的范围即可. 【详解】 对于A，若两条直线与互相垂直， 则，解得或， 可得实数a的值为，故A正确； 对于B，若点在第二象限，则， 由一次函数性质得直线不经过第三象限，故B正确； 对于C，当直线过原点时，直线经过点， 即直线也满足题意，选项C错误； 对于D，将直线化为， 所以直线恒过定点，且直线的斜率为， 其中，， 如图，作出符合题意的图象， 结合图象，若直线与线段相交， 可得或，故D正确． 故选：ABD. 12．（25-26学年高二上·河南新乡·期中）（多选）已知直线，直线m在x轴上的截距为，且，则下列说法正确的有（       ） A. 直线l在y轴上的截距为 B. 向量是直线m的方向向量 C. 直线l与m的交点坐标为 D. 直线l，m与x轴围成的三角形的面积为 【答案】BCD 【分析】 对于A，根据直线l的方程，令，即可求解判断；对于B，根据直线l的斜率先得到直线m的斜率，即可得到直线m的一个方向向量，进而判断即可；对于C，先求出直线m的方程，再联立直线m与直线l的方程即可求解，进而判断；对于D，设直线l，m与x轴的交点分别为A，B，直线l与m的交点为C，则直线l，m与x轴围成的三角形即，进而求出的坐标，再计算面积即可判断. 【详解】 对于A，由直线，令，得， 所以直线l在y轴上的截距为2，故A错误； 对于B，由直线，则直线l的斜率为， 因为，所以直线m的斜率为， 所以直线m的方向向量可以是， 因为，所以是直线m的方向向量，故B正确； 对于C，由题意知，直线m过点， 所以直线m的方程为，即， 联立 ，解得 ， 所以直线l与m的交点坐标为，故C正确； 对于D，设直线l，m与x轴的交点分别为A，B，直线l与m的交点为C， 则直线l，m与x轴围成的三角形即， 由直线，令，得，则， 由题意及C选项的分析可设，，所以， 则的面积，故D正确. 故选：BCD. 13．（25-26学年高二上·河南郑州·期中）如图所示，直线与的图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 将直线化成斜截式，根据直线的斜率与截距的符号逐项判断即可得结论. 【详解】 直线方程可化为，斜率为，在轴上的截距为，直线方程可化为，斜率为，在轴上的截距为， 对于A：由直线的图象可得 ，即 ，由直线的图象可得 ，A不满足条件； 对于B：由直线的图象可得 ，即 ，由直线的图象可得 ，B不满足条件； 对于C：由直线的图象可得 ，即 ，由直线的图象可得 ，C不满足条件； 对于D：由直线的图象可得 ，即 ，由直线的图象可得 ，D满足条件. 故选：D. 14．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）（多选）下列说法中正确的是（     ） A. 若直线的斜率，则倾斜角 B. 过点且与直线垂直的直线方程为 C. 过任意两点，的直线都可以用方程表示 D. 直角坐标系xOy内的任意直线都可以用方程表示 【答案】AD 【分析】 由斜率与倾斜角的关系可判断A，由垂直关系可判断B，由特殊位置可判断C，由一般方程概念可判断D. 【详解】 解析 对于A，由条件可知，又， 当时，， 当时，，A正确； 对于B，直线的斜率为，其垂线的斜率为3， 所以过点且与直线垂直的直线方程为， 即，故B错误； 对于C，当直线垂直于坐标轴时，不能用方程表示，故C错误； 对于D，任何直线的方程都有一般式，故D正确. 故选：AD 15．（25-26学年高二上·河南南阳南阳地区·期中）已知直线经过点，. （1）求直线的斜率及直线的斜截式方程； （2）若直线经过点且平行于直线，求直线的一般式方程； （3）若直线经过点且垂直于直线，求直线的一般式方程. 【答案】（1），     （2）     （3）      【分析】 （1）先利用两点求斜率，然后代入点斜式直线方程，化为斜截式直线方程即可求解； （2）先根据平行求得直线斜率，然后代入点斜式直线方程，化为一般式直线方程即可求解； （3）先根据垂直求得直线斜率，然后代入点斜式直线方程，化为一般式直线方程即可求解. (1) 小问详解： 直线的斜率为， 直线的方程为，它的斜截式方程为. (2) 小问详解： 因为直线平行于直线，所以直线的斜率为. 又直线经过点，所以直线的方程为， 它的一般式方程为. (3) 小问详解： 因为直线垂直于直线，所以直线的斜率为2. 又直线经过点，所以直线的方程为，它的一般式方程为. 16．（25-26学年高二上·河南开封五校·期中）已知直线与直线相交于点． （1）求过点且与直线垂直的直线的方程； （2）求过点且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍的直线的方程． 【答案】（1）；     （2）或．      【分析】 （1）通过解方程组求出交点坐标，再根据互相垂直的两直线方程的特征，利用代入法进行求解即可； （2）根据截距是否为零分类进行求解即可. (1) 小问详解： 由 得 所以点． 设过点且与直线垂直的直线的方程为， 将点代入方程得，解得， 所以所求直线的方程为． (2) 小问详解： 当直线过原点时，直线在轴上的截距与在轴上的截距都是0，显然符合题意， 设所求直线的方程为，将点代入，得， 故所求直线方程为． 当直线不过原点时，设所求直线方程为，将点代入，得， 故所求直线方程为，即． 综上所述，所求直线的方程为或． 17．（25-26学年高二上·河南信阳固始县·期中）直线与轴交于点，将绕点逆时针旋转105°得到直线，则直线的方程为　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据给定条件，表示出直线的倾斜角和点，再求出斜率，代入斜截式方程即可得解. 【详解】 直线即，所以直线的斜率为，倾斜角为30°， 令得，即， 则直线的倾斜角为，其斜率为， 则直线的斜截式方程为，即直线的方程是. 故答案为： 18．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）直线与直线相交于点P，直线l经过点P. （1）若直线，求直线l的方程； （2）若直线l在坐标轴上的截距相等，求直线l的方程. 【答案】（1）     （2）或.      【分析】 （1）先求点坐标，由垂直关系得斜率后求解， （2）由题意得过原点或斜率为后求解 (1) 小问详解： 联立 得 即. 因为，不妨设直线l的方程为， 将点代入，得， 所以直线l的方程为. (2) 小问详解： 当直线l经过坐标原点时，直线l的方程是，即； 当直线l不经过坐标原点时，设直线l的方程为， 将点代入，得， 所以直线l的方程为，即. 综上所述，直线l的方程是或. 19．（25-26学年高二上·河南濮阳·期中）已知点，，直线l：上总存在一点P，使得\vec {MP}=\lambda \vec {MN}（），则实数k的取值范围为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 问题转化为过定点的直线l与线段有公共点，先计算过临界点的直线的斜率，再结合图像即可得到答案. 【详解】 直线l：过定点. 由题意直线l：与线段相交， 临界情况为恰好经过点或经过点时， 由图可知，或. 故答案为：. 20．（25-26学年高二上·河南新乡·期中）求满足下列条件的直线l的一般式方程. （1）直线l经过直线和的交点，且与直线平行； （2）直线l经过点，与直线，的交点分别为B，C，且A是线段BC的中点. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据直线平行设直线方程，代入交点坐标即可； （2）分斜率存在不存在两种情况讨论求解即可. (1) 小问详解： 因为直线直线p，直线， 所以设直线l的方程为. 解方程组 ，得 ，所以直线l过点. 所以，解得， 所以直线l的一般式方程为. (2) 小问详解： 由题意，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为. 把分别代入直线和的方程，得，， 点不是线段BC的中点，不符合题意. 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为（且）. 解方程组 ，得 ，则. 解方程组 ，得 ，则. 由题意得，，解得， 所以直线l的一般式方程为. 21．（25-26学年高二上·河南洛阳·期中）已知直线和直线. （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）由直线的垂直关系进行求解； （2）分直线过原点及不过原点进行求解． (1) 小问详解： 由直线即可得其斜率为， 根据垂直关系可设所求直线方程为， 则依题意有，解得， 所以所求直线方程为，整理得. (2) 小问详解： 联立 ，解得 ， 即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，由直线经过点得直线方程为； 当直线的截距都不为0时，设直线方程为， 依题意 ，解得 ， 此时直线方程为， 综上所述：所求直线方程为或. 22．（25-26学年高二上·河南郑州·期中）已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）． （1）证明：直线l过定点； （2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围； （3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程． 【答案】（1）证明： 直线l的方程可化为y＝k（x＋2）＋1， 故无论k取何值，直线l总过定点（－2，1）． （2）； （3）S的最小值为4，直线l的方程为x－2y＋4＝0． 【分析】 （1）直线方程化为y＝k（x＋2）＋1，可以得出直线l总过定点； （2）考虑直线的斜率及在y轴上的截距建立不等式求解； （3）利用直线在坐标轴上的截距表示出三角形的面积，利用均值不等式求最值，确定等号成立条件即可求出直线方程. 【详解】 （1）略 （2）直线l的方程为y＝kx＋2k＋1， 则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则 解得k≥0， 故k的取值范围是． （3）依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为1＋2k， ∴A ，B（0，1＋2k）． 又且1＋2k＞0， ∴k＞0． 故S＝|OA||OB|＝××（1＋2k）＝ ≥×（4＋）＝4， 当且仅当4k＝，即k＝时，取等号． 故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0． 23．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知直线过点且在轴和轴上的截距分别为和． （1）若，求直线的方程； （2）若，直线分别与轴正半轴和轴正半轴交于点、，当的面积最小时，求直线的方程． 【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）分、两种情况讨论，设出直线的方程，将点的坐标代入直线的方程，求出参数的值，即可得出直线的方程； （2）由题意可知直线的截距式方程为，且，，将点的坐标代入直线的方程得出，可得，求得，可得出，将代入的面积公式，结合基本不等式可求得的最小值，利用等号成立的条件得出、的值，即可得出直线的方程. (1) 小问详解： 当时，直线过原点，设直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程得，此时直线的方程为； 当时，直线的截距式方程为， 将点的坐标代入直线的方程得，解得， 此时直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. (2) 小问详解： 由题意可知、，且，，则直线的截距式方程为， 将点的坐标代入直线的方程可得，可得， 由 可得， ， 当且仅当时，即当 时，等号成立， 故当的面积最小时，直线的方程为，即. 24．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）设直线与交于点P，已知直线l过点P. （1）若l与直线平行，求l的方程； （2）若l在x轴和y轴上的截距互为相反数，求l的方程. 【答案】（1）     （2）或.      【分析】 （1）联立直线方程，求得交点，根据直线平行，建立方程，可得答案； （2）利用截距的定义，分类讨论，建立方程，可得答案. (1) 小问详解： 联立得 ，解得 ，即. 若l与直线平行，则l的斜率， 所以l的方程为，即. (2) 小问详解： 若l经过坐标原点，设l：，代入P点坐标，解得， 所以l的方程为. 若l不经过坐标原点，设l：， 代入P点坐标，得，解得， 所以l的方程为，即. 所以l的方程为或. 25．（2026·河南九师联盟·质量检测）已知直线. （1）求经过直线的交点，且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 【答案】（1）；     （2）或．      【分析】 （1）求出交点坐标，再根据两直线垂直时斜率的关系即可得到直线方程； （2）分直线过原点和不过原点时讨论，当不过原点时，设截距式方程再代入点即可. (1) 小问详解： 联立方程 ，解得 . 由题知直线的斜率为，所以经过直线的交点， 且与直线垂直的直线方程为，即， 故经过直线的交点，且与直线垂直的直线方程为． (2) 小问详解： 由（1）知，直线的交点为． ① 若所求直线经过原点，则直线的方程为． ② 若所求直线不经过原点，设直线方程为， 代入点，得，解得， 所求方程为，整理得． 故经过直线的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为或． 考点03 直线的交点坐标与距离公式 1．（25-26学年高二上·河南开封五校·期中）一束光线从点出发，经直线:上一点反射后，恰好穿过点，则反射光线所在的直线在轴上的截距为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 求出关于直线的对称点为，点，，三点共线， 利用点，可求出反射光线所在的直线方程. 【详解】 设关于直线的对称点为， 由反射的性质，可知点，，三点共线. 由对称轴为，得且， 解得，，即， 所以反射光线所在的直线方程为， 故反射光线所在的直线在轴上的截距为. 故选:D. 2．（25-26学年高二上·河南豫北民办高·期中）点到直线的距离为（     ） A. 1 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据点到直线的距离公式可直接求出答案. 【详解】 点到直线的距离为， 故选：C. 3．（25-26学年高二上·河南南阳南阳地区·期中）（多选）已知两条平行直线，，则，之间的距离可能为（       ） A. 2 B.  C.  D.  【答案】AB 【分析】 先根据两直线平行公式列式求得或，然后代入两平行线距离公式求解即可. 【详解】 因为，所以，解得或. 当时，直线，的方程分别为和，则，之间的距离为2； 当时，直线，的方程分别为和， 则，之间的距离. 故选：AB 4．（25-26学年高二上·河南开封五校·期中）（多选）若直线不能构成三角形，则的取值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】ABD 【分析】 分，过与的交点三种情况讨论即可. 【详解】 因为直线不能构成三角形， 所以存在，过与的交点三种情况， 当时，有，解得； 当时，有，解得； 当过与的交点，则联立 ，解得 ，代入，得，解得； 综上：或或. 故选：ABD. 5．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）某市举办青少年机器人大赛，组委会设计了一个正方形场地（边长为8米）如图所示，，，分别是，，的中点，在场地中设置了一个半径为米的圆，圆与直线相切于点.比赛中，机器人从点出发，经过线段上一点，然后再到达圆，则机器人走过的最短路程是（     ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【分析】 建立平面直角坐标系，求出直线方程为，得到点关于直线的对称点，连接，与交于点，与圆交于点，所以即为机器人走过的最短路程，利用两点间距离公式求出答案. 【详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 则， 设直线的方程为，将代入得，故直线方程为， 设点关于直线的对称点为， 则 ，解得 ， 故， 连接，与交于点，与圆交于点， 则， 所以即为机器人走过的最短路程， 其中， 故. 故选：A 6．（25-26学年高二上·河南部分学校·期中）直线与上各有一动点，则的最小值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据题目条件计算得两条直线平行，的最小值就是两条平行线间的距离. 【详解】 直线 ， ，即的最小值为这两条平行线间的距离， 设为之间的距离，则. 故选：C 7．（25-26学年高二上·河南濮阳·期中）已知Q为直线l：上的动点，点P满足\vec {QP}=\left(1,1\right)，记点P的轨迹为E，则（       ） A. E是一个半径为的圆 B. E是一条与l垂直的直线 C. E是两条与l平行的直线 D. E上的点到l的距离为 【答案】D 【分析】 设，由\vec {QP}=\left(1,1\right)可得点坐标，由在直线l上，将点坐标代入，得P轨迹，结合选项即可得出正确答案. 【详解】 设，由\vec {QP}=\left(1,1\right)，则，由在直线l上， 故，化简得，即点P的轨迹E为直线且与直线l平行， 所以E上的点到直线l的距离，故A、B、C错误，D正确. 故选：D. 8．（25-26学年高二上·河南洛阳·期中）如图，在中，，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 建立平面直角坐标系，利用光的反射以及轴对称的性质确定出直线的方程，再将重心坐标代入方程即可求解. 【详解】 因为，所以, 建立平面直角坐标系如图，作关于的对称点，作关于轴的对称点， 设，则    因为，， 所以 ，解得， 由光的反射原理可知：四点共线，所以， 所以，代入重心坐标即， 所以，解得或 (舍). 得，， 则, 故的周长等于 故选：C. 9．