3.4 相似三角形的性质 题型专练 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

北师大版（2024）九年级上册 3.4 相似三角形的性质 题型专练 【题型1】相似三角形应用举例 【典例】如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯底(点O)20米的点A处，沿AO所在直线行走12米到达点B时，小明身影长度 （      ）  A．变长2.5米 B．变短2米 C．变短2.5米 D．变短3米 【举一反三1】如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3米，CA=1米，则树的高度为__________米.  【举一反三2】如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来（CM⊥DM，BD⊥DM，BC与DM相交于点O），已知OM＝4米，CO＝5米，DO＝3米，AO＝米，则汽车从A处前行的距离AB＝__________米时，才能发现C处的儿童． 【举一反三3】据《九章算术》记载：“今有山居木西，不知其高．山去五十三里，木高九丈五尺，人立木东三里，望木末适与山峰斜平．人目高七尺．问山高几何？” 大意如下：如图，今有山AB位于树CD的西面．山高AB为未知数，山与树相距53里，树高9丈5尺，人站在离树3里的F处，观察到树梢C恰好与山峰A处在同一斜线上，人眼离地7尺，问山AB的高约为多少丈？（1丈＝10尺，结果精确到个位） 【题型2】相似三角形对应线段的比等于相似比 【典例】如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，点E，F在AD边上，BF和CE交于点G，若EF=AD，则图中阴影部分的面积为 A．25 B．30 C．35 D．40 【举一反三1】如图，已知AD为∠BAC的平分线，DE∥AB交AC于点E.如果，那么等于 （      ）  A． B． C． D． 【举一反三2】如果两个相似三角形对应角平分线的比是4∶9，那么它们的周长比是__________． 【举一反三3】已知△ABC∽△A′B′C′，BC＝3.6 cm，B′C′＝6 cm，AE是△ABC的一条中线，AE＝2.4 cm，求△A′B′C′中对应中线A′E′的长． 【题型3】相似三角形的面积比等于相似比的平方 【典例】已知△ABC∽△DEF，且相似比为1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为(　　) A．1∶4 B．4∶1 C．1∶2 D．2∶1 【举一反三1】已知△ABC的面积为81 cm2，△DEF的面积为36 cm2，且AB＝12 cm，若△ABC∽△DEF，则DE＝__________cm. 【举一反三2】如果一个三角形的三边长为5、12、13，与其相似的三角形的最长的边为39，那么较大的三角形的周长为__________，面积为__________． 【举一反三3】如图，四边形ABCD为菱形，M为BC上一点，连接AM交对角线BD于点G，且∠ABC＝2∠BAM. (1)求证：AG＝BG； (2)若M为BC的中点，同时＝1，求△DGA的面积. 【题型4】相似三角形的性质与判定的综合（移题） 【典例】“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为（  ） A．1.25尺 B．56.5尺 C．6.25尺 D．57.5尺 【举一反三1】如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E是AD的中点，连接BE交AC于点F，S△ABF＝6，则S△AEF＝（  ） A．6 B．3 C．2 D．1 【举一反三2】已知：如图，AD，BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD=BE=6，则AC=__________.  【举一反三3】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，Rt△MPN，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝__________． 【举一反三4】如图，在边长为1的正方形ABCD中，点E在边AD上(不与点A，D重合)，射线BE与射线CD交于点F. (1)求证：AB2=AE·CF； (2)若ED=，则DF的长为   . 【举一反三5】如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD． （1）证明：∠BDC＝∠PDC； （2）若AC与BD相交于点E，AB＝1，CE：CP＝2：3，求AE的长． 