周练 错题巩固与压轴训练 3.1～3.2～3.3 相似多边形 探索三角形相似的条件 相似三角形判定定理的证明 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

初中数学同步周练　|　北师大版（2024）　|　一周错题巩固+压轴训练 九年级上册数学周练 第三章 图形的相似（3.1～3.2～3.3） 班级：__________　　姓名：__________　　学号：__________　　得分：__________　　　　时间：60分钟　　满分：100分 一．选择题（共6小题） 1．（2026春•虹口区期中）·【A】下列各比中，能与2：1组成比例的是（　　） A．2：4 B．0.4：0.02 C．0.2：0.04 D．1：0.5 2．（2026春•茂南区期末）·【A】若，则的值是（　　） A．1 B．5 C．4 D．3 3．（2026•姑苏区校级模拟）·【A】大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为8cm，那么AP的长度是（　　） A． B． C． D． 4．（2026•沈河区一模）·【A】如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度BC与瓶高AC之比为黄金比时，可以发出“sol”的音符．若AC＝15cm，则下列高度最接近水面高度BC的是（　　） A．9.3cm B．9cm C．7cm D．5.7cm 5．（2025秋•鹤山市期末）·【A】如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（　　） A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．AB2＝AD•AC D．AD•BC＝AB•DB 6．（2025秋•庐江县期末）·【A】如图，△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，则添加下列条件后无法判定△ABC∽△DEF的是（　　） A．∠B＝∠E B．∠C＝∠F C． D． 二．填空题（共6小题） 7．（2025秋•蒙城县期末）·【A】已知，则的值是 _______ ． 8．（2026•武侯区校级模拟）·【A】若，则__________________ ． 9．（2026•南山区二模）·【A】大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比（黄金分割比．如图，B为AC的黄金分割点（AB＞BC），若AC＝20cm，则BC的长为 ____________________ cm．（结果保留根号） 10．（2025•涟水县一模）·【A】如图，AB与CD交于点O，连结AD和BC，要使△AOD∽△BOC，请添加一个条件：_________________ ． 11．（2024秋•同步）·【B】如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，4AC﹣3BC＝0，点P从点B出发，沿B→C方向以2cm/s的速度移动，点Q从点C出发，沿C→A方向以1cm/s的速度移动．若点P，Q分别从点B，C同时出发（0＜t＜4），则经过 ____________________ s后，△CPQ与△CBA相似． 12．（2024春•同步）·【B】如图，直线y＝2x+1与x轴，y轴交于点A、B，点C在第二象限，要使△AOC与△AOB相似，则符合条件的点C共有 _____ 个．（不包含全等的情况） 三．解答题（共8小题） 13．（2025秋•沛县期末）·【A】已知，且x+y＝24．求x、y的值． 14．（2026秋•单元）·【A】如图，已知矩形ABCD和正方形AEFD，且．试说明E为AB的黄金分割点，BC与AB的比等于黄金比． 15．（2026秋•同步）·【A】如图，已知线段AB，点P是它的黄金分割点，AP＞PB．求AP，BP的长． 16．（2026秋•同步）·【A】如图，C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC．写出黄金分割的比例式，指出其中的比例中项． 17．（2026秋•同步）·【A】如图，D为Rt△ABC的边BC上一点．点D在什么位置时，可使图中的两个直角三角形相似？ 18． （2026秋•同步）·【B】若a，b，c是非零实数，并满足，且x，求x的值． 19．（2024春•同步）·【C】如果一个矩形ABCD（AB＜BC）中，0.618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE（如图），请问矩形ABFE是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性． 20．（2024春•同步）·【C】性质探究 如图1，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，则底边AB与腰AC的长度之比为 _________________ ． 理解运用 如图2，在四边形EFGH中，EF＝EG＝EH，在边FG，GH上分别取中点M，N，连接MN．若∠FGH＝120°，EF＝20，求线段MN的长． 类比拓展 顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为 ____________ ．