（25-26学年高二上·河南青桐鸣大联·期中）台球是一项在球桌上用球杆击打主球以撞击目标球的体育运动，假设主球（体积忽略不计，看作一个点）在球桌上均做直线运动，碰撞到球桌壁后反弹时满足反射角等于入射角.如图，现击打主球在球桌壁点反弹后，经过点，再在球桌壁点反弹后，击中目标球.以球桌壁所在直线分别为，轴，建立如图所示的直角坐标系，发现点的坐标为，目标球的坐标为，则在该坐标系中，点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据题意，分别求得点关于轴的对称点为和点关于轴的对称点为，以及关于轴的对称点为，得到的方程，进而求得的坐标， 【详解】 由点关于轴的对称点为，则点在直线上， 点关于轴的对称点为，则关于轴的对称点为， 所以点在直线上，则， 所以直线的方程为， 令，解得，则点的坐标为. 故选：D. 10．（25-26学年高二上·河南郑州·期中）公元1765年瑞士数学家莱昂哈德•欧拉（LeonhardEuler）在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心（三条中垂线的交点）､重心（三条中线的交点）､垂心（三条高线的交点）在同一条直线上.后来，人们把这条直线称为欧拉线.若的顶点，则其欧拉线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据三角形顶点坐标得重心的坐标，确定，垂直平分线确定外接圆圆心即外心坐标，从而可得其欧拉线方程. 【详解】 因为的顶点，可得的重心的坐标为， 由，，可得中点的坐标为， 所以的垂直平分线所在直线的斜率， 所以可得的垂直平分线所在直线的方程为， 又由，可得的垂直平分线所在直线的方程为， 联立方程组 ，解得 ， 即的外心的坐标为， 则，所以的方程为，即， 所以的欧拉线方程为. 故选：C. 11．（25-26学年高二上·河南新乡部分学校·期中）在平面直角坐标系中，过原点的直线l交曲线于点A，B，沿x轴把平面直角坐标系折成大小为的二面角，则线段长度的最小值为（       ） A.  B. 4 C.  D. 2 【答案】D 【分析】 作垂直下半平面于点Q，作轴于H，设，由题意可得即为沿x轴把平面直角坐标系折成的二面角的平面角，故，进而求出，结合基本不等式即可得解． 【详解】 作垂直下半平面于点Q，作轴于H，连接， 设， 因为平面，x轴在平面内，所以轴， 又轴，，平面，所以x轴平面， 又平面，所以轴， 则即为沿x轴把平面直角坐标系折成的二面角的平面角，故， 因为平面，平面，所以， 又，则， 又，则， 则， 所以， 当且仅当即时取等号， 所以线段长度的最小值为2． 故选：D． 12．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知点，点在轴上，点在直线上，则周长的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 求出点关于轴、直线的对称点、的坐标，可知，，则，当且仅当点、分别为线段与轴、直线的交点时，等号成立，即可求解. 【详解】 如下图所示： 点关于轴的对称点为，设点关于直线的对称点为， 则 ，解得 ，即点， 由对称性可知，， 所以的周长为， 当且仅当点、分别为线段与轴、直线的交点时，等号成立， 故周长的最小值为. 故选：D. 13．（2026·河南百师联盟·联考）已知的三个顶点分别为，则的面积是（       ） A. 5 B. 10 C.  D. 20 【答案】B 【分析】 由的坐标易证，分别求出，再代入的面积公式即可. 【详解】 因为， 所以直线的斜率，直线的斜率， 因为，所以，所以是直角三角形. 因为， 所以的面积. 故选：B. 14．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）点关于直线的对称点为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 设对称点为，由 ，即可求解. 【详解】 设点关于直线的对称点为， 则 ， 解得 ，即. 故选：A 15．（25-26学年高二上·河南商丘·期中）已知直线的方程为 （1）若与直线平行，求的值； （2）若在轴，轴上的截距相等，求的方程. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）根据两直线平行得到方程和不等式，求出的值； （2）分与两种情况，求出与轴，轴的交点坐标，列出方程，求出，从而得到直线的方程. (1) 小问详解： 因为与直线平行， 所以且， 解得：. (2) 小问详解： 当时，：，不满足题意. 当时，与轴，轴的交点分别为， 因为在轴，轴上的截距相等，所以，解得. 故的方程为或. 16．（25-26学年高二上·河南信阳罗山县·期中）已知直线和直线平行，则这两条平行线之间的距离为　　　　　． 【答案】 【分析】 根据给定条件，利用平行线间距离公式计算得解. 【详解】 由题意得直线，即， 由平行线间距离公式得这两条平行线之间的距离为. 故答案为： 17．（25-26学年高二上·河南洛阳·期中）两平行直线与之间的距离为　　　　　. 【答案】 【分析】 先变换直线为，再利用两平行线间的距离即可求得结果． 【详解】 由题意得， 由两平行线间的距离公式，得． 故答案为： 18．（25-26学年高二上·河南南阳南阳地区·期中）一条光线从点射出，经轴反射，反射光线刚好经过点，则反射光线所在直线的方程为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 先求出点关于轴的对称点，然后利用两点求出斜率，代入点斜式直线方程求解即可. 【详解】 点关于轴的对称点为，则反射光线所在直线经过点和， 所以反射光线所在直线的方程为即，即. 故答案为： 19．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知是直线上的两点，若，且，则　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据两点间的距离公式，求出纵坐标的差的绝对值，再根据斜率的坐标公式，分类讨论符合条件的情况，求出结果即可. 【详解】 由题意可知，代入得，解得. 可得，， 所以. 故答案为：. 20．（2026·河南九师联盟·质量检测）两直线与之间的距离为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据平行线距离公式直接计算即可. 【详解】 两直线与之间的距离， 即两条直线与之间的距离， 为． 故答案为：. 21．（25-26学年高二上·河南信阳罗山县·期中）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高线所在直线方程为．求： （1）顶点的坐标； （2）直线的方程． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由上的高所在直线方程为，可得，且过点得到直线所在的直线方程，联立方程即可求得顶点的坐标. （2）设点，且的中点，代入所在的直线方程为，求出的表达式再与的方程即可得到点坐标，再用点斜式即可求得方程. (1) 小问详解： 由于，且的直线方程为， 所以，故，又的顶点， 所以所在的直线方程为，即， 由于边上的中线所在的直线方程为， 联立方程 ，解得 ，故点； (2) 小问详解： 设点，则的中点， 由于点在直线上， 所以，整理得， 同时点在直线上，所以， 故 ，解得 ，即点， 所以，可得， 化简得，故直线的方程为. 22．（25-26学年高二上·河南多校·期中）已知三条直线，，. （1）若，，交于一点，求实数的值； （2）若，，可以围成一个三角形，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先求出，的交点，再应用交点在上，列式计算求参；      （2）先求出，，不可以围成一个三角形时的参数取值，进而得出，，可以围成一个三角形时参数范围. (1) 小问详解： 联立与的方程，得 解得             即与的交点坐标为，                     由题意知点在上，所以，              解得. (2) 小问详解： 由（1）知，                     当时，，所以，                     当时，，所以，                     当，，三条直线可以围成三角形，则且且，                     故的取值范围为. 23．（25-26学年高二上·河南多校·期中）已知点，，. （1）求的面积； （2）求的外接圆的方程. 【答案】（1）7     （2）      【分析】 （1）根据两点间距离公式求底边，再代入点到直线的距离公式求高，即可求解； （2）将三点坐标代入圆的一般方程，即可求解. (1) 小问详解： 直线的方程为，即， 点到直线的距离，              ，                     所以的面积. (2) 小问详解： 设外接圆的方程为，              由题意得                    解得                           故的外接圆的方程为. 24．（25-26学年高二上·河南豫北民办高·期中）设直线与相交于一点. （1）求点的坐标； （2）求经过点，且垂直于直线的直线的方程. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）将两直线方程联立，求出方程组的公共解，即可得出点的坐标； （2）求出直线的斜率，可得出垂线的斜率，然后利用点斜式方程可得出所求直线的方程，化为一般式即可. (1) 小问详解： 由 ，解得 ， 因此，点的坐标为； (2) 小问详解： 直线的斜率为， 垂直于直线的直线斜率为， 则过点且垂直于直线的直线的方程为， 即：. 25．（25-26学年高二上·河南月期中学·期中）已知直线与直线平行，则直线与直线间的距离为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 先根据平行得出参数，再应用平行线间的距离公式计算求解. 【详解】 因为直线与直线平行， 所以，解得， 所以直线，直线， 所以直线与直线间的距离为. 故答案为：. 26．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知是的三个顶点． （1）求BC边上的高所在直线的方程； （2）求证：的三条高交于一点． 【答案】（1）     （2） 由得， 所以边上高所在直线方程的斜率为， 所以边上高所在直线方程为，即① 由（1）知边BC上高所在直线方程为② 由得， 所以边上高所在直线方程的斜率为， 所以边上高所在直线方程为，即③ 联立方程① ② ，相减得，从而得， 把代入，方程成立， 所以的三条高交于同一点.      【分析】 1）先求出BC的斜率，进而根据垂直斜率关系求出高的斜率，再用点斜式求解即可； （2）分别求出三条高所在直线方程，联立解出交点即可得出结论. (1) 小问详解： 因为，所以， 所以BC边上的高所在直线的斜率为， 则BC边上的高所在直线的方程为，即. (2) 小问详解： 略 27．（2026·河南百师联盟·联考）已知双曲线，其右顶点为，右焦点为. （1）求以为焦点的抛物线的标准方程； （2）已知点，设点是双曲线上任一点，求的最小值； （3）设直线过点，其法向量为，若在双曲线上恰有三个点到直线的距离均为，求的值. 【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 （1）求出双曲线右焦点为，从而得抛物线方程； （2）利用两点间距离公式，结合双曲线上点的坐标范围求解； （3）由题意直线的斜率为1，设与直线平行的直线方程为，联立方程组，由可得的值，从而得的值. (1) 小问详解： 由双曲线，可得， 则右焦点为，所以以为焦点的抛物线的标准方程为； (2) 小问详解： 设，则有， =，由， 当时，. (3) 小问详解： 由题意，直线法向量为\vec {n}=\left(1,-1\right)，可得直线的斜率为1， 设与直线平行的直线方程为， 联立方程组 ，整理得， 令，解得， 当时，直线与的距离为； 当时，直线与的距离为， 所以的值或． 28．（25-26学年高二上·河南驻马店·期中）在等腰梯形中，，且，，. （1）求点的坐标； （2）求梯形的面积. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用直线平行及求得边所在直线的方程，设，结合两点距离公式利用建立方程求得或，再代入验证即可得解； （2）先利用两点距离公式求得，，再利用点线距离公式求等腰梯形的高，代入梯形面积公式求解即可. (1) 小问详解： 由题意可知，，因为， 所以，所以边所在直线的方程为，即. 设，因为， 所以，整理得，，解得或， 当时，，此时与不平行，四边形为等腰梯形，符合题意； 当时，，此时，四边形为平行四边形，不符合题意； 故点的坐标为. (2) 小问详解： ，， 等腰梯形的高为点到直线的距离，即， 故梯形的面积为. 考点04 圆的方程 1．（25-26学年高二上·河南豫北民办高·期中）圆的圆心坐标与半径分别为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 配方后可得圆心坐标和半径． 【详解】 由圆，可得圆， 所以圆心坐标为，半径为． 故选：D． 2．（25-26学年高二上·河南豫北民办高·期中）已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据直径求出圆心、半径即可得解. 【详解】 因为为直径，所以圆心为， 半径， 所以圆的方程为. 故选：C. 3．（25-26学年高二上·河南新乡部分学校·期中）方程表示圆，则的范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据方程表示圆，应当满足求解即可. 【详解】 因为方程表示圆， 所以，解得：. 故选：B. 4．（25-26学年高二上·河南信阳罗山县·期中）若方程表示圆，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D. R 【答案】D 【分析】 根据圆的判别式计算直接得出结果. 【详解】 因为该方程表示圆， 所以， 所以. 故选：D 5．（25-26学年高二上·河南开封五校·期中）若点在圆外，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据圆的一般方程以及点在圆外，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】 因为点在圆外，则 ，解得. 故选：B. 6．（25-26学年高二上·河南郑州·期中）若点为圆的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 圆的方程化为标准方程，得到圆心坐标，由，可求得弦MN所在直线的斜率，点斜式求方程. 【详解】 圆的标准方程为，圆心．因为点为弦MN的中点，所以， 又AP的斜率，所以直线MN的斜率为2，弦MN所在直线的方程为，即. 故选：D 7．（2026·河南百师联盟·联考）已知圆的圆心在轴的正半轴上，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据圆的半径及已知条件列不等式计算求解. 【详解】 因为圆的标准方程为， 所以圆心为点，半径， 由题意，得 ，解得， 即实数的取值范围是. 故选：C. 8．（25-26学年高二上·河南郑州·期中）（多选）已知方程，则下列说法正确的是（       ） A. 该方程一定是圆的方程 B. 该方程一定能表示过坐标原点的圆 C. 若该方程表示圆，则圆心在定直线上 D. 若该方程表示圆，则圆上总存在两点到原点的距离为1 【答案】ACD 【分析】 化一般方程为标准方程，再结合选项逐个判断即可. 【详解】 对于A：由得：，显然该方程表示圆心为， 半径为的圆，所以A正确； 对于B：将点代入圆的方程得：，显然该圆不过坐标原点，所以B错误； 对于C：因为圆心始终在直线上，所以C正确； 对于D：由得：， 所以 ，解得 或 ， 所以该方程表示的圆恒过两点， 因为这两点到原点的距离都为1， 所以圆上总存在两点到原点的距离为1，所以D正确. 故选：ACD. 9．（25-26学年高二上·河南月期中学·期中）若方程表示圆，则实数t的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由二元二次方程表示圆的条件求解即可. 【详解】 由题意，得， 解得. 故选：D. 10．（25-26学年高二上·河南信阳罗山县·期中）已知圆，圆，分别为圆和圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先求得圆关于直线对称的圆为圆，将原问题转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问题求解. 【详解】 圆，即， 圆心为，半径 圆，即， 圆心为，半径， 设点关于直线对称的点为 ， 则 ，解得： ， 圆关于直线对称的圆为圆， 其圆心为，半径， 则其方程为， 设圆上的点与圆上点对称，则有， 原问题可以转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问题， 如图所示： 连接，与直线交于点， 此时点是满足最小的点， 此时， 即的最小值为， 故答案为： 11．（25-26学年高二上·河南新乡·期中）已知点，，则以AB为直径的圆的标准方程为　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用中点坐标公式求解圆心，利用两点距离公式求解半径，即可求解圆的标准方程. 【详解】 设线段AB的中点为C，则所求圆的圆心为点C，半径为， 因为，，所以，， 所以圆C的标准方程为. 故答案为： 12．（25-26学年高二上·河南部分学校·期中）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬到的最短路程是　　　　　. 【答案】 【分析】 求得点关于轴的对称点为，求得到圆上上的点的最短距离即可. 【详解】 由圆，得圆心坐标，半径为1， 点关于轴的对称点为， 则到圆上上的点的最短距离即为它爬到的最短路程， 所以它爬到的最短路程是. 故答案为：. 13．