【题型5】相似三角形与动点问题 【典例】如图，，是斜边上的高，点是边上的动点，连结，作交于点，连结，当点在上运动时，下列比值会变化的是（ ） A． B． C． D． 【举一反三1】如图，在△ABC中，AB＝8厘米，AC＝16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，设运动的时间为t秒. (1)用含t的代数式表示：AP＝    ，AQ＝    ； (2)当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，求运动时间是多少. 【举一反三2】如图，在矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q. (1)求证：△APQ∽△CDQ； (2)点P从点A出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向点B移动，移动时间为t秒.当t为何值时，DP⊥AC？ 北师大版（2024）九年级上册 3.4 相似三角形的性质 题型专练（参考答案） 【题型1】相似三角形应用举例 【典例】如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯底(点O)20米的点A处，沿AO所在直线行走12米到达点B时，小明身影长度 （      ）  A．变长2.5米 B．变短2米 C．变短2.5米 D．变短3米 【答案】D 【解析】如图，由题意得OC＝8米，AB＝12米，AO＝20米，BD＝1.6米， ∴OB＝AO－AB＝8（米）， ∵∠DBN＝∠COB＝90°，∠CNO＝∠DNB， ∴△DBN∽△CON， ∴， 设BN＝x米，则ON＝(8＋x)米， ∴， 解得x＝2， ∴BN＝2米， 同理可得AM＝5米， ∴小明身影长度变短3米. 【举一反三1】如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3米，CA=1米，则树的高度为__________米.  【答案】6 【解析】如图，用点D表示树的顶端，CE表示人的身高，连接BD， 由题意知CE=1.5米， ∵CE∥BD， ∴△ACE∽△ABD， ∴=，即=， ∴BD=6， 即树的高度为6米. 【举一反三2】如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来（CM⊥DM，BD⊥DM，BC与DM相交于点O），已知OM＝4米，CO＝5米，DO＝3米，AO＝米，则汽车从A处前行的距离AB＝__________米时，才能发现C处的儿童． 【答案】75 【解析】在Rt△CMO中，MO＝4 m，CO＝5 m， ∴CM＝＝3 m， ∵∠BOD＝∠MOC，∠BDO＝∠CMO＝90°， ∴△BDO∽△CMO， ∴， ∴， ∴BD＝2.25 m， 在Rt△AOD中，OA＝米， ∴AD＝＝8 m， ∴AB＝AD﹣BD＝8﹣2.25＝5.75（m）， ∴汽车从A处前行5.75米，才能发现C处的儿童， 故答案为：5.75． 【举一反三3】据《九章算术》记载：“今有山居木西，不知其高．山去五十三里，木高九丈五尺，人立木东三里，望木末适与山峰斜平．人目高七尺．问山高几何？” 大意如下：如图，今有山AB位于树CD的西面．山高AB为未知数，山与树相距53里，树高9丈5尺，人站在离树3里的F处，观察到树梢C恰好与山峰A处在同一斜线上，人眼离地7尺，问山AB的高约为多少丈？（1丈＝10尺，结果精确到个位） 【答案】解：由题意得BD＝53里，CD＝95尺，EF＝7尺，DF＝3里． 如图，过点E作EG⊥AB于点G，交CD于点H． 则BG＝DH＝EF＝7尺，GH＝BD＝53里，HE＝DF＝3里， ∵CD∥AB， ∴△ECH∽△EAG， ∴， ∴， ∴AG≈1643尺，AB＝AG+0.7≈165丈． 答：由AB的高约为165丈． 【题型2】相似三角形对应线段的比等于相似比 【典例】如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，点E，F在AD边上，BF和CE交于点G，若EF=AD，则图中阴影部分的面积为 A．25 B．30 C．35 D．40 【答案】C 【解析】如图，过点G作GN⊥AD于点N，延长NG交BC于点M. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC，AD∥BC. ∵EF=AD， ∴EF=BC. ∵AD∥BC，NG⊥AD， ∴△EFG∽△CBG，GM⊥BC. ∴GN∶GM=EF∶CB=1∶2. 又∵MN=AB=6， ∴GN=2，GM=4. ∴S△BCG=×10×4=20，S△EFG=×5×2=5. ∵S矩形ABCD=6×10=60， ∴S阴影=60-20-5=35. 【举一反三1】如图，已知AD为∠BAC的平分线，DE∥AB交AC于点E.如果，那么等于 （      ）  A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵AD为∠BAC的平分线， ∴∠BAD＝∠DAE. 又∵AB∥DE，∴∠BAD＝∠ADE，∴∠DAE＝∠ADE，∴AE＝ED. 又∵，设AE＝2a(a>0)，则EC＝3a， ∴ED＝2a，AC＝5a. ∵△DCE∽△BCA，∴，即. ∴AB＝.∴. 【举一反三2】如果两个相似三角形对应角平分线的比是4∶9，那么它们的周长比是__________． 【答案】4∶9 【解析】∵两个相似三角形对应角平分线的比是4∶9，∴它们的相似比为4∶9，∴它们的周长比为4∶9. 【举一反三3】已知△ABC∽△A′B′C′，BC＝3.6 cm，B′C′＝6 cm，AE是△ABC的一条中线，AE＝2.4 cm，求△A′B′C′中对应中线A′E′的长． 【答案】解：如图所示：∵△ABC∽△A′B′C′，BC＝3.6 cm，B′C′＝6 cm，∴＝＝，∴＝，∵AE是△ABC的一条中线，AE＝2.4 cm，∴＝，解得A′E′＝4，∴△A′B′C′中对应中线A′E′的长为4 cm. 【题型3】相似三角形的面积比等于相似比的平方 【典例】已知△ABC∽△DEF，且相似比为1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为(　　) A．1∶4 B．4∶1 C．1∶2 D．2∶1 【答案】A 【解析】∵△ABC∽△DEF，且相似比为1∶2，∴△ABC与△DEF的面积比为1∶4，故选A. 【举一反三1】已知△ABC的面积为81 cm2，△DEF的面积为36 cm2，且AB＝12 cm，若△ABC∽△DEF，则DE＝__________cm. 【答案】8 【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC的面积为81 cm2，△DEF的面积为36 cm2，∴△ABC与△DEF的面积比为81∶36＝9∶4，∴△ABC与△DEF的相似比为3∶2，∴AB∶DE＝3∶2，∵AB＝12 cm，∴DE＝8 cm. 【举一反三2】如果一个三角形的三边长为5、12、13，与其相似的三角形的最长的边为39，那么较大的三角形的周长为__________，面积为__________． 【答案】90；270 【解析】设较大三角形的其他两边长为a，b.∵由相似三角形的对应边比相等， ∴，解得a＝15，b＝36，则较大三角形的周长为90，面积为270. 故较大三角形的周长为90，面积为270. 【举一反三3】如图，四边形ABCD为菱形，M为BC上一点，连接AM交对角线BD于点G，且∠ABC＝2∠BAM. (1)求证：AG＝BG； (2)若M为BC的中点，同时＝1，求△DGA的面积. 【答案】(1)证明　∵四边形ABCD为菱形， ∴BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABG， 又∵∠ABC＝2∠BAM，∴∠BAM＝∠ABG， ∴AG＝BG. (2)解　∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，AD＝BC， ∴△BGM∽△DGA. ∵M为BC的中点，∴BM＝BC＝AD. ∴△BGM与△DGA的相似比为1∶2， ∴S△BGM∶S△DGA＝1∶4. ∵S△BGM＝1，∴S△DGA＝4，即△DGA的面积为4. 【题型4】相似三角形的性质与判定的综合（移题） 【典例】“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为（  ） A．1.25尺 B．56.5尺 C．6.25尺 D．57.5尺 【答案】D 【解析】依题意有△ABF∽△ADE， ∴AB：AD＝BF：DE， 即5：AD＝0.4：5， 解得AD＝62.5， BD＝AD−AB＝62.5−5＝57.5（尺）． 故选：D． 【举一反三1】如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E是AD的中点，连接BE交AC于点F，S△ABF＝6，则S△AEF＝（  ） A．6 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB，AD＝CB， ∵E是AD的中点， ∴AE＝AD＝CB，AE∥CB， ∴△AEF∽△CBF， ∴＝＝， ∴EF＝BF， ∴S△AEF＝S△ABF＝×6＝3， 故选：B． 【举一反三2】已知：如图，AD，BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD=BE=6，则AC=__________.  【答案】 【解析】如图，设AD，BE交于点O，取EC的中点F，连接DF. ∵点D是BC的中点， ∴DF是△BEC的中位线. ∴DF=BE，DF∥BE. ∵BE是△ABC的角平分线， ∴∠ABO=∠DBO. ∵AD⊥BE， ∴∠AOB=∠DOB. 又BO=BO， ∴△ABO≌△DBO. ∴AO=OD=AD=×6=3. ∵DE∥DF， ∴△AOE∽△ADF， ∴===. ∴OE=BE=×6=. 在Rt△AOE中，AE===. ∴AC=3AE=. 【举一反三3】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，Rt△MPN，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝__________． 【答案】3 【解析】如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R． ∵∠PQB＝∠QBR＝∠BRP＝90°， ∴四边形PQBR是矩形， ∴∠QPR＝90°＝∠MPN， ∴∠QPE＝∠RPF， ∴△QPE∽△RPF， ∴＝＝2， ∴PQ＝2PR＝2BQ， ∵PQ∥BC， ∴AQ：QP：AP＝AB：BC：AC＝3：4：5，设PQ＝4x， 则AQ＝3x，AP＝5x，BQ＝2x， ∴2x+3x＝3， ∴x＝， ∴AP＝5x＝3． 故答案为3． 【举一反三4】如图，在边长为1的正方形ABCD中，点E在边AD上(不与点A，D重合)，射线BE与射线CD交于点F. (1)求证：AB2=AE·CF； (2)若ED=，则DF的长为   . 【答案】(1)证明 ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=BC，∠A=∠C=90°，AB∥CD， ∴∠ABE=∠F， ∴△ABE∽△CFB， ∴=， ∴AB·CB=AE·CF， ∵AB=BC， ∴AB2=AE·CF. (2)解 ∵四边形ABCD为正方形， ∴BC=CD=1，AD∥BC， ∴△FED∽△FBC， ∴=， ∴=， ∴DF=. 【举一反三5】如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD． （1）证明：∠BDC＝∠PDC； （2）若AC与BD相交于点E，AB＝1，CE：CP＝2：3，求AE的长． 【答案】（1）证明：∵AB＝AD，AC平分∠BAD， ∴AC⊥BD， ∴∠ACD+∠BDC＝90°， ∵AC＝AD， ∴∠ACD＝∠ADC， ∴∠ADC+∠BDC＝90°， ∵PD⊥AD， ∴∠ADC+∠PDC＝90°， ∴∠BDC＝∠PDC； （2）解：过点C作CM⊥PD于点M， ∵∠BDC＝∠PDC， ∴CE＝CM， ∵∠CMP＝∠ADP＝90°，∠P＝∠P， ∴△CPM∽△APD， ∴＝， 设CM＝CE＝x， ∵CE：CP＝2：3， ∴PC＝x， ∵AB＝AD＝AC＝1， ∴＝， 解得：x＝， 故AE＝1﹣＝． 【题型5】相似三角形与动点问题 【典例】如图，，是斜边上的高，点是边上的动点，连结，作交于点，连结，当点在上运动时，下列比值会变化的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵，是斜边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵为定值， ∴，为定值，故选项A，C，D不符合题意； ∵是变值， ∴是变化的，故选项B符合题意． 故选：B． 【举一反三1】如图，在△ABC中，AB＝8厘米，AC＝16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，设运动的时间为t秒. (1)用含t的代数式表示：AP＝    ，AQ＝    ； (2)当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，求运动时间是多少. 【答案】解 (1)AP＝2t厘米，AQ＝(16－3t)厘米. (2)如图，∵∠PAQ＝∠BAC， ∴当时， △APQ∽△ABC， 即， 解得t＝； 当时， △APQ∽△ACB， 即， 解得t＝4. ∴运动时间为秒或4秒. 【举一反三2】如图，在矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q. (1)求证：△APQ∽△CDQ； (2)点P从点A出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向点B移动，移动时间为t秒.当t为何值时，DP⊥AC？ 【答案】(1)证明 ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，∴△APQ∽△CDQ. (2)解 当DP⊥AC时，∠ACD＋∠PDC＝90°， ∵∠ADP＋∠PDC＝90°，∴∠DCA＝∠ADP， 又∵∠ADC＝∠DAP＝90°， ∴△ADC∽△PAD，∴，∴， 解得PA＝5，∴t＝5. 学科网（北京）股份有限公司 $