专题3.2-3.3 探索三角形相似的条件及相似三角形判定定理证明（专题训练）-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题3.2-3.3 探索三角形相似的条件及相似三角形判定定理证明 （专题训练） 【新教材北师大版】 题型归纳 【题型 1··利用两角对应相等判定相似】 1 题型 2·利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似】 4 【题型 3··利用三边对应成比例判定相似】 6 【题型4·选择或补充条件使两个三角形相似】 9 【题型 5··相似三角形的判定综合】. 13 题型6··由平行判断成比例的线段】 17 【题型 7··由平行截线求相关线段的长或比值】 20 【题型 8··利用平行判定相似】 23 【题型 1··利用两角对应相等判定相似】 1．已知：如图，在中，，分别是，边（或它们的延长线）上的点，且．求证：． 【答案】分三种情况证明： 对应图， ∵， ∴，， ∵， ∴； 对应图， ∵， ∴，， ∵， ∴， 对应图， ∵， ∴，， ∵， ∴， 综上，三种情况均得． 【分析】通过平行线的性质和相似三角形的判定方法即可求证． 【详解】证明：略． 2．已知：如图，在中，，E为边上一点，，垂足为D．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴． 【详解】略 3．判断下面各组中的两个三角形是否相似，如果相似，请写出证明过程： (1)如图①，，和； (2)如图②，，和． 【答案】(1)解：和相似，理由如下： ∵，， ∴． (2)解：和相似，理由如下： ∵，， ∴． 【分析】（1）利用两角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）利用两角对应相等的两个三角形相似证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 4．如图，在中，点D在BC边上，．点E在AD边上，． (1)求证：； (2)若，，，则直接写出CD的长为________． 【答案】(1)证明：， ． ， 又， ． 又， ． (2) 【分析】（1）根据已知条件可得，即可证明； （2）结合（1）的结论，对应边成比例可求出的长，即可解答． 【详解】（1）略． （2）解： ， ， ，，， ． ． ． 题型 2·利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似】 5．如图，在和中，，且．求证：． 【答案】证明：， ， ， ， ∴， ． 【详解】略 6．如图，在四边形中，，相交于点，点在上，且满足，． (1)求证：； (2)若，，的面积为，求的面积． 【答案】(1)证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据两边对应成比例且夹角相等，证明两个三角形相似即可； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵的面积为， ∴． 7．如图，在正方形中，是上的点，且，是的中点．与是否相似，为什么？ 【答案】解：相似．理由如下： 设正方形的边长为，则， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 又， ∴． 【分析】设正方形的边长为，证明，即可证明． 【详解】略． 8．已知：如图，在和中，，，，．求证：． 【答案】证明：∵，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【详解】略 【题型 3··利用三边对应成比例判定相似】 9．已知：的三边，，，的三边，，．求证：． 【答案】证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【详解】略 10．已知：如图，在正方形网格图中，有两个格点三角形和．求证：． 【答案】证明：， ， ， ， ． 【分析】先根据网格和勾股定理求出，得出，即可证明． 【详解】略 11．依据下列各组条件，说明和是否相似： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) ． 证明： ∵ ， ∴ ． ∴ ． ∴ ． (2) ． 证明： ∵ 在中，， ∴ ． ∵ ， ∴ ． (3) ． 证明： ∵ ， ∴ ． ∴ ． 【分析】 （1）计算三组对应边的比值，验证是否成比例，判断三角形是否相似． （2）先利用三角形内角和求出中的度数，再验证两组对应角是否相等． （3）验证两组对应边的夹角相等且夹边成比例，判断三角形是否相似． 【详解】（1）详见参考答案． （2）详见参考答案． （3）详见参考答案． 12．如图，已知O为内一点，D、E、F分别是的中点． (1)求证：． (2)图中还有哪几对相似三角形？ 【答案】(1)证明：分别是的中点， ，，，即， ； (2)，， 【分析】（1）根据三角形的中位线定理，推出，即可得证； （2）根据三角形的中位线定理，以及三边对应成比例的两个三角形相似，得到，，即可. 【详解】（1）略 （2）解：∵D、E、F分别是的中点， ，，， ∴ ∴，，. 【题型4·选择或补充条件使两个三角形相似】 13．如图，在四边形中，点为上一点，，当在上何处时，？ 【答案】当点为的中点时，． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，先证明，则，又点为的中点，所以，故，即，然后通过相似三角形的判定方法即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：当点为的中点时，，理由， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 14．如图，，分别是的边，上的动点，若，，． (1)若，则________； (2)若，． ①对应边的关系为：________________________； ②________； ③与的周长之比为________，面积之比为________； (3)添加一个条件：________（不添加辅助线），使得． 【答案】(1) (2) (3)（答案不唯一） 【分析】（1）根据判定，再利用相似三角形的性质求解即可； （2）①根据相似三角形对应边成比例作答即可； ②根据相似三角形对应角相等求解即可； ③根据相似三角形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方求解即可； （3）根据相似三角形的判定作答即可，答案不唯一． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即， 解得：． （2）解：∵， ∴， ， 与的周长之比为，面积之比为． （3）解：当时，．（答案不唯一） 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 15．如图．，，． (1)请你添加一个条件，使相似于，你添加的条件是______． (2)若，，在（1）的条件下．求的长度． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）先求出，，再若添加的条件是，证出，根据相似三角形的性质可得，然后证出四边形是平行四边形，则可得，与相矛盾，只能是，由此即可得添加的条件； （2）根据相似三角形的性质可得，代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 若添加的条件是， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，与相矛盾，舍去； ∴只能是， ∴添加的条件是， 在和中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． （2）解：由（1）可知，只能是， ∴， ∵，， ∴， ∴． 16．如下图，．当AB的长为多少时，与相似？ 【答案】3或 【分析】本题主要应用两三角形相似的判定定理，列出比例式求解即可. 【详解】解：在中，， ． ， 分以下两种情况讨论： ①当时，， ； ②当时，， ． 综上所述，当AB的长为3或时，与相似． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定，解题时注意： ①如果两个三角形的三条对应边的比相等，那么这两个三角形相似； ②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似； ③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似. ④平行于三角形一边的直线截另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似. 【题型 5··相似三角形的判定综合】. 17．已知：如图，在中，对角线，相交于点O，．求证：． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】证出，由相似三角形的判定可得出结论． 【详解】略 18．如图，是直角三角形，于是上的点，的延长线与的延长线交于点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：，， ， ， ， ， ， ， ． 又， ， ， ． (2) 【分析】（1）要证明乘积式，可以将其转化为比例式，通过证明完成推导； （2）将已知线段长度直接代入（1）中等积式即可求出线段的长度． 【详解】（1）略． （2）解：， ． 由（1）可知， ， ． 19．如下图． (1)判断与是否相似，并说明理由． (2)若，求的度数． 【答案】(1) 相似．理由如下： ， ． (2) 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，证明是解题的关键． （1）根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可证得； （2）由相似三角形的性质得出，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：由（1），得． 又， ． 20．如图，点、在线段上，△是等边三角形，． (1)证明：； (2)线段、、之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1) 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∴； ∵，即：， ∴，， ∴，, ∴； (2) 结论：．证明： ∵， ∴； ∵， ∴，， 又∵， ∴ 【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定． （1）由等边三角形性质得，，从而有；由得，由相似三角形的判定得证； （2）根据，，求出，由等角对等边即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 题型6··由平行判断成比例的线段】 21．如图，在中，点D，E分别在边上，且，则下列各式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例进行判断即可. 【详解】解：∵， ∴，，，， 不能得到， 故只有C选项符合题意. 22．如图，在中，、分别为、边上的点，，与相交于点，则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平行可判定，因此． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 23．如图，在中，对角线，相交于点，为的中点，交于点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理、中位线、平行四边形的性质，根据平行四边形对角线互相平分，可知点为的中点，根据可得，可证点为的中点，从而可证是的中位线，根据中位线定理可知． 【详解】解：是的对角线， ， 为的中点， ， ， ， 即为的中点， 是的中位线， ． 24．如图，在中，点D，E，F分别在边上，已知，，则下列比例式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，根据平行线分线段成比例定理得，可判断A不符合题意；由变形得，可判断B不符合题意；可证明，由，假设成立，可推导出，与已知条件不符，可判断C符合题意；由，，证明四边形BDEF是平行四边形，则，再证明，得，推导出，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案． 此题重点考查平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定等知识，证明，及四边形BDEF是平行四边形是解题的关键 【详解】解：A、， ， 故此选项不符合题意； B、， ， 故此选项不符合题意； C、∵， ， 假设成立，则， ，与已知条件不符， 不成立， 故此选项符合题意； D、，， 四边形BDEF是平行四边形， ， ∵， ， ， ， 故此选项不符合题意， 故选：C． 【题型 7··由平行截线求相关线段的长或比值】 25．如图，在中，点，分别是和的中点，点是线段上的一点，连接，，且．若，，则的长为（   ） A．3 B．2.5 C．1.5 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了中位线的性质和平行线分线段成比例定理，延长交于点G，根据平行线分线段成比例定理得出是的中位线即可求解． 【详解】解：延长交于点G， ∵点，分别是和的中点， ∴， ∴，即点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 26．，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴根据平行线分线段成比例定理可得： ∴． 27．如图，已知，那么下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴； 无法得到，； 故只有选项D正确. 28．小明看到人行道上的裂缝砖块（如图1），其平面示意图（如图2）是由12个大小相同的小正方形组成的．若小正方形的边长为，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理可证是的中位线，进而利用三角形中位线定理求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴． ∵小正方形的边长为， ∴， ∴． 【题型 8··利用平行判定相似】 29．如图，是的中位线，是的中点，连接并延长，与边交于点，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角形中位线的性质得到，，再由是的中点，得到，由得到，根据相似三角形的对应线段成比例即可求解． 【详解】解：∵是的中位线， ∴，， ∴是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 30．如图，与相交于点，点在线段上，且，若，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，求出，再由，即可求出答案． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 31．如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，，，都在格点上，线段与相交于点，(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，关键是构造辅助线，通过平行线得到相似三角形，再利用相似比求解线段比例． 【详解】解：设每个小方格的边长为1，连接，． 由网格可知，与平行且， 易证， 因此， 即； 故选：A． 32．如图，，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】​本题考查了平行线分线段成比例定理​，相似三角形的判定和性质，根据已知的平行关系，运用相关的定理和性质对每个选项进行分析和判断是解题的关键．先根据平行条件，针对每个选项，用平行线分线段成比例定理和三角形相似的判定和性质进行判断即可． 【详解】解：， ， 故A不符合题意； ∵， ， 故B不符合题意； 设 ，，则， ， ， ， ， ， ， ， 这一结论不一定正成立， 故C符合题意； ， ， 故D不符合题意， 故选：C． 33．如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在外选一点C，然后测出的中点M，N，并测量出的长为，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理以及相似三角形的判定及性质．熟练掌握中位线定理是解题的关键． 根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，再根据相似三角形的判定解答． 【详解】解：∵的中点M，N，的长为， ∴，，故A，B，C选项正确，不符合题意； ∴，故D选项错误，符合题意； 故选：D 34．如图，在中，，，则的值为______． 【答案】/ 【分析】过点作的平行线，交于点，设，由平行可判定，则，计算得，同理，因此． 【详解】解：如图，过点作的平行线，交于点，设， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $专题3.2-3.3探索三角形相似的条件及相似三角形判定定理证明 （专题训练) 【新教材北师大版】 题型归纳 【题型1…利用两角对应相等判定相似】… .1 题型2利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似】 .3 【题型3…利用三边对应成比例判定相似】 .….4 【题型4选择或补充条件使两个三角形相似】… .5 【题型5…相似三角形的判定综合】… …6 题型6一由平行判断成比例的线段】… 8 【题型7…由平行截线求相关线段的长或比值】.9 【题型8利用平行判定相似】 .10 【题型1利用两角对应相等判定相似】 1.已知：如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC边（或它们的延长线）上的点，且DE‖BC.求证： △ADE一△ABC. B (1 (2) (3〉 2.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，E为边AC上一点，ED⊥AB,垂足为D.求证： 1/12 △AED~△ABC. D ch 3.判断下面各组中的两个三角形是否相似，如果相似，请写出证明过程： B ① ② (1)如图①，∠B=∠ADE,△ABC和△ADE; (2)如图②，∠E=∠C,△ADE和△ABC. 4.如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠DAC=∠B.点E在AD边上，CD=CE. E B D (1)求证：△ABD一△CAE: ☑若AB=6,AC=号，AD=5,则直接写出CD的长为 2/12 题型2·利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似】 5.如图，在△ADE和△ABC中，AB·AE=AD·AC,且∠EAC=∠DAB.求证：△ABC一△ADE. D B 6.如图，在四边形ABCD中，AC,BD相交于点E,点F在BD上，且满足∠BAC=∠AD, AB AC AF AD B (1)求证：△ABF一△ACD: (2)若AC=2,AB=5,△ACD的面积为8，求△ABF的面积. 7.