（25-26学年高二上·河南郑州·期中）已知经过坐标原点且斜率存在的直线与圆交于两点，，则的最大值为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由直线与圆的方程联立，再由根与系数的关系可得最大值. 【详解】 设，经过坐标原点的直线方程为， 将直线代入圆的方程，整理得：， 则,， \left| AM| ^{2}+| BM| ^{2}=\left(x_{1}-2\right)^{2}+{y}_{1}^{2}+\left(x_{2}-2\right)^{2}+{y}_{2}^{2}， 当时，\left| AM| ^{2}+| BM| ^{2}取到最大值. 故答案为：. 14．（25-26学年高二上·河南新乡部分学校·期中）设圆C过点且与圆：相切于点． （1）求C的方程； （2）已知，，三个点，点P在圆C上运动，求的最大值和最小值； （3）已知直线l：与x轴交于点G，过点G的直线m与圆C交于D，E两点，求证：为定值，并求出这个定值. 【答案】（1）     （2） 最大值88，最小值72     （3） 解法一： 由题可知，， 因为直线m过点G，且直线m与圆C相交，则直线m的斜率一定存在， 所以设直线m的方程为， 将代入，得：． 设，，所以，， 所以 ， 所以为定值，这个定值为12． 解法二： 取中点H，连，则，， 所以 ． 所以为定值，这个定值为12． 【分析】 （1）求出圆的圆心，半径，由题意得圆C的圆心在直线上，因为直线的方程为，所以设圆心，由求得，进而得圆心C坐标及半径，可得圆C的方程； （2）设，所以，又，解得，从而可得出所求最大值及最小值． （3）解法一：由题可知，设直线m的方程为，代入，根据韦达定理及向量的数量积运算计算即可；解法二：取中点H，则，利用向量的线性运算及数量积运算计算即可. (1) 小问详解： 由已知，将圆的一般方程化为标准方程为， 所以圆的圆心，半径， 因为圆C与圆相切于点， 所以点C，，N三点共线，即圆C的圆心在直线上， 因为直线的方程为，所以设圆C的圆心， 因为，在圆C上，所以， 所以，解得， 则圆心C坐标为，半径， 所以圆C的方程为． (2) 小问详解： 设，因为，，三点， 所以 ， 因为点P在圆上运动，则，解得， 所以， 当时，取得最大值88， 当时，取得最小值72． (3) 小问详解： 略 考点05 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．（25-26学年高二上·河南月期中学·期中）（多选）直线与圆相切，则实数等于（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】AC 【分析】 由题意，圆心到直线的距离等于半径建立方程，解之即得. 【详解】 由，可得，知其圆心为，半径为， 依题意，圆心到直线的距离为， 解得或. 故选：AC. 2．（25-26学年高二上·河南信阳固始县·期中）已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据公切线的条数可知两圆外离得：。 【详解】 根据题意可知，圆外离，，又． 故选：D 3．（25-26学年高二上·河南多校·期中）圆与圆的位置关系为（       ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】A 【分析】 由与两圆半径的关系即可求解. 【详解】 由题意知，两圆的半径分别为， 所以，故两圆外离. 故选:A. 4．（25-26学年高二上·河南洛阳·期中）若直线平分圆的周长，则（       ） A. 4 B. 2 C. 1 D.  【答案】A 【分析】 根据圆的对称性可知圆心在直线上，即可代入求解. 【详解】 由题意可得圆心位于直线上， 即，解得. 故选：A 5．（25-26学年高二上·河南南阳南阳地区·期中）已知直线和圆，动圆与直线、圆都相切，则动圆圆心的轨迹方程为（       ） A.  B.  C. 或 D.  【答案】C 【分析】 利用两圆内切或外切，与直线相切建立等式，化简可得方程. 【详解】 设，当动圆与圆内切时，有，化简得； 当动圆与圆外切时，有，化简得. 故选：C 6．（25-26学年高二上·河南郑州·期中）圆与圆的公切线的条数为（       ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【分析】 确定两圆的圆心与半径，确定圆与圆的位置关系，从而确定公切线的条数. 【详解】 ，圆心，半径为2，圆，圆心，半径为3， 两圆的圆心距为，大于两圆的半径之和，故两圆相离， 则两圆的公切线有4条. 故选：A. 7．（25-26学年高二上·河南开封五校·期中）已知圆上仅有两个点到直线的距离为，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先求得圆心到直线的距离，结合条件可得，即可求解. 【详解】 由题意知到的距离， 要使圆上仅有个点到的距离为1，则，解得， 故选：A. 8．（25-26学年高二上·河南新乡部分学校·期中）圆和圆的位置关系是（       ） A. 相离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】C 【分析】 将圆心距与半径和、差比较可得结果. 【详解】 圆的圆心，半径； 圆的圆心，半径， ， 则，所以两圆相交， 故选：C. 9．（25-26学年高二上·河南商丘·期中）若直线与圆相切，则（       ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【分析】 由题意得圆的圆心为，半径为，，根据直线与圆相切即可列方程求解. 【详解】 圆即圆，所以， 且圆的圆心为，半径为， 若直线与圆相切，则，解得. 故选：A. 10．（25-26学年高二上·河南商丘·期中）（多选）圆上恰有四个点到直线的距离等于1，则的值可能是（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】ABC 【分析】 由题意可知圆心到直线的距离小于，建立不等式，求出的取值范围，从而得到结果. 【详解】 圆上恰有四个点到直线的距离等于1， 则圆心到直线的距离等于， 则，解得. 显然. 故选：ABC 11．（25-26学年高二上·河南月期中学·期中）若圆与轴相切，则这个圆截轴所得的弦长为（       ） A. 4 B.  C. 8 D.  【答案】C 【分析】 根据题意，求得，结合圆的弦长公式，即可求解. 【详解】 由圆，可得圆的圆心坐标为，半径为， 因为圆与轴相切，所以， 所以截轴所得弦长为. 故选：C. 12．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）（多选）若直线被圆所截得的弦长为，则实数a的值为（       ） A. 0 B. 4 C.  D.  【答案】AB 【分析】 由圆的半径和弦长求出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离列方程可求出a的值 【详解】 由圆的方程可知圆心坐标为，半径. 又直线被圆截得的弦长为， 所以圆心到直线的距离. 又， 所以，解得或. 故选：AB 13．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）过点的直线与圆相交，截得的两条圆弧之差最大，则该直线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 求出与过点的直径垂直的弦所在直线方程即可． 【详解】 因为，因此在圆内，那么满足题意的弦与过点的直径垂直， 圆心为，，因此所求直线的斜率为，直线方程为，即， 故选：B． 14．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知圆：与圆：相交于A，B两点，则直线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 两圆方程作差即可求得公共弦的方程. 【详解】 根据已知条件， ：，化为：， ：，化为：， 因为两圆相交，所以两圆方程相减得：， 所以直线的方程为：. 故选：A 15．（25-26学年高二上·河南信阳罗山县·期中）直线与圆相交于，两点，且，则实数的值为（       ） A. 1 B. 5 C. 或5 D. 1或 【答案】D 【分析】 结合圆的方程求出圆心和半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再结合题意建立方程求出参数值即可. 【详解】 如图，作出符合题意的图形，    由题意得圆的圆心，半径， 由，得圆心到直线的距离为， 则，即，解得或，故D正确. 故选：D 16．（25-26学年高二上·河南濮阳·期中）（多选）已知是圆C：上的动点，则（       ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【分析】 设，利用点到直线的距离可得，求解即可判断AB；设，利用点到直线的距离可得，求解即可判断CD. 【详解】 由圆C：，可得圆心，半径， 设，则，因为在圆上，所以直线与圆C有公共点， 所以，所以， 整理得，解得， 所以的最大值为，最小值为，故A正确，B错误； 设，则，因为在圆上，所以直线与圆C有公共点， 所以，所以，解得， 所以的最大值为，最小值为，故CD正确. 故选：ACD. 17．（25-26学年高二上·河南濮阳·期中）已知圆和直线，P是l上的动点，过点P向圆C作两条切线，设两切线的夹角为θ，则的最大值为（       ） A.  B.  C.  D. 1 【答案】C 【分析】 如图所示，可得，取，利用和切线长定理求得，通过换元，可得，根据图形和题设条件可得，结合二次函数的性质即得的最大值. 【详解】 如图，过点的圆C的两条切线为，切点分别为，则， 由题意，圆心，半径， 在中，，则， 不妨记，则， 设，则，因点P是l上的动点，当时，最短， 此时，即为点到直线的距离，故，即得， 因函数在上单调递增，故， 综上，当且仅当，即时，取得最大值为. 故选：C. 18．（25-26学年高二上·河南新乡·期中）过点P的直线与圆交于A，B两点，若面积的最大值为，则点P的坐标可以为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 设弦的中点为D，，先表示出的面积，由面积的最大值为可得的范围，分析可得点P为弦的中点D，且，代入选项验证可得结果. 【详解】 由题意，圆C的圆心为，半径为2.设弦的中点为D，则. 设，则，的面积. 又，即，，解得或. 当时，无论点P在直线的什么位置，总存在过点P的直线l与圆C交于，两点， 使得圆心C到直线l的距离，此时的面积为2，不符合题意； 所以圆心C到过点P直线的距离最大值为1，即当面积最大时，点P为弦的中点D，且. 选项A中，；选项B中，； 选项C中，；选项D中，. 故选：B. 19．（25-26学年高二上·河南洛阳·期中）已知，，，记直线与直线的交点为，点是圆上的一点，若与圆相切，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 结合已知，求出交点的轨迹方程，再结合切线的性质即可求解. 【详解】 直线即直线，过定点， 直线即直线，过定点， 又由斜率关系可得两直线垂直，所以交点的轨迹是以为直径的圆， 即轨迹方程为，圆心， 因为Q是圆C上一点，且PQ与C相切， 所以问题转化为圆上任意一点作直线与圆相切，求切线的范围. 设圆的半径为， 因为圆的圆心，半径为定值，当取得最小值和最大值时，切线取得最小值和最大值， ， 又因为，即， 所以，即， 故选：A 20．（25-26学年高二上·河南青桐鸣大联·期中）已知，满足，则的最小值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 求出圆心和半径，设，则，由题可知直线与该圆有交点，得到圆心到该直线的距离小于等于半径，计算得解. 【详解】 方程化为， 表示以为圆心，半径为1的圆. 设，则，由题可知直线与该圆有交点， 所以，如图，    整理得，，解得， 则，即， 所以的最小值为. 故选：A. 21．（25-26学年高二上·河南青桐鸣大联·期中）（多选）已知直线：，则下列说法正确的是（     ） A. 在轴上的截距为2 B. 与直线垂直 C. 与直线之间的距离为 D. 与圆相离 【答案】BC 【分析】 令，解得的值就是直线在轴上的截距为；直线的斜率为，直线的斜率为，由得到与直线垂直；易知与直线平行，利用两平行线间的距离公式求解；求出圆心到直线的距离得到与圆相交. 【详解】 对于A，令，则，解得， 所以在轴上的截距为，A错误； 对于B，直线：的斜率为，直线的斜率为， 因为，所以与直线垂直，B正确； 对于C，易知与直线平行，所以它们之间的距离为，C正确； 对于D，因为圆心到直线的距离，所以与圆相交，D错误. 故选：BC. 22．（25-26学年高二上·河南南阳南阳地区·期中）已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则（       ） A.  B.  C.  D. 3 【答案】A 【分析】 设直线的方程，利用直线与圆相切得，再利用直线的垂直关系列方程求解即可. 【详解】 由题意直线的斜率存在，设过点的直线的斜率为， 则它的方程为，即. 因为直线和圆相切，所以，解得. 因为直线与直线垂直，所以，解得. 故选：A 23．（25-26学年高二上·河南郑州·期中）已知圆和直线，若点在圆上，则点到直线的距离的最大值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据直线经过定点，且定点在圆外，所圆上的点到直线的最大距离为半径加上圆心到直线的最大距离可得. 【详解】 由圆得圆心，直线的方程， 可化为，联立 ，解得 ， 所以直线经过定点，且，所以在圆C的外部， 当时，圆心到直线的最大距离为， 因为点在圆上，则点到直线的距离的最大值为， 故选：C. 24．（25-26学年高二上·河南焦作·期中）从点向圆引切线，则切线长的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 设切点为，连接、，则，利用勾股定理和二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】 设切点为，连接、，则， 易知圆心为，圆的半径为， 由勾股定理可得 ， 当且仅当时，等号成立，故切线长的最小值为. 故选：D. 25．（25-26学年高二上·河南新乡部分学校·期中）已知圆上到直线的距离等于1的点恰有两个，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先判断圆心到直线的距离，利用距离公式列不等式即解得参数的取值范围. 【详解】 圆的圆心是，半径， 而圆上恰有两个点到直线的距离等于1， 所以圆心到直线的距离，满足， 即，解得或. 故选：D. 26．（25-26学年高二上·河南新乡部分学校·期中）（多选）对于直线l：与圆C：，下列说法正确的是（       ） A. l过定点 B. C的半径为3 C. l与C可能相切 D. l被C截得的弦长最小值为 【答案】ABD 【分析】 根据直线方程求定点坐标判断A项；根据圆的一般方程与标准方程的互化判断B项；根据直线所过定点在圆内判断C项；当直线l与过定点和圆心的直线垂直时，直线l被C截得的弦长最小，从而计算弦长最小值可判断D项． 【详解】 对于A，可变形为， 由 ，得 ，所以直线l过定点，故A正确： 对于B，圆C：化为标准方程为， 所以圆C的圆心，半径为，故B正确； 对于C，因为，所以点)在圆C内部， 所以直线l与C不可能相切，故C错误； 对于D，设直线l所过定点为，则当直线时，直线l被C截得的弦长最小． 因为圆心，所以， 所以直线l的斜率，解得，此时直线． 因为圆心到直线l的距离， 所以弦长为，故D正确． 故选：ABD． 27．（25-26学年高二上·河南新乡部分学校·期中）（多选）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知，，点P满足，设点P的轨迹为圆C，则下列说法正确的是（       ） A. 圆C的方程是 B. 过点A向圆C引切线，两条切线的夹角为 C. 若x，y满足圆C的方程，则的最大值是 D. 过直线上的一点P向圆C引切线，则四边形的面积的最小值为 【答案】BCD 【分析】 对于A，设点坐标，代入化简即可判断；对于B，设切线夹角为，可得；对于C，设，由题意直线与圆有公共点，列式求解即可；对于D，由条件得四边形面积的表达为，求最小值即可． 【详解】 对于A，设，因为，，，则， 化简得，即，故A错误； 对于B，因为，圆心，半径， ，点在圆外， 设两条切线的夹角为， 所以，又，解得，则，故B正确； 对于C，设，由题意直线与圆有公共点， 则圆心到直线的距离，即， 解得，故的最大值是，故C正确； 对于D，由题意可得四边形的面积为 ， 故只需求的最小值即可， 的最小值为点C到直线的距离，即． 所以四边形的面积的最小值为，故D正确． 故选：BCD． 28．（25-26学年高二上·河南郑州·期中）已知直线与曲线有两个交点，则的取值范围为 A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 化简得到，直线过定点，画出图像，根据图像得到答案. 【详解】 ，即，直线过定点， 画出图像，如图所示： 当直线与半圆相切时，，，. 此时斜率为，根据图像知. 故选：. 【点睛】 本题考查了直线和圆的位置关系，直线过定点，画出图像是解题的关键. 29．（25-26学年高二上·河南郑州·期中）（多选）平面内到两个定点A，B的距离比值为一定值的点的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”．已知平面内点，，动点满足，记点的轨迹为，则下列命题正确的是（     ） A. 点的轨迹的方程是 B. 过点的直线被点的轨迹所截得的弦的长度的最小值是1 C. 直线与点的轨迹相离 D. 已知点，点是直线上的动点，过点作点的轨迹的两条切线，切点为C，D，则四边形面积的最小值是3 【答案】ACD 【分析】 根据已知条件求出点的轨迹方程，然后逐个分析每个命题中涉及到的直线与圆的位置关系、弦长公式计算以及四边形面积即可. 【详解】 对于A,设，已知，，且. 根据两点间距离公式，. 则.两边平方可得. 展开整理得，配方可得，所以A选项正确. 对于B,点到圆心的距离为. 圆的半径.根据弦长公式，当最大弦长最小，最大为圆心到点的距离.所以弦长最小值为，所以B选项错误. 对于C,圆心到直线的距离. 因为（圆的半径），所以直线与圆相离，C选项正确. 对于D,四边形的面积，因为. 要使面积最小，则最小，即圆心到直线的距离与半径的关系.圆心到直线的距离. . 所以四边形面积最小值，D选项正确. 故选：ACD. 30．（25-26学年高二上·河南月期中学·期中）在平面直角坐标系中，点，直线上存在点满足，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先设点，再应用两点间距离公式计算得出圆的方程，再结合圆心到直线距离列式计算求解. 【详解】 设，又\left| PO| ^{2}+| PA| ^{2}=10，所以， 整理得，所以，解得， 即的取值范围是. 故选：A. 31．（25-26学年高二上·河南信阳固始县·期中）是圆上两点，，若在圆上存在点恰为线段的中点，则实数的取值范围为（       ） A. \left[-5,-3\left\right]\cup \right[1,3] B. \left[-4,-2\left\right]\cup \right[2,4] C.  D.  【答案】A 【分析】 由得弦中点P到圆心的距离，则点在以为圆心，1为半径的圆上，又在圆上存在点，则可转化为两圆有公共点问题求解即可. 【详解】 圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 由是弦的中点，且，则， 所以， 故点在以为圆心， 以为半径的圆上. 又在圆上存在点恰为线段的中点，， 则两圆有公共点，可得， 即，解得或. 则实数的取值范围为\left[-5,-3\left\right]\cup \right[1,3]， 故选：A. 32．（25-26学年高二上·河南信阳固始县·期中）（多选）已知圆，圆，直线，，过点作圆的两条切线，切点分别为．下列说法中，正确的是（       ） A. 圆与圆相交 B. 直线过定点 C. 圆被直线截得的弦长的最小值为 D. 直线的方程为 【答案】BD 【分析】 对于A，利用两圆位置关系判断方法即得；对于B，将直线的方程按照进行整理，通过解方程组即得；对于C，结合图形，利用弦长公式，可知只需使点到直线的距离最大()，利用定点，可求得弦长的最小值为，但由时，可求得，而无解，排除C项；对于D，先求出四边形的外接圆方程，通过两圆方程求出交线即得的方程. 【详解】    对于A，由圆，圆，可得， 因，则圆与圆内含，则A错误； 对于B，由可得， 因，由 ，解得 ，即直线过定点，故B正确； 对于C，如图，因弦长，（其中是圆的半径，是点到直线的距离）， 因，要使取最小值，只需最大. 由垂径定理，结合图形可知，当且仅当时，， 此时圆被直线截得的弦长的最小值为， 但此时，直线的斜率为，则， 而由可得，因方程无解， 故取不到最小值，故C错误； 对于D，过点作圆的两条切线，切点分别为，则， 如图，四边形的外接圆的圆心为的中点，圆的半径为， 则该圆的方程为：， 依题可知直线为圆与的公共弦， 由与，两式相减，可得：，故D正确. 故选：BD. 33．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）（多选）已知直线与，则下列说法正确的是（       ） A. 若上恰有1个点到直线的距离为2，则 B. 若上恰有2个点到直线的距离为2，则的取值范围是 C. 若上恰有3个点到直线的距离为2，则 D. 若上恰有4个点到直线的距离为2，则的取值范围是 【答案】ACD 【分析】 根据圆上点的个数到直线的距离为2，数形结合得到圆心到直线的距离或距离范围，得到方程或不等式，求出答案. 【详解】 圆的圆心为，半径为， A选项，要想圆上恰有1个点到直线的距离为，则圆心到直线的距离为， 即，解得，A正确； B选项，要想圆上恰有2个点到直线的距离为，则圆心到直线的距离大于，小于， 即，解得，B错误； C选项，圆上恰有3个点到直线的距离为，则圆心到直线的距离等于1， 即，解得，C正确； D选项，圆上恰有4个点到直线的距离为，则圆心到直线的距离小于1， 即，解得，D正确. 故选：ACD． 34．（2026·河南百师联盟·联考）（多选）已知直线，圆，则下列说法正确的有（       ） A. 若直线与圆相切，则 B. 若，则直线与圆相交 C. 圆可能关于直线对称 D. 若，则直线被圆截得的弦长为 【答案】BD 【分析】 先找出直线恒过的点，将圆化成标准方程找出它的圆心，半径，选项A利用圆与直线相切的位置关系建立方程即可判断，选项B利用圆与直线相交的位置关系分析得出结论，选项C利用圆关于直线对则圆心在对称的直线上判断即可，选项D将先求出圆心到直线的距离，然后利用公式计算即可. 【详解】 由直线的方程，得直线过定点， 由圆的一般方程， 得圆的标准方程为， 所以圆心为，半径. 对于A，若直线与圆相切， 则圆心到直线的距离， 即， 解得或，故A错误； 对于B，依题意，圆心到直线的距离为： ， 当时，， 所以直线与圆相交，故B正确； 对于C，若圆关于直线对称， 则圆心在直线上， 即，等式不成立， 故圆不可能关于直线对称，故C错误； 对于D，若，则直线， 圆心到直线的距离为：， 则弦长为，故D正确； 故选：BD. 35．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知圆与直线：相交于两点，若为正三角形，则实数的值为（     ） A. 2 B.  C. 3 D.  【答案】A 【分析】 由为正三角形，得到圆心到直线的距离，即可求解. 【详解】 圆C：， 即，圆心为，半径， 因为圆与：相交于两点，且为正三角形， 所以圆心到直线的距离，， 则，解得. 故选：A 36．（2026·河南九师联盟·质量检测）已知直线与曲线恰有两个公共点，则实数m的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 曲线表示以为圆心、半径等于1的半圆，当直线过点时，可得，满足条件；当直线和半圆相切时，由，得，数形结合可得实数的取值范围． 【详解】 将两边平方整理得， 即曲线表示以为圆心、半径等于1的半圆，如图所示： 当过点时，，满足与有两个不同的公共点； 当直线和半圆相切时，由，得或， 由图知，此时纵截距，即，所以， 故直线与曲线有两个不同的公共点时， 实数的取值范围为. 故选：B 37．（2026·河南九师联盟·质量检测）（多选）已知圆：和圆：相交于A，B两点，则（     ） A. 直线AB的方程为 B.  C. 四边形的面积为 D. 圆：与圆和圆都相切 【答案】ABD 【分析】 A.由两圆的方程相减求解；B.利用圆的弦长公式求解；C.由求解；D.由圆与圆的位置关系求解. 【详解】 由和两式相减得：，故A正确； 圆心到直线的距离为， 则，故B正确； ， 则，故C错误； ， 而，故圆与圆和圆都相外切，故D正确； 故选：ABD 38．（25-26学年高二上·河南部分学校·期中）为了促进科技探究学习与竞技的巧妙融合，在实践中激发创新意识和研究精神，某市举办青少年机器人设计大赛．在比赛中有一个追逐项目，如图，在平面直角坐标系中，直线为竞技区与安全区的分界线，机器人甲在点处，机器人乙在竞技区内的点处，点在第一象限，且直线的倾斜角为．已知机器人甲的速度是机器人乙的3倍，机器人甲、乙可以向任意方向直线前进，机器人甲、乙同时出发，若要保证机器人甲在竞技区（含直线）内一定能追上机器人乙，则线段长度的最大值是（     ） A.  B. 2 C.  D. 1 【答案】B 【分析】 设长得到点坐标，设两机器人相遇点，由速度关系得到等量关系，求得点的轨迹方程，由题意得到圆与直线相切，由点到直线的距离等于半径得到等量关系，解得参数的值，再验证结果即可. 【详解】 设，因为在第一象限，且直线的倾斜角为，所以， 设机器人甲在点处追上机器人乙，由机器人甲的速度是机器人乙的3倍，得， 所以，化简可得， 所以点在以为圆心，为半径的圆上. 若要保证机器人甲在竞技区（含直线）内一定能追上机器人乙，则圆在竞技区（含直线）内，即直线与圆相切或相离， 又点到直线的距离， 所以，解得或， 当时，在安全区，不满足要求， 所以，即长度的最大值是2. 故选：B. 【点睛】 思路点睛，本题是点的轨迹方程以及直线与圆相切的综合运用，本题通过速度得到路程的关系，找到两个机器人相遇点的轨迹方程是解题关键，由在竞技区（含直线）内机器人甲一定能追上机器人乙，说明交点不能超过直线，即相切. 39．（25-26学年高二上·河南信阳罗山县·期中）（多选）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中．已知，，点满足．设点的轨迹为圆，下列结论正确的有（       ） A. 圆的方程是 B. 圆与圆有四条公切线 C. 的最小值为 D. 过点作直线，若圆上恰有三个点到直线距离为，则该直线斜率为 【答案】ACD 【分析】 对于A，设，再根据列式化简可得圆的方程；对于B，根据圆心间的距离与半径和差的关系判断两圆位置关系，进而可得公切线条数；对于C，设，可知直线与圆有公共点，列式求解即可，对于D，分直线斜率为0与不为0讨论，再根据圆心到直线距离与半径的关系列式求解即可. 【详解】 对于A，设，由， 可得， 即，化简可得，故A正确； 对于B，圆圆心到圆圆心的距离为， 又因为且， 故两圆相交，有两条公切线，故B错误； 对于C，由选项A可知：圆的圆心为，半径， 设，可知直线与圆有公共点， 则，解得， 所以的取值范围为，即的最小值为，故C正确； 对于D，当直线斜率为0时，圆C上有四个点到直线l距离为，不合题意， 设直线，则由题意C到的距离等于， 即，解得，故斜率直线斜率为，故D正确. 故选：ACD. 40．（25-26学年高二上·河南多校·期中）（多选）已知点，动点满足，记点的轨迹为曲线.点，直线，则（       ） A. 曲线的方程为 B. 当最小时， C. 当最大时， D. 若曲线上仅有一点到直线的距离为2，则的值为 【答案】ABC 【分析】 设，由，得到的等式，化简，得曲线是圆，从而得到选项 A正确；当最小或最大时，直线均与曲线相切，且它们的切线长相等且均为计算得解，得到BC正确；求出圆心到直线的距离，得，计算得解，得到D错误. 【详解】 设，由，得， 化简，得曲线，是圆，且半径为，圆心为，故A正确； 当最小或最大时，直线均与曲线相切，且它们的切线长相等， 均为，故BC正确； 圆心到直线的距离，由题意得，解得，或，故D错误. 故选:ABC 41．（25-26学年高二上·河南洛阳·期中）（多选）过原点的直线与圆交于，两点，且不经过点，则（       ） A. 弦长的最小值为. B. 当直线的斜率为时，圆上恰有3个点到的距离为3 C. 圆与圆有2条公切线 D. 圆在，两点处的切线的交点在直线上 【答案】BD 【分析】 A选项，由圆的几何性质得到当弦AB与直线垂直时，弦AB长取得最小值，从而由垂径定理求出答案；B选项，求圆心到直线的距离与半径比较进行求解；C选项，判断两圆的位置关系进行判断；D选项，设出，求出四点所在圆的方程，从而求出切点弦方程，结合直线AB过原点，将原点代入后得到满足的方程. 【详解】 对A，变形为， 圆心C为，半径， 因为，故原点在圆内， 故当弦AB与直线垂直时，弦AB长取得最小值， 其中，故，A错误； 对于B，当直线的斜率为时，直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为，而圆的半径， 则圆上恰有3个点到的距离为3，故B正确； 对于C，圆化为：， 则圆心，半径， 而， 则圆与圆内切，得圆与圆只有1条公切线，故C错误； 对于D，设，则四点共圆，且为直径， 其中线段的中点坐标为，即圆心坐标为， 半径为， 故四点所在圆的方程为：， 化简得：①， ②， ①－②得：， 则直线AB的方程为， 又因为直线AB过原点，将原点代入得：， 故A，B两点处圆的切线的交点位于直线上， 即直线上，D正确.    故选：BD 42．（25-26学年高二上·河南南阳南阳地区·期中）（多选）已知圆，下列说法正确的是（       ） A. 若过点的直线与圆交于，两点，则的取值范围为 B. 圆上有4个点到直线的距离为 C. 若圆与圆没有公切线，则的取值范围为 D. 过直线上任意一点作圆的切线，切点为，，则直线必过定点 【答案】AB 【分析】 根据点与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系，从而确定弦长的取值范围，判断选项A；先计算圆心到直线的距离，再结合圆的半径判断圆上到直线距离为特定值的点的个数；根据没有公切线的条件，结合两圆的半径和圆心距的关系确定的取值范围，判断选项C；利用圆的切点弦方程，结合直线方程求出直线所过定点，判断选项D． 【详解】 圆的方程为，该圆的圆心为，半径． 选项A：， 点在圆内，则圆心到过点的直线的距离， ，故A正确；    选项B：圆心到直线的距离， 又圆的半径为3， 圆上有4个点到直线的距离为，故B正确； 选项C：圆的圆心为，半径为， ，圆与圆没有公切线，两圆内含， ，即 ，解得16， 的取值范围为，故C错误； 选项D：设，则以为直径的圆为， 整理得， 直线为圆与圆的公共弦所在的直线，联立两圆方程 ，得， 整理得， 令 ，解得 ， 直线必过定点，故D错误．    故选：． 43．（25-26学年高二上·河南商丘·期中）已知点，若圆上存在不同的两点，，使得\vec {PA}=\frac{1}{2}\vec {AB}，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 设，，由\vec {PA}=\frac{1}{2}\vec {AB}得两点坐标关系，将其代入圆方程，问题转化为圆与圆有公共点，利用两圆位置关系求解. 【详解】 由\vec {PA}=\frac{1}{2}\vec {AB}，得\vec {PB}=3\vec {PA}， 设，，则， 即，，又，在圆上， 所以，，即. 所以圆与圆有公共点， 因此，解得. 又由\vec {PA}=\frac{1}{2}\vec {AB}且，不同，知点在圆外，故，故. 故选：C. 44．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知圆O：，直线l：，将圆O在l下方的部分沿着l向上翻折，如图，若直线与折叠后得到的两段弧恰有4个交点，则m的值可以是（     ） A.  B. 2 C.  D. 3 【答案】B 【分析】 根据直线与圆的位置关系，结合图象，利用点到直线的距离公式，可得答案. 【详解】 由题意知圆O与l交于B，C两点，且，， 当直线过点时，得， 由对称性可知，折叠后的弧BC对应的圆的方程为， 当与劣弧BC相切时，有，所以，其中舍去， 结合图形可知，当时，直线与两段弧恰有4个交点.结合选项知B符合题意. 故选：B. 45．（25-26学年高二上·河南驻马店·期中）（多选）在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，直线：（）与曲线分别交于，两点，点，则下列说法正确的是（     ） A. 曲线的方程为 B. 的最小值为 C. 存在点，使得 D. 当取得最大值时， 【答案】ACD 【分析】 根据直接法求轨迹方程可得A正确； 根据直线过定点，其定点在圆内，则当时，取得最小值，可得B错误； 判断以为直径的圆与曲线是否相交，即可证明是否存在点，使得，可得C正确； 找到与曲线相切时，即为取得最大值时，根据长度角度以及图像， 可求，，再根据正切两角和公式求解即可判断D正确. 【详解】 设，由得， ，整理得， 所以曲线的方程为，A正确； 直线：恒过定点，设曲线的圆心为， 当时，取得最小值，，B错误； 以为直径的圆的方程为， 因为，故该圆与曲线相交， 当为两圆的交点时，，C正确； 如图，当与曲线相切，且切点在第二象限时，取得最大值，    此时，，则， 所以，又， 所以，D正确. 故选：ACD. 46．（25-26学年高二上·河南豫北民办高·期中）已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为　　　　　　. 【答案】相交 【分析】利用圆心距与半径之和、半径之差的绝对值的大小关系可判断两圆的位置关系. 【详解】由题设有，，，，故. 所以，故圆与圆的位置关系为相交. 故答案为：相交. 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系的判断，此类问题一般可通过圆心距与半径之和、半径之差的绝对值的大小关系来判断，本题属于基础题. 47．（25-26学年高二上·河南豫北民办高·期中）已知圆C的圆心为，半径为3，l是过点的直线． （1）判断点P是否在圆上，并证明你的结论； （2）若圆C被直线l截得的弦长为，求直线l的方程． 【答案】（1） 点P不在圆上． 证明如下： ∵， ∴由圆的定义可知点P是在圆C的内部，不在圆上；     （2）x＝0或3x＋4y－8＝0．      【分析】 (1)将点的坐标导入圆的方程与1比较大小即可. (2)已知弦长，求直线方程，求出圆心到直线的距离，用垂径定理，解直角三角形即可，特别要注意斜率不为0的情况. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由直线与圆的位置关系可知，圆心C到直线l的距离， ① 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0， 此时，满足题意； ② 当直线l的斜率存在时，设直线l为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0， 又∵，解得，此时直线l为3x＋4y－8＝0， 综上所述：直线l的方程为x＝0或3x＋4y－8＝0． 48．（25-26学年高二上·河南豫北民办高·期中）没且，若直线与圆相切，则　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据直线与圆相切可知圆心到直线的距离等于半径计算即可. 【详解】 由可得：， 则圆心到直线的距离， 解得或（舍去） 故答案为： 49．（25-26学年高二上·河南青桐鸣大联·期中）已知圆：（）与圆：（）外切，则　　　　　　. 【答案】3 【分析】 由两圆外切进行求解． 【详解】 圆：（）的圆心为，半径为， 圆：（）的圆心为，半径为， 因为圆外切，则. 故答案为：3 50．（25-26学年高二上·河南南阳南阳地区·期中）过点作圆的切线，切点为，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 由切线的性质可得出，求出，结合勾股定理可求得的值. 【详解】 连接、，易知圆心，半径为， 因为是圆的切线，所以． 又，所以． 故答案为：. 51．（25-26学年高二上·河南新乡部分学校·期中）直线经过两直线和的交点． （1）若直线与直线垂直，求直线的方程； （2）若直线与圆相切，求直线的方程． 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）求出两直线的交点，再根据两直线垂直求出直线的斜率，最后写出点斜式方程； （2）分类讨论，直线斜率不存在和存在两种，利用圆心到直线的距离列式计算. (1) 小问详解： 联立两直线和，解得，即交点坐标为， 直线的斜率为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. (2) 小问详解： 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为：，即， 根据题意得：圆心到直线的距离，解得， 所以直线的方程为：. 综上：直线的方程为或. 52．（25-26学年高二上·河南郑州·期中）圆与圆的公共弦长为　　　　　　. 【答案】 【详解】将两圆方程作差可得出公共弦所在直线的方程，再求该直线截圆所得弦长即可. 【详解】将圆和圆的方程作差并化简得，即两圆公共弦所在直线的方程为. 圆的圆心为坐标原点，半径长为，圆的圆心到直线的距离为， 因此，两圆的公共弦长为. 故答案为：. 【点睛】本题考查两圆公共弦长的计算，考查计算能力，属于基础题. 53．（25-26学年高二上·河南部分学校·期中）已知圆的圆心在直线上，圆与直线相交于两点，且． （1）求圆的方程； （2）已知直线过点且与圆相切，求直线的方程． 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）先根据题意求出圆心，取中点为，求出，在直角中结合三角函数值求出半径，即可得出答案； （2）分为直线的斜率是否存在两种情况，再结合直线与圆相切的条件即可求解. (1) 小问详解： 由圆的方程得圆心， 因为圆心在直线上，所以，解得， 故圆心坐标为， 取中点为，连接，所以， 圆心到直线的距离， 因为，所以， 在直角中，，即， 所以圆的方程为. (2) 小问详解： 当直线斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离为， 此时直线与圆相切，符合题意； 当直线斜率存在时，设直线斜率为，则直线方程为，即， 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径， 即，解得， 所以直线的方程为，即. 综上，直线的方程为或. 54．（25-26学年高二上·河南信阳罗山县·期中）已知圆． （1）过点向圆作切线，求切线的方程； （2）若为直线上的动点，过向圆作切线，切点为，求的最小值． 【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）先判断点在圆外，再按斜率存在和不存在两种情形分类求解，斜率存在时设出直线方程，由圆心到直线的距离等于半径求得参数值；进而得到直线方程即可. （2）先确定直线与圆相离，由切线长公式得到，再使分析最小的情况，只要求得圆心到直线的距离（为最小值）即可得切线长的最小值． (1) 小问详解： 由题意得，则点在圆外，故有2条切线， 若切线l的斜率不存在，则切线l的方程为． 若切线l的斜率存在，设切线l的方程为，即． 因为直线l与圆C相切，所以圆心到l的距离为2， 即，解得，所以切线l的方程为， 综上，切线l的方程为或． (2) 小问详解： 如图，作出符合题意的图形，且， 由题意得圆心到直线的距离为，可得直线m与圆C相离， 由切线的性质得，则， 则当最小时，有最小值． 当时，最小，最小值为， 故的最小值为． 55．（25-26学年高二上·河南濮阳·期中）已知，两点都在圆M上，且圆M的圆心在直线上． （1）求圆M的方程； （2）过点的直线l与圆M交于C，D两点，且，求直线l的方程． 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）设圆心为，由可求得的值，可得出圆心的坐标和圆的半径，即可得出圆的方程； （2）分直线斜率是否存在两种情况讨论.若存在时，设直线l的方程为，由题意可得，求解即可. (1) 小问详解： ∵圆M的圆心在直线上，∴可设圆心M的坐标为， 由，得，解得， ∴圆心M的坐标为，半径． ∴圆M的方程为． (2) 小问详解： 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即， 则圆心M到直线l的距离， 解得或， ∴直线l的方程为或； 当当直线l的斜率不存在时，直线方程为， 圆心到直线的距离为，所以弦长为，故不符合题意； 综上所述：直线l的方程为或. 56．（25-26学年高二上·河南新乡·期中）已知点，点），点P满足，记点P的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的标准方程，并指出曲线C是什么曲线； （2）点，判断以点E为圆心，2为半径的圆E与曲线C的位置关系；若相交，设交点分别为F，G，求四边形AFEG的面积. 【答案】（1），是圆心为点，半径为2的圆     （2）      【分析】 （1）根据两点距离公式和已知条件列出等式化简即可. （2）根据两圆的圆心距判断圆与圆的位置关系，然后根据交点坐标求出四边形的面积即可. (1) 小问详解： 因为点P满足，所以，所以. 设，因为，点， 所以， 化简得，即. 曲线C是圆心为点，半径为2的圆. (2) 小问详解： 由（1）知，曲线C是圆心为，半径为2的圆.设圆心为D，又， 则. 因为圆E的半径为2， ，所以圆D与圆E相交. 因为圆E的方程为，即， 圆D的方程为， 所以两圆方程相减，得直线的方程为. 因为点E到直线的距离为，所以， 所以的面积为. 因为点到直线的距离为， 所以的面积为. 因为点A，E在直线两侧，所以四边形的面积为. 57．（25-26学年高二上·河南洛阳·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线经过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）利用几何法联立直线方程得圆心，即可求解， （2）根据点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式即可求解. (1) 小问详解： 由题设，线段的中点为且， 由知， 所以直线方程为，即， 联立 ，解得 ，即得， 而， 所以圆的方程为. (2) 小问详解： 因为直线被圆截得的弦长为， 所以圆心到直线的距离. ①当直线的斜率不存在时，此时圆心到直线的距离为0，不符合题意 ②当直线的斜率存在时，设，即 所以， 解得或. 直线的方程为或． 58．（25-26学年高二上·河南洛阳·期中）已知圆，点，动点满足. （1）求动点的轨迹方程； （2）设动点的轨迹与圆交于，两点，求； （3）过圆上一点作两条相异直线分别与圆相交于，两点，且直线和直线的倾斜角互补.求证：直线的斜率为定值. 【答案】（1）     （2）     （3） 由题意知两直线的斜率都存在且互为相反数， 设直线的斜率为，则直线的斜率为， 则，， 设，， 联立 化简得 由根与系数的关系得， 同理得， 从而， ， 所以直线的斜率， 即直线的斜率为定值1.      【分析】 （1）设，利用两点间距离公式化简即可解； （2）两圆方程联立相减可得直线的方程为，利用几何法求圆的弦长； （3）设，，分别与圆的方程联立，利用韦达定理化简直线的斜率. (1) 小问详解： 设，因， 所以， 化简得. 即动点的轨迹方程. (2) 小问详解： 由（1）知动点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆. 由 二式相减得. 即直线的方程为. 因为点到直线的距离， 所以. (3) 小问详解： 略 59．（25-26学年高二上·河南洛阳·期中）已知两定点，，若直线上存在点满足，则实数的取值范围是　　　　　. 【答案】 【分析】 设，由，得圆的方程，由直线与此圆有公共点进行求解． 【详解】 设，由，得， 整理得到， 即. 依题意，则直线与此圆有公共点， 得，解得或， 得实数的取值范围是. 故答案为： 60．（25-26学年高二上·河南郑州·期中）在平面直角坐标系中，已知点，圆经过三点，直线的方程为. （1）若直线与圆相切，求的值； （2）若直线与圆相交于两点，求的面积的最大值. 【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）先由待定系数法求出圆的方程，再根据直线与圆相切可得； （2）先可得三角形一边的长，再计算圆上到这一边的距离的最大值即可得面积的最大值. (1) 小问详解： 设圆的方程为， 因为圆经过点，所以 ， 解得 ，经检验，符合题意， 所以圆的方程为，即， 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离为， 所以，解得； (2) 小问详解： 可化为，即直线恒过点， 因为点在圆上，故不妨设为， 所以直线，且， 设点到直线的距离为， 所以的面积， 因为点在圆上，所以的最大值等于圆心到直线的距离加上半径， 所以. 所以. 故的面积的最大值为. 61．（25-26学年高二上·河南开封五校·期中）在平面直角坐标系中，点、，动点满足，记动点的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）过的两条互相垂直的直线与曲线分别相交于、两点和、两点，求四边形面积的最大值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设，由结合平面内两点间的距离公式化简可得出曲线的方程； （2）易知曲线是以点为圆心，半径为的圆，分别取、的中点、，连接、，则，，由勾股定理可得出，利用基本不等式可求得四边形面积的最大值. (1) 小问详解： 设，由，得， 化简，得. 所以，曲线的方程为. (2) 小问详解： 由（1）可知，曲线是以点为圆心，半径为的圆， 分别取、的中点、，连接、，则，， 因为，则四边形为矩形，所以，， 由勾股定理可得， 由勾股定理可得，， 所以， ， 当且仅当 时，即当时，等号成立， 因此，四边形面积的最大值为. 62．（25-26学年高二上·河南焦作·期中）已知圆的圆心在直线上，且圆与直线相切于点. （1）求圆的方程； （2）过原点的直线交圆于A，B两点，且，求直线的方程. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）根据题意求出圆心坐标和半径，得解； （2）利用弦心距、弦和半径的关系求出弦心距的长，然后分直线的斜率存在和不存在两种情况，利用点到直线的距离公式列方程求解即可. (1) 小问详解： 设，圆与直线相切于点，故， 又圆在直线上，故， 所以圆心的坐标为，半径， 所以圆的方程为. (2) 小问详解： 由，，则圆心到直线的距离， 当直线的斜率不存在时，直线符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线，即， 所以圆心到直线的距离，解得， 所以直线的方程为； 综上，直线的方程为或. 63．（25-26学年高二上·河南新乡部分学校·期中）已知圆C的圆心C在x轴上，并且过和两点． （1）求圆C的标准方程； （2）若直线与圆相交于M，N两点，的面积为2，求实数m的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）解法一：设圆心C的坐标为，由求得，得圆心C的坐标，由得半径，从而得圆C的标准方程； 解法二：求出线段的中点为D的坐标，线段的垂直平分线的方程，则直线与x轴的交点即为圆心C，圆的半径，从而得圆C的标准方程； （2）解法一：设圆心到直线的距离d，根据弦长公式得，由三角形面积公式列出关于的方程，求解即可； 解法二：由条件可得出，是等腰直角三角形，所以圆心C到直线的距离，解方程即可. (1) 小问详解： 解法一：设圆心C的坐标为， 因为A，B是圆上两点，所以， 根据两点间的距离公式，有， 解得，所以圆心C的坐标是． 圆的半径． 所以所求圆C的标准方程是． 解法二：设线段的中点为D． 因为，，可得点D的坐标为， 因为直线的斜率为． 因此线段的垂直平分线的方程是，即． 直线与x轴的交点坐标为，所以圆心C的坐标是， 圆的半径． 所以所求圆的标准方程是． (2) 小问详解： 解法一：设圆心到直线的距离为d，， 直线与圆相交于M，N两点，则， 所以， 解得，即，所以， 因为，所以，即， 所以，解得． 解法二：因为圆C的半径，则， 又因为，所以， 所以是等腰直角三角形， 所以圆心C到直线的距离， 所以，解得． 64．（25-26学年高二上·河南新乡部分学校·期中）设直线与圆和圆均相切，则　　　　　　　；b=　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 由直线与两圆相切建立关于k，b的方程组，解方程组即可. 【详解】 设，，由题意，到直线的距离等于半径，即，， 所以，所以（舍）或者， 解得. 故答案为： 【详解】【点晴】 本题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题. 65．（25-26学年高二上·河南商丘·期中）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点． （1）求点的轨迹方程； （2）记（1）中所求轨迹为曲线，过定点的直线与曲线交于、两点，并且，求直线的方程． 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）设点、，根据中点坐标公式化简得出 ，代入等式化简可得出点的轨迹方程； （2）利用勾股定理求出圆心到直线的距离，再对直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式可求得答案. (1) 小问详解： 设点、， 因为点是线段的中点，则 ，所以 ， 因为点在圆上，则，即， 化简得， 故点的轨迹方程为. (2) 小问详解： 由（1）可知，曲线是以点为圆心，半径为的圆， 由勾股定理可知，圆心到直线的距离为. 若轴，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，符合题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 由题意可得，解得， 此时直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 66．（25-26学年高二上·河南信阳固始县·期中）已知在中，，，，记的外接圆为圆. （1）求圆的标准方程； （2）求过点且与圆相切的直线的方程. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）方法一，求两条线段垂直平分线的交点确定圆心，圆心到圆上一点的距离确定半径，从而得到圆的方程； 方法二，设出圆的标准方程，待定系数法求圆的方程. （2）先求圆心与点连线的斜率，利用垂直关系，确定切线斜率，再利用点斜式即可求解切线方程. (1) 小问详解： （方法一）直线的方程为，、的中点为， 所以线段的中垂线方程为， 直线的方程为，、的中点为， 线段的中垂线方程为. 直线与直线的交点为，即圆的圆心为. 点与点的距离为， 即圆的半径为，所以圆的标准方程为. （方法二）设圆的标准方程为， 则 ， 解得 故圆的标准方程为 (2) 小问详解： 圆的圆心为，，直线的斜率为， 所以切线斜率为，所求切线方程为， 整理得. 67．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）已知直线的方程为． （i）若直线l与圆C相切，求实数m的值； （ii）若直线l与圆C相交于M、N两点，当四边形AMBN的面积最大时，求实数m的值． 【答案】（1）     （2）（i）或；（ii）.      【分析】 （1）先求线段的垂直平分线方程，与联立，可求圆心坐标，再利用求圆的半径，即可得圆的标准方程. （2）（i）利用圆心到直线的距离等于圆的半径列式可求的值； （ii）先判断，利用四边形面积的求法确定四边形面积最大时，直线的位置，可求的值. (1) 小问详解： 线段的垂直平分线方程为： ，即. 由 ，即圆心. 又, 所以圆的标准方程为：. (2) 小问详解： （i）直线：. 因为直线与圆相切，所以：. 所以或. （ii）如图： 因为，直线的斜率为3，由，所以直线与线段所在的直线垂直. 所以四边形的面积为：，其中为定值. 所以当最大时，四边形的面积最大. 即当直线：经过圆心时，四边形的面积最大. 由. 68．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知为坐标原点，，点是直线：上一点，若以为圆心，2为半径的圆上存在点，使得，则线段长度的取值范围是　　　　　　 【答案】 【分析】 根据题意，先求得点的轨迹方程，从而可得圆与圆相交，列出不等式，可得的范围，再由两点间距离公式代入计算，即可得到范围. 【详解】 由题意可设， 则圆的方程为， 若圆上存在点，使得，设， 则，化简可得， 故点在以为圆心，为半径的圆上， 因为点也在圆上，所以圆与圆有交点， 所以，即，解得， 又， 所以，即线段长度的取值范围是. 故答案为：. 69．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知点，，，的外接圆为圆C. （1）求圆C的方程； （2）设的AB边上的高所在的直线为l，求l被圆C所截得的弦长. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用待定系数法，设出圆的一般式方程，代入已知点，可得答案. （2）由已知点求得直线方程，利用点到直线方程以及弦长公式，可得答案. (1) 小问详解： 设圆C的方程为， 将，，三点的坐标代入， 得 解得 故圆C的方程为，即. (2) 小问详解： 由题意得，与AB垂直的高线的斜率为1， 又过，所以：. 圆的圆心到的距离， 则被圆截得的弦长为. 70．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知P是直线l：上一动点，过点P作圆C：的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，则的最大值为　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据直线与圆的位置关系，结合圆切线的性质以及勾股定理，可得答案. 【详解】 由题意，得圆C：的圆心到直线l：的距离， 所以l与圆C相离，如图，可知当取得最大值时，取最小值，的最小值为点C到l的距离，即， 此时，所以，故的最大值为.    故答案为：. 71．（2026·河南九师联盟·质量检测）已知圆经过点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）求过点，且与圆相切的直线方程； （3）过点的直线与圆相交于两点，若，求直线的方程. 【答案】（1）；     （2）或；     （3）或．      【分析】 （1）设，根据圆的几何性质得到方程求出值即可； （2）先考虑斜率不存在时，再考虑斜率存在时，设点斜式方程，利用圆心到直线距离为半径得到方程，解出即可； （3）根据等腰直角三角形性质得圆心到直线的距离，再对直线分斜率存在和不存在讨论即可. (1) 小问详解： 设圆的圆心， 由，得， 解得，故圆心． 圆的半径为，所以圆的标准方程为． (2) 小问详解： ① 当切线的斜率不存在时，切线方程为． ② 当切线的斜率存在时，设切线的方程为， 整理得． 由圆与切线相切，得，解得， 故所求切线方程为，整理得， 故过点，且与圆相切的直线方程为或． (3) 小问详解： 由，得圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，圆心到直线的距离为1，不合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为， 由圆心到直线的距离为，得，解得或， 可得直线的方程为或． 72．（25-26学年高二上·河南信阳罗山县·期中）已知两个定点，，动点始终满足．记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程，并说明其形状； （2）若过点的直线与曲线交于，两点，求的最小值； （3）过直线上的动点分别作曲线的两条切线，（，为切点）．证明：直线过定点，并求该定点坐标． 【答案】（1），曲线是以为圆心，2为半径的圆．     （2）     （3） 如图，由题意知，与圆相切，为切点， 则，，则四点共圆，且在以为直径的圆上， 因为，，所以的中点为，， 以线段为直径的圆的方程为， 整理得，，① 又在曲线：②上， ②①，得，所以直线的方程为． 当时，，则直线恒过定点． 【分析】 （1）设，根据条件得，化简，即可求解； （2）根据点与圆的位置关系，知点在圆内，设圆心到直线的距离为，利用几何关系可知，再利用弦长公式，即可求解； （3）根据条件可得在以为直径的圆上，求出以线段为直径的圆的方程，再利用两圆公共弦的求法，求得直线的方程为，即可求解. (1) 小问详解： 设，由，得， 化简得，即， 故曲线是以为圆心，为半径的圆． (2) 小问详解： 设圆，将点代入圆的方程等号左侧，得， 故点在圆的内部． 设圆心到直线的距离为，所以． 又，所以， 所以，当且仅当时取得最小值， 故的最小值为． (3) 小问详解： 略 73．（25-26学年高二上·河南青桐鸣大联·期中）已知圆的半径为，圆心在直线上，，且直线与圆相切. （1）求圆的标准方程； （2）若直线被圆截得的弦的长度为，求实数的值. 【答案】（1）；     （2）或.      【分析】 （1）直线与圆相切，圆心到直线的距离为圆的半径，计算求解； （2）求出圆心到直线的距离为，由直线被圆截得的弦的长度为，得到，代入数据计算求解. (1) 小问详解： 圆心在直线上，，圆心， 直线与圆相切，圆心到直线的距离为圆的半径， ，，，， 圆的半径为，圆的标准方程. (2) 小问详解： 圆心到直线的距离为， 又直线被圆截得的弦的长度为， ，，或. 74．（25-26学年高二上·河南南阳南阳地区·期中）已知圆，直线经过点. （1）若直线与圆相切，求直线的方程； （2）在直线上是否存在距离为2的两点，，使得圆上存在一点，满足\vec {PA}\cdot \vec {PB}=0？若存在，求出直线的倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）或；     （2）存在，.      【分析】 （1）设直线为，根据直线与圆相切的条件，即可求解； （2）由\vec {PA}\cdot \vec {PB}=0，得，所以点在以为直径的圆上，设圆心为，则，由点到直线距离即可求解斜率的范围，进而可求得倾斜角的范围. (1) 小问详解： 已知圆，则其圆心为，半径为， 过点的直线，当斜率不存在时，直线为，显然与圆不相切，不符合题意； 设直线的斜率为，则其方程为，即， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径， 即，解得， 所以直线的方程为或. (2) 小问详解： 因为\vec {PA}\cdot \vec {PB}=0，所以，所以点在以为直径的圆上，设圆心为， 又，两点的距离为2，且在直线上，所以圆心在直线上，半径为1， 又点在圆上，所以以为直径的圆与圆有公共点， 所以， 设圆心到直线距离为，因为点在直线上且， 所以，即， 当直线斜率不存在时，直线为， 所以，不符合题意， 当直线斜率存在时，设直线的斜率为，则其方程为，即， 所以，解不等式得， 当时，倾斜角，当时，倾斜角， 所以直线的倾斜角的取值范围为. 75．（25-26学年高二上·河南开封五校·期中）已知圆,点为轴上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为,若两条切线与直线分别交于两点，则的最小值为　　　　　. 【答案】 【分析】 设出两条切线后，利用圆心到直线的距离等于半径列出方程，根据两点在两条切线上且纵坐标已知，写出两点的横坐标，作差后结合韦达定理求出最值. 【详解】 易知直线的斜率均不可能为0，故可设直线与直线的方程分别为：,又与圆相切， 所以即.易知为该方程的两个解, 所以 , 故答案为：. 76．（25-26学年高二上·河南新乡部分学校·期中）已知，点在直线上，点在圆上，则的最小值是　　　　　　　　. 【答案】 【分析】求出点A关于直线的对称点B的坐标，可得的最小值. 【详解】可转化为：，则圆心为C(2,1)，半径为. 设A关于直线的对称点B的坐标为(a,b)，则： 的最小值是， 故答案为： 【点睛】本题考查了直线和圆综合问题，考查了学生转化与划归，综合分析，数学运算的能力，属于较难题. 77．（25-26学年高二上·河南郑州·期中）已知圆，过点作直线交于，两点． （1）若，求直线的方程； （2）若点是上的一动点，点是线段的中点，求动点的轨迹方程． 【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）先求出圆心到直线的距离，再解得直线与圆的位置关系，分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论求解； （2）设，利用中点关系结合在圆上即可求解动点的轨迹方程． (1) 小问详解： 圆，圆的半径，圆心， 直线与圆心的距离， 若斜率不存在，即，圆心到直线距离， 与圆无交点，不符合题意； 若斜率存在，设直线，即， 由，解得， 直线的方程为， 即或． (2) 小问详解： 设，，点是线段的中点， ，即 ① ， 又点在圆上，， 将① 代入得，整理得， 点的轨迹方程为：． 78．（25-26学年高二上·河南月期中学·期中）已知与，过点作的切线，切点分别为、. （1）求直线与的方程； （2）求\vec {PA}\cdot \vec {PB}； （3）求与的所有公切线的方程. 【答案】（1）直线与的方程为或.     （2）     （3）或或      【分析】 （1）求出圆的圆心坐标和半径，对切线的斜率是否存在进行分类讨论，在切线的斜率不存在时，直接验证即可；在切线的斜率存在时，设出切线方程，利用直线与圆的位置关系求出参数的值，综合可得出切线的方程； （2）求出的值，利用二倍角的余弦公式求出的值，利用平面向量数量积的定义可求得\vec {PA}\cdot \vec {PB}的值； （3）分析可知两圆外切，可知两圆的公切线有三条，将两圆方程作差可得出其中一条公切线方程，然后利用三角形相似与对称性可求出另外两条公切线的方程, (1) 小问详解： 可化为，圆心，半径. 设过且与圆相切的直线为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线与相切，符合题意. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 因为直线与相切，所以，解得， 所以直线的方程为，即. 综上所述，直线与的方程为或. (2) 小问详解： 由切线的几何性质可得， ，所以， 又，， 所以\vec {PA}\cdot \vec {PB}=\left| PA\right| \times \left| PB\right| \times \cos \angle APB=-\frac{3}{5}. (3) 小问详解： 的圆心，半径；的圆心，半径.    因为，所以与外切，因此与共有条公切线. 与两方程相减，得一条公切线为. 设直线是与的一条公切线， 且直线与轴交于点，与相切于点，与相切于点 ，则，所以，即，所以. 所以，，所以. 将代入，得， 所以一条公切线为，即. 根据对称性，直线，即也是与的公切线. 综上所述，与的所有公切线的方程为或或. 79．（25-26学年高二上·河南信阳固始县·期中）已知实数满足，则的最大值为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 依题意可得，从而得到点在圆上，再由表示点与点连线的斜率，结合图象及直线与圆的位置关系求出的最值，即可得解. 【详解】 因为，所以， 所以点在圆上，其中圆心为，半径为， 又，其中表示点与点连线的斜率， 又，所以点在圆外， 由图可知，当直线与圆相切时，取得最值，设过点的直线的方程为， 即，则，解得或， 即的最大值为，最小值为， 所以的最大值为. 故答案为： 80．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知圆：，点，点为直线：上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为　　　　　　　. 【答案】 【分析】 转化为轴上动点到两定点和的距离之和的最小值. 【详解】 ，圆心为，半径，点，点在直线上，设（为实数）， 根据切线长公式， |AM|为点到圆的切线长， 即： 点到点的距离为： 因此的最小值转化为轴上动点到两定点和的距离之和， 由于、在轴同侧，作关于轴的对称点，则 ，当且仅当在与轴的交点时取等号， ， 故答案为： 81．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知圆，圆的圆心在直线上，且过点． （1）求圆的标准方程； （2）已知第二象限内的点在圆上，过点作圆的切线恰好与圆相切，求的斜率； （3）判断是否存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且，若存在，求出；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）     （3） 不存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且，理由如下： 设的方程为， 由题意得，圆心到的距离，解得， 圆心到的距离，解得， 故， 由垂径定理得， 解得或，均不满足要求， 故不存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且.      【分析】 （1）设出圆心，由得到方程，求出，得到圆心，进而求出半径，得到圆的标准方程； （2）设，则，设出切线方程，由到切线的距离为1得到方程，又，化简得到，解得，代入切线方程，化简得到，根据到的距离得到或，联立，求出，舍去不合要求的解，求出，故的斜率为； （3）设的方程为，由直线与两圆的位置关系得到不等式，求出，由垂径定理和，解得或，均不满足要求，故不存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且. (1) 小问详解： 设圆的圆心为，由得 ，解得， 故圆心为，半径为， 故圆的标准方程为； (2) 小问详解： 设，则， 显然过点的切线斜率存在， 过点的切线方程设为， 圆心到切线的距离为1，即， 即， 又，故，即，解得， 故，即，即， 圆心到的距离为2，即， 故或，解得或， 若，联立，解得，与矛盾，舍去， 若，联立，解得或0（舍去）， 故，所以， 故的斜率为； (3) 小问详解： 略 【点睛】 过圆上一点的切线方程为：， 过圆外一点的切点弦方程为：. 82．（25-26学年高二上·河南驻马店·期中）已知圆的半径为，圆心在直线上，且直线与圆相切. （1）求圆的标准方程； （2）若圆位于第一象限内，直线被圆截得的弦的长度为，求实数的值. （3）若圆位于第四象限内，过作圆的两条切线，为实数，设这两条切线与轴分别交于两点，求的最小值. 【答案】（1）或     （2）或     （3）      【分析】 （1）根据题目要求，列方程求圆心即可； （2）求出圆心到直线的距离，由勾股定理表示弦长，解方程即可； （3）设切线方程，由相切关系得到切线距离等于圆的半径可列等式；得到关于的二次函数，根据韦达定理求出，，再根据弦长公式将表示出来，结合k_{1}+k_{2} &，，将转化为关于t &的函数，即可求最小值. (1) 小问详解： 因为圆心在直线上，设圆心为， 由题意得，解得或， 故圆的标准方程为或. (2) 小问详解： 圆位于第一象限内，故圆心为， 所以圆心到直线的距离为，半径， 因为直线被圆截得的弦的长度为， 所以， 整理得，解得或. 故的值为或. (3) 小问详解： 因为圆位于第四象限内， 所以圆心为， 易知切线斜率均存在，设过作圆的切线方程为， 两切线的斜率分别为，， 由圆心到切线的距离， 整理得， 所以，， 在切线方程中，令，则， 不妨取，， 则 ， 当时，取得最小值，为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 直线和圆的方程 5大高频考点概览 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点04 圆的方程 考点05 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 直线的倾斜角与斜率 1．（25-26学年高二上·河南南阳南阳地区·期中）直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·河南商丘·期中）直线的倾斜角为（       ） A. 0 B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）直线的倾斜角是（     ） A. 0 B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知直线斜率为，则直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·河南信阳罗山县·期中）已知直线过，两点，则直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·河南信阳罗山县·期中）已知直线，，若，则（       ） A. 1 B.  C. 2 D. 1或 7．（25-26学年高二上·河南新乡·期中）已知直线l上两点，，若直线l的倾斜角为，则实数n的值为（       ） A.  B. 0 C.  D.  8．（25-26学年高二上·河南豫北民办高·期中）直线的倾斜角为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·河南洛阳·期中）已知直线与直线垂直，则直线的倾斜角是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·河南开封五校·期中）经过两点，的直线的倾斜角为（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·河南焦作·期中）已知直线与垂直，则实数的值为（       ） A. 1 B.  C.  D.  12．（25-26学年高二上·河南新乡部分学校·期中）设点、，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（       ） A. 或 B. 或 C.  D.  13．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）直线l经过点，则直线l的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知两条不重合的直线和．若，则实数的值为（       ） A.  B.  C. 1 D. 或1 15．（25-26学年高二上·河南新乡·期中）已知直线，，则“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 16．（25-26学年高二上·河南洛阳·期中）已知直线和直线，则“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 17．（25-26学年高二上·河南青桐鸣大联·期中）已知直线的两点式方程为，则直线的倾斜角为（     ） A. 150° B. 120° C. 60° D. 30° 18．（25-26学年高二上·河南新乡部分学校·期中）已知直线：：，：，则“”是“”的（       ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 19．（25-26学年高二上·河南郑州·期中）（多选）下列选项正确的是（       ） A. 若直线与平行，则与的距离为 B. 过点且和直线平行的直线方程是 C. “”是“直线与直线互相垂直”的必要不充分条件 D. 直线的倾斜角的取值范围是 20．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）（多选）已知三条直线的倾斜角分别为，斜率分别为，且，则α，β，γ的大小关系可能为（       ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知点、，若过定点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年高二上·河南商丘·期中）已知直线和直线垂直，则实数的值为　　　　　　　． 23．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知直线：，直线：，若，则　　　　　. 24．（25-26学年高二上·河南月期中学·期中）已知，求： （1）过点且与垂直的直线方程； （2）过点B且倾斜角为直线倾斜角的的直线方程． 25．（25-26学年高二上·河南郑州·期中）已知直线与直线. （1）当直线与垂直时，求实数的值； （2）当直线与平行时，求直线与的距离. 26．（25-26学年高二上·河南郑州·期中）在平面直角坐标系中，过点作斜率分别为的直线，若，则称直线是定积直线或定积直线. （1）已知直线是定积直线，且直线，求直线的方程; （2）如图所示，已知点，点和点分别是三条倾斜角为锐角的直线上的点(与均不重合)，且直线是定积直线，直线是定积直线，直线是定积直线，求点的坐标; （3）已知点，直线是定积直线，若，求三角形的面积. 考点02 直线的方程 1．（25-26学年高二上·河南濮阳·期中）直线在y轴上的截距为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·河南新乡部分学校·期中）直线的倾斜角是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·河南部分学校·期中）（多选）对于直线，下列说法正确的有（     ） A. 直线 过点 B. 直线 与直线垂直 C. 直线 的一个方向向量为 D. 原点到直线的距离为1 4．（25-26学年高二上·河南多校·期中）直线在轴上的截距为（       ） A. -3 B.  C.  D. 3 5．（25-26学年高二上·河南豫北民办高·期中）（多选）下列选项正确的有（       ） A. 表示过点，且斜率为2的直线 B. 是直线的一个方向向量 C. 以，为直径的圆的方程为 D. 直线恒过点 6．（25-26学年高二上·河南郑州·期中）直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·河南郑州·期中）下列说法中，正确的有（     ） A. 过点且在、轴截距相等的直线方程为 B. 直线的倾斜角为60° C. 直线在轴上的截距为 D. 过点并且倾斜角为90°的直线方程为 8．（25-26学年高二上·河南月期中学·期中）在平面直角坐标系xOy中，直线在y轴上的截距为（       ） A.  B. 6 C.  D.  9．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）过点和的直线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  10．（2026·河南九师联盟·质量检测）直线的倾斜角为（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·河南信阳罗山县·期中）（多选）下列说法正确的有（       ） A. 若两条直线与互相垂直，则实数的值为 B. 若点在第二象限，则直线不经过第三象限 C. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 D. 已知直线和以，为端点的线段相交，则或 12．（25-26学年高二上·河南新乡·期中）（多选）已知直线，直线m在x轴上的截距为，且，则下列说法正确的有（       ） A. 直线l在y轴上的截距为 B. 向量是直线m的方向向量 C. 直线l与m的交点坐标为 D. 直线l，m与x轴围成的三角形的面积为 13．（25-26学年高二上·河南郑州·期中）如图所示，直线与的图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）（多选）下列说法中正确的是（     ） A. 若直线的斜率，则倾斜角 B. 过点且与直线垂直的直线方程为 C. 过任意两点，的直线都可以用方程表示 D. 直角坐标系xOy内的任意直线都可以用方程表示 15．（25-26学年高二上·河南南阳南阳地区·期中）已知直线经过点，. （1）求直线的斜率及直线的斜截式方程； （2）若直线经过点且平行于直线，求直线的一般式方程； （3）若直线经过点且垂直于直线，求直线的一般式方程. 16．（25-26学年高二上·河南开封五校·期中）已知直线与直线相交于点． （1）求过点且与直线垂直的直线的方程； （2）求过点且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍的直线的方程． 17．（25-26学年高二上·河南信阳固始县·期中）直线与轴交于点，将绕点逆时针旋转105°得到直线，则直线的方程为　　　　　　． 18．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）直线与直线相交于点P，直线l经过点P. （1）若直线，求直线l的方程； （2）若直线l在坐标轴上的截距相等，求直线l的方程. 19．（25-26学年高二上·河南濮阳·期中）已知点，，直线l：上总存在一点P，使得\vec {MP}=\lambda \vec {MN}（），则实数k的取值范围为　　　　　　　　． 20．（25-26学年高二上·河南新乡·期中）求满足下列条件的直线l的一般式方程. （1）直线l经过直线和的交点，且与直线平行； （2）直线l经过点，与直线，的交点分别为B，C，且A是线段BC的中点. 21．（25-26学年高二上·河南洛阳·期中）已知直线和直线. （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 22．（25-26学年高二上·河南郑州·期中）已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）． （1）证明：直线l过定点； （2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围； （3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程． 23．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知直线过点且在轴和轴上的截距分别为和． （1）若，求直线的方程； （2）若，直线分别与轴正半轴和轴正半轴交于点、，当的面积最小时，求直线的方程． 24．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）设直线与交于点P，已知直线l过点P. （1）若l与直线平行，求l的方程； （2）若l在x轴和y轴上的截距互为相反数，求l的方程. 25．（2026·河南九师联盟·质量检测）已知直线. （1）求经过直线的交点，且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 考点03 直线的交点坐标与距离公式 1．（25-26学年高二上·河南开封五校·期中）一束光线从点出发，经直线:上一点反射后，恰好穿过点，则反射光线所在的直线在轴上的截距为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·河南豫北民办高·期中）点到直线的距离为（     ） A. 1 B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·河南南阳南阳地区·期中）（多选）已知两条平行直线，，则，之间的距离可能为（       ） A. 2 B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·河南开封五校·期中）（多选）若直线不能构成三角形，则的取值为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）某市举办青少年机器人大赛，组委会设计了一个正方形场地（边长为8米）如图所示，，，分别是，，的中点，在场地中设置了一个半径为米的圆，圆与直线相切于点.比赛中，机器人从点出发，经过线段上一点，然后再到达圆，则机器人走过的最短路程是（     ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6．（25-26学年高二上·河南部分学校·期中）直线与上各有一动点，则的最小值为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·河南濮阳·期中）已知Q为直线l：上的动点，点P满足\vec {QP}=\left(1,1\right)，记点P的轨迹为E，则（       ） A. E是一个半径为的圆 B. E是一条与l垂直的直线 C. E是两条与l平行的直线 D. E上的点到l的距离为 8．（25-26学年高二上·河南洛阳·期中）如图，在中，，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·河南青桐鸣大联·期中）台球是一项在球桌上用球杆击打主球以撞击目标球的体育运动，假设主球（体积忽略不计，看作一个点）在球桌上均做直线运动，碰撞到球桌壁后反弹时满足反射角等于入射角.如图，现击打主球在球桌壁点反弹后，经过点，再在球桌壁点反弹后，击中目标球.以球桌壁所在直线分别为，轴，建立如图所示的直角坐标系，发现点的坐标为，目标球的坐标为，则在该坐标系中，点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·河南郑州·期中）公元1765年瑞士数学家莱昂哈德•欧拉（LeonhardEuler）在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心（三条中垂线的交点）､重心（三条中线的交点）､垂心（三条高线的交点）在同一条直线上.后来，人们把这条直线称为欧拉线.若的顶点，则其欧拉线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·河南新乡部分学校·期中）在平面直角坐标系中，过原点的直线l交曲线于点A，B，沿x轴把平面直角坐标系折成大小为的二面角，则线段长度的最小值为（       ） A.  B. 4 C.  D. 2 12．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知点，点在轴上，点在直线上，则周长的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  13．（2026·河南百师联盟·联考）已知的三个顶点分别为，则的面积是（       ） A. 5 B. 10 C.  D. 20 14．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）点关于直线的对称点为（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高二上·河南商丘·期中）已知直线的方程为 （1）若与直线平行，求的值； （2）若在轴，轴上的截距相等，求的方程. 16．（25-26学年高二上·河南信阳罗山县·期中）已知直线和直线平行，则这两条平行线之间的距离为　　　　　． 17．（25-26学年高二上·河南洛阳·期中）两平行直线与之间的距离为　　　　　. 18．（25-26学年高二上·河南南阳南阳地区·期中）一条光线从点射出，经轴反射，反射光线刚好经过点，则反射光线所在直线的方程为　　　　　　　　　　. 19．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知是直线上的两点，若，且，则　　　　　　　. 20．（2026·河南九师联盟·质量检测）两直线与之间的距离为　　　　　　　　　　. 21．（25-26学年高二上·河南信阳罗山县·期中）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高线所在直线方程为．求： （1）顶点的坐标； （2）直线的方程． 22．（25-26学年高二上·河南多校·期中）已知三条直线，，. （1）若，，交于一点，求实数的值； （2）若，，可以围成一个三角形，求实数的取值范围. 23．（25-26学年高二上·河南多校·期中）已知点，，. （1）求的面积； （2）求的外接圆的方程. 24．（25-26学年高二上·河南豫北民办高·期中）设直线与相交于一点. （1）求点的坐标； （2）求经过点，且垂直于直线的直线的方程. 25．（25-26学年高二上·河南月期中学·期中）已知直线与直线平行，则直线与直线间的距离为　　　　　　　　　　. 26．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知是的三个顶点． （1）求BC边上的高所在直线的方程； （2）求证：的三条高交于一点． 27．（2026·河南百师联盟·联考）已知双曲线，其右顶点为，右焦点为. （1）求以为焦点的抛物线的标准方程； （2）已知点，设点是双曲线上任一点，求的最小值； （3）设直线过点，其法向量为，若在双曲线上恰有三个点到直线的距离均为，求的值. 28．（25-26学年高二上·河南驻马店·期中）在等腰梯形中，，且，，. （1）求点的坐标； （2）求梯形的面积. 考点04 圆的方程 1．（25-26学年高二上·河南豫北民办高·期中）圆的圆心坐标与半径分别为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·河南豫北民办高·期中）已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·河南新乡部分学校·期中）方程表示圆，则的范围是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·河南信阳罗山县·期中）若方程表示圆，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D. R 5．（25-26学年高二上·河南开封五校·期中）若点在圆外，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·河南郑州·期中）若点为圆的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（2026·河南百师联盟·联考）已知圆的圆心在轴的正半轴上，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·河南郑州·期中）（多选）已知方程，则下列说法正确的是（       ） A. 该方程一定是圆的方程 B. 该方程一定能表示过坐标原点的圆 C. 若该方程表示圆，则圆心在定直线上 D. 若该方程表示圆，则圆上总存在两点到原点的距离为1 9．（25-26学年高二上·河南月期中学·期中）若方程表示圆，则实数t的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·河南信阳罗山县·期中）已知圆，圆，分别为圆和圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为　　　　　　　　　　． 11．（25-26学年高二上·河南新乡·期中）已知点，，则以AB为直径的圆的标准方程为　　　　　　. 12．（25-26学年高二上·河南部分学校·期中）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬到的最短路程是　　　　　. 13．（25-26学年高二上·河南郑州·期中）已知经过坐标原点且斜率存在的直线与圆交于两点，，则的最大值为　　　　　　　　　　. 14．（25-26学年高二上·河南新乡部分学校·期中）设圆C过点且与圆：相切于点． （1）求C的方程； （2）已知，，三个点，点P在圆C上运动，求的最大值和最小值； （3）已知直线l：与x轴交于点G，过点G的直线m与圆C交于D，E两点，求证：为定值，并求出这个定值. 考点05 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．（25-26学年高二上·河南月期中学·期中）（多选）直线与圆相切，则实数等于（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·河南信阳固始县·期中）已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·河南多校·期中）圆与圆的位置关系为（       ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 4．（25-26学年高二上·河南洛阳·期中）若直线平分圆的周长，则（       ） A. 4 B. 2 C. 1 D.  5．（25-26学年高二上·河南南阳南阳地区·期中）已知直线和圆，动圆与直线、圆都相切，则动圆圆心的轨迹方程为（       ） A.  B.  C. 或 D.  6．（25-26学年高二上·河南郑州·期中）圆与圆的公切线的条数为（       ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7．（25-26学年高二上·河南开封五校·期中）已知圆上仅有两个点到直线的距离为，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·河南新乡部分学校·期中）圆和圆的位置关系是（       ） A. 相离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 9．（25-26学年高二上·河南商丘·期中）若直线与圆相切，则（       ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 10．（25-26学年高二上·河南商丘·期中）（多选）圆上恰有四个点到直线的距离等于1，则的值可能是（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 11．（25-26学年高二上·河南月期中学·期中）若圆与轴相切，则这个圆截轴所得的弦长为（       ） A. 4 B.  C. 8 D.  12．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）（多选）若直线被圆所截得的弦长为，则实数a的值为（       ） A. 0 B. 4 C.  D.  13．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）过点的直线与圆相交，截得的两条圆弧之差最大，则该直线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知圆：与圆：相交于A，B两点，则直线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高二上·河南信阳罗山县·期中）直线与圆相交于，两点，且，则实数的值为（       ） A. 1 B. 5 C. 或5 D. 1或 16．（25-26学年高二上·河南濮阳·期中）（多选）已知是圆C：上的动点，则（       ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 17．（25-26学年高二上·河南濮阳·期中）已知圆和直线，P是l上的动点，过点P向圆C作两条切线，设两切线的夹角为θ，则的最大值为（       ） A.  B.  C.  D. 1 18．（25-26学年高二上·河南新乡·期中）过点P的直线与圆交于A，B两点，若面积的最大值为，则点P的坐标可以为（       ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年高二上·河南洛阳·期中）已知，，，记直线与直线的交点为，点是圆上的一点，若与圆相切，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年高二上·河南青桐鸣大联·期中）已知，满足，则的最小值为（     ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年高二上·河南青桐鸣大联·期中）（多选）已知直线：，则下列说法正确的是（     ） A. 在轴上的截距为2 B. 与直线垂直 C. 与直线之间的距离为 D. 与圆相离 22．（25-26学年高二上·河南南阳南阳地区·期中）已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则（       ） A.  B.  C.  D. 3 23．（25-26学年高二上·河南郑州·期中）已知圆和直线，若点在圆上，则点到直线的距离的最大值为（       ） A.  B.  C.  D.  24．（25-26学年高二上·河南焦作·期中）从点向圆引切线，则切线长的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年高二上·河南新乡部分学校·期中）已知圆上到直线的距离等于1的点恰有两个，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  26．（25-26学年高二上·河南新乡部分学校·期中）（多选）对于直线l：与圆C：，下列说法正确的是（       ） A. l过定点 B. C的半径为3 C. l与C可能相切 D. l被C截得的弦长最小值为 27．（25-26学年高二上·河南新乡部分学校·期中）（多选）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知，，点P满足，设点P的轨迹为圆C，则下列说法正确的是（       ） A. 圆C的方程是 B. 过点A向圆C引切线，两条切线的夹角为 C. 若x，y满足圆C的方程，则的最大值是 D. 过直线上的一点P向圆C引切线，则四边形的面积的最小值为 28．（25-26学年高二上·河南郑州·期中）已知直线与曲线有两个交点，则的取值范围为 A.  B.  C.  D.  29．（25-26学年高二上·河南郑州·期中）（多选）平面内到两个定点A，B的距离比值为一定值的点的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”．已知平面内点，，动点满足，记点的轨迹为，则下列命题正确的是（     ） A. 点的轨迹的方程是 B. 过点的直线被点的轨迹所截得的弦的长度的最小值是1 C. 直线与点的轨迹相离 D. 已知点，点是直线上的动点，过点作点的轨迹的两条切线，切点为C，D，则四边形面积的最小值是3 30．（25-26学年高二上·河南月期中学·期中）在平面直角坐标系中，点，直线上存在点满足，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  31．（25-26学年高二上·河南信阳固始县·期中）是圆上两点，，若在圆上存在点恰为线段的中点，则实数的取值范围为（       ） A. \left[-5,-3\left\right]\cup \right[1,3] B. \left[-4,-2\left\right]\cup \right[2,4] C.  D.  32．（25-26学年高二上·河南信阳固始县·期中）（多选）已知圆，圆，直线，，过点作圆的两条切线，切点分别为．下列说法中，正确的是（       ） A. 圆与圆相交 B. 直线过定点 C. 圆被直线截得的弦长的最小值为 D. 直线的方程为 33．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）（多选）已知直线与，则下列说法正确的是（       ） A. 若上恰有1个点到直线的距离为2，则 B. 若上恰有2个点到直线的距离为2，则的取值范围是 C. 若上恰有3个点到直线的距离为2，则 D. 若上恰有4个点到直线的距离为2，则的取值范围是 34．（2026·河南百师联盟·联考）（多选）已知直线，圆，则下列说法正确的有（       ） A. 若直线与圆相切，则 B. 若，则直线与圆相交 C. 圆可能关于直线对称 D. 若，则直线被圆截得的弦长为 35．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知圆与直线：相交于两点，若为正三角形，则实数的值为（     ） A. 2 B.  C. 3 D.  36．（2026·河南九师联盟·质量检测）已知直线与曲线恰有两个公共点，则实数m的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  37．（2026·河南九师联盟·质量检测）（多选）已知圆：和圆：相交于A，B两点，则（     ） A. 直线AB的方程为 B.  C. 四边形的面积为 D. 圆：与圆和圆都相切 38．（25-26学年高二上·河南部分学校·期中）为了促进科技探究学习与竞技的巧妙融合，在实践中激发创新意识和研究精神，某市举办青少年机器人设计大赛．在比赛中有一个追逐项目，如图，在平面直角坐标系中，直线为竞技区与安全区的分界线，机器人甲在点处，机器人乙在竞技区内的点处，点在第一象限，且直线的倾斜角为．已知机器人甲的速度是机器人乙的3倍，机器人甲、乙可以向任意方向直线前进，机器人甲、乙同时出发，若要保证机器人甲在竞技区（含直线）内一定能追上机器人乙，则线段长度的最大值是（     ） A.  B. 2 C.  D. 1 39．（25-26学年高二上·河南信阳罗山县·期中）（多选）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中．已知，，点满足．设点的轨迹为圆，下列结论正确的有（       ） A. 圆的方程是 B. 圆与圆有四条公切线 C. 的最小值为 D. 过点作直线，若圆上恰有三个点到直线距离为，则该直线斜率为 40．（25-26学年高二上·河南多校·期中）（多选）已知点，动点满足，记点的轨迹为曲线.点，直线，则（       ） A. 曲线的方程为 B. 当最小时， C. 当最大时， D. 若曲线上仅有一点到直线的距离为2，则的值为 41．（25-26学年高二上·河南洛阳·期中）（多选）过原点的直线与圆交于，两点，且不经过点，则（       ） A. 弦长的最小值为. B. 当直线的斜率为时，圆上恰有3个点到的距离为3 C. 圆与圆有2条公切线 D. 圆在，两点处的切线的交点在直线上 42．（25-26学年高二上·河南南阳南阳地区·期中）（多选）已知圆，下列说法正确的是（       ） A. 若过点的直线与圆交于，两点，则的取值范围为 B. 圆上有4个点到直线的距离为 C. 若圆与圆没有公切线，则的取值范围为 D. 过直线上任意一点作圆的切线，切点为，，则直线必过定点 43．（25-26学年高二上·河南商丘·期中）已知点，若圆上存在不同的两点，，使得\vec {PA}=\frac{1}{2}\vec {AB}，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  44．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知圆O：，直线l：，将圆O在l下方的部分沿着l向上翻折，如图，若直线与折叠后得到的两段弧恰有4个交点，则m的值可以是（     ） A.  B. 2 C.  D. 3 45．（25-26学年高二上·河南驻马店·期中）（多选）在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，直线：（）与曲线分别交于，两点，点，则下列说法正确的是（     ） A. 曲线的方程为 B. 的最小值为 C. 存在点，使得 D. 当取得最大值时， 46．（25-26学年高二上·河南豫北民办高·期中）已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为　　　　　　. 47．（25-26学年高二上·河南豫北民办高·期中）已知圆C的圆心为，半径为3，l是过点的直线． （1）判断点P是否在圆上，并证明你的结论； （2）若圆C被直线l截得的弦长为，求直线l的方程． 48．（25-26学年高二上·河南豫北民办高·期中）没且，若直线与圆相切，则　　　　　　　　　　　. 49．（25-26学年高二上·河南青桐鸣大联·期中）已知圆：（）与圆：（）外切，则　　　　　　. 50．（25-26学年高二上·河南南阳南阳地区·期中）过点作圆的切线，切点为，则　　　　　　． 51．（25-26学年高二上·河南新乡部分学校·期中）直线经过两直线和的交点． （1）若直线与直线垂直，求直线的方程； （2）若直线与圆相切，求直线的方程． 52．（25-26学年高二上·河南郑州·期中）圆与圆的公共弦长为　　　　　　. 53．（25-26学年高二上·河南部分学校·期中）已知圆的圆心在直线上，圆与直线相交于两点，且． （1）求圆的方程； （2）已知直线过点且与圆相切，求直线的方程． 54．（25-26学年高二上·河南信阳罗山县·期中）已知圆． （1）过点向圆作切线，求切线的方程； （2）若为直线上的动点，过向圆作切线，切点为，求的最小值． 55．（25-26学年高二上·河南濮阳·期中）已知，两点都在圆M上，且圆M的圆心在直线上． （1）求圆M的方程； （2）过点的直线l与圆M交于C，D两点，且，求直线l的方程． 56．（25-26学年高二上·河南新乡·期中）已知点，点），点P满足，记点P的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的标准方程，并指出曲线C是什么曲线； （2）点，判断以点E为圆心，2为半径的圆E与曲线C的位置关系；若相交，设交点分别为F，G，求四边形AFEG的面积. 57．（25-26学年高二上·河南洛阳·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线经过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程. 58．（25-26学年高二上·河南洛阳·期中）已知圆，点，动点满足. （1）求动点的轨迹方程； （2）设动点的轨迹与圆交于，两点，求； （3）过圆上一点作两条相异直线分别与圆相交于，两点，且直线和直线的倾斜角互补.求证：直线的斜率为定值. 59．（25-26学年高二上·河南洛阳·期中）已知两定点，，若直线上存在点满足，则实数的取值范围是　　　　　. 60．（25-26学年高二上·河南郑州·期中）在平面直角坐标系中，已知点，圆经过三点，直线的方程为. （1）若直线与圆相切，求的值； （2）若直线与圆相交于两点，求的面积的最大值. 61．（25-26学年高二上·河南开封五校·期中）在平面直角坐标系中，点、，动点满足，记动点的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）过的两条互相垂直的直线与曲线分别相交于、两点和、两点，求四边形面积的最大值. 62．（25-26学年高二上·河南焦作·期中）已知圆的圆心在直线上，且圆与直线相切于点. （1）求圆的方程； （2）过原点的直线交圆于A，B两点，且，求直线的方程. 63．（25-26学年高二上·河南新乡部分学校·期中）已知圆C的圆心C在x轴上，并且过和两点． （1）求圆C的标准方程； （2）若直线与圆相交于M，N两点，的面积为2，求实数m的值． 64．（25-26学年高二上·河南新乡部分学校·期中）设直线与圆和圆均相切，则　　　　　　　；b=　　　　　　． 65．（25-26学年高二上·河南商丘·期中）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点． （1）求点的轨迹方程； （2）记（1）中所求轨迹为曲线，过定点的直线与曲线交于、两点，并且，求直线的方程． 66．（25-26学年高二上·河南信阳固始县·期中）已知在中，，，，记的外接圆为圆. （1）求圆的标准方程； （2）求过点且与圆相切的直线的方程. 67．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）已知直线的方程为． （i）若直线l与圆C相切，求实数m的值； （ii）若直线l与圆C相交于M、N两点，当四边形AMBN的面积最大时，求实数m的值． 68．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知为坐标原点，，点是直线：上一点，若以为圆心，2为半径的圆上存在点，使得，则线段长度的取值范围是　　　　　　 69．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知点，，，的外接圆为圆C. （1）求圆C的方程； （2）设的AB边上的高所在的直线为l，求l被圆C所截得的弦长. 70．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知P是直线l：上一动点，过点P作圆C：的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，则的最大值为　　　　　　. 71．（2026·河南九师联盟·质量检测）已知圆经过点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）求过点，且与圆相切的直线方程； （3）过点的直线与圆相交于两点，若，求直线的方程. 72．（25-26学年高二上·河南信阳罗山县·期中）已知两个定点，，动点始终满足．记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程，并说明其形状； （2）若过点的直线与曲线交于，两点，求的最小值； （3）过直线上的动点分别作曲线的两条切线，（，为切点）．证明：直线过定点，并求该定点坐标． 73．（25-26学年高二上·河南青桐鸣大联·期中）已知圆的半径为，圆心在直线上，，且直线与圆相切. （1）求圆的标准方程； （2）若直线被圆截得的弦的长度为，求实数的值. 74．（25-26学年高二上·河南南阳南阳地区·期中）已知圆，直线经过点. （1）若直线与圆相切，求直线的方程； （2）在直线上是否存在距离为2的两点，，使得圆上存在一点，满足\vec {PA}\cdot \vec {PB}=0？若存在，求出直线的倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由. 75．（25-26学年高二上·河南开封五校·期中）已知圆,点为轴上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为,若两条切线与直线分别交于两点，则的最小值为　　　　　. 76．（25-26学年高二上·河南新乡部分学校·期中）已知，点在直线上，点在圆上，则的最小值是　　　　　　　　. 77．（25-26学年高二上·河南郑州·期中）已知圆，过点作直线交于，两点． （1）若，求直线的方程； （2）若点是上的一动点，点是线段的中点，求动点的轨迹方程． 78．（25-26学年高二上·河南月期中学·期中）已知与，过点作的切线，切点分别为、. （1）求直线与的方程； （2）求\vec {PA}\cdot \vec {PB}； （3）求与的所有公切线的方程. 79．（25-26学年高二上·河南信阳固始县·期中）已知实数满足，则的最大值为　　　　　　　　　　. 80．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知圆：，点，点为直线：上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为　　　　　　　. 81．（25-26学年高二上·河南南阳·期中）已知圆，圆的圆心在直线上，且过点． （1）求圆的标准方程； （2）已知第二象限内的点在圆上，过点作圆的切线恰好与圆相切，求的斜率； （3）判断是否存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且，若存在，求出；若不存在，请说明理由． 82．（25-26学年高二上·河南驻马店·期中）已知圆的半径为，圆心在直线上，且直线与圆相切. （1）求圆的标准方程； （2）若圆位于第一象限内，直线被圆截得的弦的长度为，求实数的值. （3）若圆位于第四象限内，过作圆的两条切线，为实数，设这两条切线与轴分别交于两点，求的最小值. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $