3.4 相似三角形的性质 课时作业 2026-2027学年北师大版数学 九年级上册

第三章　图形的相似 4　相似三角形的性质　课时作业 班级：__________　　姓名：__________　　学号：__________　　用时：______分钟 【学习目标】 1．掌握相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比。 2．掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。 3．能运用相似三角形的性质解决求线段长、周长、面积等问题，并解决简单的实际问题。 一、知识点梳理 知识点1　相似三角形的基本性质 相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 知识点2　对应线段的比 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比。 如下图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为 k，AD，A′D′ 分别是 BC，B′C′ 边上的高，则 。 说理：因为△ABC∽△A′B′C′，所以∠B=∠B′；又∠ADB=∠A′D′B′=90°，所以△ABD∽△A′B′D′，所以 。 知识点3　周长比与面积比 （1）相似三角形的周长比等于相似比：若△ABC∽△A′B′C′，相似比为 k，则 。 说理：由 AB=kA′B′，BC=kB′C′，CA=kC′A′，得 AB+BC+CA=k(A′B′+B′C′+C′A′)。 （2）相似三角形的面积比等于相似比的平方：。 说理：。 （3）推广：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 易错点警示 ①面积比等于相似比的平方，反过来，相似比等于面积比的算术平方根，如面积比为 4∶9，则相似比为 2∶3。 ②“对应”二字不能少：只有对应高、对应中线、对应角平分线的比才等于相似比。 ③求四边形等非三角形图形面积时，常用“整体减部分”，如 。 二、典型例题精讲 例1　已知△ABC∽△DEF，相似比为 2∶3。 （1）若△ABC 的边 BC 上的高为 6，求△DEF 的边 EF 上的高； （2）若△ABC 的周长为 20，求△DEF 的周长； （3）若△DEF 的面积为 45，求△ABC 的面积。 解析：（1）对应高的比等于相似比，所以△DEF 中对应的高为 。 （2）周长比等于相似比，所以△DEF 的周长为 。 （3）面积比等于相似比的平方，即 ，所以 。 例2　如图，在△ABC 中，DE∥BC，AD∶DB=2∶3，，求 和 。 解析：由 AD∶DB=2∶3 得 AD∶AB=2∶5。因为 DE∥BC，所以△ADE∽△ABC， 所以 ，所以 ，。 易错提醒：相似比是 AD∶AB=2∶5，而不是 AD∶DB=2∶3。 例3　如图，△ABC 是一块三角形余料，边 BC=12 cm，高 AD=8 cm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边 EF 在 BC 上，其余两个顶点 H，G 分别在 AB，AC 上，AD 交 HG 于点 K。这个正方形零件的边长是多少？ 解析：设正方形的边长为 x cm，则 HG=x，KD=HE=x，AK=8-x。 因为 HG∥BC，所以△AHG∽△ABC，所以 （对应高的比等于相似比）， 即 ，解得 x=4.8。所以正方形零件的边长为 4.8 cm。 例4　如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，对角线 AC，BD 相交于点 O，AD=2，BC=4，，求梯形 ABCD 的面积。 解析：因为 AD∥BC，所以△AOD∽△COB，相似比为 ，所以 ，且 。 △AOB 与△AOD 的高相同，所以 ；同理 。 所以 。 三、课时作业 A组　基础巩固 一、选择题 1．若△ABC∽△DEF，相似比为 1∶2，则△ABC 与△DEF 的对应中线的比为（　　） A．1∶2 B．1∶4 C．2∶1 D． 2．两个相似三角形的面积比为 4∶9，则它们的周长比为（　　） A．4∶9 B．2∶3 C．16∶81 D．3∶2 3．已知△ABC∽△A′B′C′，AB=3，A′B′=6，，则 为（　　） A．10 B．15 C．20 D．25 4．如图（例 2 图），在△ABC 中，DE∥BC，若 AD∶AB=1∶3，则△ADE 与四边形 DBCE 的面积比为（　　） A．1∶3 B．1∶9 C．1∶8 D．1∶4 5．如图，在▱ABCD 中，点 E 在 AD 上，AE∶ED=1∶2，BE 与 AC 交于点 F，则△AEF 与△CBF 的面积比为（　　） A．1∶3 B．1∶9 C．1∶4 D．2∶3 6．把一个三角形的各边都扩大为原来的 3 倍，则它的面积扩大为原来的（　　） A．3 倍 B．6 倍 C．9 倍 D．27 倍 7．两个相似三角形对应高的比为 3∶5，它们的周长相差 10，则较小三角形的周长为（　　） A．15 B．25 C．10 D．6 8．如图（例 2 图），DE∥BC，若 DE 把△ABC 分成面积相等的两部分，则 AD∶AB 等于（　　） A．1∶2 B． C．1∶4 D． 二、填空题 9．两个相似三角形的相似比为 2∶3，它们的面积相差 10 cm²，则较大三角形的面积为__________cm²。 10．已知△ABC∽△DEF，面积比为 9∶16，△ABC 中∠A 的平分线 AM=6，则△DEF 中∠D 的平分线 DN=__________。 11．如图（例 2 图），DE∥BC，若 ，，则 =__________。 12．如图（例 4 图），在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD=3，BC=6，若 ，则 =__________。 13．在比例尺为 1∶1 000 的图纸上，一块三角形空地的面积为 20 cm²，则这块空地的实际面积为__________m²。 14．在放大镜下看一个三角形，边长变为原来的 3 倍，则周长变为原来的______倍，面积变为原来的______倍，各内角的度数______。 三、解答题 15．已知△ABC∽△A′B′C′，AB=4，A′B′=6，△ABC 的周长为 18，面积为 12，求△A′B′C′ 的周长和面积。 16．如图，在△ABC 中，BC=12，高 AD=6，矩形 EFGH 的边 EF 在 BC 上，顶点 H，G 分别在 AB，AC 上，AD 与 HG 交于点 K。若 HG=2HE，求矩形 EFGH 的边 HE 和 HG 的长。 17．如图（例 2 图），在△ABC 中，DE∥BC，分别交 AB，AC 于点 D，E，且 ，BC=6，求 DE 的长。 B组　能力提升 18．如图（例 4 图），在梯形 ABCD 中，AD∥BC，对角线 AC，BD 交于点 O，，，求梯形 ABCD 的面积。 19．如图，在△ABC 中，点 D，F 把 AB 三等分，DE∥FG∥BC，分别交 AC 于点 E，G。若 ，求四边形 DFGE 的面积。 20．如图，在△ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，点 D，E，F 分别在 AB，AC，BC 上，已知 ，，求四边形 DBFE 的面积。 C组　拓展探究 21．如图（第 16 题图），在△ABC 中，BC=12，高 AD=6，矩形 EFGH 的边 EF 在 BC 上，H，G 分别在 AB，AC 上。设 HE=x，矩形 EFGH 的面积为 S。 （1）用含 x 的式子表示 HG； （2）求 S 关于 x 的表达式； （3）用配方法求矩形面积 S 的最大值，并说明此时矩形的形状特点。 D组　易错专练 22．两个相似三角形的一组对应边长分别为 2 cm 和 3 cm，小明说：“它们的面积比是 2∶3。”他说得对吗？请说明理由。 23．两个相似三角形的一组对应边分别为 6 cm 和 8 cm，它们的面积之和为 150 cm²，求这两个三角形的面积。 E组　生活应用 24．一个四边形花坛按 1∶200 的比例尺画在图纸上，图纸上花坛的周长为 30 cm，面积为 40 cm²，求花坛的实际周长和实际面积。 25．在△ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 的中点。 （1）求△ADE 与△ABC 的周长比和面积比； （2）若 ，求四边形 DBCE 的面积。 26．某同学用一架焦距一定的相机拍摄一块三角形标志牌，底片上的三角形与实际标志牌相似。底片上三角形的一边长 2 cm，对应实际边长 1 m，底片上该三角形这边上的高为 1.5 cm。求实际标志牌这边上的高和实际标志牌的面积。 四、参考答案及解析 A组 1．A　解析：对应中线的比等于相似比 1∶2。 2．B　解析：相似比为 ，周长比等于相似比，为 2∶3。 3．C　解析：相似比为 ，面积比为 ，所以 。 4．C　解析：，所以△ADE 与四边形 DBCE 的面积比为 1∶(9-1)=1∶8。 5．B　解析：AE∶BC=AE∶AD=1∶3，△AEF∽△CBF，面积比为 (1∶3)² 即 1∶9。 6．C　解析：相似比为 3，面积比为 3²=9。 7．A　解析：周长比为 3∶5，设周长分别为 3k，5k，则 5k-3k=10，k=5，所以较小三角形的周长为 15。 8．B　解析：，所以 ，即 AD∶AB=。 9．18　解析：面积比为 4∶9，设面积为 4k，9k，则 9k-4k=10，k=2，较大三角形面积为 18 cm²。 10．8　解析：相似比为 3∶4，对应角平分线的比等于相似比，。 11．　解析：，，所以 。 12．8　解析：△AOD∽△COB，相似比为 1∶2，所以 。 13．2 000　解析：面积比为 1∶1 000²，实际面积为 20×1 000 000=20 000 000（cm²）=2 000（m²）。 14．3；9；不变　解析：放大后的三角形与原三角形相似，相似比为 3，所以周长扩大为 3 倍，面积扩大为 9 倍，角的大小不变。 15．解：相似比 。 △A′B′C′ 的周长为 ；面积为 。 16．解：设 HE=x，则 HG=2x，KD=HE=x，AK=6-x。 因为 HG∥BC，所以△AHG∽△ABC，所以 ，即 ， 解得 x=3。所以 HE=3，HG=6。 17．解：因为 DE∥BC，所以△ADE∽△ABC。因为 ，所以 ， 所以 ，所以 。 B组 18．解：因为 AD∥BC，所以△AOD∽△COB，，所以相似比 。 △AOB 与△AOD 等高，所以 ，；同理 。 所以 。 结论：梯形中 ，且 等于 。 19．解：因为 DE∥FG∥BC，所以△ADE∽△AFG∽△ABC，且 AD∶AF∶AB=1∶2∶3。 所以 ，， 所以 。 20．解：因为 DE∥BC，EF∥AB，所以∠AED=∠C，∠A=∠FEC，所以△ADE∽△EFC。 因为 ，所以 ，所以 。 又△ADE∽△ABC，所以 ，。 所以 。 C组 21．解：（1）AK=6-x，由△AHG∽△ABC 得 ，即 ，所以 HG=2(6-x)=12-2x（0<x<6）。 （2）S=HE·HG=x(12-2x)=-2x²+12x。 （3）S=-2(x²-6x)=-2(x-3)²+18。因为 -2(x-3)²≤0，所以 S≤18，当 x=3 时 S 取最大值 18。 此时 HE=3，HG=6，HG=2HE，恰好是第 16 题中的矩形，且 HG 的长等于 BC 的一半，即 H，G 分别是 AB，AC 的中点。 D组 22．解：不对。相似比为 2∶3，面积比等于相似比的平方，应为 4∶9。 23．解：相似比为 6∶8=3∶4，面积比为 9∶16。设两个三角形的面积分别为 9k cm²，16k cm²， 则 9k+16k=150，k=6，所以两个三角形的面积分别为 54 cm² 和 96 cm²。 E组 24．解：花坛与图纸上的图形相似，相似比为 200∶1。实际周长为 30×200=6 000（cm）=60（m）； 实际面积为 40×200²=40×40 000=1 600 000（cm²）=160（m²）。 易错提醒：面积要乘相似比的平方 200²，而不是乘 200。 25．解：（1）因为 D，E 分别是 AB，AC 的中点，所以 DE∥BC，，所以△ADE∽△ABC，相似比为 1∶2，周长比为 1∶2，面积比为 1∶4。 （2），所以 。 26．解：1 m=100 cm，相似比为 2∶100=1∶50。对应高的比等于相似比，所以实际的高为 1.5×50=75（cm）=0.75（m）。 实际面积为 （m²）。 五、课后反思 1．相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系是：______________________________。 2．求不规则图形面积时，我常用的方法是：____________________________________。 3．我在作业中出现的错误及原因：________________________________________________。 北师大版九年级上册　第三章 4 相似三角形的性质　第 页 学科网（北京）股份有限公司 $