如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC,Q是CD的中点.△ADQ与△QCP是否相 似，为什么？ 3/12 8.已知：如图，在△ABC和△EDC中，AE=2,EC=6,BD=3,DC=9.求证：△ABC一△EDC. A E C D 【题型3·利用三边对应成比例判定相似】 9.己知：△ABC的三边AB=5cm,AC=10cm,BC=12cm,△ABC的三边AB=3cm, AC=6cm,BC'=7.2cm.求证：△ABC一△ABC. 10.己知：如图，在正方形网格图中，有两个格点三角形△ABC和△就.求证：△ABC一△就. B 11.依据下列各组条件，说明△ABC和△ABC是否相似： (1AB=10cm,BC=8cm,AC=16cm,AB=16cm,BC'=12.8cm,A'C'=25.6cm' 4/12 (②)∠A=80,∠C=60°，∠A=80,∠B=40o: (3)∠A=40°，AB=8cm,AC=15cm,∠A=40°，AB=16cm,AC=30cm 12.如图，已知O为△ABC内一点，D、E、F分别是OA,OB,OC的中点. C D A (1)求证：△g一△ABC. (2)图中还有哪几对相似三角形？ 【题型4选择或补充条件使两个三角形相似】 13.如图，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B,当P在AB上何处时， △ADP-△PDC? A P 14.如图，D,E分别是△ABC的边AB,AC上的动点，若AE=3,AC=8,AB=6. 5/12 (1)若DE‖BC,则AD= (2)若△ADE△ACB,∠B=70° ①对应边的关系为：AD C ②∠AED= ③△ADE与△ACB的周长之比为 ,面积之比为 (3)添加一个条件： (不添加辅助线)，使得△ADE一△ABC. 15.如图.AC⊥BC,BD⊥BC,AC>BC>BD (1)请你添加一个条件，使△ABC相似于△CDB,你添加的条件是 (2)若DB=3,BC=4,在(1)的条件下，求AC的长度. 16.如下图，∠ACB=∠D=90°，AC=V6,AD=2.当AB的长为多少时，△ACD与△ABC相似？ 6/12 【题型5相似三角形的判定综合】. 17.已知：如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AC=V2BC.求证：△BOC一△ABC. 18.如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D,E是AC上的点，ED的延长线与 CB的延长线交于点F,且∠1=∠A. A B (1)求证：FD=FB·FC: (2)若FB=4,BC=5,求FD的长. 19.如下图，AB=25,BC=40,AC=20,AE=12,AD=15,DE=24. D A B 7/12 (1)判断△ABC与△ADE是否相似，并说明理由. (2)若∠BAC=125°，∠EAC=70°，求∠CAD的度数. 20.如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，AP⊥PD,CP⊥BP (1)证明：△ACP一△PDB: (2)线段AC、CD、BD之间有怎样的数量关系？请说明理由. 题型6由平行判断成比例的线段】 21.如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上，且DEBC,则下列各式不成立的是() AD_AE AD_AE BD CE AB AC c册光 AB AC BD CE 22.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE‖BC,BE与CD相交于点F,则下列结 论一定正确的是() 8/12 A品光 FD AE AD DE FD FE B.FBEC C.DBBC FB FC 23.如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,E为AB的中点，EF‖AC交BD于点F.若 AC=8,则EF的长为() B.2 A.1 C.3 D.4 24.如图，在△ABC中，点D,E,F分别在边AB,AC,BC上，已知DE‖BC,EF‖AB,则下列 比例式错误的是() D B A.AE=BF B.CE=AE C.CF=AE D.AD=AB EC FC CF BF BC AC BF BC 【题型7·由平行截线求相关线段的长或比值】 25.如图，在△ABC中，点E,F分别是AB和AC的中点，点D是线段EF上的一点，连接AD,CD,且 ∠ADC=90°.若BC=16,AC=13,则DE的长为() A.3 B.2.5 C.1.5 D.2 6 AB CD EF,.若BC=5,BE=3,则(7 9/12 F A是 o.g 27.如图，已知AB‖CD‖EF,BD:DF=2:5,那么下列结论正确的是() A/B D E F A.AC:AE=2:5 B.AB:CD=2:5 C.CD:EF=2:5 D.CE:EA=5:7 28.小明看到人行道上的裂缝砖块（如图1)，其平面示意图（如图2）是由12个大小相同的小正方形组 成的.若小正方形的边长为30cm,则线段DE的长为() B 图1 图2 A.15cm B.20cm C.30cm D.35cm 【题型8利用平行判定相似】 29.如图，PQ是△ABC的中位线，M是PQ的中点，连接CM并延长，与AB边交于点N,则M 的值为 MC () N P M B 10/12 A吉 B. 2-5 c 30.如图，AB与CD相交于点E,点F在线段BC上，且AC EF DB,若BE=5,BF=3,AE=BC, AC的值为() E D B. c 3 31.如图，在5×3的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，B,C,D都在格点上，线段AB与CD相 交于点E,AE:BE=() D B A.2:1 B.3:V3 C.3:2 D.4:1 32.如图，DE‖FG‖BC,下列结论错误的是() D E G C A肥5 B.DE-EG DEFG 0. AF AB DF EG FB GC FG BC AG AC 33.如图，A,B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C,然后 测出AC,BC的中点M,N,并测量出MN的长为12m,由此他就知道了A、B间的距离.有关他这次 探究活动的描述错误的是() 11/12 M N A.AB=24m B.MN‖AB C.CM:CA=1:2 D.△CMN≌△CAB 34.如图，在△ABC中，AD=2CD,CP=2BP,则C的值为 D B 12/12