（用含α的式子表示） 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D B D A D D 1．（2026春•虹口区期中）·【A】下列各比中，能与2：1组成比例的是（　　） A．2：4 B．0.4：0.02 C．0.2：0.04 D．1：0.5 【答案】D 【解答】解：A.2：4＝1：2，不能与2：1组成比例； B.0.4：0.02＝20：1，不能与2：1组成比例； C.0.2：0.04＝5：1，不能与2：1组成比例； D.1：0.5＝2：1，能与2：1组成比例； 故选：D． 2．（2026春•茂南区期末）·【A】若，则的值是（　　） A．1 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【解答】解：设k， ∴x＝3k，y＝5k，z＝7k， ∴5， 故选：B． 3．（2026•姑苏区校级模拟）·【A】大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为8cm，那么AP的长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝8cm， ∴APAB8＝（44）cm， 故选：D． 4．（2026•沈河区一模）·【A】如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度BC与瓶高AC之比为黄金比时，可以发出“sol”的音符．若AC＝15cm，则下列高度最接近水面高度BC的是（　　） A．9.3cm B．9cm C．7cm D．5.7cm 【答案】A 【解答】解：根据题意可知， ， ∴BC＝15×0.618＝9.27≈9.3． 故选：A． 5．（2025秋•鹤山市期末）·【A】如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（　　） A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．AB2＝AD•AC D．AD•BC＝AB•DB 【答案】D 【解答】解：A．∵∠ABD＝∠ACB，∠A＝∠A， ∴△ADB与△ABC相似，故本选项不符合题意； B．∵∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A， ∴△ADB与△ABC相似，故本选项不符合题意； C．根据AB2＝AD•AC可得，AB：AC＝AD：AB，结合∠A＝∠A能判断△ADB与△ABC相似， 故本选项不符合题意； D．∵AD•BC＝AB•DB， ∴AD：AB＝BD：BC，结合∠A＝∠A，不能判定△ADB与△ABC相似，故本选项符合题意； 故选：D． 6．（2025秋•庐江县期末）·【A】如图，△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，则添加下列条件后无法判定△ABC∽△DEF的是（　　） A．∠B＝∠E B．∠C＝∠F C． D． 【答案】D 【解答】解：A．∵∠A＝∠D，∠B＝∠E， ∴△ABC∽△DEF（两角相等的两个三角形相似）， 故A不符合题意； B．∵∠A＝∠D，∠C＝∠F， ∴△ABC∽△DEF（两角相等的两个三角形相似）， 故B不符合题意； C．∵∠A＝∠D，， ∴△ABC∽△DEF（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）， 故C不符合题意； D．∵∠A＝∠D，， ∴△ABC与△DEF不相似， 故D符合题意； 故选：D． 二．填空题（共6小题） 7．（2025秋•蒙城县期末）·【A】已知，则的值是 　﹣1　 ． 【答案】﹣1． 【解答】解：∵， ∴设k， ∴x＝2k，y＝3k，z＝4k， ∴ ＝﹣1， 故答案为：﹣1． 8．（2026•武侯区校级模拟）·【A】若，则　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵， ∴设a＝5k，则b＝3k， ∴， 故答案为：． 9．（2026•南山区二模）·【A】大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比（黄金分割比．如图，B为AC的黄金分割点（AB＞BC），若AC＝20cm，则BC的长为 　　 cm．（结果保留根号） 【答案】． 【解答】解：∵B为AC的黄金分割点（AB＞BC），AC＝20cm， ∴ABAC20＝（1010）cm， ∴BC＝AC﹣AB＝20﹣（1010）＝（30﹣10）cm， 故答案为：． 10．（2025•涟水县一模）·【A】如图，AB与CD交于点O，连结AD和BC，要使△AOD∽△BOC，请添加一个条件：　∠B＝∠A（答案不唯一）　 ． 【答案】∠B＝∠A（答案不唯一）． 【解答】解：添加∠B＝∠A， ∵∠B＝∠A，∠AOD＝∠BOC， ∴△AOD∽△BOC， 故答案为：∠B＝∠A（答案不唯一）． 11．（2024秋•同步）·【B】如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，4AC﹣3BC＝0，点P从点B出发，沿B→C方向以2cm/s的速度移动，点Q从点C出发，沿C→A方向以1cm/s的速度移动．若点P，Q分别从点B，C同时出发（0＜t＜4），则经过 　2.4s和　 s后，△CPQ与△CBA相似． 【答案】2.4s和． 【解答】解：∵BC＝8cm，4AC﹣3BC＝0， ∴AC＝6cm， 设经过t秒时：CP：CB＝CQ：CA， 则（8﹣2t）：8＝t：6， 解得：t＝2.4s， 设经过t秒时，CQ：CB＝CP：CA 则t：8＝（8﹣2t）：6 解得：ts． 在t＝2.4s和s时，△CPQ与△CBA相似． 故答案为：2.4s和． 12．（2024春•同步）·【B】如图，直线y＝2x+1与x轴，y轴交于点A、B，点C在第二象限，要使△AOC与△AOB相似，则符合条件的点C共有 　3　 个．（不包含全等的情况） 【答案】3． 【解答】解：如图，符合条件的点C共有3个． 当点A为直角顶点时，△AOC与△OBA相似， 当点C为直角顶点时，△AOC′与△BOA相似，或者△AOC″与△BAO相似． 故答案为：3． 三．解答题（共8小题） 13．（2025秋•沛县期末）·【A】已知，且x+y＝24．求x、y的值． 【答案】x的值为9，y的值为15． 【解答】解：设k， ∴x＝3k，y＝5k， ∵x+y＝24， ∴3k+5k＝24， ∴k＝3， ∴x＝3k＝9，y＝5k＝15， ∴x的值为9，y的值为15． 14．（2026秋•单元）·【A】如图，已知矩形ABCD和正方形AEFD，且．试说明E为AB的黄金分割点，BC与AB的比等于黄金比． 【答案】说明过程见解答． 【解答】解：∵四边形AEFD是正方形， ∴AE＝AD＝EF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC， ∴AE＝BC， ∵， ∴， ∴E为AB的黄金分割点， ∴， ∴， ∴E为AB的黄金分割点，BC与AB的比等于黄金比． 15．（2026秋•同步）·【A】如图，已知线段AB，点P是它的黄金分割点，AP＞PB．求AP，BP的长． 【答案】AP的长为1，BP的长为． 【解答】解：∵线段AB，点P是它的黄金分割点，AP＞PB， ∴APAB1， ∴BP＝AB﹣AP1， ∴AP的长为1，BP的长为． 16．（2026秋•同步）·【A】如图，C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC．写出黄金分割的比例式，指出其中的比例中项． 【答案】黄金分割的比例式是，AC是比例中项． 【解答】解：∵C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC， ∴， ∴AC2＝AB•BC， ∴黄金分割的比例式是，AC是比例中项． 17．（2026秋•同步）·【A】如图，D为Rt△ABC的边BC上一点．点D在什么位置时，可使图中的两个直角三角形相似？ 【答案】当点D的位置使得成立时，两个直角三角形相似． 【解答】解：当点D的位置使得成立时，两个直角三角形相似． ∵∠ACD＝∠BCA，， ∴△ACD∽△BCA． 18．（2026秋•同步）·【B】若a，b，c是非零实数，并满足，且x，求x的值． 【答案】x＝8或﹣1． 【解答】解：当a+b+c≠0时， 利用比例的性质化简已知等式得： ＝1， 即a+b﹣c＝c，a﹣b+c＝b，﹣a+b+c＝a， 整理得：a+b＝2c，a+c＝2b，b+c＝2a， 原式； 当a+b+c＝0时， 可得：a+b＝﹣c，a+c＝﹣b，b+c＝﹣a， 则原式＝﹣1． 综上可知：x＝8或﹣1． 19．（2024春•同步）·【C】如果一个矩形ABCD（AB＜BC）中，0.618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE（如图），请问矩形ABFE是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：矩形ABFE是黄金矩形． ∵AD＝BC，DE＝AB， ∴1． ∴矩形ABFE是黄金矩形． 20．（2024春•同步）·【C】性质探究 如图1，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，则底边AB与腰AC的长度之比为 　：1　 ． 理解运用 如图2，在四边形EFGH中，EF＝EG＝EH，在边FG，GH上分别取中点M，N，连接MN．若∠FGH＝120°，EF＝20，求线段MN的长． 类比拓展 顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为 　2sinα：1　 ．（用含α的式子表示） 【答案】性质探究：：1； 理解运用：10； 类比拓展：2sinα：1． 理解运用：连接FH．求出FH，利用三角形中位线定理解决问题即可． 类比拓展：利用等腰三角形的性质求出AB与AC的关系即可． 【解答】解：性质探究：如图1中，过点C作CD⊥AB于D． ∵CA＝CB，∠ACB＝120°，CD⊥AB， ∴∠A＝∠B＝30°，AD＝BD， ∴AB＝2AD＝2AC•cos30°AC， ∴AB：AC：1． 故答案为：：1； 理解运用：如图2中，连接FH． ∵∠FGH＝120°，EF＝EG＝EH， ∴∠EFG＝∠EGF，∠EHG＝∠EGH， ∴∠EFG+∠EHG＝∠EGF+∠EGH＝∠FGH＝120°， ∵∠FEH+∠EFG+∠EHG+∠FGH＝360°， ∴∠FEH＝360°﹣120°﹣120°＝120°， ∵EF＝EH， ∴△EFH是顶角为120°的等腰三角形， ∴FHEF＝20， ∵FM＝MG．GN＝NH， ∴MNFH＝10； 类比拓展：如图，过点C作CD⊥AB于D． ∵CA＝CB，∠ACB＝2α，CD⊥AB， ∴∠A＝∠B，AD＝BD，∠ACD＝∠BCD＝α ∴AB＝2AD＝2AC•sinα ∴AB：AC＝2sinα：1． 故答案为：2sinα：1． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $